Posições relativas de retas e planos

Prévia do material em texto

Có
pi
a D
igi
tal
282 Retas e Planos
4.3 Posições Relativas de Retas e Planos
Posições Relativas de Duas Retas
Consideremos duas retas quaisquer r1 :
−→
OP=
−→
OP1 +tV1 e r2 :
−→
OP=
−→
OP2 +tV2. Para
estudar a posição relativa destas retas, vamos dividir em dois casos:
(a) Se os vetores diretores são paralelos, então as retas são paralelas ou coinciden-
tes (Figura 4.29 na página 271). Além de paralelas, elas são coincidentes se, e
somente se, um ponto de uma reta pertence a outra reta. Portanto, se, e somente
se,
−→
P1P2 é paralelo a V1 (e a V2, pois V1 e V2 são paralelos).
(b) Se os vetores diretores não são paralelos, então as retas são reversas ou concor-
rentes (Figura 4.30 na página 273).
i. Se os vetores
−→
P1P2, V1 e V2 são coplanares, ou seja, se
−→
P1P2 · (V1 × V2) = 0
(Corolário 3.9 na página 198), então as retas são concorrentes.
ii. Se os vetores
−→
P1P2, V1 e V2 não são coplanares, ou seja, se
−→
P1P2 · (V1×V2) 6=
0 (Corolário 3.9 na página 198), então as retas são reversas.
Posições Relativas de Dois Planos
Matrizes, Vetores e Geometria Analítica GoBack GoForward Julho 2013
Có
pi
a D
igi
tal
4.3 Posições Relativas de Retas e Planos 283
pi1
pi2
Figura 4.33. Dois planos que se interceptam
pi1
pi2
Figura 4.34. Dois planos paralelos
Julho 2013 GoBack GoForward Reginaldo J. Santos
Có
pi
a D
igi
tal
284 Retas e Planos
Sejam dois planos pi1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e pi2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0
quaisquer.
(a) Se os seus vetores normais N1 = (a1, b1, c1) e N2 = (a2, b2, c2) não são parale-
los, então os planos são concorrentes (Figura 4.33).
(b) Se os seus vetores normais são paralelos, ou seja, se N2 = αN1, então os planos
são paralelos distintos (Figura 4.34) ou coincidentes. Além de paralelos, eles são
coincidentes se, e somente se, todo ponto que satisfaz a equação de pi1, satisfaz
também a equação de pi2.
Assim,
a2x + b2y + c2z + d2 = αa1x + αb1y + αc1z + d2 = α(a1x + b1y + c1z) + d2 =
α(−d1)+ d2 = 0. Portanto, d2 = αd1 e as equações de pi1 e pi2 são proporcionais.
Reciprocamente, se as equações de pi1 e pi2 são proporcionais, então claramente
os dois planos são coincidentes. Portanto, dois planos são coincidentes se, e
somente se, além dos vetores normais serem paralelos, as suas equações são
proporcionais.
Matrizes, Vetores e Geometria Analítica GoBack GoForward Julho 2013
Có
pi
a D
igi
tal
4.3 Posições Relativas de Retas e Planos 285
pi
r
Figura 4.35. Reta e plano concorrentes
pi
r
Figura 4.36. Reta e plano paralelos
Julho 2013 GoBack GoForward Reginaldo J. Santos
Có
pi
a D
igi
tal
286 Retas e Planos
Posições Relativas de Reta e Plano
Sejam a reta r : (x, y, z) =
−→
OP=
−→
OP0 +tV e o plano pi : ax + by + cz + d = 0.
(a) Se o vetor diretor da reta r, V, e o vetor normal do plano pi, N = (a, b, c), são
ortogonais (V · N = 0), então a reta e o plano são paralelos.
Se além dos vetores V e N serem ortogonais, um ponto qualquer da reta per-
tence ao plano, por exemplo, se P0 pertence a pi (P0 satisfaz a equação de pi),
então a reta está contida no plano.
(b) Se o vetor diretor da reta r, V, e o vetor normal do plano pi, N = (a, b, c), não
são ortogonais (V · N 6= 0), então a reta é concorrente ao plano.
Posições Relativas de Três Planos
Matrizes, Vetores e Geometria Analítica GoBack GoForward Julho 2013
Có
pi
a D
igi
tal
4.3 Posições Relativas de Retas e Planos 287
pi1
pi2
pi3
Figura 4.37. Três planos que se interceptam segundo um ponto
Julho 2013 GoBack GoForward Reginaldo J. Santos
Có
pi
a D
igi
tal
288 Retas e Planos
Consideremos três planos pi1, pi2, e pi3 dados pelas equações: pi1 : a1x + b1y + c1z = d1pi2 : a2x + b2y + c2z = d2
pi3 : a3x + b3y + c3z = d3
(4.13)
Os vetores Ni = (ai, bi, ci) são normais aos planos pii, para i = 1, 2, 3. Os três vetores
são coplanares ou não são coplanares.
(a) Se os vetores N1, N2 e N3 não são coplanares, então vamos mostrar que os pla-
nos se interceptam dois a dois segundo retas que se interceptam em um ponto.
As retas r = pi1 ∩ pi2 e s = pi1 ∩ pi3 estão no plano pi1. Vamos mostrar que
elas são concorrentes. Sejam A e B dois pontos distintos da reta r. O vetor
−→
AB
é perpendicular a N1 e a N2. Se as retas r e s fossem paralelas, então
−→
AB se-
ria perpendicular também a N3, ou seja,
−→
AB seria perpendicular a três vetores
não coplanares o que implicaria que
−→
AB= ~0. Os vetores N1, N2 e N3 não são
coplanares se, e somente se,
det(A) 6= 0,
em que A =
 a1 b1 c1a2 b2 c2
a3 b3 c3
. Neste caso o sistema tem solução única (Figura
4.37).
(b) Se os três vetores normais são coplanares, então pode ocorrer uma das seguintes
situações:
i. Os vetores normais são paralelos, ou seja, N1 = αN2, N1 = βN3 e N2 =
γN3. Neste caso, os planos são paralelos.
Se além disso, exatamente duas das equações são proporcionais, então exa-
tamente dois planos são coincidentes e o sistema não tem solução. Se as
três equações são proporcionais, então os três planos são coincidentes e o
Matrizes, Vetores e Geometria Analítica GoBack GoForward Julho 2013
Có
pi
a D
igi
tal
4.3 Posições Relativas de Retas e Planos 289
pi1
pi2
pi3
Figura 4.38. Três planos paralelos
pi3
pi2
pi1
Figura 4.39. Planos interceptando-se 2 a 2
pi1
pi2
pi3
Figura 4.40. Três planos, sendo 2 paralelos
pi1
pi2
pi3
Figura 4.41. Reta interseção de 3 planos
Julho 2013 GoBack GoForward Reginaldo J. Santos
Có
pi
a D
igi
tal
290 Retas e Planos
sistema tem infinitas soluções. Se não ocorre nenhuma destas situações, os
planos são paralelos e distintos e o sistema não tem solução (Figura 4.38).
ii. Exatamente dois vetores normais são paralelos, ou seja, vale uma, e so-
mente uma, equação entre: N1 = αN2, N1 = αN3, N2 = αN3. Neste caso,
exatamente dois planos são paralelos.
Se além de exatamente dois vetores normais serem paralelos, as equações
correspondentes forem proporcionais, então dois planos são coincidentes e
o terceiro corta os dois segundo uma reta. Neste caso o sistema tem infinitas
soluções. Se isto não acontece, então os planos paralelos são distintos e o
sistema não tem solução (Figura 4.40).
iii. Os vetores normais são coplanares e quaisquer dois vetores normais não
são paralelos, ou seja, det(A) = 0 e quaisquer dois vetores normais não
são múltiplos escalares. Neste caso, quaisquer dois planos se interceptam
segundo retas que são paralelas. Com estas condições podem ocorrer dois
casos: os três planos se interceptem segundo uma reta, (Figura 4.41) ou os
planos se interceptem, dois a dois, segundo retas distintas (Figura 4.39).
No primeiro caso, o sistema (4.13) tem infinitas soluções. No segundo caso,
o sistema não tem solução.
Matrizes, Vetores e Geometria Analítica GoBack GoForward Julho 2013
Có
pi
a D
igi
tal
4.3 Posições Relativas de Retas e Planos 291
Exercícios Numéricos (respostas na página 592)
4.3.1. (a) Determine as equações da reta r que é a interseção dos planos:
pi1 : x− 2y + 2z = 0
pi2 : 3x− 5y + 7z = 0.
(b) Qual a posição relativa da reta r e do plano y + z = 0.
4.3.2. Determine a posição relativa das retas r e s
r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(2, 2, 1), ∀ λ ∈ R
s : (x, y, z) = t(1, 1, 0), ∀ t ∈ R.
4.3.3. Sejam r1 : (x, y, z) = (1, 0, 2) + (2t, t, 3t) e r2 : (x, y, z) = (0, 1,−1) + (t, mt, 2mt) duas retas.
(a) Determine m para que as retas sejam coplanares (não sejam reversas).
(b) Para o valor de m encontrado, determine a posição relativa entre r1 e r2.
(c) Determine a equação do plano determinado por r1 e r2.
4.3.4. Sejam a reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + (2t, mt, t) e o plano pi : 2x− y− 2z = 0. Determine o valor de m para
que a reta seja paralela ao plano. Para o valor de m encontradoa reta está contida no plano?
4.3.5. Dê a posição relativa dos seguintes ternos de planos:
(a) 2x + y + z = 1, x + 3y + z = 2, x + y + 4z = 3.
(b) x− 2y + z = 0, 2x− 4y + 2z = 1, x + y = 0.
(c) 2x− y + z = 3, 3x− 2y− z = −1, 2x− y + 3z = 7.
(d) 3x + 2y− z = 8, 2x− 5y + 2z = −3, x− y + z = 1.
(e) 2x− y + 3z = −2, 3x + y + 2z = 4, 4x− 2y + 6z = 3.
(f) −4x + 2y− 4z = 6, 3x + y + 2z = 2, 2x− y + 2z = −3.
(g) 6x− 3y + 9z = 3, 4x− 2y + 6z = 5, 2x− y + 3z = 2.
(h) x− 2y + 3z = 2, 3x + y− 2z = 1, 5x− 3y + 4z = 4.
Julho 2013 GoBack GoForward Reginaldo J. Santos