Apostila completa RM1
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RESISTÊNCIA 
DOS 
MATERIAIS I 
 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 AULA 1 \u2013 RESISTENCIA DOS MATERIAIS I \u2013 ENGENHARIA CIVIL 
CAPÍTULO 1-TENSÃO, DEFORMAÇÃO, ELASTICIDADE DOS MATERIAIS 
 
1.1 \u2013 INTRODUÇÃO 
A resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre as 
cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que agem 
no interior do corpo. Esse assunto também envolve o cálculo das deformações do corpo e 
proporciona o estudo de sua estabilidade quando sujeito a forças externas. 
A teoria da elasticidade e a resistência dos materiais são duas disciplinas com 
objetivos comuns. Ambas estudam a resistência e a rigidez de elementos estruturais 
submetidos à ação de cargas externas em equilíbrio estático. 
0\uf03d\uf0e5F
(forças de translação) 
\uf0de
0\uf03d\uf0e5 xF
, 
0\uf03d\uf0e5 yF
, 
0\uf03d\uf0e5 zF
 
0\uf03d\uf0e5M
(forças de rotação) 
\uf0de
0\uf03d\uf0e5 xM
, 
0\uf03d\uf0e5 yM
, 
0\uf03d\uf0e5 zM
 
A teoria da elasticidade resolve os problemas da engenharia estrutural na sua forma 
mais geral quanto à geometria, condições de vinculação e ações externas consideradas. Isso 
leva a um rigor de cálculo que necessita de uma análise matemática mais complexa, sendo 
necessário então dos métodos numéricos aproximados, tais como, as diferenças finitas, os 
elementos finitos, entre outros. 
A resistência dos materiais limita o seu campo de aplicação para certos tipos de 
elementos estruturais, tais como, as vigas, os pilares ou colunas, as lajes ou placas, etc. Essa 
restrição prévia quanto à geometria, condições de vinculação e às ações externas permite uma 
análise simplificada, adequada para a solução analítica da maioria dos problemas da 
engenharia estrutural. 
Em qualquer caso as duas disciplinas mencionadas utilizam conceitos básicos comuns, 
que são conceitos de força, de tensão, de deformação, dos deslocamentos, etc. Neste capítulo 
serão estudados alguns desses conceitos básicos que serão utilizados ao longo desta disciplina 
e à resistência dos materiais II. 
A análise das tensões e das deformações que será utilizada nestas disciplinas considera 
que os materiais componentes da estrutura se comportem mecanicamente de forma elástica e 
linear. 
 
 
 
 
 
1.2 \u2013 CONCEITO DE TENSÃO 
Dado um corpo em equilíbrio estático, o mesmo pode ser submetido a vários tipos de 
cargas externas. Estas cargas provocam na estrutura os esforços internos. Ao analisar uma 
seção transversal qualquer estes esforços geram as tensões nas mesmas. 
 
 
A intensidade da força interna sobre um plano específico (área) que passa por um 
ponto é denominado tensão. 
Onde: 
Fd
\uf072 = força diferencial 
 dA= diferencial de área 
dA
Fd
tP
\uf072
\uf072
\uf03d
 
\uf0de
Conceito matemático de tensão em um ponto da estrutura 
 
A intensidade da força por unidade de área, que age perpendicularmente à área é 
definida como tensão normal (
\uf073
) e a que age tangente à área é definida como tensão 
tangencial ou tensão de cisalhamento (
\uf074
) 
 
Então de modo simplificado: 
 tensão normal: 
A
N
\uf03d\uf073
 
tensão tangencial: 
A
V
\uf03d\uf074
 
onde: N=força normal e V=força cortante ou de cisalhamento 
 
 
SEÇÃO \u201cS\u201d 
 
\uf073 \uf0de
Tensão normal à seção \u201cS\u201d que atua no ponto P (tração ou compressão) 
\uf074 \uf0de
Tensão tangencial ou de cisalhamento, tangente a seção, que atua no ponto P 
 
UNIDADES DE TENSÃO 
Kgf/cm²; tf/m²; KN/m²; N/mm²=MPa 
 
1.3 \u2013 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO TENSIONAL 
 
Elemento diferencial de volume: 
 
CAUCHY
\uf0de
),,,( zyxjiij \uf0ae\uf074
 
i \uf0de
eixo ortogonal a seção 
j
\uf0de
direção da tensão tangencial 
xxx \uf073\uf074 \uf03d
 
yyy \uf073\uf074 \uf03d
 
zzz \uf073\uf074 \uf03d
 
xy\uf074
 
yx\uf074
 
zx\uf074
 
²²² \uf073\uf074 \uf02b\uf03dPt
\uf072
dzdydxdV ..\uf03d
incógnitas
9
xz\uf074
 
yz\uf074
 
zy\uf074
 
EQUAÇÕES DE EQUIBÍBRIO DE CAUCHY 
0\uf03d\uf0e5 xF
\uf0de
x\uf073
, 
0\uf03d\uf0e5 yF
\uf0de
y\uf073
, 
0\uf03d\uf0e5 zF
\uf0de
z\uf073
 
0\uf03d\uf0e5 xM
\uf0de
 
zyyz \uf074\uf074 \uf03d
 
0\uf03d\uf0e5 yM
\uf0de
zxxz \uf074\uf074 \uf03d
 TEOREMA DE CAUCHY 
 
0\uf03d\uf0e5 zM
\uf0de
yxxy \uf074\uf074 \uf03d
 
jiij \uf074\uf074 \uf03d
 
 
PRINCÍPIO DA RECIPROCIDADE DE CAUCHY 
\u201cNos planos perpendiculares entre si, as componentes das tensões tangenciais que 
concorrem à mesma aresta são iguais ou se aproximam ou se afastam da aresta.\u201d 
 
1.4 \u2013 ESTADO PLANO DE TENSÕES - CASOS PARTICULARES 
O estado plano de tensões em um ponto é representado exclusivamente por três 
componentes que agem sobre um elemento que tenha uma orientação específica neste ponto. 
 
Tensões somente no plano xy 
 
 
 
incógnitas
6
x\uf073
y\uf073
yxxy \uf074\uf074 \uf03d
incógnitas
3
 
Tensões Principais: 
MÁX
\uf073
, 
MIN\uf073
, 
MÁX
\uf074
, 
MIN\uf074
 
(Convenção positiva 
\uf0c5
 para tensões 
x\uf073
, 
y\uf073
 e 
xy\uf074
 e ângulo 
\uf061
) 
 
\uf0e5 \uf02b\uf02b\uf03d\uf0de\uf03d \uf061\uf061\uf074\uf061\uf073\uf061\uf073\uf073 cos.2²²cos0' sensenF xyyxax 
\uf0e5 \uf02d\uf02b\uf02d\uf03d\uf0de\uf03d \uf061\uf061\uf073\uf073\uf061\uf061\uf074\uf074 cos.)()²²(cos0' sensenF xyxyay 
 
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6
\uf02d
\uf03d\uf0de
\uf02d
\uf03d\uf0de\uf03d
yx
xy
yx
xya arctgtg
d
d
\uf073\uf073
\uf074\uf061\uf073\uf073
\uf074\uf061\uf061
\uf073 2
2
12
)2(0 11
 
2
2
22
xy
yxyx
MIN
MÁX
\uf074\uf073\uf073\uf073\uf073\uf073 \uf02b\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf0b1
\uf02b
\uf03d
 
\uf0f7
\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf02d\uf03d\uf0de
\uf02d
\uf02d\uf03d\uf0de\uf03d
xy
yx
xy
yxa arctgtg
d
d
\uf074
\uf073\uf073\uf061\uf074
\uf073\uf073\uf061\uf061
\uf074
2
)(
2
1
2
)(
)2(0 22
 
2
2
2
xy
yx
MIN
MÁX
\uf074
\uf073\uf073
\uf074 \uf02b\uf0f7\uf0f7
\uf0f8
\uf0f6
\uf0e7
\uf0e7
\uf0e8
\uf0e6 \uf02d
\uf0b1\uf03d
 
 
EQUAÇÕES DE VERIFICAÇÃO 
o4521 \uf03d\uf02b \uf061\uf061
 
Onde: 
1\uf061
\uf0de
ângulo que define o plano das tensões 
MÁX
\uf073
 e 
MIN\uf073
 
2\uf061
\uf0de
ângulo que define o plano das tensões 
MÁX
\uf074
 e 
MIN\uf074
 
MINMÁXyx
\uf073\uf073\uf073\uf073 \uf02b\uf03d\uf02b
 
 
EXERCÍCIO 
1) Determinar 
MÁX
\uf073
, 
MIN\uf073
, 
MÁX
\uf074
, 
MIN\uf074
, 
1\uf061
 e 
2\uf061
 para o ponto diferencial abaixo: 
(MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se em um determinado ponto da estrutura atua o estado tensional indicado abaixo, 
determinar as tensões normais e tangenciais, máximas e mínimas, e os respectivos planos 
onde as mesmas ocorrem. 
 (MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Se em um determinado ponto da estrutura atua o estado tensional indicado abaixo, 
determinar as tensões normais e tangenciais, máximas e mínimas, e os respectivos planos 
onde as mesmas ocorrem. 
 
(MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Se em um determinado ponto da estrutura atua o estado tensional indicado abaixo, 
determinar as tensões normais e tangenciais, máximas e mínimas, e os respectivos planos 
onde as mesmas ocorrem. 
 
5) Se em um determinado ponto da estrutura atua o estado tensional indicado abaixo, 
determinar as tensões normais e tangenciais, máximas e mínimas, e os respectivos planos 
onde as mesmas ocorrem. 
(MPa) 
 
 
 
 
 
 
 
6) Se em um determinado ponto da estrutura atua o estado tensional indicado abaixo, 
determinar as tensões normais e tangenciais, máximas e mínimas, e os respectivos planos 
onde as mesmas ocorrem. 
(MPa) 
 
 
1.5 \u2013 PROCESSO GRÁFICO PARA OBTENÇÃO DAS TENSÕES PRINCIPAIS 
E PLANOS (CÍRCULO DE MOHR) 
(MATERIAL P/ AULA: papel milimetrado A3, compasso, régua e transferidor) 
ETAPAS PARA CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO DE MOHR 
1) Desenhar os eixos cartesianos (abscissas 
\uf0de
 
\uf073
 e ordenadas 
\uf0de
), 
2) Determinar os pontos A (
x\uf073
,
xy\uf074
) e B (
y\uf073
,-
xy\uf074
), 
3) Definir escala para eixos 
\uf073
 e 
\uf074
, 
4) Marcar os pontos A e B no gráfico, 
5) Unir os pontos A e B com uma reta (diagonal do círculo de Mohr), 
6) Ponto médio da reta AB é o centro do círculo de Mohr e está situado sobre o eixo 
de 
\uf073
, 
7) Desenhar o círculo de Mohr que passa por A e B, cujo centro é o ponto C. 
 
EXTRAIR TENSÕES DE PLANOS PRINCIPAIS (
MÁX
\uf073
,
MIN
\uf073
,
1\uf061
,
MÁX
\uf074