apostila_LAB_FISICAII

Prévia do material em texto

1
LABORATÓRIO DE FÍSICA II
2
Experimento 1: Colisões
Objetivos
a) Verificar a conservação do momento linear e da energia cinética numa colisão
unidimensional.
b) Verificar a conservação do momento linear e da energia cinética numa colisão
bidimensional.
c) Em ambos os casos, verificar se a colisão é elástica ou inelástica.
Conservação da Quantidade de Movimento Linear
Se a soma das forças externas agindo sobre uma partícula (ou sistema de partículas) é
nula, então o momento linear se conserva.
Em colisões isoladas (ausência de forças externas) a Quantidade de Movimento é sempre
conservada. Para dois corpos em colisão, a conservação do momento linear é
matematicamente definida pela equação (1).
Pi = m1 V1i + m2 V2i = m1 V1f + m2 V2f = Pf (1)
onde: m1 e m2, são as massas dos dois corpos; V1i e V2i, são suas velocidades iniciais (antes da
colisão); V1f e V2f, são as velocidades finais dos corpos (depois da colisão); Pi e Pf são os
momentos lineares combinados dos corpos, antes e depois da colisão.
Conservação da Energia
 Uma força é conservativa se não realiza nenhum trabalho resultante sobre um objeto numa
trajetória fechada. Ex.: conservativa: força da gravidade (subida e descida de uma bola),
não conservativa: o mesmo caso mas com atrito do ar, por ex.
 Um sistema conservativo é aquele em que somente forças conservativas (não dissipativas)
realizam trabalho sobre o objeto.
A energia total de um sistema se conserva na ausência de forças dissipativas.
Em colisões isoladas (ausência de forças externas), a energia é também sempre
conservada. Mas, a conservação de energia é muito difícil de ser demonstrada porque ela pode
mudar de forma: energia de movimento (energia cinética) pode ser transformada em energia
térmica, energia potencial gravitacional, ou até mesmo em energia potencial química.
Ec = (1/2) m1 V1
2
+ (1/2) m2 V 22 (2)
3
Colisões
Elástica: conserva a energia cinética e o momento.
Inelástica: O momento linear se conserva e a energia cinética após a colisão é menor
que a inicial. Dissipa-se energia. Se a colisão é completamente inelástica
as partículas grudam e dissipa-se o máximo de energia.
Equipamento necessário
Parte A
Trilho de ar com dois flutuadores
Duas bandeirolas e pára-choques com elásticos
Balança e massas padrões
Dois cronômetros com sensores
Nível e paquímetro
Parte B
Lançador de projéteis e acessório para colisões
Duas bolas de 10 g (aprox.)
Papel carbono e papel para cobrir a mesa
Trena ,Prumo e Transferidor
Parte A: Colisão unidimensional.
Montagem Experimental
Figura 1: Esquema de montagem do experimento.
0.3 m
Lançar contra m2
com velocidade v1i.
Cronômetros na posição gate medem o tempo de passagem das
bandeirolas, que permite determinar a velocidade “instantânea” dos
flutuadores.
O trilho deve estar nivelado e o compressor na posição 4
Bandeirola
com elástico
Bandeirola
Bandeirola
sem elástico
4
Procedimento:
Seguindo a montagem da Figura 1, lance o flutuador 1 contra o flutuador 2. O
flutuador 2 deverá estar inicialmente em repouso. O experimento deverá ser efetuado
inicialmente sem colocar massas adicionais no flutuador 2, nesse caso o momento do
flutuador 1 deverá ser completamente transferido ao flutuador 2. Em seguida, deverão ser
adicionadas ao flutuador 2 as massas:
40, 60, 80, 100, 120, 140g.
 Meça os tempos de passagem das bandeirolas pelos cronômetros antes e depois da colisão.
 Com os tempos determine as velocidades “instantâneas” dos flutuadores.
 Meça as massas dos flutuadores com bandeirolas e elásticos.
 Faça uma tabela com as velocidades iniciais e finais para cada flutuador e calcule as
energias e os momentos lineares.
 Verifique se houve conservação do momento e da energia cinética.
OBS: A velocidade inicial do flutuador 1 deverá ser suficiente para que este possa voltar e
passar novamente pelo cronômetro após a colisão. Recomenda-se realizar o experimento
uma única vez devido a que é difícil soltar o flutuador sempre coma mesma velocidade e,
portanto, uma fonte de erro considerável.
Repita o experimento anterior para o caso em que o flutuador 2 está com 140g adicionais e em
lugar de lançar o flutuador 1 contra o 2, lance o 2 contra o 1.
Quadro 1 - Valores obtidos nas colisões unidimensionais com o flutuador 2 parado.
m1 m2 t1i v1i v2i t1f v1f t2f v2f
0
0
0
0
0
0
0
mi : massas dos flutuadores,
ti : tempos de passagem pelo cronômetro e
vi : velocidades “instantâneas” de cada flutuador.
Quadro 2 - Valores obtidos nas colisões unidimensionais com os flutuadores com
velocidades diferentes de zero.
m1 m2 t1i v1i t2i v2i t2f v2i t1f v1f t2f v2f
5
Parte B: Colisão bidimensional.
Montagem Experimental
Figura 3: Vista de cima. Montagem do canhão, cartolina e papel carbono. Deverão ser
medidas as distâncias Si e ângulos i.
Procedimento:
Seguindo a montagem das Figuras 2 e 3, você deverá determinar a quantidade de movimento
inicial (da bola 1) e final (bolas 1 e 2, após a colisão). A velocidade (S/t) pode ser determinada
calculando o tempo de vôo ( ght 2 ). Para isto proceda da seguinte maneira:
X
h
Figura 2: Vista lateral. Esquema de montagem do canhão de lançamento
de projéteis
Canhão na posição horizontal
Suporte
Papel carbono para determinar o ponto de impacto da bola
Cartolina Branca
(fixar firmemente)
1
2
S1
S2
x
y
Canhão
(Medida a partir
da base da boca
do canhão)
6
 É fundamental fixar a cartolina firmemente na mesa para que o eixo não seja
deslocado durante as medidas. Colocar em cima da cartolina, e coincidindo com a posição
de impacto das bolas, papeis carbono. Isto permitirá determinar a distância percorrida x.
 Para determinar o momento inicial, retire a bola 2 do sistema e dispare o canhão. Com a
distância percorrida e o tempo de vôo poderá determinar a velocidade inicial. O canhão
deve ser usado na posição horizontal e sempre com a mola na posição de alcance
mínimo.
 Com as marcas deixadas na cartolina poderá ser definido o eixo central.
 Definir o ponto de colisão, que deverá ser usado como origem do sistema de coordenadas.
Para isto trace uma linha perpendicular ao eixo x que passe pelo centro do parafuso de
suporte da bola 2, este será o eixo y.
 Usando agora as duas bolas, provoque a colisão, meça, na cartolina, o ângulo das
trajetórias e as distâncias percorridas após a colisão.
 Use os dados de cada colisão individual para calcular as médias, desvios, etc. e verifique
se há conservação da energia e momento.
Obs.:
 Repetir cada medida 5 vezes.
 O canhão deve sempre ser usado na posição de mínimo alcance.
Quadro 3. Valores medidos nas colisões bidimensionais.
h=
x =
t=
Colisão no S1 S2 1 2
1
2
3
4
5
médias
1
S
2
S
1

2

Bibliografia:
 Resnick, Halliday e Krane. Física – Vol. 2 de Ed. Livros Técnicos e Científicos
 H .M. Nussenzveig, Curso de Física Básica – Vol. 1, Ed. Edgar Blucher.
7
Experimento 2: Força Centrípeta.
Objetivo
Verificar experimentalmente que a força centrípeta que age sobre um objeto efetuando
movimento circular uniforme é diretamente proporcional a sua massa (M) e ao quadrado da
velocidade tangencial (v), e inversamente proporcional ao seu raio de giro (R):
2
2
2 2 


T
MRRM
R
vM
Fc

Para isto deverão ser realizadas 3 experimentos onde para uma partícula em movimento
circular uniforme irá:
d) Variar o raio e manter a massa e a velocidade constantes.
e) Variar a velocidade e manter o raio e a massa constantes.
f) Variar a massa e manter o raio e a velocidade constantes.
Introdução
Chamamos de força centrípeta à força necessária para manter uma partícula de massa
m, em movimento circular uniforme. Ela é sempre dirigida na direção radial e apontada para o
centro da trajetória circular.Quando um objeto de massa M, amarrado em um fio de comprimento R, é rodado em
um círculo horizontal, a força centrípeta sobre a massa é dada por:
2
2
RM
R
vM
Fc  (1)
onde V é a velocidade tangencial, e w é a velocidade angular (V = w.R).
Para medir a velocidade, o tempo para uma rotação (o período, T) deve ser conhecido.
Se a velocidade tangencial é dada por:
T
R
V
2 , (2)
e a força centrípeta torna-se:
2
2
2 2 


T
MRRM
R
vM
Fc
 (3)
8
Obs.: Não devemos confundir força centrípeta com força centrífuga. Quando um
corpo realiza uma trajetória curva, para um observador no solo (sistema de referência inercial),
o corpo está sendo submetido a uma força centrípeta, que é a que faz que o corpo não
continue em linha reta, como indica a lei de inércia da Newton. Entretanto, no sistema de
referência do corpo, que é um sistema de referencia não inercial, o corpo (por exemplo uma
pessoa dentro de um carro) sentira que está sendo acelerado na direção radial para fora. Esta
força, chamada também de pseudo-força ou força fictícia, já que só existe no sistema não-
inercial, é chamada de força centrífuga.
Equipamentos necessários
Acessórios para força centrípeta
Cronômetro
papel gráfico
Fios
Plataforma rotacional
Balança
Massas (1x50g; 2x20g; 1x10g)
Porta-massas (5g) e
Massa quadrada de 300 g
Montagem Experimental:
Nivelamento da Base: Para uma correta execução do experimento é necessário um perfeito
nivelamento da base.
a) Como mostrado na Figura 1, coloque uma massa de 275g num dos extremos da
plataforma rotacional. Colocando o extremo com a massa sobre o pé esquerdo da base,
ajuste o nível com o parafuso de nivelamento no pé direito da base.
b) Gire a plataforma rotacional em 90o e ajuste o nível com o parafuso esquerdo, de acordo
com a Figura 1B.
 
Figura 1: Nivelamento da base.
Plataforma rotacional
Base
Massa para nivelamento
Parafusos para nivelamento
Ajustar este
pé primeiro
A) B)
9
 
Figura 2: Montagem da plataforma rotacional:
Figura 3: Detalhe do disco e anel indicador.
Como Determinar a Força Centrípeta:
Haste central
Haste lateral
Massa M efetuando
movimento circular
Massa de Tração (m)
com porta-maças
Suporte móvel da mola
Disco indicador
Anel indicador
móvel
Disco indicador
Suporte para adição de
massas laterais
Cordas de
sustentação
Massa M
Plataforma rotacional
Motor
Polia
10
A força centrípeta pode ser determinada usando a massa de tração:
a) Colocar uma massa de tração, m, no porta-massas e ajustar o suporte da mola de maneira
que a corda de sustentação de M fique completamente vertical.
b) Ajustar o anel indicador de maneira que fique alinhado com o disco indicador.
c) Retirar a massa de tração. Usando o motor acoplado a plataforma, a massa M é posta em
rotação e aumenta-se a velocidade de giro até o anel e o disco indicador estarem alinhados.
Nesse instante a força centrípeta, exercida pela mola, será igual ao peso associado a massa
de tração usada inicialmente.
Experimento 1: Variando o raio e mantendo a massa M, a massa de tração
e a velocidade constantes.
a) Verifique que a massa M (Fig. 1) seja de aproximadamente 107g (isto é, não devem ser
usadas as massas laterais)
b) Use uma massa de tração de 20g e raios de 8, 10, 12 e 14 cm.
c) Para cada raio, alinhe o disco e anel indicador para obter a força centrípeta equivalente.
d) Após a retirada da massa de tração, acionar o motor e, para cada valor de r, aumentar a
velocidade de rotação até o disco e o anel indicador estarem alinhados.
e) Medir o tempo de 10 rotações e com isso obter o período. Repetir a medida 5 vezes.
Anotar no Quadro 1.
f) Faça um gráfico usando os valores do raio e do período. O que pode deduzir do resultado?
Quadro 1. Medidas do tempo para 10 voltas do movimento circular
Massa do objeto (M) =..........................................kg.
Massa pendurada sobre a polia (m) =........ ...........kg
Força centrípeta (FC ) =......................N
Coeficiente angular da reta=………….
Raio (m)
tempo para 10 voltas (s)
t1 t2 t3 t4 t5 tm
0,08
0,10
0,12
0,14
11
Experimento 2: Variando a massa de tração (equivalente a força centrípeta)
e mantendo M e o raio constantes.
a) Verifique que a massa M (Fig. 1) seja de aproximadamente 107g (isto é, não devem ser
usadas as massas laterais)
b) Use massas de tração de 20, 40, 60 e 80g e raio de 13cm.
c) Para cada caso, alinhe o anel indicador para obter a força centrípeta equivalente.
d) Após retirada a massa de tração, acionar o motor e, em cada caso, aumentar a velocidade
de rotação até o disco e anel indicador estarem alinhados.
e) Medir o tempo de 10 rotações e com isso obter o período. Repetir a medida 5 vezes.
Anotar no Quadro 2.
g) Faça um gráfico usando os valores da força centrípeta e período. O que pode deduzir do
resultado?
Quadro 2. Medidas do tempo para 10 voltas do movimento circular
Massa do objeto (M) =..........................................kg.
Raio selecionado (R) =........ ...........m
Coeficiente angular da reta = .............
Força centrípeta (FC) = ...............;...........;.......... (N)
Massa
pendurada
(kg)
Tempo para 10 voltas (s)
t1 t2 t3 t4 t5 tm
12
Experimento 3: Variando a massa em rotação, M, e mantendo a massa de
tração e o raio constantes.
a) Use uma massa de tração de 50g e raio de 13cm.
b) Agora deverá ser variada a massa M adicionando discos nas suas laterais. Use
inicialmente a massa original M=107g e logo M+50g e M+100g.
c) Após a retirada a massa de tração, acionar o motor e, em para cada massa, aumentar a
velocidade de rotação até o disco e anel indicador estarem alinhados.
d) Medir o tempo de 10 rotações e com isso obter o período. Repetir a medida 5 vezes.
Anotar no Quadro 3.
h) Faça um gráfico usando os valores da massa em rotação e o período. O que pode deduzir
do resultado?
Quadro 3. Medidas do tempo para 10 voltas do movimento circular
Massa pendurada (m) =..........................................kg.
Raio selecionado (R) =........ ...........kg
Coeficiente angular da reta : ..................
Força centrípeta (FC) =......................
Massa do
objeto
(kg)
Tempo para 10 voltas (s)
t1 t2 t3 t4 t5 tm
Bibliografia:
 Resnick, Halliday e Krane . Física – Vol. 2 de, Ed. Livros Técnicos e Científicos
 H .M. Nussenzveig, Curso de Física Básica – Vol. 1, Ed. Edgar Blucher.
13
Experimento 3: Momento de Inércia
Objetivo:
Determinar o momento de inércia de:
a) Uma partícula
b) Um disco
c) Um disco em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de massas.
Momento de Inércia:
O momento de inércia, ou inércia rotacional, é uma medida da resistência que um
corpo oferece ao movimento de rotação. Ou seja, é o análogo rotacional da massa no
movimento linear.
Para um sistema de i partículas com coordenada de posição r (em relação ao eixo de rotação)
e massa M, o momento de inércia é definido como:
 


i
iirMI
2
2
1
, (1)
sendo que para o caso de termos um corpo contínuo, deve ser escrito como:
 

 drrMI ii 22
1
(2)
Teorema dos Eixos Paralelos:
A inércia rotacional em relação a um eixo que é paralelo ao eixo que passa pelo centro
de massas do corpo é dada por:
2MdII CM 
onde ICM é o momento de inércia em relação ao centro de massas e d é a distância daquele
eixo ao centro de massas
14
Momentos de Inércia:
Partícula: 2
2
1
RMI 
Disco: 2
2
1
RMI  (Em relação a um eixo que passa pelo centro de massas do disco –
note que independe da espessura do disco).
Nivelamento da Base:
A base deve estar perfeitamente nivelada. Para isto deve ser seguido o mesmo
procedimento usado no experimento da força centrípeta. Entretanto,o nivelamento deve ser
feito usando o disco no extremo da plataforma giratória, como na Figura 3, em lugar da
massa quadrada de 275g
Como Medir o Momento de Inércia:
Usando alguma das montagens para os sistemas rotacionais mostrados nas Figuras 1, 2
e 3, o momento de inércia pode ser medido da seguinte maneira:
1. Como mostrado nas figuras, enrole na polia de raio r um fio de comprimento tal que a
massa de tração m, amarrada no extremo livre do fio, possa cair por uma distância de
50cm.
2. Fixe os pontos de início e fim do trecho onde será medido o tempo.
3. Para massas de tração de 10, 20, 30 e 40g, soltar a massa e medir o tempo de queda (para
efeitos de cálculo deverá adicionar à massa de tração a massa do porta massas). Com
o tempo de queda e a altura, poderá determinar a aceleração (h=1/2 at2).
4. Faça um gráfico da massa de tração (m) versus a aceleração (a) e obtenha o momento de
inércia do sistema usando a equação (vide apêndice):


 
22 r
I
g
C
a
g
C
m (3)
onde g é a aceleração da gravidade, que se supõe conhecida, C uma constante e I o momento
de inércia, que deverão ser determinados do gráfico.
15
5. O momento de inércia medido no item anterior, logicamente é o momento de inércia do
conjunto sistema rotacional mais objeto (partícula ou disco). Para obter o momento de
inércia do objeto, devemos então medir o momento de inércia só do sistema rotacional e
subtraí-lo do obtido no item 4. Para tal, retire os objetos correspondentes (partícula ou
disco) do sistema rotacional e faça as medidas de tempo da seguinte maneira:
 Para o sistema rotacional sem plataforma rotacional use massas de: 1, 3, 5, 7, 9 g
(para massas maiores o tempo de queda é muito curto)
 Para o sistema rotacional com a plataforma rotacional use massas de: 10, 20, 30 e
40g
6. Como no item 4, o momento de inércia do sistema rotacional deverá ser determinado a
partir do gráfico m vs a.
7. Repetir cada medida 5 vezes
8. Compare com o resultado teórico.
1. Momento de Inércia de uma Partícula
Montagem Experimental:
Figura 1: Montagem para medida do momento de inércia de uma partícula.
R
Polia de raio r
Porta-massas com
massa de tração (m)
com
Altura de queda
h=50cm
Partícula de massa M Plataforma
rotacional
Sistema rotacional
16
2. Momento de Inércia de um disco
Montagem Experimental:
Figura. 2: Montagem para medida do momento de inércia de um disco.
3. Momento de Inércia de um Disco com Eixo de Rotação Fora do CM.
Montagem Experimental:
Figura 3: Montagem para medida do momento de inércia de um disco.
Bibliografia
 Resnick, Halliday e Krane, Física,Ed. Livros Técnicos e Científicos
 H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica – Vol. 1, Ed. Edgar Blucher.
m=massa de tração+
porta-maças
Disco de massa M
Polia de raio r
Base
nivelada
m = Massa de tração +
porta-massa.
Disco
Base
nivelada
Polia de raio r
Plataforma
Rotacional
d
Suporte disco
R
R
17
ANEXO – ROTEIRO DE CÁLCULOS
Ao soltar do repouso, t = 0, o corpo de massa m, ele descerá com uma aceleração a
atingindo o anteparo num tempo t, percorrendo uma altura Y. Medindo-se o valor de Y e t
pode-se calcular o valor da aceleração linear, a, como:
2
2 2
2
1
t
Y
ataY  (1)
Aplicando a Segunda Lei de Newton da translação, ver Fig. 2,para a massa pendurada,
m, vem:
   agmTamTgmamFy (2)
A tração T aplicada na polia do sistema rotacional produz um torque, MT, dado por:
MT= T.r, (3)
onde r é o raio da polia.
Por outro lado, nos elementos de apoio do sistema rotacional fornecem forças de
atrito que tendem a girar o sistema no sentido contrário e este efeito rotativo deve ser
considerado pelo torque de atrito, MA.
O efeito resultante destes torques, MT e MA, é produzir uma aceleração angular, α, no
sistema rotacional em torno do eixo de rotação, e de acordo com a Segunda Lei de Newton
para a rotação tem-se:
MT− M= IC.α (4)
com
r
a (5)
sendo IC, o momento de inércia do conjunto (partícula + sistema de rotação).
Com pode-se perceber é relativamente fácil medir o torque da força de tração e a
aceleração angular enquanto que, o torque das forças de atrito exige cálculos adicionais
utilizando-se da rotação do equipamento após cessar o efeito da tração T, quando a massa m
atinge o anteparo, até o sistema parar de girar.
Substituindo a equação (3) em (4) e resolvendo para T com a equação (5), vem:
r
M
r
a
IT AC  2 (6)
Igualando as equações (2) e (6) , obtemos:
18
   
r
M
r
aI
agm
r
M
r
aI
agm
ACAC 
22
(7)
Somando-se a quantidade (Id.g/r
2
) aos dois membros da equação (7) podemos escrever:
 
22
.
r
gI
r
M
r
I
mag CAC 

  (8)
Como a velocidade angular do conjunto é pequena, podemos considerar MA como
sendo constante, logo o segundo termo da equação (8) é uma constante, C, ou seja,
2r
gI
r
M
C CA  (8 a)
Então a equação (8) torna-se:
 



 


 
g
a
g
C
r
I
m
ag
C
r
I
mC
r
I
mag CcC
1
22
Como a ≤ g, usando X
X
 11
1
, onde
g
a
X  , teremos:



 


 
222
1
r
I
g
C
a
g
C
m
g
a
g
C
r
I
m CC (9)
Observa-se que equação (9) é a equação de uma reta do tipo: y = A x + B onde:
y = m = massa de tração utilizada para mover o conjunto,



 
2r
I
g
C
B C = coeficiente linear da reta
2g
C
A  = coeficiente angular ad reta
 ax aceleração linear da massa de tração
Erro percentual : %100exp
T
T
I
II
D

19
Experimento 4: Oscilações - Pêndulo Simples e Pêndulo Físico
Objetivo:
a) Mostrar que o período de um pêndulo simples é independente da massa e é diretamente
proporcional a
g
l .
b) Mostrar que o período de um pêndulo físico e proporcional a
mgd
I
0 .
c) Em ambos os casos, determinar a aceleração da gravidade.
Movimento Harmônico:
Um tipo comum e importante de movimento oscilatório (ou periódico) é o movimento
harmônico simples, que definimos da seguinte maneira:
Um corpo realiza movimento harmônico simples se a sua coordenada varia
senoidalmente com o tempo.
Nesta situação, a aceleração de um corpo é proporcional e tem direção oposta à do
deslocamento.
Pêndulo Simples:
O pêndulo é um exemplo de movimento oscilatório e é harmônico simples somente se
a amplitude do movimento for pequena. A Fig. 1 mostra um pêndulo simples que é
constituído de um fio de comprimento L e massa desprezível, que sustenta em uma das suas
extremidades uma massa m e é fixado pela outra. As forças que atuam na massa são: a tração
no fio e a força gravitacional, m.g.
Quando o fio faz um ângulo θ com a vertical temos uma componente da força
gravitacional, mg.sen θ, na direção tangente a trajetória da massa e sentido dos θ decrescentes
e outra, mg.cos θ, na direção do fio, oposta a tração.
Seja S, o comprimento do arco descrito, medido a partir do ponto mais baixo da
trajetória. A relação entre o comprimento do arco e o ângulo θ é:
S = R .θ
A aceleração tangencial da aceleração do corpo oscilante é:
2
2
dt
Sd
20
Pela 2
a
Lei de Newton, aplicada à componente tangencial da força gravitacional, vem:
  02222  sengdtSddtSdmsengmamFt
Com o ângulo θ muito pequeno (até 100), então sen θ   e θ= S/L, portanto,
0
2
2
 S
L
g
dt
Sd
que é a equação diferencial do movimento harmônico simples, onde:
2w
L
g 
sendo w a freqüência angular que é dada por: .
T
w
2
onde T é o período, ou seja, o tempo decorrido para uma oscilação completa (movimento de
vai e vem).
Associando as duas equações teremos como período do pêndulo simples:
g
lT 2Figura 1- Desenho esquemático de um pêndulo simples e a representação das forças que
atuam na partícula suspensa.
21
Observação: Quando a amplitude de oscilação não for pequena, o movimento do pêndulo é
periódico, mas não é harmônico simples. Em particular, o período, T, mostra
uma ligeira dependência com a amplitude. Esta dependência é expressa,
usualmente, em termos da amplitude angular θ0 . Com amplitudes que não são
necessariamente pequenas, o período é dado por:



 

 0
2
20
2
20 4
3
2
1
2
1
1  sensenTT
Pêndulo Físico:
Um corpo rígido, suspenso por um ponto que não seja o seu centro de massa e que
possa oscilar no plano vertical quando for deslocado da posição de equilíbrio é denominado
de pêndulo físico.
Considere a Fig. 2, que representa um corpo rígido de massa m, suspenso pelo ponto O
a uma distância d do seu centro de massa e deslocado do equilíbrio pelo ângulo θ.
Figura 2. Representação esquemática de um pêndulo físico.
A força restauradora, que leva o corpo a sua posição de equilíbrio, vale: (-m.g.senθ),
e o torque resultante restaurador é dado por: M = - m.g.senθ. d, que tende a diminuir o valor
de θ.
A aceleração angular, α, do corpo está relacionada com o torque pela 2
a
Lei de
Newton para a rotação, como segue:
2
2
00
dt
d
IIM
 
onde 0I é o momento de inércia do corpo em torno do ponto de suspensão.
22
Substituindo o torque resultante e rearranjando, teremos:
0
0
2
2
 sen
I
dgm
dt
Sd
. .
Também neste caso, como no pêndulo simples, o movimento é aproximadamente
harmônico simples se os deslocamentos angulares forem pequenos, de modo que a
aproximação sen θ= θ seja válida. Então:
2
0
0
2
2
 sen
I
dgm
dt
Sd
que é a equação diferencial do movimento harmônico simples, onde 2
0
w
I
dgm  e
T
w
2 , sendo T o período de oscilação e então:
Para pequenos ângulos de oscilação, o período (T) de um pêndulo físico é dado por:
mgd
I
T 02
Momento de Inércia de uma Barra Cilíndrica:
Se conhecemos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa
pelo seu centro de massa, ICM (para a haste delgada: ICM = (1/12) M.L
2
), podemos
determinar o momento de inércia em relação a qualquer outro eixo paralelo ao primeiro pelo
Teorema dos eixos paralelos:
2
0 mdII CM 
Sendo ICM o momento de inércia do centro de massas.
22
4
1
12
1
mRmLI 
Em relação a um eixo transversal que passa pelo centro de massas, sendo R o raio e L
o comprimento da barra. Para L>>R, o segundo termo pode ser descartado.
23
Procedimento Experimental:
Pêndulo Simples:
1. Usando a montagem da Figura 1 e uma massa m=100g, meça o período de oscilação
do pêndulo para 6 comprimentos, l, diferentes.
2. Repetir a medida do período 4 vezes para cada comprimento. Como as equações do
período são válidas para pequenos ângulos de oscilação, faça um pequeno ângulo com
o pêndulo em relação ao eixo vertical.
3. Graficar T2 em função de l e determinar o valor de g.
4. Repita o experimento para m=500g, usando os mesmos comprimentos dos itens
anteriores e mostre que o período não depende da massa.
Figura 1: Pêndulo simples de comprimento l e massa m.
l
m
24
Pêndulo Físico:
1. Usando a montagem da Figura 2, prenda a barra ao suporte usando uma presilha
colocada a uma distância d do centro de massas.
2. Colocando a presilha a uma distância d=3cm do centro de massas, faça a barra oscilar
para um ângulo pequeno e meça 4 vezes o período de oscilação.
3. Repita o procedimento para valores de d que aumentam de 3 em 3 cm.
4. Grafique T2 em função de I0/d e determine o valor de g. Você devera calcular o
momento de inércia, I0, para cada valor de d.
Figura 2: Pêndulo físico oscilando em torno de um eixo a uma distância d do Centro de
massas.
Bibliografia:
 Resnick, Halliday e Krane . Física , Ed. Livros Técnicos e Científicos.
 H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica – Vol. 1, Ed. Edgar Blucher.
CM d
Presilha
L
25
Experimento 5: Molas
Objetivos:
 Verificar experimentalmente a lei de Hooke
 Determinar a constante elástica através dos métodos dinâmico e estático
 Determinar a constante elástica de associações de molas em série e em paralelo
Estudo estático de molas
Quando prende-se uma das extremidades da mola e aplica-se lentamente na outra uma
força F, cuja linha de ação coincide com o eixo da hélice, observa-se uma deformação que
acarreta uma variação no comprimento da mola, Fig. 1.
Figura 1 – Desenho esquemático de uma mola helicoidal sob ação de uma força e respectiva
elongação
Verifica-se que, se a força F não ultrapassar o limite de elasticidade, o gráfico da força,
F, em função da elongação da mola, x, fornece uma reta passando pela origem e a expressão
matemática obtida será:
F= Kx
onde K é a constante de proporcionalidade, denominada de constante elástica da mola
Pode-se também, quando necessário, realizar com as molas associações em paralelo ou
em série. Neste caso é importante determinar uma constante elástica equivalente, Keq, ou seja,
substituir as molas em série ou paralelo por uma única mola que irá produzir o mesmo efeito
(a mesma força ou a mesma elongação).
26
Associações em paralelo
Pela observação da Fig. 2, verifica-se que:
0LLL  F = F1 + F2 21 LLL 
Figura 2 - Diagrama da associação de duas molas em paralelo e a mola equivalente
Pela relação entre força e deformação; tem-se:
F
1
= K
1
.∆L; F
2
= K
2
.∆L e F= Keq.∆L
Logo,
21
2121 KKK
L
F
L
F
L
FF
L
F
K eqeq 

Para o caso de ter-se três molas associadas em paralelo, de modo semelhante obtém-se:
321 KKKKeq 
27
Associações em série
De acordo com a Fig. 3, pode-se obter as seguintes relações:
F = F1 = F; ∆L=∆L1 +∆L e F= Keq.∆L
F1 = K1.∆ L e F2 = K2.∆L
Desta forma o Keq pode ser escrito como:
21
21
21
2121
1
11
11
KK
KK
KKF
L
F
LLL
F
L
F
Keq 


1
.
Logo, a constante elástica equivalente, fica:
21
21
KK
KK
Keq 
Figura 3 - Diagrama da associação de duas molas em série e a mola equivalente
28
Estudo dinâmico de molas
A 2
a
Lei de Newton para um movimento de translação é dada por:
2
2
dt
xd
m
dt
dv
mamFR 
e no caso de um movimento oscilatório (um corpo de massa m associado a uma mola) :
FR=− Kx,
. onde K
é a constante elástica da mola.
Igualando as equações e rearranjando vem:
0
2
2
 x
m
K
dt
xd
onde 2w
m
K  com
T
w
2
sendo T o período do movimento.
Logo,
K
m
T 2
OBSERVAÇÃO:
A constante elástica de uma mola, pode ser determinada utilizando as características
geométricas e do módulo de rigidez do fio da seguinte forma:
3
4
4 RN
r
K

onde: r é o raio do fio que constitui a mola
R é o raio interno da espira
N é o número de espiras
µ é o módulo de rigidez do fio
29
Procedimento Experimental
Determinação da Constante Elástica de uma Mola:
a. Método Estático: Baseia-se na lei de Hooke:
 Usando a montagem da Figura 1a, coloque uma massa m no extremo da mola e meça
o deslocamento x em relação ao ponto de equilíbrio (mola sem massa).
 Repita o procedimento para massas de 20, 40, 60, 80, 100g. Anote no Quadro 1.
 Determine a constante da mola pelo gráfico do peso (F) associado à massa m, vs. o
deslocamento, x.
 Para uma associação de molas em série ou paralelo use a montagem apresentada nas
Figuras 1b e 1c e faça o mesmo procedimento. Anote no Quadro 2.
b. Método Dinâmico: Oscilador Harmônico
 Seguindo a montagem da Figura 1a, coloque uma massa no extremo da mola. A partir
do ponto de equilíbrio do sistema mola+massa,provoque um pequeno deslocamento
(por exemplo, 1 cm), solte e deixe oscilar.
 Meça o tempo (t) de 10 oscilações e calcule o período (T).
 Meça o tempo 3 vezes para massas de 20, 40, 60, 80, 100g. Anote no Quadro 3.
 Obtenha a constante elástica pelo gráfico de T2 em função de m.
Figura 1: a) uma mola b) 2 molas em paralelo c) 2 molas em série.
b) c)
Ponto de
Equilíbrio
a)
F = -kx
30
Quadro 1 - Dados obtidos para estudo da relação entre força e elongação de uma mola.
Preta Amarela Vermelha
Medidas F x F x F x
(N) (m) (N) (m) (N) (m)
1
2
3
Kexp.
Kteór.
E %
Quadro 2 - Medidas de força e elongação de associações de molas em paralelo e em série
Associação em Paralelo Associação em série
Preta+Amarela Preta+Vermelha+Amarela Amarela+Vermelha
Medida
s
F x F x F x
(N) (m) (N) (m) (N) (m)
1
2
3
Kexp
Kteor
E %%
31
Quadro 3 - Dados obtidos no ensaio do estudo dinâmico de uma mola .
Cor da mola escolhida
Medidas F m t (10 osc.) T T2
(N) (kg) (s) (s) (s2)
1
2
3
K’exp
Kteór
E %
Bibliografia:
 Resnick, Halliday e Krane, Física – Vol. 2 Ed. Livros Técnicos e Científicos
 H .M. Nussenzveig, Curso de Física Básica – Vol. 1, Ed. Edgar Blucher.
32
Experimento 6 – Determinação do coeficiente de dilatação linear
de sólidos
Objetivo
 Determinar o coeficiente de dilatação de diversos materiais
Dilatação linear de sólidos
Quando uma vareta de comprimento L0 é aquecida por meio de uma variação de
temperatura ∆T, o seu comprimento aumenta de uma quantidade ∆L. A observação mostra
que para uma faixa ampla de sólidos, nas temperaturas dentro da gama das experiências
diárias, a expansão relativa ∆L/L0 é quase perfeitamente proporcional a ∆T.
Figura 1 - Desenho esquemático da dilatação de uma vareta sob variação de temperatura.
Esta relação pode ser escrita na forma de uma equação como:
T
L
L  
0
onde α é uma constante de proporcionalidade.
ou ∆L = L0..∆T ou L = L0 1.( +α.∆T) onde ∆T = T – T0
Considerando-se uma variação infinitesimal de temperatura dT, em vez de uma
variação finita ∆T, o acréscimo no comprimento da barra será uma quantidade infinitesimal
dL. Neste caso a equação assume a forma:
dT
L
dL 
0
ou
dT
dL
L0
1
Esta equação pode ser considerada como a definição de α, que é chamada de
coeficiente de dilatação linear.
33
Observando a Tabela 1, nota-se que alguns pontos se tornam evidentes. Primeiro e
mais surpreendente é a pequena amplitude da faixa de variação do coeficiente de dilatação
linear de material para material. Os metais geralmente possuem valores de α relativamente
menores, e os não metais possuem valores maiores. Os polímeros (borracha dura) tendem a
valores de α mais altos, mas a madeira constitui uma exceção dessa afirmação geral.
Finalmente, as substâncias anisotrópicas (como a calcita) possuem valores diferentes de α
conforme a direção estudada.
TABELA 1 – Valores aproximados do coeficiente de dilatação linear de vários materiais
Material Temperatura (K) α x 10
-6
(K
-1
)
Aço 313 10,5
Alumínio 293 25,5
Latão 293 19
Cobre 298 - 373 16,8
Borracha dura 298 - 373 84,2
Calcita 273 - 358
Paralela ao eixo do cristal 25,1
Perpendicular ao eixo do cristal 5,6
Gelo 51
Invar 293 0,9
Carbono 293
Diamante 1,2
Grafita 7,9
Madeira 275 - 307
No sentido das fibras 2,5 - 6,6
Contra as fibras 26 - 54
Quartzo (fundido) 273 - 303 0,42
Vidro 300 (aprox.)
Ordinário 8,5
Pirex 3,2
Material T (293 K) β x 10-6 (K-1)
Acetona 1500
Álcool etílico 1100
Etanol (álcool de cana) 1120
Ar 3670
Bromo 1132
Glicerina 505
Mercúrio 181,9
Água (a 20 oC) 207
Fonte: EISBERG, R. M. & LERNER, L. S. (1983) e TIPLER, P.(1994)
34
Materiais
Equipamento de expansão térmica composto por:
- uma base de expansão com aproximadamente 70 cm
- um relógio comparador de precisão 0,01 mm
- um termistor (100k )
- três tubos de metal de 15,87 mm de diâmetro externo
aço
cobre (99,5 % Cu; 0,55 Te)
alumínio (98,9% Al; 0,7%Mg; 0,4% Si)
- conectores de 6,35 mm
- uma espuma isolante para evitar a perda de energia térmica no ponto de conexão do
termistor
- tubo termoplástico com 6,35 mm de diâmetro interno
- um gerador de vapor
- um ohmímetro digital para medir a resistência do termistor
- fios com conectores tipo banana
- recipiente para coleta da água condensada
- objeto para elevar a extremidade da base de expansão
Procedimento
 Meça o comprimento do tubo, a temperatura ambiente, entre a borda interna do pino
de aço inoxidável fixo em uma extremidade do tubo até o lado interno do braço de
apoio da ponta do relógio comparador que está fixado no tubo
 Coloque um dos tubos na base de expansão e faça a montagem de acordo com a Fig. 1
 Deixe o sistema estabilizar e anote no Quadro 1 a resistência do termistor à
temperatura ambiente ( RTA ).
 Zere o relógio comparador
 Ligue o gerador de vapor e observe o ponteiro do relógio comparador
 Anote , no Quadro1, a resistência do termistor (RTa ) quando o ponteiro do relógio
atingir o valor máximo.
 Utilize a Tabela de Conversão para converter as medidas da resistência do resistor em
medidas de temperatura. Anote esses resultados no Quadro 1.
35
Figura 1 – Desenho esquemático da montagem final para o experimento de dilatação de sólidos
Repetir o experimento para os outros tubos
Observação
Se você deixar passar muito tempo antes de medir a variação do comprimento, o
relógio comparador absorvera calor, e sua medida decrescerá. O termistor leva mais
tempo para atingir o equilíbrio térmico do que o tubo, entretanto, você pode deixar um
pouco mais de tempo para sua temperatura estabilizar. Para obter melhores resultados,
apesar destes problemas, anote a máxima variação no comprimento mostrado no relógio
comparador e a mínima resstência observada no ohmímetro.
Quadro 1 – Dados obtidos e calculados
Dados Cálculos
L
(mm) RTA ∆L Raquec. TTA Taquec. ∆T
(Ω) (mm) (Ω) (oC) (oC) (oC)
Aço
Alumínio
Cobre
36
TABELA DE CONVERSÃO PARA O TERMISTOR
TEMPERATURA VERSUS RESITÊNCIA
R T R T R T R T
(Ω) (oC) (Ω) (oC) (Ω) (oC) (Ω) (oC)
351.020 0 95.447 26 30.976 52 11.625 78
332.640 1 91.126 27 29.756 53 11.223 79
315.320 2 87.022 28 28.590 54 10.837 80
298.990 3 83.124 29 27.475 55 10.467 81
283.600 4 79.422 30 26.409 56 10.110 82
269.080 5 75.903 31 25.390 57 9.767,2 83
255.380 6 72.560 32 24.415 58 9.437,7 84
242.460 7 69.380 33 23.483 59 9.120,8 85
230.260 8 66.356 34 22.590 60 8.816,0 86
218.730 9 63.480 35 21.736 61 8.522,7 87
207.850 10 60.743 36 20.919 62 8.240,6 88
197.560 11 58.138 37 20.136 63 7.969,1 89
187.840 12 55.658 38 19.386 64 7.707,7 90
178.650 13 53.297 39 18.668 65 7.456,2 91
169.950 14 51.048 40 17.980 66 7.214,0 92
161.730 15 48.905 41 17.321 67 6.980,6 93
153.950 16 46.863 42 16.689 68 6.755,9 94
146.580 17 44.917 43 16.083 69 6.539,4 95
139.610 18 43.062 44 15.502 70 6.330,8 96
133.000 19 41.292 45 14.945 71 6.129,8 97
126.740 20 39.605 46 14.410 72 5.936,1 98
120.810 21 37.995 47 13.897 73 5.749.3 99
115.190 22 36.458 48 13.405 74 5.569,3 100
109.850 23 34.991 49 12.932 75
104.800 24 33.591 50 12.479 76
100.000 25 32.253 51 12.043 77
37
Experimento 7 - Calor Específico de Sólidos
Objetivo
 Determinar o calor específico de vários materiais
Calor específico
O calor específico de uma substância, geralmente indicado pelo símbolo c , é a
quantidade de calor necessário para elevar a temperatura, de um grama da substância, de um
grau Celsius. Da definição de caloria, observa-se que o calor específico da água é 1 cal/g.
o
C.
Se um objeto é de uma substância com calor específico igual a cs, então a quantidade de calor,
∆Q, necessária para elevar a temperatura do objeto de uma quantidade ∆T, é:
∆Q= (massa do objeto).(c).(∆T)Materiais
Calorímetro
Amostras de alumínio, cobre e chumbo
Aquecedor de água
Linha
Termômetro Balança
Água fria
Luvas de amianto
Papel toalha
Procedimento
ATENÇÃO: Este experimento envolve o uso de aquecedor de água e o manuseio de
objetos metálicos quentes. Trabalhe cuidadosamente.
 Meça, a massa do calorímetro vazio e seco (Mcal )Anote o resultado no Quadro. 1.
 Meça a massa da amostra. Anote esta massa no Quadro 1 como: MAmostra.
 Aqueça a água e anote a temperatura. Mergulhe a amostra na água aquecida e espere
alguns minutos para a amostra aquecer completamente. Anote no Quadro 1.
 Imediatamente às medidas de temperatura da água fria e da amostra aquecida, remova
a amostra de metal do aquecedor de água, rapidamente passe um papel toalha para
38
secá-lo e coloque-o na água fria do calorímetro (a amostra de metal deverá estar
completamente coberta mas não deve tocar o fundo do calorímetro).
 Agitar a água com o termômetro (cuidado para não bater no metal) e anote a Tfinal, a
mais alta temperatura atingida pela água quando ela atinge o equilíbrio térmico com a
amostra de metal. A avaliação de frações de um grau é importante neste experimento.
 Repetir todos os passos com as outras amostras.
A partir da lei de conservação de energia, a quantidade de calor perdida pela amostra
de metal é igual a quantidade de calor ganho pela água:
Calor perdido pela amostra = Calor recebido pela água
amostra
.c
amostra
.∆T
amostra
= M
água
.c
ágia
.∆T
água
Use a equação acima, e os dados coletados, para calcular o calor específico do
alumínio, do cobre e do chumbo.
Tabela 1 – Dados obtidos e calculados
Experimento 1 Experimento 2 Experimento 3
Alumínio Cobre Chumbo
Mamostra (g)
Tquente (oC)
Tfria (oC)
Tfinal (oC)
Mágua (g)
∆Tágua
∆Tamostra
c (cal/g.oC)
	mi : massas dos flutuadores,
	ti : tempos de passagem pelo cronômetro e 
	vi : velocidades “instantâneas” de cada flutuador
	Resnick, Halliday e Krane. Física – Vol. 2 de Ed. 
	Resnick, Halliday e Krane . Física – Vol. 2 de, Ed
	Experimento 3: Momento de Inércia
	Experimento 4: Oscilações - Pêndulo Simples e Pênd
	Resnick, Halliday e Krane . Física , Ed. Livros Té