Aplicação de EDO na Engenharia de Produção

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Aplicação de EDO na Engenharia de Produção
Modelagem via Equação Diferenciais Ordinárias (EDO) da variação da temperatura de um produto no processo de embalagem. 
Lei de resfriamento de Newton
Quando se expõe um corpo de temperatura Tc a um ambiente de temperatura Ta, de forma que Tc ≠ Ta, nota-se que, após algum tempo, o objeto atinge o equilíbrio térmico com o ambiente. 
Comparando os resultados de diferentes situações envolvendo resfriamento de um corpo podemos constatar que a taxa de resfriamento depende de fatores, tais como: 
• a diferença de temperatura entre o corpo e o meio externo;
 • a superfície do corpo exposta; 
• o calor específico da substância que o constitui; 
• as condições do ambiente no qual este corpo foi colocado; 
• o tempo em que o objeto permanece em contato com o ambiente. 
Pode-se representar isto através de uma equação:
∆T = -K* ()* ∆t
onde: 
∆T: variação de temperatura sofrida pelo corpo; 
K: representa um coeficiente de proporcionalidade, que dependerá da superfície exposta, do calor específico do corpo e também é função de características do meio ambiente; 
Tc: temperatura inicial do corpo;
Ta: temperatura ambiente; 
∆t: intervalo de tempo.
Temperatura do produto no processo de embalagem
Estudo em questão:
Um bolo é retirado do forno a uma temperatura de 150 °C, passado 3 minutos essa temperatura cai para 90 °C. Quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C, para que não haja danos ao produto na hora da embalagem?
Modelagem do problema
Seja Tc a temperatura do bolo e Ta do ambiente, pela lei de resfriamento de Newton, temos que:
				
				T(0) = 
 Com isso temos que:
			
Edo de variável separável:
Resolvendo a EDO:
			
			
Temos que para t(0) To = 150 °C
			
Equação que descreve a temperatura em função do tempo:
			
Para achar o valor de K, temos que quando t = 3; T = 90 °C
			
Logo temos a seguinte equação:
			
Qual é o tempo necessário para o bolo atingir a temperatura ideal de 30°C?
			
Sendo assim temos que o tempo ideal para esfriar a fornada de bolo a uma temperatura ideal é aproximadamente 15 minutos.