Problemas que envolvem os princípios fundamentais de contagem

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Problemas que envolvem os princípios fundamentais de 
contagem (PFC) 
Dica: Ao tentar resolvê-Ios, lembre-se: todos (ou quase todos) os problemas de 
aparência simples podem ser difíceis. Não é possível dar urna "receita" que sirva para 
todos os casos, mas as seguintes sugestões podem ser úteis. 
 
I. Num problema de contagem, devemos contar o número de objetos de urna 
certa classe. Tente identificar precisamente quando um objeto pertence a 
urna classe e quando dois deles devem ser considerados distintos. 
 
II. Faça urna representação (figura, esquema etc.) do problema. Liste alguns dos 
objetos que pertencem e outros que não pertencem à coleção. 
 
III. Examine quantas "decisões" você deve tornar para executar os passos 
anteriores. Tente usar os princípios básicos para contar os objetos. Se 
surgirem dificuldades, tente entender claramente quais são elas. 
 
Caso ainda não esteja claro corno proceder, você pode tentar: 
 
IV. dividir o problema em subcasos que você saiba resolver; 
 
V. "esquecer" algumas das condições exigidas para que um objeto pertença à 
coleção. Isso, em geral, dá origem a urna classe maior que a desejada. É 
necessário, portanto, excluir posteriormente os objetos "indesejados"; 
 
VI. enunciar o problema de urna forma diferente e/ou descobrir problemas 
equivalentes. Muitas vezes, estes poderão ser mais simples de resolver; . 
 
VII. depois de resolvido o problema, repense sua solução; veja se você não está 
contando alguns casos mais de uma vez ou se não está se esquecendo de 
algum. Veja se não é possível encontrar urna maneira mais simples de 
resolver o mesmo problema. Tente pensar em outros problemas em que o 
mesmo método pode ser usado. 
 
Exercícios 
 
1. Quantos são os gabaritos distintos de um teste de 10 questões de múltipla 
escolha, com cinco alternativas por questão? 
2. De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila? 
3. Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e têm todos os dígitos 
diferentes? Quantos não têm dígitos iguais a 3, 5 ou 6? 
4. Quantos números inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos? 
5. Quantos números naturais de 4 algarismos (na base decimal), que sejam 
menores que 5000 e divisíveis por 5 podem ser formandos usando-se apenas os 
algarismos 2, 3, 4 e 5? 
6. Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos 
distintos? 
7. Quantos são os inteiros positivos, menores que 1000 e que são formados 
somente pelos algarismos do conjunto {1, 2, 3}? 
8. Quantos são os números naturais pares que se escrevem na base decimal com 
três algarismos distintos? 
9. Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1000 
e 4500 que podemos formar utilizando os algarismos 1. 3. 4. 5 e 7 de modo que 
não figurem algarismos repetidos? 
10. Quantos são os números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos dois 
dígitos iguais? 
 
 
Respostas 
1. 9765625 
2. 60 
3. 3864; 1567 
4. 4536 
5. 48 
6. 320. 
7. 39 
8. 328 
9. 60 
10. 4464