Livro-Texto Unidade II
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MATEMÁTICA
Unidade II
5 FUNÇÕES
5.1 Conceitos introdutórios
Nesse tópico, alguns conceitos preliminares ao estudo de funções serão apresentados, tais como: 
plano cartesiano e relações entre conjuntos.
5.1.1 Plano cartesiano
O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, denominadas eixo x e y. O ponto 
de cruzamento dessas retas é denominado origem dos eixos, pois representa o início da contagem dos 
eixos x e y e tem o zero como marcador.
Os eixos x e y dividem o plano em quatro áreas, os quadrantes, que são organizados no sentido anti-
horário e numerados em ordem crescente, com início em 1.
A ilustração a seguir apresenta o plano cartesiano e seus principais componentes:
y (eixo das ordenadas)
x (eixo das abscissas)
Ponto de origem
2º quadrante 1º quadrante
4º quadrante3º quadrante
0
Figura 32
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Unidade II
 Observação
O eixo y também é chamado de eixo das ordenadas ou eixo vertical e o 
eixo x também é chamado de eixo das abscissas ou eixo horizontal.
5.1.2 Par ordenado
Um par ordenado (a;b) representa um único ponto no plano cartesiano e vice-versa. O par ordenado 
pode ser representado matematicamente da seguinte forma:
y
b
0 a x
P=(a; b)
Figura 33
 Observação
A notação do ponto P pode ser P = (a;b), P (a;b) ou P \u2194 (a;b).
Observe, na ilustração, alguns exemplos de pontos representados no plano cartesiano:
y
x
C
D
E
B
A
\u20133
\u20132
0
1
2
3
\u20132 1 2
Figura 34
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MATEMÁTICA
A = (1;3) ou A (1;3) ou A \u2194 (1;3).
B = (2;1) ou B (2;1) ou B \u2194 (2;1).
C = (-2;2) ou C (-2;2) ou C \u2194 (-2;2).
D = (-2;-3) ou D (-2;-3) ou D \u2194 (-2;-3).
E = (2;-2) ou E (2;-2) ou E \u2194 (2;-2).
5.1.3 Produto cartesiano (AxB)
O produto cartesiano de AxB é o conjunto de todos os pares ordenados (x;y), tal que x pertença ao 
conjunto A e y ao B, sendo que A e B não podem ser dois conjuntos vazios.
A notação matemática que representa o produto cartesiano é: A x B = {x |x \u2208 A e y \u2208 B}.
Existem diversas formas de representar o produto cartesiano, tais como a notação de conjuntos, o 
diagrama de flechas e o próprio plano cartesiano. Vejamos alguns exemplos:
Dados os conjuntos A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos os seguintes produtos cartesianos:
Exemplo 1
Produto cartesiano AxB
AxB = {(-2;0), (-2;1), (-2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}
O produto cartesiano AxB representado no diagrama de flechas:
AxB
A B
\u20132
3
3
1
0
Figura 35
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Unidade II
O produto cartesiano AxB representado no plano cartesiano:
y
x
\u20133
\u20132
0
1
2
3
\u20132 1 2 3
\u20131
\u20133 \u20131
Figura 36
 Lembrete
O plano cartesiano é formado por duas retas reais perpendiculares, 
denominadas eixo x e y. O ponto de cruzamento dessas retas é denominado 
origem dos eixos, pois representa o início da contagem dos eixos x e y e tem 
o zero como marcador.
Exemplo 2
Produto cartesiano BxA
BxA= {(0;-2), (0;3), (1;-2), (1;3), (3;-2), (3;3)}
O produto cartesiano BxA representado no diagrama de flechas:
BxA
B A
\u20132
3
3
1
0
Figura 37
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MATEMÁTICA
O produto cartesiano BxA representado no plano cartesiano:
y
x
\u20133
\u20132
0
1
2
3
\u20132 1 2 3
\u20131
\u20133 \u20131
Figura 38
Exemplo 3
Produto cartesiano AxA
A2 = AxA = {(-2;-2), (-2;3), (3;-2), (3;3)}
O produto cartesiano AxA representado no diagrama de flechas:
AxB
A B
\u20132
3
\u20132
3
Figura 39
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Unidade II
O produto cartesiano AxA representado no plano cartesiano:
y
x
\u20133
\u20132
0
1
2
3
\u20132 1 2 3
\u20131
\u20133 \u20131
Figura 40
5.1.4 Relações
A relação de A em B é qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB, sendo que A e B não podem 
ser dois conjuntos vazios. Uma relação R de A em B é denotada pelo símbolo R: A \u2192 B.
Por exemplo:
Dados os conjuntos A = {-2;3} e B = {0;1;3}, temos AxB = {(-2;0), (-2;1), (-2;3), (3;0), (3;1), (3;3)}, 
sendo R1, R2 e R3, descritas a seguir, relações de A em B:
R1= {(-2;0), (-2;1), (-2;3)}
R2= {(-2;3), (3;0)}
R3= {(-2;0), (-2;1), (3;1), (3;3)}
Observe que R1, R2 e R3 são subconjuntos do produto cartesiano AxB.
5.1.5 Domínio e imagem
Em uma relação R de A em B, um par ordenado (x;y) associa x a y, no qual y é denominado imagem 
de x em R.
Por exemplo, na relação ilustrada no diagrama a seguir, note que:
\u2022 o 1 do conjunto A está associado ao 0 do conjunto B;
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MATEMÁTICA
\u2022 o 2 do conjunto A está associado ao 4 do conjunto B;
\u2022 o 4 do conjunto A está associado ao 6 e ao 8 do conjunto B.
R: A\u2192B
A B
3
2
1
4
0
2
4
6
8
Figura 41
Assim, podemos dizer que:
\u2022 0 é a imagem de 1;
\u2022 4 é a imagem de 2;
\u2022 6 e 8 são imagens de 4.
Note ainda que o elemento 3 do conjunto A não está associado a qualquer elemento de B e que o 2 
do conjunto B não é imagem de nenhum elemento do conjunto A.
Considerando uma relação R qualquer de A em B, denominam-se domínio e imagem os seguintes 
conjuntos:
\u2022 domínio de R ou D(R) é o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo 
menos um elemento de B: D(R) = {1, 2, 4};
\u2022 imagem de R ou Im(R) é o conjunto de todos os elementos de B que são imagens de pelo menos 
um elemento de A: Im(R) = {0, 4, 6, 8}.
5.2 Conceitos elementares de função
Função é uma relação entre dois conjuntos A e B definida por uma regra de formação f na qual 
cada elemento de A é relacionado a apenas um elemento de B. A função é denotada pela notação 
f: A \u2192 B.
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Unidade II
Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
R1: A\u2192BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 42
Ao adotar o conjunto A como o de partida das setas e o B como o conjunto de chegada das setas, 
temos que:
\u2022 o domínio de R1 é o conjunto de partida (A);
\u2022 o contradomínio de R1 é o conjunto de chegada (B);
\u2022 o conjunto imagem de R1 é um subconjunto do contradomínio composto dos elementos que 
possuem uma relação com os elementos de A, no caso, {1,3,4,5}.
Porém, observe que R1 não é uma função de A em B, pois o elemento 3 do conjunto A não está 
associado a qualquer elemento de B, assim, R1 é apenas uma relação.
Exemplo 2
R3: A\u2192BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 43
Aqui, temos que:
\u2022 o domínio de R2 é o conjunto de partida (A);
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MATEMÁTICA
\u2022 o contradomínio de R2 é o conjunto de chegada (B);
\u2022 o conjunto imagem de R2 também é o conjunto de chegada (B).
Note ainda que R2 também não é uma função de A em B, uma vez que o elemento 4 do conjunto A 
está associado a dois elementos de B, o 4 e o 5, assim, R2 é apenas uma relação.
Exemplo 3
R3: A\u2192BA B
3
2
1
4
3
2
1
4
5
Figura 44
Nesse exemplo, temos que:
\u2022 o domínio de R3 é o conjunto de partida (A);
\u2022 o contradomínio de R3 é o conjunto de chegada (B);
\u2022 o conjunto imagem de R3 é um subconjunto do contradomínio composto pelos elementos que 
possuem uma relação com os elementos de A, no caso, {1,2,3,4}.
Atente para o fato de que R3 é uma função de A em B, pois cada elemento do conjunto A está 
relacionado a um único elemento do conjunto B.
 Lembrete
Se uma relação é uma função de A em B, então A é o domínio da 
função, B é o contradomínio da função e o conjunto imagem da função é 
formado pelos elementos do contradomínio B que estão associados aos do 
domínio A.
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Unidade II
5.2.1 Domínio e imagem: análise gráfica
A imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o domínio. 
Essa variação também é chamada de variação de f.
Imagem
Domínio
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
\u20131,0
1,0 2,0\u20131,0\u20132,0\u20133,0\u20134,0\u20135,0\u20136,0
Figura 45
Teste da reta vertical
Uma curva no plano cartesiano só é um gráfico de uma função se nenhuma reta vertical cortar a 
curva mais de uma vez.
É curva