metodos sistemas lineares

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UNIVERSIDADE PAULISTA
CAMPUS CHÁCARA STO. ANTÔNIO
Engenharia de Produção
Vinicius Alves Medeiros – D415FB-5
Turma: EP6P07
RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES COM A UTILIZAÇÃO DOS MÉTODOS DE CRAMER, GAUSS-JORDAN E GAUSS-SEIDEL 
São Paulo
2019
INTRODUÇÃO
Os três métodos que serão utilizados são respectivamente: Cramer, Gauss-Jordan e Gauss Seidel.
Estes métodos são utilizados para resolução de sistemas lineares.
A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.
Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer.
O método de Gauss-Jordan transforma o sistema dado em um outro diagonal, ou seja, onde todos os elementos fora da diagonal são nulos.
OBJETIVO
Realizar o cálculo do sistema linear abaixo, utilizando os métodos de Cramer, Gauss-Jordan e Gauss-Seidel:
6x+3y+z=1
3x+6y+z=2
X+6y+8z=3
DESENVOLVIMENTO
Método de Cramer
Os valores das incógnitas são calculados primeiramente com a utilização de uma matriz.
Com os sistemas lineares:
6x+3y+z=1
3x+6y+z=2
X+6y+8z=3
Transpassando-se para a matriz, temos:
	
	X1
	X2
	X3
	b
	1
	6
	3
	1
	1
	2
	3
	6
	1
	2
	3
	1
	6
	8
	3
Escreva a matriz principal e encontre seu determinante:
	
	X1
	X2
	X3
	1
	6
	3
	1
	2
	3
	6
	1
	3
	1
	6
	8
Δ= 195
Troque a 1°coluna da matriz principal com o vetor de soluções e encontre o seu determinante:
	
	X1
	X2
	X3
	1
	1
	3
	1
	2
	2
	6
	1
	3
	3
	6
	8
Δ1= -3
Troque a 2° coluna da matriz principal com o vetor de soluções e encontre o seu determinante:
	
	X1
	X2
	X3
	1
	6
	1
	1
	2
	3
	2
	1
	3
	1
	3
	8
Δ2= 62
Troque a 3° coluna da matriz principal com o vetor de soluções e encontre o seu determinante:
	
	X1
	X2
	X3
	1
	6
	3
	1
	2
	3
	6
	2
	3
	1
	6
	3
Δ3= 27
Temos assim:
X1= Δ1/Δ=-1/65
X2= Δ2/Δ=62/195
X3=Δ3/Δ=9/65
Método de Gauss-Jordan
Neste método também utilizamos a matriz para resolver sistemas lineares da seguinte maneira:
Transpassando-se para a matriz, temos:
	
	X1
	X2
	X3
	b
	1
	6
	3
	1
	1
	2
	3
	6
	1
	2
	3
	1
	6
	8
	3
Encontre o pivô* da 1°coluna e troque a terceira linha com a primeira:
	
	X1
	X2
	X3
	b
	1
	1*
	6
	8
	3
	2
	3
	6
	1
	2
	3
	6
	3
	1
	1
Elimine a primeira coluna:
	
	X1
	X2
	X3
	b
	1
	1
	6
	8
	3
	2
	0
	-12
	-23
	-7
	3
	0
	-33
	-47
	-17
Faça o pivô na 2°coluna dividindo a 2°linha por -12:
	
	X1
	X2
	X3
	b
	1
	1
	6
	8
	3
	2
	0
	1
	23/12
	7/12
	3
	0
	-33
	-47
	-17
Elimine a 2° coluna:
	
	X1
	X2
	X3
	B
	1
	1
	0
	-7/2
	-1/2
	2
	0
	1
	23/12
	7/12
	3
	0
	0
	65/4
	9/4
Faça o pivô na 3° coluna dividindo a 3°linha por (65/4):
	
	X1
	X2
	X3
	B
	1
	1
	0
	-7/2
	-1/2
	2
	0
	1
	23/12
	7/12
	3
	0
	0
	1
	9/65
Elimine a 3° coluna:
	
	X1
	X2
	X3
	B
	1
	1
	0
	0
	-1/65
	2
	0
	1
	0
	62/195
	3
	0
	0
	1
	9/65
 
Temos assim:
X1=-1/65
X2=62/195
X3=9/65
RESULTADO
Método de Cramer : 
X1= -1/65
X2= 62/195
X3=9/65
Método de Gauss-Jordan:
X1=-1/65
X2=62/195
X3=9/65
CONCLUSÃO
Verificamos diante desse trabalho que existem diferentes métodos, e cada um tem a sua particularidade e usabilidade. Alguns possuem características mais simples enquanto outros possuem funções mais complexas. Observamos também que com cada método tem a sua maneira de tratamento e entendimento.