Diagonalização GAAL 2019
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Diagonalização GAAL 2019


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Licenciatura em Matema´tica \u2013 EAD \u2013 UFMG
A´lgebra Linear II \u2013
Matrizes Ortogonais
Definic¸a\u2dco 1 Uma matriz ortogonal e´ uma matriz quadrada A tal que a inversa de A e´ a
matriz transposta de A, isto e´
A\u22121 = At
Observac¸a\u2dco 2 Uma matriz quadrada e´ ortogonal se e somente se
AAt = AtA = I,
onde I e´ matriz identidade.
Teorema 3 Seja A uma matriz quadrada de tamanho n × n, as seguintes afirmac¸o\u2dces sa\u2dco
equivalentes:
a) A e´ ortogonal
b) Os vetores-linhas de A formam um conjunto ortonormal de Rn em relac¸a\u2dco ao produto
interno euclidiano.
Prova:
Considere a matriz AAt, observe que a entrada na i-e´sima linha e j-e´sima coluna desta
matriz e´ o produto escalar do i-e´simo vetor-linha de A com o j-e´simo vetor-coluna de At.
Assim se r1, r2, · · · , rn sa\u2dco os vetores linhas de A, enta\u2dco o produto AAt pode-se escrever
como AAt =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
r1 · r1 r1 · r2 · · · r2 · rn
r2 · r1 r2 · r2 · · · r2 · rn
...
...
...
rn · r1 rn · r2 · · · rn · rn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Assim AAt = I se e somente se, r1 · r1 = r2 · r2 = · = rn · rn = 1 e ri · rj = 0 para i 6= j.
E esto e´ va´lido se e somente se {r1, r2, · · · rn} e´ um conjunto ortonormal.
Observac¸a\u2dco 4 Se A e´ ortogonal, enta\u2dco det(A) = 1 ou det(A) = \u22121.
Autovalores e Autovetores
Definic¸a\u2dco 5 Se A e´ uma matriz n × n, enta\u2dco um vetor na\u2dco nulos x em Rn e´ chamado um
autovetor de A se x e´ um mu´ltiplo escalar de x., ou seja,
Ax = \u3bbx
para algum escalar \u3bb. O escalar \u3bb e´ chamado um autovalor de A e dizemos que x e´ um
autovetor associado a \u3bb.
Para encontrar os autovalores de uma matriz A de tamanho n×n reescrevemos Ax = \u3bbx
como
(A\u2212 \u3bbI)x = O.
Para \u3bb ser um autovalor, precisa haver uma soluc¸a\u2dco na\u2dco nula desta equac¸a\u2dco. E esta soluc¸a\u2dco
tem soluc¸a\u2dco se, e somente se
det(\u3bbI \u2212 A) = O.
Os escalares que satisfazem esta equac¸a\u2dco sa\u2dco os autovalores de A. det(\u3bbI \u2212 A) e´ um
polino\u2c6mio em \u3bb chamado polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A.
Se A e´ uma matriz n× n, o polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A tem grau n e e´ da forma
p(\u3bb) = \u3bbn + cn\u22121\u3bbn\u22121 + cn\u22122\u3bbn\u22122 + · · ·+ c0
e pelo Teorema Fundamental del A´lgebra tem no ma´ximo n ra´\u131zes distintas.
Exemplo 6 Encontre os autovalores de A =
\uf8eb\uf8ed 0 1 00 0 1
4 \u221217 8
\uf8f6\uf8f8 .
O polino\u2c6mio caracter´\u131stico de A e´
det(\u3bbI \u2212 A) = det
\uf8eb\uf8ed \u3bb \u22121 00 \u3bb \u22121
\u22124 17 \u3bb\u2212 8
\uf8f6\uf8f8 = \u3bb3 \u2212 8\u3bb2 + 17\u3bb\u2212 4.
Os autovalores de A satisfazem a equac¸a\u2dco \u3bb3 \u2212 8\u3bb2 + 17\u3bb\u2212 4 = 0.
Para resolver esta equac¸a\u2dco cu´bica, comec¸amos buscando soluc¸o\u2dces inteiras. Para isto lem-
bremos que todas as soluc¸o\u2dces inteiras (se houver) de uma equac¸a\u2dco polinomial
\u3bbn + cn\u22121\u3bbn\u22121 + cn\u22122\u3bbn\u22122 + · · ·+ c0 = 0
com coeficientes inteiros, sa\u2dco divisores do termos constante c0. Assim as poss´\u131veis soluc¸o\u2dces
sa\u2dco os divisores de -4, ou seja ±1,±2,±4. Com isso podemos ver que \u3bb = 4 e´ soluc¸a\u2dco inteira
e portanto \u3bb\u2212 4 dever ser um fator deste p(\u3bb) e com isto temos que
p(\u3bb) = (\u3bb\u2212 4)(\u3bb2 \u2212 4\u3bb+ 1)
Assim os autovalores de A sa\u2dco \u3bb = 4, \u3bb = 2 +
\u221a
3 e \u3bb = 2\u2212\u221a3.
Encontrando bases para o Auto-espac¸o
Os autovetores de A associados a um autovalor \u3bb sa\u2dco os vetores na\u2dco nulos x que satisfazem a
equac¸a\u2dco Ax = \u3bbx. Equivalentemente, os autovetores associados a \u3bb sa\u2dco os vetores na\u2dco nulos
no espac¸o soluc¸a\u2dco de (\u3bbI \u2212 A)x = 0. Este espac¸o e´ chamado de autoespac¸o.
Ilustremos com um exemplo:
2
Exemplo 7 Consideremos
A =
\uf8eb\uf8ed 0 0 \u221221 2 1
1 0 3
\uf8f6\uf8f8 .
Observe que os autovalores de A sa\u2dco as ra´\u131zes do polino\u2c6mio definido por det(A \u2212 \u3bbI.
Encontremos enta\u2dco este polino\u2c6mio:
det(A\u2212 \u3bbI) = det
\uf8eb\uf8ed 0\u2212 \u3bb 0 \u221221 2\u2212 \u3bb 1
1 0 3\u2212 \u3bb
\uf8f6\uf8f8 = det(2\u2212 \u3bb) · det( \u2212\u3bb \u22122
1 3\u2212 \u3bb
)
Assim
det(A\u2212 \u3bbI) = (2\u2212 \u3bb)[(\u2212\u3bb)(3\u2212 \u3bb) + 2] = (2\u2212 \u3bb)[\u3bb2 \u2212 3\u3bb+ 2] = \u2212(\u3bb\u2212 2)2(\u3bb\u2212 1)]
(Observe que para encontrar o determinante eu usei a coluna 2 que tem 2 zeros como
entrada.)
Assim o polino\u2c6mio caracter´\u131stico e´
p(\u3bb) = \u2212(\u3bb\u2212 2)2(\u3bb\u2212 1)
E as ra´\u131zes sa\u2dco \u3bb = 1 e \u3bb = 2.
Agora vamos encontrar os autovetores. Para isto, temos que encontrar o ma´ximo nu´mero
de vetores L.I que esta\u2dco associados a cada autovalor, enta\u2dco encontremos primeiro todos os
autovetores associados a \u3bb = 1
Sabemos que x =
\uf8ee\uf8f0 x1x2
x3
\uf8f9\uf8fb . e´ um autovetor de A associado a \u3bb se, e somente se x e´ uma
soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial de (\u3bbI \u2212 A)x = 0, ou seja se\uf8eb\uf8ed \u3bb 0 2\u22121 \u3bb\u2212 2 \u22121
\u22121 0 \u3bb\u2212 3
\uf8f6\uf8f8\uf8eb\uf8ed xx2
x3
\uf8f6\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ed 00
0
\uf8f6\uf8f8
Para \u3bb = 2 temos enta\u2dco \uf8eb\uf8ed 2 0 2\u22121 0 \u22121
\u22121 0 \u22121
\uf8f6\uf8f8\uf8eb\uf8ed x1x2
x3
\uf8f6\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ed 00
0
\uf8f6\uf8f8
Resolvendo o sistema temos x1 = \u2212\u3b1, x2 = \u3b2 e x3 = \u3b1.
Assim os autovetores na\u2dco nulos de A associados a \u3bb = 2 sa\u2dco da forma
x =
\uf8ee\uf8f0 \u2212\u3b1\u3b2
\u3b1
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \u2212\u3b10
\u3b1
\uf8f9\uf8fb+
\uf8ee\uf8f0 0\u3b2
0
\uf8f9\uf8fb = \u3b1
\uf8ee\uf8f0 \u221210
1
\uf8f9\uf8fb+ \u3b2
\uf8ee\uf8f0 01
0
\uf8f9\uf8fb
3
Como
\uf8ee\uf8f0 \u221210
1
\uf8f9\uf8fb e
\uf8ee\uf8f0 01
0
\uf8f9\uf8fb sa\u2dco linearmente independentes, estes vetores formam uma base
do auto-espac¸o associado a \u3bb = 2.
Assim ao autovalor
lambda = 2
esta\u2dco associados os vetores L.I
\uf8ee\uf8f0 \u221210
1
\uf8f9\uf8fb e
\uf8ee\uf8f0 01
0
\uf8f9\uf8fb e eles sera\u2dco colunas da matriz P no processo
de diagonalizac¸a\u2dco de A.
Se \u3bb = 1 temos \uf8eb\uf8ed 1 0 2\u22121 \u22121 \u22121
\u22121 0 \u22122
\uf8f6\uf8f8\uf8eb\uf8ed x1x2
x3
\uf8f6\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ed 00
0
\uf8f6\uf8f8
Resolvendo o sistema temos x1 = \u22122\u3b1, x2 = \u3b1 e x3 = \u3b1.
Assim os autovetores na\u2dco nulos de A associados a \u3bb = 2 sa\u2dco da forma
x =
\uf8ee\uf8f0 \u22122\u3b1\u3b1
\u3b1
\uf8f9\uf8fb = \u3b1
\uf8ee\uf8f0 \u221221
1
\uf8f9\uf8fb
e por tanto
\uf8ee\uf8f0 \u221221
1
\uf8f9\uf8fb e´ uma base para o autoespac¸o associado a \u3bb = 1.
Diagonalizac¸a\u2dco
A pergunta natural agora e´: Dada uma matriz A de tamanho n× n, existe uma base de Rn
consistindo do autovetores de A?. Estas bases podem ser usadas para estudar propriedade
geome´tricas de A e para simplificar muitas contas envolvendo A.
Definic¸a\u2dco 8 Uma matriz quadrada e´ dita diagonaliza´vel se existe uma matriz invert´\u131vel
P tal que P\u22121AP e´ uma matriz diagonal.
Teorema 9 Se A e´ uma matriz n× n, enta\u2dco sa\u2dco equivalentes as seguintes afirmac¸o\u2dces:
a) A e´ diagonaliza´vel
b) A tem n autovetores linearmente independentes.
O teorema anterior nos diz que uma matriz An×n com n autovetores L.I e´ diagonalizac¸a\u2dco.
Que procedimento usamos para diagonalizar uma matriz? isso vemos a seguir:
Passo1 Encontre n autovetores L.I de A digamos v1, v2, · · · vn
Passo2 Forme a matriz P com os vetores-colunas v1, v2, · · · vn
Passo3 A matriz P\u22121AP sera´ uma matriz diagonal com entradas \u3bb1, \u3bb2, · · ·\u3bbn na diagonal
principal onde \u3bbi e´ o autovalor associado a vi, para i = 1, 2, · · ·n.
4
No exemplo anterior encontramos a seguintes bases para os autoespac¸os:
Para \u3bb = 2 v1 = (\u22121, 0, 1) e v2 = (0, 1, 0)
Para \u3bb = 1 v3 = (\u22122, 1, 1).
Encontramos 3 vetores de base no total, portanto A e´ diagonaliza´vel e
P =
\uf8eb\uf8ed \u22121 0 \u221220 1 1
1 0 1
\uf8f6\uf8f8
diagonaliza A. De fato,
P\u22121AP =
\uf8eb\uf8ed 1 0 21 1 1
\u22121 0 \u22121
\uf8f6\uf8f8\uf8eb\uf8ed 0 0 \u221221 2 1
1 0 3
\uf8f6\uf8f8\uf8eb\uf8ed \u22121 0 \u221220 1 1
1 0 1
\uf8f6\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ed 2 0 00 2 0
0 0 1
\uf8f6\uf8f8
Observac¸a\u2dco 10 Na\u2dco existe uma ordem determinada para as colunas de P. Como a i-e´sima
entrada diagonal de P\u22121AP e´ um autovalor para o i-e´simo vetor-coluna de P, mudando a
ordem das colunas de P so´ muda a ordem dos autovalores na diagonal P\u22121AP.
Teorema 11 Sev1, v2, · · · vk sa\u2dco autovetores de A associados a autovalores distinto \u3bb1, \u3bb2, · · ·\u3bbk,
enta\u2dco {v1, v2, · · · vk} e´ um conjunto linearmente independente.
Teorema 12 Se A e´ uma matriz de tamanho n× n tem n autovalores distintos, enta\u2dco A e´
diagonaliza´vel.
Prova:
Se v1, v2, · · · vk sa\u2dco autovetores associados a autovalores distintos \u3bb1, \u3bb2, · · ·\u3bbk enta\u2dco pelo
teorema anterior estes vetores sa\u2dco L.I. Portanto A e´ diagonaliza´vel
Diagonalizac¸a\u2dco de matrizes sime´tricas
Queremos agora identificar uma co\u2c6nica (curva no plano descrita por uma equac¸a\u2dco de segundo
grau em x e y).
Exemplo 13 Considere o problema de identificar uma co\u2c6nica representada pela equac¸a\u2dco
3x2 + 2xy + 3y2 = 4
Usando matrizes esta equac¸a\u2dco pode ser escrita como
(
3x+ y x+ 3y
)( x
y
)
= 4
Ou
(
x y
)( 3 1
1 3
)(
x
y
)
= 4
5
Ou ainda
X tAX = 4
onde A