MEII-AP1 Reunidas 2020.1

Prévia do material em texto

MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Primeira Avaliação Presencial - 1o. semestre de 2011 - Profa. Ana Maria Farias
1. Na Figura 1 é dado o gráfico de uma função f(x) .
Figura 1: Função de densidade para a questão 1
(a) (0,5 ponto) Sabendo que f(3) = k, determine o valor de k para que f(x) seja a função
de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X.
Solução
• k ≥ 0
• A área sob a curva deve ser 1: 12 × (3− 1)× k = 1. Logo, k = 1.
(b) (0,5 ponto) Mostre que a expressão de f(x) é dada por f(x) =
x− 1
2
para 1 ≤ x ≤ 3.
Solução
f(x) = ax+ b− reta que passa pelos pontos (3, 1) e (1, 0)½
3a+ b = 1
1a+ b = 0
⇒ 2a = 1⇒ a = 1
2
⇒ b = −1
2
Logo
f(x) =
½ x
2 −
1
2 =
x−1
2 1 ≤ x ≤ 3
0 x < 1 ou x > 3
(c) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 2, 5).
Solução
Essa é a área sombreada na Figura 2.
Pr(X < 2, 5) =
1
2
× (2, 5− 1)× 2, 5− 1
2
=
1.52
4
= 0, 5625
(d) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 2, 0 |X < 2, 5).
Solução
Pr(X < 2, 0 |X < 2, 5) = Pr [(X < 2, 5) ∩ (X < 2, 0)]
Pr(X < 2, 5)
=
Pr(X < 2, 0)
0, 5625
=
1
2 × (2− 1)× 2−12
0, 5625
=
0.25
0.5625
' 0, 4444
1
Figura 2: P (X < 2, 5) - Solução da questão 1(c)
2. Em um grande escritório de contabilidade, o tempo de execução de determinada tarefa segue
uma distribuição Normal com média de 12 minutos e desvio padrão de 2 minutos. Para o
andamento do serviço dentro das metas estabelecidas pelo escritório, o tempo de execução
dessa tarefa deve estar entre 10 e 17 minutos. A probabilidade de erro entre os funcionários
que executam a tarefa em menos de 10 minutos é de 15%. Essa probabilidade cai para 4%
entre os que executam a tarefa em mais de 17 minutos e para os que executam dentro dos
limites de 10 e 17 minutos, a probabilidade de erro é de 7%. Sorteia-se um registro referente
à execução dessa tarefa. Certifique-se de definir claramente os eventos em análise.
Solução
Seja T a variável que representa o tempo de execução da tarefa. Então, T ∼ N(12; 22).
Sejam os eventos R = “tempo de execução menor que 10 minutos”; N =“tempo de execução
entre 10 minutos e 17 minutos”; L =“tempo de execução maior que 17 minutos”; E =“tarefa
com erro”; C =“tarefa certa”. O diagrama de árvore a seguir auxilia na solução da questão.
Figura 3: Diagrama de árvore do espaço amostral para a questão 2
No enunciado temos as seguintes probabilidades:
Pr(E|R) = 0, 15 Pr(E|N) = 0, 07 Pr(E|L) = 0, 04
(a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de a tarefa ter sido executada em menos de 10
minutos?
2
Solução
Pr(R) = Pr(T < 10) = Pr(Z < −1) = Pr(Z > 1) = 0, 5−tab(1) = 0, 5−0, 34134 = 0, 15866
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de a tarefa ter sido executada emmais de 17 minutos?
Solução
Pr(L) = Pr(T > 17) = Pr(Z > 2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 49379 = 0, 00621
(c) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de o registro ser de uma tarefa executada com erro?
Solução
Pr(E) = Pr(R ∩E) + Pr(L ∩E) + Pr(N ∩E) =
= 0.15866× 0.15 + 0.00621× 0.04 + (1− 0.15866− 0.00621)× 0.07
= 0.023799 + 0, 000248 + 0, 058459 = 0, 082506
(d) (0,5 ponto) Se o registro refere-se a uma tarefa executada com erro, qual é a probabili-
dade de que tenha sido executada em mais de 17 minutos?
Solução
Pr(L|E) = Pr(L ∩E)
Pr(E)
=
0.00621× 0.04
0.082506
= 0, 003011
3. Seja X ∼ N(30; 22). Calcule:
(a) (0,5 ponto) Pr(X ≥ 32)
Pr(X ≥ 32) = Pr
µ
Z ≥ 32− 30
2
¶
= Pr(Z ≥ 1, 0) = 0, 5−tab(1, 0) = 0, 5−0, 34134 = 0, 15866
(b) (0,5 ponto) Pr(X < 24).
Pr(X < 24) = Pr
µ
Z <
24− 30
2
¶
= Pr(Z < −3, 0) = Pr(Z > 3, 0) = 0, 5−tab(3, 0) = 0, 5−0, 49868 =
(c) (0,5 ponto) Ache o valor de k tal que Pr(X < k) = 0, 10.
Solução
Pr(X < k) = 0, 10⇔ Pr
µ
Z <
k − 30
2
¶
= 0, 10
⇔ Pr
µ
Z > − k − 30
2
¶
= 0, 10⇔ tab
µ
− k − 30
2
¶
= 0, 40
⇔ 30− k
2
= 1, 28⇔ k = 27, 44
(d) (0,5 ponto) Extrai-se uma amostra aleatória de tamanho n = 16. Calcule a probabilidade
de a média amostral ser maior que 32.
Solução
Temos que X ∼ N
µ
30;
22
16
¶
Pr(X > 32) = Pr
Ã
Z >
32− 30
1
2
!
= Pr(Z ≥ 4) = 0, 5−tab(4) = 0, 5−0, 49997 = 0, 00003
3
4. Em uma sala, há 4 pessoas, uma do sexo feminino (F1) e três do sexo masculino (M1,M2,M3).
(a) (0,5 ponto) Liste todas as 16 possíveis amostras aleatórias simples de tamanho 2 re-
tiradas com reposição dessa população e, para cada uma, calcule a proporção amostral
de mulheres. Alguns exemplos de amostra são (F1, F1); (F1,M1), (F1,M2) ..Coloque as
informações em forma de tabela para facilitar a solução do exercício.
Solução
Amostra bp Amostra
(F1, F1) 1,0 (M2, F1) 0,5
(F1,M1) 0,5 (M2,M1) 0,0
(F1,M2) 0,5 (M2,M2) 0,0
(F1,M3) 0,5 (M2,M3) 0,0
(M1, F1) 0,5 (M3, F1) 0,5
(M1,M1) 0,0 (M3,M1) 0,0
(M1,M2) 0,0 (M3,M2) 0,0
(M1,M3) 0,0 (M3,M3) 0,0
(b) (0,5 ponto) Construa a distribuição amostral da proporção amostral de mulheres.
Solução
x 0,0 0,5 1,0
Pr( bP = x) 9/16 6/16 1/16
(c) (0,5 ponto) Calcule a esperança (média) dessa distribuição.
Solução
E( bP ) = 0, 5× 6
16
+ 1× 1
16
=
1
4
= 0, 25
(d) (0,5 ponto) Mostre que a proporção amostral é um estimador não viesado para a pro-
porção populacional.
Solução
A proporção populacional é p = 0, 25. Como E( bP ) = p, resulta que bP é um estimador
não viesado para p.
5. (2,0 pontos) De uma população normal com desvio padrão 5, extrai-se uma amostra de
tamanho 64, que acusa uma média amostral de 12,8. Obtenha um intervalo de confiança para
a média populacional com nível de confiança de 90%.
Solução
1− α = 90% =⇒ zα/2 = 1, 64
� = 1.64× 5√
64
= 1, 025
e o intervalo de confiança é
[12, 8− 1, 025; 12, 8 + 1, 025] = [11, 775 ; 13, 825]
4
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Gabarito da AP1 - 2o. semestre de 2011 - Profa. Ana Maria Farias
1. Na Figura 1 é dado o gráfico de uma função f(x) .
Figura 1: Função de densidade para a questão 1
(a) (0,5 ponto) Sabendo que f(1) = 3k e f(3) = k, determine o valor de k para que f(x)
seja a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X.
Solução
• k ≥ 0− OK, pois o gráfico está no primeiro quadrante, onde y = f(x) > 0.
• A área sob a curva deve ser 1: 12 × (3k + k)× 2 = 1. Logo, k = 14 .
(b) (0,5 ponto) Determine a expressão de f(x).
Solução
f(x) = ax+ b− reta que passa pelos pontos (1, 34) e (3,
1
4)½
1a+ b = 34
3a+ b = 14
⇒ a = −1
4
⇒ b = 1 ∴ f(x) =
½ −x+4
4 1 ≤ x ≤ 3
0 x < 1 ou x > 3
(c) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 2, 5).
Solução
Essa é a área sombreada na Figura 2.
Figura 2: P (X < 2, 5) - Solução da questão 1(c)
1
Pr(X < 2, 5) =
∙
f(2, 5) +
3
4
¸
× 2, 5− 1
2
=
∙µ
−2.5 + 4
4
¶
+
3
4
¸
× 0.75 = 27
32
= 0, 84375
(d) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 2, 0 |X < 2, 5).
Solução
Pr(X < 2, 0 |X < 2, 5) = Pr [(X < 2, 5) ∩ (X < 2, 0)]
Pr(X < 2, 5)
=
Pr(X < 2, 0)
27/32
=
£
f(2, 0) + 34
¤× 2,0−12
27/32
=
£¡−2+4
4
¢
+ 34
¤× 0.5
27/32
=
5/8
27/32
=
5
8
× 32
27
=
20
27
= 0, 74074
2. Seja X ∼ N(75; 32). Calcule:
(a) (0,5 ponto) Pr(X ≥ 78)
Solução
Pr(X ≥ 78) = Pr
µ
Z ≥ 78− 75
3
¶
= Pr(Z ≥ 1, 0) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
(b) (0,5 ponto) Pr(X < 66).
Solução
Pr(X < 66) = Pr
µ
Z <
66− 75
3
¶
= Pr(Z < −3, 0) = Pr(Z > 3, 0) = 0, 5−tab(3) = 0, 0013
(c) (0,5 ponto) Ache o valor de k tal que Pr(X < k) = 0, 10.
Solução
Pr(X < k) = 0, 10⇔ Pr
µ
Z <
k − 75
3
¶
= 0, 10
⇔ Pr
µ
Z > − k − 75
3
¶
= 0, 10⇔ tab
µ
− k − 75
3
¶
= 0, 40
⇔ 75− k
3
= 1, 28⇔ k = 71, 16
(d) (0,5 ponto) Extrai-se uma amostra aleatória de tamanho n = 9. Calcule a probabilidade
de a média amostral ser maior que 78.
Solução
Temos que X ∼ N
µ
75;
32
9
¶
Pr(X > 78) = Pr
µ
Z >
78− 75
1
¶
= Pr(Z ≥ 3) = 0, 5− tab(3) = 0, 5− 0, 4987 = 0, 0013
3. Em um restaurante universitário, o tempodecorrido entre a chegada de uma pessoa na fila até
o momento em que ela se senta para fazer a sua refeição segue uma distribuição Normal com
média de 10 minutos e desvio padrão de 2 minutos.
2
(a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que um usuário gaste menos de 12 minutos até
se sentar?
Solução
Seja T o tempo gasto por um usuário até se sentar. Então, T ∼ N(10; 22)
P (T < 12) = P
µ
Z <
12− 10
2
¶
= P (Z < 1) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que um usuário gaste mais de 15 minutos até se
sentar?
Solução
P (T > 15) = P
µ
Z >
15− 10
2
¶
= P (Z > 2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0.5− 0.4938 = 0, 0062
(c) (0,5 ponto) Se um usuário já está na fila há 9 minutos, qual é a probabilidade de que
ele leve menos de 12 minutos até se sentar?
Solução
P (T < 12|T ≥ 9) = P (9 ≤ T < 12)
P (T ≥ 9) =
P
µ
9− 10
2
≤ Z < 12− 10
2
¶
P
µ
Z ≥ 9− 10
2
¶ = P (−0, 5 ≤ Z < 1)
P (Z ≥ −0, 5)
=
tab(1, 0) + tab(0, 5)
0, 5 + tab(0, 5)
=
0, 3413 + 0, 1915
0, 5 + 0, 1915
=
0, 5328
0, 6915
= 0, 7705
(d) (0,5 ponto) Determine o tempo t tal que 5% dos usuários levam menos que t minutos
até se sentarem.
Solução
P (T < t) = 0, 05⇐⇒ P
µ
Z <
t− 10
2
¶
= 0, 05⇐⇒ t− 10
2
= −1, 64⇐⇒ t = 6, 72
4. (2,0 pontos) De uma população normal com desvio padrão 8, extrai-se uma amostra de
tamanho 36, que acusa uma média amostral de 8,1. Obtenha um intervalo de confiança para
a média populacional com nível de confiança de 99%.
Solução
1− α = 99% =⇒ zα/2 = 2, 58
� = 2.58× 8√
36
= 3, 44
e o intervalo de confiança é
[8.1− 3.44 , 8.1 + 3.44] = [4, 66 , 11, 54]
5. (2,0 pontos) Verifique se cada uma das afirmativas abaixo é falsa ou verdadeira, justificando
sua resposta em qualquer caso.
3
(a) (0,5 ponto) Com base nos mesmos dados, foram obtidos os seguintes intervalos de
confiança para a média populacional:
I1 : (4, 450 , 8, 550)
I2 : (3, 275 , 9, 725)
Podemos afirmar que (1) a média amostral é x = 6, 5 e que (2) o nível de confiança
utilizado na obtenção de I1 é maior que o nível de confiança utilizado na construção de
I2.
Solução
A média amostral é o ponto médio do intervalo de confiança. Para I1,o ponto médio
é 4.450+8.5502 = 6, 5 e para I2,
3.275+9.725
2 = 6, 5. Logo, x = 6, 5 e a primeira parte da
afirmativa é verdadeira.
O comprimento de I1 é menor do que o comprimento de I2; logo, o nível de confiança
para I1 é menor do que o nível de confiança para I2. Sendo assim, a segunda parte da
afirmativa é falsa.
(b) (0,5 ponto) Pretende-se estimar a média μ de uma população normal que tem desvio
padrão 5. O erro máximo deve ser de 0,02. O tamanho da amostra necessário para um
nível de confiança de 99% será maior que o tamanho necessário para um nível de confiança
de 95%.
Solução
Verdadeira. Mantidas as outras variáveis constantes (erro e desvio padrão popula-
cional), quanto maior o nível de confiança, maior deverá ser o tamanho da amostra.
(c) Em um estudo, pretende-se estimar a média de duas populações normais com o mesmo
nível de confiança 1−α. Para isso, uma amostra de tamanho n será tirada de cada uma
das populações. Se o desvio padrão da população 1 é σ = 2 e da população 2 é σ = 4,
então o erro de estimação será maior para a população 1.
Solução
A população 1 tem desvio padrão menor que a população 2. Logo, o erro de estimação
para a população 1 será menor, já que se matêm cosntantes n e α. Logo, a afirmativa é
falsa.
(d) (0,5 ponto) Pretende-se estimar a média μ de uma população normal que tem desvio
padrão 5, com erro máximo ser de 0,1. Então o tamanho n = 7500 é suficiente para se
garantir um nível de confiança de 90%, mas não um nível de confiança de 95%.
Solução
1− α = 90% =⇒ 1, 64× 5√n ≤ 0, 1 =⇒
√
n ≥ 1.64× 50,1 =⇒ n ≥ 6724
1− α = 95% =⇒ 1, 96× 5√n ≤ 0, 1 =⇒
√
n ≥ 1.96× 50,1 =⇒ n ≥ 9604
Logo, a afirmativa é verdadeira.
4
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Gabarito da AP1 - 1o. semestre de 2012 - Profa. Ana Maria Farias
1. Considere uma função linear f(x) = ax + b definida para x ∈ [0, 3] e tal que f(0) = 0 e
f(3) = 3k, sendo k > 0.
(a) (0,5 ponto) Esboce o gráfico de f(x) e determine o valor de k para que f(x) seja a
função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X.
Solução
Figura 1: Solução da questão 1a
A área sob a curva é a área de um triângulo com base 3 e altura 3k. Como essa área tem
que ser 1, resulta
9k
2
= 1 =⇒ k = 2
9
(b) (0,5 ponto) Determine a expressão de f(x).
Solução
Como a reta passa pelos pontos (0, 0) e
¡
3; 69
¢
,sua expressão é f(x) = ax.
6
9
= a× 3 =⇒ a = 2
9
Logo
f(x) =
½
2x
9 1 ≤ x ≤ 3
0 c.c.
(c) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 2, 5).
Solução
Veja Figura 2. A probabilidade pedida é a área sombreada, que é a área de um triângulo
com base 2, 5e altura igual a f(2, 5) = f
¡
5
2
¢
. Logo,
Pr(X < 2, 5) =
1
2
× 2
9
× 5
2
=
5
18
= 0, 27778
1
Figura 2: Solução da questão 1c
(d) (0,5 ponto) Calcule Pr(X < 1, 5 |X < 2, 5).
Solução
Pr(X < 1, 5 |X < 2, 5) = P [(X < 1, 5) ∩ (X < 2, 5)]
P (X < 2.5)
=
P (X < 1.5)
P (X < 2.5)
=
1
2 × 29 × 32
1
2 × 29 × 52
=
3
5
= 0, 6
2. Seja X ∼ N(62; 42). Calcule:
(a) (0,5 ponto) Pr(X ≥ 66)
Solução
Pr(X ≥ 66) = Pr
µ
Z ≥ 66− 62
4
¶
= Pr(Z ≥ 1, 0) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
(b) (0,5 ponto) Pr(X < 50).
Solução
Pr(X < 50) = Pr
µ
Z <
50− 62
4
¶
= Pr(Z < −3, 0) = Pr(Z > 3, 0) = 0, 5−tab(3) = 0, 0013
(c) (0,5 ponto) Ache o valor de k tal que Pr(X < k) = 0, 05.
Solução
Pr(X < k) = 0, 05⇔ Pr
µ
Z <
k − 62
4
¶
= 0, 05
⇔ Pr
µ
Z > − k − 62
4
¶
= 0, 05⇔ tab
µ
− k − 62
4
¶
= 0, 45
⇔ − k − 62
4
= 1, 64⇔ k = 55, 44
(d) (0,5 ponto) Extrai-se uma amostra aleatória de tamanho n = 16. Calcule a probabilidade
de a média amostral ser maior que 66.
Solução
2
Temos que X ∼ N
µ
62;
42
16
¶
Pr(X > 66) = Pr
µ
Z >
66− 62
1
¶
= Pr(Z ≥ 4) = 0, 5− tab(4) ≈ 0
3. Em um restaurante universitário, o tempo decorrido entre a chegada de uma pessoa na fila até
o momento em que ela se senta para fazer a sua refeição segue uma distribuição Normal com
média de 8 minutos e desvio padrão de 1 minuto.
(a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que um usuário gaste mais de 9 minutos até se
sentar?
Solução
Seja T o tempo gasto por um usuário até se sentar. Então, T ∼ N(8; 12)
P (T > 9) = P
µ
Z >
9− 8
1
¶
= P (Z > 1) = 0, 5− tab(1, 0) = 0, 1587
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que um usuário gaste no máximo 6 minutos até
se sentar?
Solução
P (T ≤ 6) = P
µ
Z ≤ 6− 8
1
¶
= P (Z ≤ −2) = P (Z ≥ 2) = 0, 5−tab(2, 0) = 0.5−0.4772 = 0, 0228
(c) (0,5 ponto) Se um usuário já está na fila há 7 minutos, qual é a probabilidade de que
ele leve mais de 9 minutos até se sentar?
Solução
P (T > 9|T ≥ 7) = P [(T > 9) ∩ T ≥ 7)]
P (T ≥ 7) =
P (T > 9)
P (T ≥ 7) =
P
µ
Z >
9− 8
1
¶
P
µ
Z ≥ 7− 8
1
¶ = P (Z > 1)
P (Z ≥ −1)
=
0, 5− tab(1, 0)
0, 5 + tab(1, 0)
=
0.5− 0.3413
0, 5 + 0.3413
=
0.1587
0.8413
= 0, 18864
(d) (0,5 ponto) Determine o tempo t tal que 5% dos usuários levam menos que t minutos
até se sentarem.
Solução
P (T < t) = 0, 05⇐⇒ P
µ
Z <
t− 8
1
¶
= 0, 05⇐⇒ t− 8 = −1, 64⇐⇒ t = 6, 36 min
4. (2,0 pontos) De uma população normal com desvio padrão 5, extrai-se uma amostra de
tamanho 64, que acusa uma média amostral de 6,7. Obtenha um intervalo de confiança para
a média populacional com nível de confiança de 90%.
Solução
1− α = 90% =⇒ zα/2 = 1, 64
� = 1.64× 5√
64
= 1.64× 0.625 = 1, 025
3
e o intervalo de confiança é
[6.7− 1.025 , 6.7 + 1.025] = [5, 675 , 7, 725]
5. (2,0 pontos) Verifique se cada uma das afirmativas abaixo é falsa ou verdadeira, justificando
sua resposta em qualquer caso.
(a) (0,5 ponto)Com base nos mesmos dados, foram obtidos os seguintes intervalos de
confiança para a média populacional:
I1 : (4, 450 , 8, 550)
I2 : (3, 275 , 9, 725)
Podemos afirmar que (1) a média amostral é x = 6, 5 e que (2) o nível de confiança
utilizado na obtenção de I1 é menor que o nível de confiança utilizado na construção de
I2.
Solução
A média amostral é o ponto médio do intervalo de confiança. Para I1,o ponto médio
é 4.450+8.5502 = 6, 5 e para I2,
3.275+9.725
2 = 6, 5. Logo, x = 6, 5 e a primeira parte da
afirmativa é verdadeira.
O comprimento de I1 é menor do que o comprimento de I2; logo, o nível de confiança
para I1 é menor do que o nível de confiança para I2. Sendo assim, a segunda parte da
afirmativa é verdadeira.
(b) (0,5 ponto) Pretende-se estimar a média μ de uma população normal que tem desvio
padrão 5. O erro máximo deve ser de 0,02. O tamanho da amostra necessário para um
nível de confiança de 95% será maior que o tamanho necessário para um nível de confiança
de 99%.
Solução
Falsa. Mantidas as outras variáveis constantes (erro e desvio padrão populacional),
quanto menor o nível de confiança, menor deverá ser o tamanho da amostra.
(c) Em um estudo, pretende-se estimar separadamente a média de duas populações normais
com o mesmo nível de confiança 1−α. Para isso, uma amostra de tamanho n será tirada
de cada uma das populações. Se o desvio padrão da população 1 é σ1 = 2 e da população
2 é σ2 = 4, então o erro de estimação será maior para a população 1.
Solução
A população 1 tem desvio padrão menor que a população 2. Logo, o erro de estimação
para a população 1 será menor, já que se mantêm constantes n e α. Logo, a afirmativa é
falsa.
(d) (0,5 ponto) Pretende-se estimar a média μ de uma população normal que tem desvio
padrão 5, com erro máximo ser de 0,1. Então o tamanho n = 7500 é suficiente para se
garantir um nível de confiança de 90%, mas não um nível de confiança de 95%.
Solução
1− α = 90% =⇒ 1, 64× 5√n ≤ 0, 1 =⇒
√
n ≥ 1.64× 50,1 =⇒ n ≥ 6724
1− α = 95% =⇒ 1, 96× 5√n ≤ 0, 1 =⇒
√
n ≥ 1.96× 50,1 =⇒ n ≥ 9604
Logo, a afirmativa é verdadeira.
4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito AP1 – Me´todos Estatisticos II – 2/2012
Questa˜o 1 [2,5 pts]
Considere uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [3, 7].
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de densidade de X.
(b) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o de densidade de X.
(c) Calcule P (X > 4, 5).
(d) Calcule P (X ≤ 6, 2|X > 4, 5).
(e) Calcule o primeiro quartil Q1 da distribuic¸a˜o.
Soluc¸a˜o
(a) Veja o gra´fico a seguir.
3 7
1/4
Figura 1: Func¸a˜o de densidade - Questa˜o 1(a)
(b)
f(x) =
1
4
, 3 ≤ x ≤ 7
(c)
P (X > 4, 5) =
7− 4, 5
7− 3 = 0, 625
(d)
P (X ≤ 6, 2|X > 4, 5) = P (4, 5 < X ≤ 6, 2)
P (X > 4, 5)
=
6, 2− 4, 5
4
0, 625
= 0, 68
(e)
P (X ≤ Q1) = 1
4
=⇒ Q1 − 3
4
=
1
4
=⇒ Q1 = 4
Questa˜o 2 [2,5 pts]
O tempo de atendimento de clientes em uma ageˆncia banca´ria segue uma distribuic¸a˜o normal
com me´dia de 5 minutos e desvio padra˜o de 1,5 minuto.
(a) Qual e´ a probabilidade de que um cliente espere no ma´ximo 8 minutos para ser atendido?
(b) Se um cliente espera mais que 9,5 minutos para ser atendido, ele tem direito a fazer uma
reclamac¸a˜o formal a` gereˆncia do banco. Qual e´ a probabilidade de um cliente fazer tal
reclamac¸a˜o?
(c) Um cliente ja´ esta´ na fila ha´ mais de 8 minutos. Qual e´ a probabilidade de que ele possa
fazer uma reclamac¸a˜o junto a` gereˆncia do banco?
(d) Determine o tempo t tal que 5% dos clientes levam menos que t minutos ate´ serem atendidos.
(e) Uma amostra de 4 clientes e´ sorteada aleatoriamente. Qual e´ a probabilidade de que o
tempo me´dio de espera desses clientes seja maior que 8 minutos?
Soluc¸a˜o
Seja T a varia´vel aleato´ria que representa o tempo de espera. Enta˜o, T ∼ N(5; 1, 52)
(a)
P (T ≤ 8) = P
(
Z ≤ 8− 5
1, 5
)
= P (Z ≤ 2, 0) = 0, 5 + tab(2, 0) = 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
(b)
P (T > 9, 5) = P
(
Z >
9, 5− 5
1, 5
)
= P (Z > 3, 0) = 0, 5− tab(3, 0) = 0, 5− 0, 4987 = 0, 0013
(c)
P (T > 9, 5|T > 8) = P (T > 9, 5)
P (T > 8)
=
0, 0013
1− 0, 9772 = 0, 05702
(d)
P (T < t) = 0, 05⇔ P
(
Z <
t− 5
1, 5
)
= 0, 05⇔ tab
(
5− t
1, 5
)
= 0, 45⇔ 5− t
1, 5
= 1, 64⇔ t = 2, 54
(e)
T ∼ N
(
5;
1, 52
4
)
⇒ P (T > 8) = P
Z > 8− 51, 5
2
 = P (Z > 4) = 0, 5− tab(4, 0) = 0
Questa˜o 3 [2,5 pts]
De uma populac¸a˜o normal com variaˆncia 81, extrai-se uma amostra de tamanho 36, que acusa
uma me´dia amostral de 12,5.
(a) [1,5 pts] Obtenha um intervalo de confianc¸a para a me´dia populacional com n´ıvel de con-
fianc¸a de 95%.
(b) [0,5 pt] Se muda´ssemos o n´ıvel de confianc¸a para 90%, o comprimento do intervalo de
confianc¸a aumentaria ou diminuiria? Na˜o fac¸a qualquer ca´lculo!
2
(c) [0,5 pt] Se a variaˆncia populacional fosse 100, o comprimento do intervalo de confianc¸a
aumentaria ou diminuiria? Na˜o fac¸a qualquer ca´lculo!
Soluc¸a˜o
(a)
1− α = 0, 95⇒ z0,025 = 1, 96[
12, 5− 1, 96× 9
6
; 12, 5 + 1, 96× 9
6
]
= [9, 56; 15, 44]
(b) Diminuindo o n´ıvel de confianc¸a, o comprimento do intervalo de confianc¸a tambe´m diminui.
(c) Variaˆncia populacional maior significa maior incerteza, que se traduz no aumento do com-
primento do intervalo de confianc¸a.
Questa˜o 4 [2,5 pts] Com base em dados histo´ricos, uma companhia ae´rea estima em 15% a
taxa de desisteˆncia entre seus clientes, isto e´, 15% dos passageiros com reserva na˜o aparecem
na hora do voo. Para otimizar a ocupac¸a˜o de suas aeronaves, essa companhia decide aceitar
400 reservas para os voos em aeronaves que comportam apenas 350 passageiros. Calcule a
probabilidade de que essa companhia na˜o tenha assentos suficientes em um desses voos. Essa
probabilidade e´ alta o suficiente para a companhia rever sua pol´ıtica de reserva? Para resolver
esse problema, voceˆ deve usar a aproximac¸~ao normal com correc¸~ao de continuidade, tendo
o cuidado de verificar que essa aproximac¸a˜o realmente pode ser usada.
Soluc¸a˜o
Seja X a varia´vel aleato´ria que representa o nu´mero de passageiros que se apresentam para
o voo. Enta˜o, X ∼ binomial(400; 0, 85). Queremos calcular P (X > 350). Podemos usar a
aproximac¸a˜o normal, pois
n = 400 > 30 np = 400× 0, 85 = 340 n(1− p) = 400× 0, 15 = 60
X ∼ binomial(400; 0, 85)⇒ X ≈ N(400× 0, 85; 400× 0, 85× 0, 15)⇔ X ≈ N(340; 51)
P (X > 350) ≈ P
(
Z ≥ 350, 5− 340√
51
)
= P (Z ≥ 1, 47) = 0, 5− tab(1, 47) = 0, 0708
Essa e´ uma probabilidade razoavelmente alta; a companhia deve rever sua pol´ıtica de reserva
de lugares.
Resultados Importantes
X ∼ N(µ;σ2) =⇒ X ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
(1)
X ∼ binomial(n; p)) =⇒ X ≈ N(np;npq) (2)
3
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Estatisticos II – 1/2013
Nome: Matr´ıcula:
Po´lo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, colocando Nome, Matr´ı-
cula, Polo e Data;
• E´ permitido o uso de calculadoras;
• Devolver a folha de respostas ao responsa´vel;
• O desenvolvimento das questo˜es pode ser a
la´pis, mas as respostas tera˜o que estar a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de corretivos
nas respostas.
Questa˜o 1 [2,5 pts]
Considere uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [35, 45].
(a) [0,5 ponto] Esboce o gra´fico da func¸a˜o de densidade de X.
(b) [0,5 ponto] Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o de densidade de X.
(c) [0,5 ponto] Calcule P(X > 39).
(d) [0,5 ponto] Calcule P(X ≤ 43|X > 39).
(e) [0,5 ponto] Calcule o primeiro quartil Q1 da distribuic¸a˜o.
Soluc¸a˜o(a) Veja o gra´fico na Figura 1.
35 45
1/10
Figura 1: Func¸a˜o de densidade - Questa˜o 1
(b) f(x) =
1
10
35 ≤ x ≤ 45
(c) P (X > 39) =
45− 39
45− 35 =
6
10
(d) P (X ≤ 43|X > 39) = P (39 < X ≤ 43)
P (X > 39)
=
4
6
(e) P (X ≤ Q1) = 1
4
⇒ Q1 − 35
45− 35 =
1
4
=⇒ Q1 = 37, 5
Questa˜o 2 [2,5 pts]
O tempo de atendimento de clientes em uma ageˆncia banca´ria segue uma distribuic¸a˜o normal
com me´dia de 5 minutos e desvio padra˜o de 1,5 minuto.
(a) [0,5 ponto] Qual e´ a probabilidade de que um cliente espere no ma´ximo 8 minutos para
ser atendido?
(b) [0,5 ponto] Se um cliente espera mais que 9,5 minutos para ser atendido, ele tem direito
a fazer uma reclamac¸a˜o formal a` gereˆncia do banco. Qual e´ a probabilidade de um cliente
fazer tal reclamac¸a˜o?
(c) [0,5 ponto] Um cliente ja´ esta´ na fila ha´ mais de 8 minutos. Qual e´ a probabilidade de que
ele possa fazer uma reclamac¸a˜o junto a` gereˆncia do banco?
(d) [0,5 ponto] Determine o tempo t tal que 10% dos clientes levam menos que t minutos ate´
serem atendidos.
(e) [0,5 ponto] Uma amostra de 4 clientes e´ sorteada aleatoriamente. Qual e´ a probabilidade
de que o tempo me´dio de espera desses clientes seja maior que 8 minutos?
Soluc¸a˜o
Seja T a varia´vel aleato´ria que representa o tempo de espera. Enta˜o, T ∼ N(5; 1, 52)
(a)
P (T ≤ 8) = P
(
Z ≤ 8− 5
1, 5
)
= P (Z ≤ 2, 0) = 0, 5 + tab(2, 0) = 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
(b)
P (T > 9, 5) = P
(
Z >
9, 5− 5
1, 5
)
= P (Z > 3, 0) = 0, 5− tab(3, 0) = 0, 5− 0, 4987 = 0, 0013
(c)
P (T > 9, 5|T > 8) = P (T > 9, 5)
P (T > 8)
=
0, 0013
1− 0, 9772 = 0, 05702
(d)
P (T < t) = 0, 10⇔ P
(
Z <
t− 5
1, 5
)
= 0, 10⇔ tab
(
5− t
1, 5
)
= 0, 40⇔ 5− t
1, 5
= 1, 28⇔ t = 3, 08
(e)
T ∼ N
(
5;
1, 52
4
)
⇒ P (T > 8) = P
Z > 8− 51, 5
2
 = P (Z > 4) = 0, 5− tab(4, 0) = 0
2
Questa˜o 3 [2,5 pts]
Extrai-se uma amostra de tamanho n de uma populac¸a˜o normal com variaˆncia conhecida σ2
com o objetivo de se estimar a me´dia µ.
(a) [1,0 ponto] Qual e´ a fo´rmula da margem de erro para um intervalo de confianc¸a de n´ıvel
de confianc¸a 1− α? Defina os termos que aparecem na fo´rmula.
(b) Indique se as seguintes afirmativas sa˜o falsas ou verdadeiras, justificando sua resposta.
(i) [0,5 ponto] O comprimento do intervalo de confianc¸a de n´ıvel 1− α com base numa
amostra de tamanho n = 20 sera´ menor que o comprimento do intervalo com base
numa amostra de tamanho n = 25.
(ii) [0,5 ponto] Se o tamanho da amostra e´ n = 25, o comprimento do intervalo de
confianc¸a de n´ıvel 90% sera´ maior que o comprimento do intervalo de confianc¸a de
n´ıvel 95%.
(iii) [0,5 ponto] Com base em amostras de tamanho n = 25 e n´ıvel de confianc¸a de 90%,
constroem-se intervalos de confianc¸a para a me´dia de duas populac¸o˜es normais, uma
com variaˆncia σ21 = 16 e outra com variaˆncia σ
2
2 = 25. O intervalo de confianc¸a para
essa segunda populac¸a˜o tera´ comprimento menor.
Soluc¸a˜o
(a)
� = zα/2
σ√
n
� margem de erro
zα/2 valor cr´ıtico correspodente ao n´ıvel de confianc¸a α
σ desvio-padra˜o populacional (conhecido)
n tamanho da amostra
(b) (i) FALSA. A margem de erro e, portanto, o comprimento do intervalo de confianc¸a e´
inversamente proporcional ao tamanho da amostra. Logo, o comprimento do intervalo
de confianc¸a baseado numa amostra de tamanho 20 sera´ maior que o comprimento do
intervalo de confianc¸a baseado numa amostra de tamanho 25.
(ii) FALSA. A margem de erro e, portanto, o comprimento do intervalo de confianc¸a e´
diretamente proporcional ao n´ıvel de confianc¸a. Logo, o comprimento do intervalo de
confianc¸a com n´ıvel de confianc¸a 90% sera´ menor que o comprimento do intervalo de
confianc¸a com n´ıvel de confianc¸a 95%.
FALSA. A margem de erro e, portanto, o comprimento do intervalo de confianc¸a
e´ diretamente proporcional ao desvio-padra˜o populacional. Logo, o comprimento do
intervalo de confianc¸a para a me´dia da segunda populac¸a˜o, que tem desvio-padra˜o
maior, sera´ maior.
Questa˜o 4 [1,5 pts] Seja X ∼ Bin(200; 0, 35). Calcule as seguintes probabilidades usando a
aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de continuidade, certificando-se de que e´ va´lido o uso de
tal aproximac¸a˜o.
(a) [0,5 ponto] P(X > 162)
3
(b) [0,5 ponto] P(X ≤ 89)
(c) [0,5 ponto] P(178 ≤ X ≤ 185)
Soluc¸a˜o
As condic¸o˜es para a aproximac¸a˜o normal sa˜o satisfeitas, pois
n ≥ 30 np = 200× 0, 35 = 70 ≥ 5 n(1− p) = 200× 0, 65 = 130 ≥ 5
Logo, X ≈ N (200× 0, 35; 200× 0, 35× 0, 65) = N(70; 45, 5)
(a)
P(X > 162) ≈ P
(
Z ≥ 162, 5− 70√
45, 5
)
= P (Z ≥ 13) ≈ 0
(b)
P(X ≤ 89) ≈ P
(
Z ≤ 89, 5− 70√
45, 5
)
= P(Z ≤ 2, 89) = 0, 5 + tab(2, 89) = 0, 9981
(c)
P(52 ≤ X ≤ 112) = P(X ≤ 112)− P(X < 52)
≈ P
(
Z ≤ 112, 5− 70√
455
)
− P
(
Z ≤ 51, 5− 70√
45, 5
)
= P(Z ≤ 6, 3)− P(Z ≤ −2, 74) = 1− [0, 5− tab(2, 74)]
= 0, 5 + tab(2, 74) = 0, 9969
Questa˜o 5 [1,0 pt] Em cada um dos seguintes problemas, a me´dia amostral, o tamanho amos-
tral, o desvio padra˜o populacional e o n´ıvel de confianc¸a sa˜o dados. Suponha que a populac¸a˜o
subjacente seja normalmente distribu´ıda. Ache o intervalo de confianc¸a associado para a me´dia
populacional.
(a) [0,5 ponto] x = 15, 6 n = 12 σ = 3, 7 1− α = 95%
(b) [0,5 ponto] x = 6322 n = 17 σ = 225 1− α = 90%
Soluc¸a˜o
(a) (
15, 6− 1, 96× 3, 7√
12
; 15, 6 + 1, 96× 3, 7√
12
)
= (13, 5065; 17, 6935)
(b) (
6322− 1, 64× 225√
17
; 6322 + 1, 64× 225√
17
)
= 96232, 504; 6411, 496)
Resultados Importantes
X ∼ N(µ;σ2) =⇒ X ∼ N
(
µ;
σ2
n
)
(1)
X ∼ binomial(n; p)) =⇒ X ≈ N(np;npq) (2)
4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 Completa – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2014
Questa˜o 1 [2,5 pts] Considere uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme no inter-
valo [2, 12].
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de densidade de X.
(b) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o de densidade de X.
(c) Calcule P(X > 7).
(d) Calcule P(X ≤ 10|X > 7).
(e) Calcule o valor k tal que P(X ≥ k) = 0, 25.
Soluc¸a˜o
(a) Veja o gra´fico na Figura 1.
Figura 1: Func¸a˜o de densidade – Questa˜o 1
(b) f(x) =
{
0, 1 se 2 ≤ x ≤ 12
0 caso contra´rio
(c) P(X > 7) =
12− 7
10
= 0, 5
(d) P(X ≤ 10|X > 7) = P(7 < X ≤ 10)
P(X > 7)
=
10− 7
12− 7 = 0, 6
(e) P (X ≥ k) = 0, 25⇒ 12− k
10
= 0, 25 =⇒ k = 9, 5
Questa˜o 2 [2,0 pts] Na Figura 2 e´ dado o gra´fico de uma func¸a˜o f(x).
(a) Mostre que f(x) e´ a func¸a˜o de densidade fX de alguma varia´vel aleato´ria cont´ınua X.
(b) Mostre que a expressa˜o de fX e´ fX(x) =
{
0, 5x se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contra´rio
(c) Calcule P(X ≤ 1, 5).
(d) Calcule P(0, 5 < X ≤ 1, 2).
Soluc¸a˜o
Figura 2: Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 2
(a) f(x) ≥ 0 e a a´rea sob a curva e´ 1
2
· 2 · 1 = 1
(b) O gra´fico de fX e´ um segmento de reta determinado pelos pontos (0, 0) e (2, 1). Logo, o
intercepto e´ 0 e a inclinac¸a˜o e´
∆y
∆x
=
1
2
= 0, 5 e isso nos da´ f(x) = 0, 5x.
(c) Veja a Figura 3. A probabilidade pedida e´ a a´rea de um triaˆngulo de base 1, 5 e altura
f(1, 5) = 0, 5× 1, 5 = 0, 75. Logo, P(X ≤ 1, 5) = 1
2
× 1, 5× 0, 75 = 0, 5625.
(d) A probabilidade pedida e´ a a´rea do trape´zio sombreado na Figura 4, cujas bases sa˜o
f(0, 5) = 0, 5× 0, 5 = 0, 25 e f(1, 2) = 0, 5× 1, 2 = 0, 6 e altura 1, 2− 0, 5 = 0, 7. Logo,
P(0, 5 < X ≤ 1, 2) = f(0, 5) + f(1, 2)
2
× (1, 2− 0, 5) = 0, 25 + 0, 6
2
× 0, 7 = 0, 2975
Figura 3: P(X ≥ 1, 5) Figura 4: P(0, 5 < X ≤ 1, 5
Questa˜o 3 [3,0 pts] Suponha que uma populac¸a˜o seja descrita por uma varia´vel aleato´ria X
normal com me´dia µ = 10 e variaˆncia σ2 = 64.
(a)Calcule P(X > 22).
(b) Calcule P(X > −2).
(c) Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 08.
Curso de Administrac¸a˜o 2
(d) Seleciona-se uma amostra aleato´ria de tamanho n = 16 dessa populac¸a˜o.
(i) Ache a distribuic¸a˜o de X.
(ii) Calcule P(X ≥ 14).
(iii) Calcule P(4 ≤ X ≤ 8).
Soluc¸a˜o
(a) P(X > 22) = P
(
Z >
22− 10
8
)
= P(Z > 1, 5) = 0, 5− tab(1, 5) = 0, 5− 0, 4332 = 0, 0668
(b) P(X > −2) = P
(
Z >
−2− 10
8
)
= P(Z > −1, 5) = 0, 5 + tab(1, 5) = 0, 9332
(c)
P(X < c) = 0, 08⇔ P
(
Z <
c− 10
8
)
= 0, 08⇔ P
(
Z > −c− 10
8
)
= 0, 08⇔
tab
(
−c− 10
8
)
= 0, 42⇔ 10− c
8
= 1, 41⇔ c = −1, 28
(d) (i) X ∼ N
(
10;
64
16
)
ou X ∼ N (10; 22)
(ii) P(X ≥ 14) = P
(
Z >
14− 10
2
)
= 0, 5− tab(2, 0) = 0, 0228
(iii) P(4 ≤ X ≤ 8) = P
(
4− 10
2
< Z <
8− 10
2
)
= P(−3 < Z < −1) = tab(3, 0) −
tab(1, 0) = 0, 1574
Questa˜o 4 [2,5 pts] Seja X ∼ Bin(500; 0, 2).
(a) Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normal e indique
os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.
(b) Calcule as seguintes probabilidades usando a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de
continuidade .
(i) P(X > 108)
(ii) P(83 ≤ X ≤ 130)
(iii) P(X ≤ 113)
(iv) P(117 < X < 131)
Soluc¸a˜o
(a) np = 500× 0, 2 = 100 n(1− p) = 500× 0, 8 = 400 OK!
X ≈ N (100; 500× 0, 2× 0, 8) ou X ≈ N (100; 80)
(b) (i) P(X > 108) ≈ P
(
Z ≥ 108, 5− 100√
80
)
= P (Z ≥ 0, 95) = 0, 5 − tab(0, 95) = 0, 5 −
0, 3289 = 0, 1711
(ii) P(83 ≤ X ≤ 130) ≈ P
(
82, 5− 100√
80
≤ Z ≤ 130, 5− 100√
80
)
=
P (Z ≤ 3, 41)− P (Z ≤ −1, 96) = (0, 5 + tab(3, 41)− (0, 5− tab(1, 96) = 0, 9747
Curso de Administrac¸a˜o 3
(iii) P(X ≤ 113) ≈ P
(
Z ≤ 113, 5− 100√
80
)
= P(Z ≤ 1, 51) = 0, 5 + tab(1, 51) = 0, 9345
(iv) P(117 < X < 131) = P
(
117, 5− 100√
80
< Z <
130, 5− 100√
80
)
= P (1, 96 ≤ Z ≤
3, 41) = tab(3, 41)− tab(1, 96) = 0, 0247
Curso de Administrac¸a˜o 4
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 Completa – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2015
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, colocando Nome, Matr´ı-cula, Polo e Data.• E´ permitido o uso de calculadoras.• As questo˜es devem ser resolvidas na folhade respostas.
• Devolva a folha de respostas ao responsa´vel.• O desenvolvimento das questo˜es pode ser ala´pis, mas as respostas tera˜o que estar a caneta.• E´ expressamente proibido o uso de corretivosnas respostas.
Questa˜o 1 [2,5 pts]Considere uma varia´vel aleato´ria X com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo [4, 14].
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o de densidade de X .
(b) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o de densidade de X .
(c) Calcule P(X > 7).
(d) Calcule P(X ≤ 10|X > 7).
(e) Calcule o valor k tal que P(X ≥ k) = 0, 4.
Soluc¸a˜o
(a) Veja o gra´fico na Figura 1.
Figura 1 – Func¸a˜o de densidade – Questa˜o 1
(b) f (x) = { 0, 1 se 4 ≤ x ≤ 140 caso contra´rio
(c) P(X > 7) = 14− 710 = 0, 7
(d) P(X ≤ 10|X > 7) = P(7 < X ≤ 10)P(X > 7) = 10− 714− 7 = 37
(e) P(X ≥ k) = 0, 4⇒ 14− k10 = 0, 4 =⇒ k = 10, 0
Figura 2 – Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 2
Questa˜o 2 [2,0 pts]Na Figura 2 e´ dado o gra´fico de uma func¸a˜o f (x).
(a) Mostre que f (x) e´ a func¸a˜o de densidade de alguma varia´vel aleato´ria cont´ınua X .(b) Obtenha a expressa˜o de f (x) .(c) Calcule P(X ≥ 1, 5).(d) Calcule P(0, 8 < X ≤ 1, 4).
Soluc¸a˜o
(a) f (x) ≥ 0 e a a´rea sob a curva e´ 12 · 2 · 1 = 1(b) O gra´fico de f (x) e´ um segmento de reta determinado pelos pontos (0, 1) e (2, 0). Logo,o intercepto e´ 1 e a inclinac¸a˜o e´ negativa igual a −∆y∆x = −12 = −0, 5 e isso nos da´f (x) = 1− 0, 5x para 0 ≤ x ≤ 2.(c) Veja a Figura 3. A probabilidade pedida e´ a a´rea de um triaˆngulo de base 0, 5 e alturaf (1, 5) = 1− 0, 5× 1, 5 = 0, 25. Logo, P(X ≥ 1, 5) = 12 × 0, 5× 0, 25 = 0, 0625.(d) A probabilidade pedida e´ a a´rea do trape´zio sombreado na Figura 4, cujas bases sa˜of (0, 8) = 1 − 0, 5 × 0, 8 = 0, 6 e f (1, 4) = 1 − 0, 5 × 1, 4 = 0, 3 e altura 1, 4 − 0, 8 = 0, 6.Logo,
P(0, 8 < X ≤ 1, 4) = f (0, 8) + f (1, 4)2 × (1, 4− 0, 8) = 0, 6 + 0, 32 × 0, 6 = 0, 27
Figura 3 – P(X ) ≥ 1, 5 Figura 4 – P(0, 8 < X < 1, 4)
Curso de Administrac¸a˜o 2
Questa˜o 3 [3,0 pts]Suponha que uma populac¸a˜o seja descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 13 e variaˆncia σ2 = 25.
(a) Calcule P(X > 20).
(b) Calcule P(X > 8).
(c) Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 05.
(d) Seleciona-se uma amostra aleato´ria de tamanho n = 16 dessa populac¸a˜o.
(i) Ache a distribuic¸a˜o de X .(ii) Calcule P(X ≥ 18).(iii) Calcule P(10, 50 ≤ X ≤ 11, 75).
Soluc¸a˜o
(a) P(X > 20) = P(Z > 20− 135
) = P(Z > 1, 4) = 0, 5− tab(1, 4) = 0, 5− 0, 4192 = 0, 0808
(b) P(X > 8) = P(Z > 8− 135
) = P(Z > −1, 0) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
(c)
P(X < c) = 0, 05⇔ P(Z < c − 135
) = 0, 05⇔ P(Z > −c − 135
) = 0, 05⇔
tab(−c − 135
) = 0, 45⇔ 13− c5 = 1, 64⇔ c = 4, 8
(d) (i) X ∼ N (13; 2516
) ou X ∼ N (13; 1, 252)
(ii) P(X ≥ 18) = P(Z > 18− 131, 25
) = P(Z > 4) = 0, 5− tab(4, 0) ≈ 0
(iii) P(10, 50 ≤ X ≤ 11, 75) = P(10, 50− 131, 25 < Z < 11, 75− 131, 25
) = P(−2 < Z < −1) =tab(2, 0)− tab(1, 0) = 0, 4772− 0, 3413 = 0, 1359
Questa˜o 4 [2,5 pts]Seja X ∼ Bin(400; 0, 25).
(a) Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normal eindique os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.
(b) Calcule as seguintes probabilidades usando a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o decontinuidade.
(i) P(X > 108)(ii) P(83 ≤ X ≤ 130)(iii) P(X ≤ 113)(iv) P(117 < X < 131)
Curso de Administrac¸a˜o 3
Soluc¸a˜o
(a) np = 400× 0, 25 = 100 n(1− p) = 400× 0, 75 = 300 OK !X ≈ N (100; 400× 0, 25× 0, 75) ou X ≈ N (100; 75)
(b) (i) P(X > 108) ≈ P(Z ≥ 108, 5− 100√75
) = P (Z ≥ 0, 98) = 0, 5 − tab(0, 98) = 0, 5 −0, 3365 = 0, 1635
(ii) P(83 ≤ X ≤ 130) ≈ P(82, 5− 100√75 ≤ Z ≤ 130, 5− 100√75
) =P(−2, 02 ≤ Z ≤ 3, 52) = tab(3, 52) + tab(2, 02) = 0, 9781
(iii) P(X ≤ 113) ≈ P(Z ≤ 113, 5− 100√75
) = P(Z ≤ 1, 56) = 0, 5 + tab(1, 56) = 0, 9406
(iv) P(117 < X < 131) = P(117, 5− 100√75 < Z < 130, 5− 100√75
) = P(2, 02 ≤ Z ≤ 3, 52) =tab(3, 52)− tab(2, 02) = 0, 0215
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒

X − µσ ∼ N(0; 1)
X − µσ√n ∼ N(0; 1)
X ∼ Bin(n;p) =⇒ X ≈ N [np;np(1− p)]
Curso de Administrac¸a˜o 4
Tabela 1
Valores de p
p = P(0 < Z < z )
Casa inteira
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,45910,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5000
2
a
 decimal
Curso de Administrac¸a˜o 5
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 Completa – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2015
Questa˜o 1 [2,0 pts]Na Figura 1 e´ dado o gra´fico de uma func¸a˜o f (x).
Figura 1 – Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 1
(a) Calcule o valor de k para que f (x) seja a func¸a˜o de densidade de alguma varia´vel aleato´riacont´ınua X e encontre a expressa˜o matema´tica de f (x).
(b) Calcule P(X ≥ 2, 5).
(c) Calcule P(X > 3, 0 |X ≥ 2, 5).
(d) Determine o valor de c tal que P(X < c) = 0, 6.
Soluc¸a˜o
(a) k ≥ 0 e a a´rea sob a curva tem que ser 1 – essa e´ a a´rea de um trape´zio. Logo(k + 0, 25) · 22 = 1⇒ k = 0, 75O gra´fico de f (x) = a + bx e´ um segmento de reta determinado pelos pontos (2; 0, 25) e(4; 0, 75). Logo,{ a+ 2b = 0, 25a+ 4b = 0, 75 ⇒ 2b = 0, 5⇒ b = 0, 25⇒ a = −0, 25
ou seja, f (x) = −0, 25 + 0, 25x 2 ≤ x ≤ 4
(b) Veja a Figura 2. A probabilidade pedida e´ a a´rea de um trape´zio de bases f (2, 5) e 0, 75e altura 1, 5. Logo,
P(X ≥ 2, 5) = 0, 75 + (−0, 25 + 0, 25 · 2, 5)2 × 1, 5 = 0, 84375.
(c) P(X > 3, 0 |X ≥ 2, 5) = P(X > 3, 0)P(X ≥ 2, 5)De maneiroa ana´loga, a probabilidade no numerador e´ a a´rea do trape´zio de bases 0,75e f (3) e altura 1. Logo,
P(X > 3) = (−0, 25 + 0, 25 · 3) + 0, 752 = 0, 625⇒ P(X > 3, 0 |X ≥ 2, 5) = 0, 6250, 84375 ≈ 0, 741
(d) Veja a Figura 3. A a´rea do trape´zio sombreado tem que ser 0,6; esse e´ um trape´zio debases 0,25 e f (c) e altura c − 2. Logo,
P(X < c) = 0, 6⇔ 0, 25 + (−0, 25 + 0, 25c)2 × (c − 2) = 0, 6⇔ 0, 25c2 − 0, 5c − 1, 2 = 0⇔c = 0, 5±√0, 25 + 1, 20, 5
A soluc¸a˜o no domı´nio de f e´ c = 0, 5 +√0, 25 + 1, 20, 5 ≈ 3, 408.
Figura 2 – P(X ) ≥ 2, 5 Figura 3 – P(X < c) = 0, 6
Questa˜o 2 [3,0 pts]Suponha que uma populac¸a˜o seja descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 20 e variaˆncia σ2 = 16.
(a) Calcule P(X > 25, 6).
(b) Calcule P(X > 16).
(c) Calcule P(23 < X < 30).
(d) Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 15.
(e) Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 16 dessa populac¸a˜o. Calcule
(i) P(X < 18).(ii) Calcule P(X > 17, 5 |X < 18).
Soluc¸a˜o
(a)
P(X > 25, 6) = P(Z > 25, 6− 204
) = P(Z > 1, 4) = 0, 5− tab(1, 4) = 0, 5− 0, 4192 = 0, 0808
Curso de Administrac¸a˜o 2
(b)
P(X > 16) = P(Z > 16− 204
) = P(Z > −1, 0) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
(c)
P(23 < X < 30) = P(23− 204 < Z < 30− 204
) = P(0, 75 < Z < 2, 5)= tab(2, 5)− tab(0, 75) = 0, 4938− 0, 2734 = 0, 2204
(d) Note que c tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter c < 20.
P(X < c) = 0, 15⇔ P(Z < c − 204
) = 0, 15⇔ P(Z > −c − 204
) = 0, 15⇔
tab(−c − 204
) = 0, 35⇔ 20− c4 = 1, 04⇔ c = 15, 84
(e) X ∼ N (20; 1616
) ou X ∼ N (20; 1)
(i)
P(X < 18) = P(Z < 18− 20) = P(Z < −2) = P(Z > 2)= 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
(ii)
P(X > 17, 5 |X < 18) = P(17, 5 < X < 18)P(X < 18) = P(17, 5− 20 < Z < 18− 20)0, 0228= P(−2, 5 < Z < −2)0, 0228 = P(2 < Z < 2, 5)0, 0228= tab(2, 5)− tab(2, 0)0, 0228 = 0, 4938− 0, 47720, 0228 ≈ 0, 7281
Questa˜o 3 [2,5 pts]Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 10 e variaˆncia σ2 = 4. Em cada um dositens a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜o dada, indicando em um gra´ficoda distribuic¸a˜o normal original a correta posic¸a˜o de k e sombreando a a´rea correspondentea` probabilidade pedida.(a) P(X < k) = 0, 80
(b) P(X < k) = 0, 15
(c) P(X > k) = 0, 05
(d) P(|X − 10 | > k) = 0, 05
(e) P(|X − 10 | ≤ k) = 0, 70
Soluc¸a˜o
(a) A` esquerda de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,80; logo, k tem que ser maior que ame´dia.
Curso de Administrac¸a˜o 3
P(X < k) = 0, 80⇔
P(Z < k − 102
) = 0, 80⇔
tab(k − 102
) = 0, 30⇔k − 102 = 0, 84⇔ k = 11, 68
(b) A` esquerda de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,15; logo, k tem que ser menor que ame´dia.
P(X < k) = 0, 15⇔
P(Z < k − 102
) = 0, 15⇔
P(Z > −k − 102
) = 0, 15⇔
tab(10− k2
) = 0, 35⇔10− k2 = 1, 04⇔ k = 7, 92(c) A` direita de k tem que ter a´rea 0,05; logo, k tem que ser maior que a me´dia.
P(X > k) = 0, 05⇔
P(Z > k − 102
) = 0, 05⇔
tab(k − 102
) = 0, 45⇔k − 102 = 1, 64⇔ k = 13, 28
(d) Nas duas caudas da distribuic¸a˜o original temos que ter a´rea de 0,05, ou seja, em cadacauda, temos que ter 0,025. Como a desigualdade envolve mo´dulo, k tem que ser positivo.
Curso de Administrac¸a˜o 4
P(|X − 10 | > k) = 0, 05⇔
P(∣∣∣∣ X − 102
∣∣∣∣ > k2
) = 0, 05⇔
P(|Z | > k2
) = 0, 05⇔
P(Z < −k2
)+ P(Z > k2
) = 0, 05⇔
2 · P(Z > k2
) = 0, 05⇔
P(Z > k2
) = 0, 025⇔
tab(k2
) = 0, 475⇔k2 = 1, 96⇔ k = 3, 92(e) A expressa˜o dada e´ equivalente a P(|X − 10 | ≥ k) = 0, 30, ou seja, nas duas caudas dadistribuic¸a˜o original temos que ter a´rea de 0,30, ou seja, em cada cauda, temos que ter0,15 e no meio, 0,70. Como a desigualdade envolve mo´dulo, k tem que ser positivo.
P(|X − 10 | ≤ k) = 0, 70⇔
P(∣∣∣∣ X − 102
∣∣∣∣ ≤ k2
) = 0, 70⇔
P(|Z | ≤ k2
) = 0, 70⇔
P(−k2 ≤ Z ≤ k2
) = 0, 70⇔
2 · P(0 ≤ Z ≤ k2
) = 0, 70⇔
tab(k2
) = 0, 35⇔k2 = 1, 04⇔ k = 2, 08
Questa˜o 4 [2,5 pts]Seja X uma varia´vel aleato´ria binomial com paraˆmetros n = 400 e p = 0, 2, isto e´, X ∼Bin(400; 0, 2).
(a) Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normal eindique os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.
(b) Calcule as seguintes probabilidades usando a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o decontinuidade.
(i) P(X > 88)(ii) P(63 ≤ X ≤ 108)(iii) P(X ≤ 92)(iv) P(88 < X < 109)
Curso de Administrac¸a˜o 5
Soluc¸a˜o
(a) np = 400× 0, 2 = 80 n(1− p) = 400× 0, 8 = 320 OK !X ≈ N (80; 400× 0, 2× 0, 8) ou X ≈ N (80; 64)
(b) (i) P(X > 88) ≈ P(Z ≥ 88, 5− 80√64
) = P (Z ≥ 1, 06) = 0, 5−tab(1, 06) = 0, 5−0, 3554 =0, 1446
(ii) P(63 ≤ X ≤ 108) ≈ P(62, 5− 80√64 ≤ Z ≤ 108, 5− 80√64
) =P(−2, 19 ≤ Z ≤ 3, 56) = tab(3, 56) + tab(2, 19) = 0, 4998 + 0, 4857 = 0, 9855
(iii) P(X ≤ 92) ≈ P(Z ≤ 92, 5− 80√64
) = P(Z ≤ 1, 56) = 0, 5+tab(1, 56) = 0, 5+0, 4406 =0, 9406
(iv) P(88 < X <109) = P(88, 5− 80√64 < Z < 108, 5− 80√64
) = P(1, 06 ≤ Z ≤ 3, 56) =tab(3, 56)− tab(1, 06) = 0, 4998− 0, 3554 = 0, 1444
Curso de Administrac¸a˜o 6
Tabela 1
Valores de p
p = P(0 < Z < z )
Casa inteira
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5000
2
a
 decimal
Curso de Administrac¸a˜o 7
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2016
Cada questa˜o vale 0,5 ponto.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 5
Considere a seguinte func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X :
f (x) =

x + 12 se 0 ≤ x ≤ 1
0 caso contra´rio
Questa˜o 1 Esboce o gra´fico de f (x).Soluc¸a˜o
Figura 1 – Func¸a˜o de densidade para a Questa˜o 1
Questa˜o 2 Mostre que f (x) e´, realmente, uma func¸a˜o densidade.Soluc¸a˜o
• f (x) ≥ 0 pois o gra´fico esta´ no primeiro quadrante, em que y ≥ 0.
• A a´rea sob curva e´ a a´rea de um trape´zio com base menor f (0) = 0, 5, base maiorf (1) = 1, 5 e altura 1. Logo, a a´rea e´ 0, 5 + 1, 52 × 1 = 1.
Questa˜o 3 Calcule P(X ≥ 0, 5).Soluc¸a˜oA probabilidade pedida e´ a a´rea de um trape´zio de bases f (0, 5) = 0, 5 + 0, 5 = 1 e f (1) = 1, 5e altura 0, 5. Logo,
P(X ≥ 0, 5) = 1, 5 + 12 × 0, 5 = 0, 625.
Questa˜o 4 Calcule P(X > 0, 25 |X < 0, 5).Soluc¸a˜oA a´rea sombreada e´ a probabilidade que aparece no numerador.
P(X > 0, 25 |X < 0, 5) = P(0, 25 < X < 0, 5)P(X < 0, 5) =P(0, 25 < X < 0, 5)1− P(X ≥ 0, 5) = f (0,25)+f (0,5)2 × 0, 251− 0, 625 =0,75+12 × 0, 251− 0, 625 = 0, 5833Questa˜o 5 Determine o valor de c tal que P(X < c) = 0, 7.Soluc¸a˜oA a´rea do trape´zio sombreado tem que ser 0,7; esse e´ um trape´zio de bases 0,5 e f (c) e alturac. Logo,
P(X < c) = 0, 7⇔ 0, 5 + 0, 5 + c2 × c = 0, 7⇔c2 + c − 1, 4 = 0⇔ c = −1±√1 + 5, 62
A soluc¸a˜o no domı´nio de f e´ c = −1 +√1 + 5, 62 ≈ 0, 7845.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 6 a 10
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 85 e variaˆncia σ2 = 64.
Questa˜o 6 Calcule P(X > 96, 2).Soluc¸a˜o
P(X > 96, 2) = P(Z > 96, 2− 858
) = P(Z > 1, 4) = 0, 5− tab(1, 4) = 0, 5− 0, 4192 = 0, 0808
Questa˜o 7 Calcule P(X > 77).
Curso de Administrac¸a˜o 2
Soluc¸a˜o
P(X > 77) = P(Z > 77− 858
) = P(Z > −1, 0) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 8413
Questa˜o 8 Calcule P(91 < X < 105).Soluc¸a˜o
P(91 < X < 105) = P(91− 858 < Z < 105− 858
) = P(0, 75 < Z < 2, 5)= tab(2, 5)− tab(0, 75) = 0, 4938− 0, 2734 = 0, 2204
Questa˜o 9 Ache um valor c tal que P(X < c) = 0, 3.Soluc¸a˜oNote que c tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter c < 85.
P(X < c) = 0, 3⇔ P(Z < c − 858
) = 0, 3⇔ P(Z > −c − 858
) = 0, 3⇔
tab(−c − 858
) = 0, 20⇔ 85− c8 = 0, 52⇔ c = 80, 84
Questa˜o 10 Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 16 dessa populac¸a˜o.Calcule P(X < 81).Soluc¸a˜o
X ∼ N (85; 6416
) ou X ∼ N (85; 4)
P(X < 81) = P(Z < 81− 852
) = P(Z < −2) = P(Z > 2)= 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 11 a 15
Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 25 e variaˆncia σ2 = 25. Emcada uma das questo˜es a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜odada, indicando em um gra´fico da distribuic¸a˜o normal original a correta posic¸a˜ode k em relac¸a˜o a` me´dia e sombreando a a´rea correspondente a` probabilidadepedida.
Questa˜o 11 P(X < k) = 0, 95Soluc¸a˜o
Curso de Administrac¸a˜o 3
A` esquerda de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,95; logo, k tem que ser maior que a me´dia.
P(X < k) = 0, 95⇔
P(Z < k − 255
) = 0, 95⇔
tab(k − 255
) = 0, 45⇔k − 255 = 1, 64⇔ k = 33, 2
Questa˜o 12 P(X < k) = 0, 05Soluc¸a˜oA` esquerda de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,05; logo, k tem que ser menor que ame´dia.
P(X < k) = 0, 05⇔
P(Z < k − 255
) = 0, 05⇔
tab(−k − 255
) = 0, 45⇔25− k5 = 1, 64⇔ k = 16, 8
Questa˜o 13 P(X > k) = 0, 10Soluc¸a˜oA` direita de k tem que ter a´rea (probabilidade) 0,10; logo, k tem que ser maior que a me´dia.
P(X > k) = 0, 10⇔
P(Z > k − 255
) = 0, 10⇔
tab(k − 255
) = 0, 40⇔k − 255 = 1, 28⇔ k = 31, 4
Questa˜o 14 P(|X − 25 | > k) = 0, 10Soluc¸a˜oNas duas caudas da distribuic¸a˜o original temos que ter a´rea de 0,10, ou seja, em cada cauda,temos que ter 0,05. Como a desigualdade envolve mo´dulo, k tem que ser positivo.
Curso de Administrac¸a˜o 4
P(|X − 25 | > k) = 0, 10⇔
P(∣∣∣∣ X − 255
∣∣∣∣ > k5
) = 0, 10⇔
P(|Z | > k5
) = 0, 10⇔
P(Z < −k5
)+ P(Z > k5
) = 0, 10⇔
2 · P(Z > k5
) = 0, 10⇔
P(Z > k5
) = 0, 05⇔
tab(k5
) = 0, 45⇔k5 = 1, 64⇔ k = 8, 2Questa˜o 15 P(|X − 25 | ≤ k) = 0, 95Soluc¸a˜oA expressa˜o dada e´ equivalente a P(|X − 25 | ≥ k) = 0, 05, ou seja, nas duas caudas dadistribuic¸a˜ooriginal temos que ter a´rea de 0,05, ou seja, em cada cauda, temos que ter 0,025e no meio, 0,95. Como a desigualdade envolve mo´dulo, k tem que ser positivo.
P(|X − 25 | ≤ k) = 0, 95⇔P(|X − 25 | > k) = 0, 05⇔
P(∣∣∣∣ X − 255
∣∣∣∣ > k5
) = 0, 05⇔
P(|Z | > k5
) = 0, 05⇔
P(Z < −k5
)+ P(Z > k5
) = 0, 05⇔
2 · P(Z > k5
) = 0, 05⇔
P(Z > k5
) = 0, 025⇔
tab(k5
) = 0, 475⇔k5 = 1, 96⇔ k = 9, 8
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 16 a 20
Seja X uma varia´vel aleato´ria binomial com paraˆmetros n = 100 e p = 0, 1, isto e´,X ∼ Bin(100; 0, 1). Os ca´lculos de probabilidades associadas a esta varia´vel devemser feitos usando-se a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de continuidade.
Curso de Administrac¸a˜o 5
Questa˜o 16 Verifique que sa˜o va´lidas as condic¸o˜es para aproximac¸a˜o da binomial pela normale indique os paraˆmetros de tal distribuic¸a˜o normal.Soluc¸a˜on > 30 np = 100× 0, 1 = 10 > 5 n(1− p) = 100× 0, 9 = 90 > 5 OK !X ≈ N (10; 100× 0, 1× 0, 9) ou X ≈ N (10; 9)
Questa˜o 17 Calcule P(X > 13).Soluc¸a˜o
P(X > 13) ≈ P(Z ≥ 13, 5− 10√9
) = P (Z ≥ 1, 17) = 0, 5− tab(1, 17) = 0, 5−0, 3790 = 0, 1210
Questa˜o 18 Calcule P(5 ≤ X ≤ 16).Soluc¸a˜o
P(5 ≤ X ≤ 16) ≈ P(4, 5− 10√9 ≤ Z ≤ 16, 5− 10√9
) =P(−1, 83 ≤ Z ≤ 2, 17) = tab(2, 17) + tab(1, 83) = 0, 4850 + 0, 4664 = 0, 9514
Questa˜o 19 Calcule P(X ≤ 14).Soluc¸a˜o
P(X ≤ 14) ≈ P(Z ≤ 14, 5− 10√9
) = P(Z ≤ 1, 50) = 0, 5 + tab(1, 50) = 0, 5 + 0, 4332 = 0, 9332
Questa˜o 20 Calcule P(13 < X < 17).Soluc¸a˜o
P(13 < X < 17) = P(13, 5− 10√9 < Z < 16, 5− 10√9
) = P(1, 17 ≤ Z ≤ 2, 17) = tab(2, 17) −tab(1, 17) = 0, 4850− 0, 3790 = 0, 106
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒

X − µσ ∼ N(0; 1)
X − µσ√n ∼ N(0; 1)
X ∼ Bin(n;p) =⇒ X ≈ N [np;np(1− p)]
Curso de Administrac¸a˜o 6
Tabela 1
Valores de p
p = P(0 < Z < z )
Casa inteira
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5000
2
a
 decimal
Curso de Administrac¸a˜o 7
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2016
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, informando os dados acima.• Sua prova sera´ corrigida online. Siga asinstruc¸o˜es na capa deste caderno.• As questo˜es devem ser resolvidas na folhade respostas no espac¸o indicado para cada uma.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• O desenvolvimento das questo˜es tem que ser aa caneta preta ou azul.• E´ permitido o uso de calculadoras.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 3
Considere a seguinte func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X :
f (x) =

x2 se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contra´rio
Questa˜o 1 [1,0 pt] Esboce o gra´fico de f (x) e mostre que f (x) e´, realmente, uma func¸a˜odensidade.Questa˜o 2 [1,0 pt] Calcule P(X > 0, 5 |X < 1, 0).
Questa˜o 3 [0,5 pt] Determine o valor de c tal que P(X < c) = 0, 4.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 4 a 7
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 25 e variaˆncia σ2 = 36.
Questa˜o 4 [0,5 pt] Calcule P(X > 37).
Questa˜o 5 [0,5 pt] Calcule P(X > 19).
Questa˜o 6 [0,5 pt] Calcule P(7 < X < 22).
Questa˜o 7 [1,0 pt] Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 9 dessapopulac¸a˜o. Calcule P(X < 21).
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 8 a 11
Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 10 e variaˆncia σ2 = 4. Emcada uma das questo˜es a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜odada.
Questa˜o 8 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 90
Questa˜o 9 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 05
Questa˜o 10 [1,0 pt] P( |X − 10 | > k) = 0, 05
Questa˜o 11 [1,0 pt] P( |X − 10 | ≤ k) = 0, 80
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 12 a 15
Deseja-se usar a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de continuidade no ca´lculode probabilidades de uma varia´vel binomial X . Para cada um dos eventos dabinomial dados nas Questo˜es 13 a 16, indique, na Folha de Respostas, a opc¸a˜ocorrespondente ao evento apropriado em termos da normal aproximadora Y .
EventoBinomial Normal aproximadoraQuesta˜o 12 [0,5pt] X > 13 (a) Y ≥ 13 (b) Y > 12, 5 (c) Y > 13, 5
Questa˜o 13 [0,5pt] 5 ≤ X ≤ 16 (a) 4, 5 ≤ Y ≤ 16, 5 (b) 5, 5 ≤ Y ≤ 15, 5 (c) 5, 5 ≤ Y ≤ 16, 5
Questa˜o 14 [0,5pt] 8 < X < 12 (a) 7, 5 ≤ Y ≤ 12, 5 (b) 8, 5 ≤ Y ≤ 11, 5 (c) 8, 5 ≤ Y ≤ 12, 5
Questa˜o 15 [0,5pt] 2 ≤ X < 5 (a) 2, 5 ≤ Y ≤ 5, 5 (b) 1, 5 ≤ Y ≤ 5, 5 (c) 1, 5 ≤ Y ≤ 4, 5
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒

X − µσ ∼ N(0; 1)
X − µσ√n ∼ N(0; 1)
X ∼ Bin(n;p) =⇒ X ≈ N [np;np(1− p)]
Curso de Administrac¸a˜o 2
Tabela 1: Z ∼ N(0; 1)Valores de pp = P(0 ≤ Z ≤ z)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,00000,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abcissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5.
casa inteira 
e 1a. 
Decimal
2a. Casa decimal
Curso de Administrac¸a˜o 3
Questa˜o 1
f (x) ≥ 0A´rea sob a curva: A = 12 · 2 · 1 = 1
Questa˜o 2
Probabilidade condicional: P(X > 0, 5 |X < 1, 0) = P(0, 5 < X < 1, 0)P(X < 1, 0)
A´rea de trape´zio: P(0, 5 < X < 1, 0) = f (0, 5) + f (1, 0)2 · 0, 5 = (0, 25 + 0, 5)4 = 0, 1875
A´rea de triaˆngulo: P(X < 1, 0) = 12 · f (1) · 1 = 12 · 12 = 0, 25
P(X > 0, 5 |X < 1, 0) = 0, 18750, 25 = 0, 75
Questa˜o 3
P(X < c) = 0, 4⇔ 12 · c · f (c) = 0, 4⇔ c · f (c) = 0, 8⇔ c22 = 0, 8⇔ c2 = 1, 6⇔ c = ±√1, 6Soluc¸a˜o no domı´nio de definic¸a˜o e´ c = √1, 6 ≈ 1, 2649
Curso de Administrac¸a˜o 5
Ana Maria
Caixa de texto
0,4
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
Numerador: 0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
Denominador: 0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,1
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
 0,1
Questa˜o 4P(X > 37) = P(Z > 37− 256
) = P(Z > 2) = 0, 5− tab(2, 0) = 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
Questa˜o 5P(X > 19) = P(Z > 19− 256
) = P(Z > −1) = 0, 5 + tab(1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
Questa˜o 6
P(7 < X < 22) = P(7− 256 < Z < 22− 256
) = P(−3, 0 < Z < −0, 5)= tab(3, 0)− tab(0, 5) = 0, 4987− 0, 1915 = 0, 3072
Questa˜o 7X ∼ N (25; 369
) ou X ∼ N (25; 4)
P(X < 21) = P(Z < 21− 252
) = P(Z < −2, 0) = P(Z > 2, 0) = 0, 5− tab(2, 0)= 0, 5− 0, 4772 = 0, 0228
Curso de Administrac¸a˜o 6
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Caixa de texto
0,5
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Polígono
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Questa˜o 8k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 10
P(X < k) = 0, 90⇔ P(Z < k − 102
) = 0, 90⇔ tab(k − 102
) = 0, 40⇔k − 102 = 1, 28⇔ k = 12, 56
Questa˜o 9k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 10
P(X < k) = 0, 05⇔ P(Z < k − 102
) = 0, 05⇔ P(Z > −k − 102
) = 0, 05⇔
tab(10− k2
) = 0, 45⇔ 10− k2 = 1, 64⇔ k = 6, 72
Questa˜o 10
P( |X − 10 | > k) = 0, 05⇔ P( |X − 10 |2 > k2
) = 0, 05⇔ P(|Z | > k2
) = 0, 05
⇔ P(Z > k2
)+ P(Z < −k2
) = 0, 05⇔ 2 · P(Z > k2
) = 0, 05⇔ P(Z > k2
) = 0, 025
⇔ tab(k2
) = 0, 475⇔ k2 = 1, 96⇔ k = 3, 92
Questa˜o 11
P( |X − 10 | ≤ k) = 0, 80⇔ P( |X − 10 | > k) = 0, 20⇔ P( |X − 10 |2 > k2
) = 0, 20⇔
P(|Z | > k2
) = 0, 20⇔ P(Z > k2
)+ P(Z < −k2
) = 0, 20⇔ 2 · P(Z > k2
) = 0, 20
⇔ P(Z > k2
) = 0, 10⇔ tab(k2
) = 0, 40⇔ k2 = 1, 28⇔ k = 2, 56
Curso de Administrac¸a˜o 7
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Polígono
Ana Maria
Caixa de texto
0,2
Ana Maria
Caixa de texto
0,3
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,5
Ana Maria
Caixa de texto
0,5
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,5
Ana Maria
Retângulo
Ana Maria
Caixa de texto
0,5
Questa˜o 12X > 13 ≡ Y > 13, 5Resposta: letra (c)
Questa˜o 135 ≤ X ≤ 16 ≡ 4, 5 ≤ Y ≤ 16, 5Resposta: letra (a)
Questa˜o 148 < X < 12 ≡ 8, 5 < Y < 11, 5 ≡ 8, 5 ≤ Y ≤ 11, 5Resposta: letra (b)
Questa˜o 152 ≤ X < 5 ≡ 1, 5 < Y < 4, 5 ≡ 1, 5 ≤ Y ≤ 4, 5Resposta: letra (c)
Curso de Administrac¸a˜o 8
Ana Maria
Caixa de texto
Certo ou errado
Ana Maria
Caixa de texto
Certo ou errado
Ana Maria
Caixa de texto
Certo ou errado
Ana Maria
Caixa de texto
Certo ou errado
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de JaneiroAP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2017
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, informando os dados acima.• Siga as instruc¸o˜es na capa deste caderno.• Resolva as questo˜es nos espac¸os indicados.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• E´ permitido o uso de calculadoras.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 3
Considere a seguinte func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X :
f (x) = { 2x se 0 ≤ x ≤ 10 caso contra´rio
Questa˜o 1 [1,0 pt] Esboce o gra´fico de f (x) e mostre que f (x) e´, realmente, uma func¸a˜o densidade.
Questa˜o 2 [1,0 pt] Calcule P(X > 0,2 |X < 0, 8).
Questa˜o 3 [0,5 pt] Determine o valor de c tal que P(X > c) = 0, 8.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 4 a 7
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´dia µ = 12 evariaˆncia σ 2 = 16.Questa˜o 4 [0,5 pt] Calcule P(X > 19).
Questa˜o 5 [0,5 pt] Calcule P(X > 8).
Questa˜o 6 [0,5 pt] Calcule P(4 < X < 6).
Questa˜o 7 [1,0 pt] Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 25 dessa populac¸a˜o.Calcule P(11 < X < 13).
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 8 a 11
Seja X uma varia´vel aleato´ria normal com me´dia µ = 5 e variaˆncia σ 2 = 9. Em cada uma dasquesto˜es a seguir, determine o valor de k que satisfaz a condic¸a˜o dada.
Questa˜o 8 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 90
Questa˜o 9 [0,5 pt] P(X < k) = 0, 05
Questa˜o 10 [1,0 pt] P( |X − 5 | > k) = 0, 05
Questa˜o 11 [1,0 pt] P( |X − 5 | ≤ k) = 0, 80
Curso de Administrac¸a˜o 1
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 12 a 15
Deseja-se usar a aproximac¸a˜o normal com a correc¸a˜o de continuidade no ca´lculo de probabili-dades de uma varia´vel binomial X . Para cada um dos eventos da binomial X dados nas Questo˜es12 a 15, indique o evento apropriado em termos da normal aproximadora Y .
Questa˜o 12 [0,5 pt] P(X < 13)
Questa˜o 13 [0,5 pt] P(4 < X ≤ 10)
Questa˜o 14 [0,5 pt] P(15 < X < 23)
Questa˜o 15 [0,5 pt] P(X ≥ 25)
Alguns resultados
X ∼ N (µ; σ 2) =⇒
X − µσ ∼ N(0; 1) X − µσ√n ∼ N(0; 1)
Tabela 1: Z ∼ N(0; 1)Valores de pp = P(0 ≤ Z ≤ z)
Curso de Administrac¸a˜o 2
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de JaneiroGabarito da AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 1/2017
Questa˜o 1
f (x) ≥ 0
A´rea sob a curva e´ a a´rea de um triaˆngulo:A = 12 · 1 · 2 = 1
Questa˜o 2Probabilidade condicional: P(X > 0, 2 |X < 0, 8) = P(0, 2 < X < 0, 8)P(X < 0, 8)
P(0, 2 < X < 0, 80) = f (0, 2) + f (0, 8)2 · 0, 6 = 0, 4 + 1, 62 · 0, 6 = 0, 6
P(X < 0, 80) = 12 · f (0, 8) · 0, 8 = 12 · 1, 6 · 0, 8 = 0, 64
P(X > 0, 2 |X < 0, 8) = 0, 60, 64 = 1516 = 0, 9375
Questa˜o 3
Pela a´rea do trape´zio:2 + f (c)2 · (1− c) = 0, 8⇔ 2 + 2c2 · (1− c) = 0, 8⇔(1 + c)(1− c) = 0, 8⇔ 1− c2 = 0, 8⇔c2 = 0, 2⇔ c =√0, 2 = 0, 4472136Pela a´rea do triaˆngulo:12 · f (c) · c = 0, 2⇔ c · 2c2 = 0, 2⇔ c2 = 0, 2⇔ c =√0, 2 = 0, 4472136
A soluc¸a˜o c = −√0, 2 na˜o pertence ao domı´nio de f .
Curso de Administrac¸a˜o 1
Questa˜o 4
P(X > 19) = P(Z > 19− 124
) = P(Z > 1, 75) =0, 5− tab(1, 75) = 0, 5− 0, 4599 = 0, 0401
Questa˜o 5
P(X > 8) = P(Z > 8− 124
) = P(Z > −1) =0, 5 + tab(1, 0) = 0, 5 + 0, 3413 = 0, 8413
Questa˜o 6
P(4 < X < 6) = P(4− 124 < Z < 6− 124
) = P(−2, 0 < Z < −1, 5) =
tab(2, 0)− tab(1, 5) = 0, 4772− 0, 4332 = 0, 0440
Questa˜o 7 X ∼ N (12; 1625
) ou X ∼ N (12; 0, 82)
P(11 < X < 13) = P(11− 120, 8 < Z < 13− 120, 8
) =P(−1, 25 < Z < 1, 25) =
2 · tab(1, 25) = 2 · 0, 3944 = 0, 7888
Curso de Administrac¸a˜o 2
Questa˜o 8k tem que ser maior que a me´dia, ou seja, temos que ter k > 5
P(X < k) = 0, 90⇔ P(Z < k − 53
) = 0, 90⇔
tab(k − 53
) = 0, 40⇔ k − 53 = 1, 28⇔ k = 8, 84
Questa˜o 9k tem que ser menor que a me´dia, ou seja, temos que ter k < 5P(X < k) = 0, 05⇔ P(Z < k − 53
) = 0, 05⇔
P(Z > −k − 53
) = 0, 05⇔
tab(5− k3
) = 0, 45⇔ 5− k3 = 1, 64⇔ k = 0, 08
Questa˜o 10 P( |X − 5 | > k) = 0, 05⇔ P( |X − 5 |3 > k3
) = 0, 05⇔
P(|Z | > k3
) = 0, 05⇔ P(Z > k3
)+ P(Z < −k3
) = 0, 05⇔
2 · P(Z > k3
) = 0, 05⇔ P(Z > k3
) = 0, 025⇔ tab(k3
) = 0, 475
⇔ k3 = 1, 96⇔ k = 5, 88
Questa˜o 11 P( |X − 5 | ≤ k) = 0, 80⇔ P( |X − 5 | > k) = 0, 20⇔P( |X − 5 |3 > k3
) = 0, 20⇔ P(|Z | > k3
) = 0, 20⇔
P(Z > k3
)+ P(Z < −k3
) = 0, 20⇔
2 · P(Z > k3
) = 0, 20⇔ P(Z > k3
) = 0, 10⇔ tab(k3
) = 0, 40⇔k3 = 1, 28⇔ k = 3, 84
Curso de Administrac¸a˜o 3
Questa˜o 12X < 13 ≡ X ≤ 12 ≡ Y ≤ 12, 5
Questa˜o 134 < X ≤ 10 ≡ 5 ≤ X ≤ 10 ≡ 4, 5 ≤ Y ≤ 10, 5
Questa˜o 1415 < X < 23 ≡ 16 ≤ X ≤ 22 ≡ 15, 5 ≤ Y ≤ 22, 5
Questa˜o 15X ≥ 25 ≡ Y ≥ 24, 5
Curso de Administrac¸a˜o 4
AP1 - ME´TODOS ESTAT´ISTICOS II - 2/2017ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE
Orientac¸o˜es gerais'
&
$
%
1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador um caderno com os enunciados das questo˜es e, inicial-mente, uma Folha de Resposta para o registro das suas respostas, com sua identificac¸a˜o emuma etiqueta.2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a provae se na Folha de Respostas constam corretamente o seu nome e nu´mero de matr´ıcula. Casocontra´rio, verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel.3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine a Folha de Resposta no local indicadopara este fim.4. Confira e assine cada nova Folha de Resposta solicitada.5. E´ expressamente proibido o uso de telefone celular ou qualquer outro aparelho que permitaconexa˜o a` Internet durante a realizac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade detectada sera´reportada a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas.6. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devi-damente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos.
Orientac¸o˜es para o preenchimento das Folhas de Respostas'
&
$
%
1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta para registro das resoluc¸o˜esdas questo˜es nas Folhas de Respostas.2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-lasde acordo com as questo˜es!3. De prefereˆncia, resolva as questo˜es na ordem dada, separando-as com uma linha horizontal.Numere todas as questo˜es, mesmo que voceˆ na˜o resolva alguma delas. Assim, teremoscerteza de que na˜o esquecemos de corrigir alguma questa˜o.4. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Portanto,quaisquer anotac¸o˜es feitas fora delas sera˜o ignoradas.5. As respostas devem vir acompanhadas de justificativa.6. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar adigitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o.
Orientac¸o˜es espec´ıficas para esta disciplina#
"
 
!
1. E´ permitido o uso de calculadora, desde que na˜o seja a de telefone celular ou de qualqueroutro aparelho conectado a` Internet.2. E´ expressamente proibido o uso de qualquer material de consulta.3. E´ proibido o uso de corretivos nas respostas.
Curso de Administrac¸a˜o 1
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP1 – Me´todos Estat´ısticos II – 2/2017
Nome: Matr´ıcula:Polo: Data:Atenc¸a˜o!
• Identifique a prova, informando os dados acima.• Sua prova sera´ corrigida online. Siga asinstruc¸o˜es na capa deste caderno.• As questo˜es devem ser resolvidas na folhade respostas.
• Devolva todas as folhas ao responsa´vel.• O desenvolvimento das questo˜es tem que ser aa caneta preta ou azul.• E´ permitido o uso de calculadoras.• E´ expressamente proibido o uso de corretivos.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 1 a 3
Considere a seguinte func¸a˜o densidade de uma varia´vel aleato´ria cont´ınua X :
f (x) =

x2 se 0 ≤ x ≤ 2
0 caso contra´rio
Questa˜o 1 [1,0 pt] Esboce o gra´fico de f (x) e mostre que f (x) e´, realmente, uma func¸a˜o densidade.
Questa˜o 2 [1,0 pt] Calcule P(X < 1, 0 |X < 1, 5).
Questa˜o 3 [0,5 pt] Determine o valor de c tal que P(X > c) = 0, 5.
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 4 a 7
Considere uma populac¸a˜o descrita por uma varia´vel aleato´ria X normal com me´diaµ = 15 e variaˆncia σ 2 = 9.
Questa˜o 4 [0,5 pt] Calcule P(X > 22, 5).
Questa˜o 5 [0,5 pt] Calcule P(X > 12).
Questa˜o 6 [0,5 pt] Calcule P(6 < X < 10, 5).
Questa˜o 7 [1,0 pt] Seja X a me´dia de uma amostra aleato´ria de tamanho n = 16 retirada dessapopulac¸a˜o. Calcule P(13, 65 < X < 16, 35).
Curso de Administrac¸a˜o 3
CONTEXTO PARA AS QUESTO˜ES 8