148 - 168 HIDROSTÁTICA

Prévia do material em texto

Hidrostatic 
pc A T u L o 1 
.Conceitos basicos· 
Na figura 2, F representa a resul­
tante das for\;as que agem normalmenle 
sobre uma superficie de area S. Defini­
mos pressiin (p) nessa superffcie pela re­
la\;ao entre a intensidade de Fda resul­
tante das for\;as normais atuantes e a 
area S da superficie: 
r:=iJ . ~ I 
148 
I 
A Hidrostatica e a parte da Mecanica que estuda 0 equiHbrio dos fluidos 
(Hquidos e gases). 
Densidade 
Se tivermos urn corpo de massa m 
e volume V(fig. 1), definimos suadensi­
dade atraves da rela\;ao: . 
Fig. 1 
A unidade de densidade no Sistema Internacional de unidades (SI) e 0 kg/m3. 
No entanto, usualmente sao utilizados 0 g/cm3eo kg/I, que sao unidades equi­
valentes . Por exemplo, a densidade da agua vale: 
d = 1 000 kg/m3 = 1 kg/I = 1 g/cm3 
Se 0 corpo for homogeneo, pode-se usar 0 termo massa especifica como sinoni­
mo de densidade. 
Pressao 
Rig. 2 
A unidade de pressao no Sistema Internacional (SI) eo N/m 2, tambem de­
nominado pascal (sfmbolo: Pa). 
Observe que a pressao e grandeza escalar. Ela fica perfeitamente definida atra­
ves de urn valor numerico acompanhado da unidade. 
Para uma mesma forr,;a, a pressao e inversamente proporcional a area da su­
perffcie na qual a forr,;a atua. Por isso, os objetos pontiagudos furam com maior 
facilidade que os objetos rombudos: tern menor area e, por isso, exercem maior 
pressao. Ao contrario, objetos de grande area de contato com uma superffcie 
exercem baixa pressao. Por isso, os sapatos de andar na neve possuem grande 
area em contato com a superffcie da neve 
Aplicac;ao 
A. ~ 	 Uma amostra de aura tern 38,6 g de massa e 2 cm3 de volume. Outra amos­
tra, esta de ferro, tern massa de 78 g e voh1tne de 10 cm 3• 
a) Determine as densidades do aura e do ferro. 
b) Dois corpos, macir,;os e homogeneos, de ourQ e de ferro, respectivamen­
te, tern volumes iguais. Qual apresenta maior massa? 
c) Dois corpos, macir,;os e homogeneos, de ouro e de ferro, respectivamen­
te, tern massas iguais. Qual apresenta maior volume? 
Resolufiio: 
a) Para a amostra de aura: m = 38,6 g e V = 2 cm3 
d _ 38,6A densidadedo ouro vale: d = ~ 	 d = 19,3 g/cm31
- 2 
Para a amostra de ferro: m = 78 g e V = 10 cm 3 
A densidade do ferro vale: d' = ~ d' = I~ I d' = 7,8 g/cm3 I 
b) Observe, de d = ~ ,que para 0 mesmo volume V corresponde maior 
massa aquele que tern maior densidade, isto e, 0 corpo de ouro. Por exem­
plo, 1 cm 3 de aura tern 19,3 g de massa, enquanto 1 cm 3 de ferro tern 
7,8 g de massa. 
c) De 	d = ~ , observe que, para a mesma massa m, corresponde maior 
volume ao corpo que tiver menor densidade. Portanto, 0 corpo dejerro eo 
que tern volume maior, no caso. 
A.2 	 Uma pessoa de massa m = 70 kg esta em pe. 0 solado de cada urn dos seus 
sapatos tern area S = 250 cm 2• A acelerar,;ao da gravidade e g = 10 m/s 2 e 
2 m 21 cm = 10-4 • Determine a pressao que a pessoa exerce no solo: 
a) apoiada nos dois pes. b) apoiada num s6 pe. 
149 
Resolu(Jio: ' 
A for<;:a que a pessoa exerce no solo tern intensidade igual ao seu peso: 
P = m . g = 70 . 10 P = 700 N 
Cada solado tern area: 
S = 250 cm 2 = 250 . 10-4 m 2 S = 2,5 . 1O-2 m 2 
a) Apoiada nos dois pes, a pressao que a pessoa exerce e: 
P 700
p=Ts p = 2· 2 5 . 10-2 
, 
b) A poiada em urn pe, a pessoa exerce a pressao: 
, P , 700 
p =5 p = 2 5 . 10 2 I p' = 2,8 104 N/m 2 ! , 
Observe que a area reduziu-se a metade e a pressao tornou-se duas ve­
zes maior para a mesma for<;:a (peso da pessoa). 
\ _ \IV' " 'fV , 
Cl -- . 
, I ci 
! 
./ 
Verifical;ao 
V.l 	 A densidade do alcool e de 0,8 g/cm 3 e a da gasolina de 0,7 g/cm3• Deter­
. 	 - ­ , ~mme: ,~, 	 ' 
a) a massa de 20 cm 3 de alcoo!. 
b) 0 volume de 280 g de gasolina. 
c) qual a rela<;:ao entre as massas de alcool e de gasolina que ocupam 0 
mesmo volume. 
d) qual a rela<;:ao entre os volumes de alcool e de gasolina que apresent9-m 
a mesma massa. 
V.2 	 Urn tijolo tern dimensoes lineares a = 5 cm; b = 12 cm; c = 25 cm e 
massa de 0,3 kg. Determine a pressao que esse tijolo exerce quando apoia­
do, por sua face de maior area, 
numa superffcie plana e horizon­
tal. A acelera<;:ao da gravidade e 
g = 10 m/s2 e , 1cm 2 = l(t 4 m :=' 
,/'/, I 
~-- ' I 
J ( 
~ 
a 
~ - --	 b 
! 
150 
/ 
EXERGICIOS D E 
R.l 	 (Fuvest-SP) A densidade do 6leo e de 0,80 g/cm3. Adote g = 10 m/s 2• 
a) Quanta pesa 0 61eo contido em uma lata de 900 ml? 
b) Quantas latas podem ser preenchidas com 180 kg de 6leo? 
(Unifor-CE) Uma pessoa de 600 N de peso se equilibra num s6 pe, cuja area de 
contato com 0 solo e de 150 cm 2• A pressao exercida no solo , em N/cm 2, e de: 
a) 600 b) 150 c) 16 d)8 e)4 
R.3 	 (FEI-SP) Qual 0 valor da pressao media exercida por urn predio de 500 toneladas e 
base de 250 m 2 no solo? Adote g = 10 m/s 2. 
&.4 	 (Acafe-SC) Urn prego e colocado entre dois dedos que produzem a mesma for<;a , 
de modo que a ponta do prego e pressionada por urn dedo e a cabe<;a do prego pelo 
outro. 0 dedo que pressiona 0 lado da ponta sente dor em fun<;ao de: 
a) a pressao ser inversamente proporcional a area, para uma mesma for<;a. 
b) a for<;a ser diretamente proporcional aacelera<;ao e inversamente proporcional a 
pressao . 
c) a pressao ser diretamente proporcional a for <;a, para uma mesma area. 
d) a sua area de contato ser menor e, em conseqiiencia, a pressao tambem. 
e) 0 prego sofrer uma pres sao igualem ambos os lados, mas em sentidos opostos. 
R.5 	 (PUC-MG) Uma faca esta cega. Quando a afiamos, ela passa a cortar com maior 
facilidade, devido a urn aumento de: 
a) area de contato . c) for~a. e) sensibilidade . 
b) esfor<;o. d) pressao . 
R.6 	 (UE-PR) Quatro cubos metalicos ho­
mogeneos e iguais, de aresta 10- 1 m, 
acham-se dispostos sobre urn plano. 
Sabe-se que a pressao aplicada pelo 
conjunto sobre 0 plano e de 104 N/m 2 • 
Adotando g = 10 m/s 2, podemos 
afirmar que a densidade dos cubos 
sera aproximadamente de: 
a) 4· 103kg/m 3 
b) 2,5 . 103kg/m 3 
c) 103kg/m3 
d) 0,4 . 103 kg/m3 
e) 0,25 . 103kg/m 3 
R.7 	 (Fuvest-SP) Urn cuba homogeneo de alumfnio, de 2 m de aresta, esta apoiado so­
bre uma superffcie horizontal. Qual a pressao, em N/m 2, exercida pelo bloco sobre 
a superffcie? 
Densidade do alumfnio : 2,7 . 103kg/m 3; g = 10 m/s 2• 
a) 2,7 	 104 c) 1,35 10 4 e) 5,4· 10 4 
10 10b) 2,7 . 	 d) 1,35 . 10 10 
151 
pc A T u L o 2 
eorem de Stevin 
Enunciado e formula. Grafico 
Consideremos urn Ifquido homo­
geneo de densidade d contido no inte­
rior de urn recipiente (fig. 1). Seja Palm a 
pres sao atmosferica ega acelera!;ao da 
gravidade local. 
Estabelece 0 teorema de Stevin : 
"A pressao em urn ponto do inte­
rior de urn Ifquidohomogen.eo em equi- . 
lfbrio e dada pel a soma d(i pressao n(l_ 
p ~-------- --+ 'l 
Fig. 1 
superffcie (pressiio atmosJerica) cC!rn.~.pressao devida acoluna Ifquida situada acima 
do ponto (pressiio hidrostdtica), expressa pelo produto dgH". 
Analiticamente: 
I p ~ ~gH LP.Im + 
".~"'" 
Graficamente, lan!;ando a pressao p no eixo das ordenadas e a profundidade 
H no eixo das abscissas, obtem-se uma reta, conforme se representa na fig. 2. 
Observe que na profundidade ze­ p 
ro (H = 0), isto e, na superffcie do If­
quido, a pressao e igual a pressao at­
mosferica. 
o H 
Fig. 2 
152 
Consequencias 
Uma conseqiiencia imediata do teorema de Stevin e que todos os pontos si­
tuados numa mesma horizontal, num lfquido homogeneo em equilibrio, apresentam 
a mesma pressao. 
Outra conseqiiencia do teorema de Stevin e 0 princfpio de Pascal: 
"Qualquer acrescimo de pressao aplicado a urn lfquido em equilibrio se 
transmite integralmente a todos os pontos do lfquido e das paredes do recipiente 
onde esta contido". 
Aplica~aoA. J Qual a pressao num ponto a uma profundidade de 30 m no interior de urn 
lfquido homogeneo em equilfbrio, de densidade de 500 kg/m 3, num local 
onde a acelerac,;ao da gravidade e de 10 m/s 2 e a pressao atmosferica e de 
10 5 N/m 2? 
Resolu~iio: 
A pressao no ponto considerado 
e dada por: 
p = 	Patm + dgH 
p = 	 105 + 500 . 10 . 30 = 
105 + 1,5 . 105 
p = 	2,5 . 10 5 N/m 2 
A.:.:. 	 o grafico mostra como varia com a profundidade a pressao no interior de 
urn lfquido homogeneo em equi­
librio exposto ao ar. Sendo a ace­
lerac,;ao da gravidade g = 10 m/s 2, 
determine: 
a) a pressao atmosferica local. 
b) a densidade do lfquido. 
2 • 105 
c) a pressao num ponto de pro­
fundidade de 15 metros. 
o 10 H(m) 
Resolu~iio: 
a) .Na superffcie do lfquido, H 
local. Entao: 
= 0, a pressao eigual apressao atmosferica 
b) Aplicando a formula do teorema de Stevin, com p = 2 . 10 5 N/m 2 e 
H = 10 m, vern: 
p = Palm + dgH 
2 . 105 = 105 + d . 10 . 10 
10 2 d = 2 . 105 - 10 5 
c) Aplicando novamente a formula do teorema de Stevin, para H = 15 m, 
vern: 
p = P alm + dgH 
p = 105 + 103 • 10 15 
P = 10 5 + 1,5 . 10 5 
I p = 2,5 . 105 N/m 2 
A.3 	 0 dispositivo esquematizado e 
uma prensa hidniulica. 0 reci­
piente cilfndrico menor tern sec­
\;aO transversal de area S I = 20 cm2 
2eo maior S2 = 100 cm . 0 siste­
ma e preenchido por oleo e sobre 
as superficies livres dos dois la­
dos sao colocados embolos de pe­
so desprezfvel. Se aplicarmos so­
bre 0 embolo menor uma forc;a 
de intensidade F1= 5 N, qual a 
intensidade da forc;a que vai agir 
no embolo maior? 
Resolufao: 
Ao aplicar a forc;a F I no embolo menor de area S I' 0 Ifquido sofre urn acres­
cimo de pressao ..6.p = ~l , que se transmite ao embolo maior de area S2, 
I 
determinando nesse a ac;ao de uma for\;a F\: L::,.p = ~ S2 . 
III 
154 
j 
Observe que a prensa hidniulica e urn multiplicador de forc;:a, isto e, a in­
tensidade da forc;:a aplicada aumenta na mesma proporc;:ao em que aumen­
ta a area do embolo. No caso, a area do embolo maior e 5 vezes maior que 
a do embolo menor e a forc;:a F2 tern intensidade 5 vezes maior que a da 
forc;:a Fl. 
A.4 0 esquema representa a famosa 
vacuoexperiencia de Torricelli, na 
qual uma coluna de mercurio, 
de altura H = 76 cm, sustenta a 
pressao atmosferica ao nfvel do 
H = 76 em 
mar. Sendo a densidade do mer­
curio, nas condic;:6es da expe­
riencia, d = 13,6 . 10 3 kg/m 3 
e a acelerac;:ao da gravidade 
g = 9,8 m/s 2, determine a pres­
sao atmosferica. 
Resolu(ao: 
A pressao da coluna de mercurio e dada, segundo 0 teorema de Stevin, por: 
3 
Peo]una = d.g.H = 13,6 . 10 • 9,8 . 0,76 
Peo]una = 1,013 . 10 5 N/m 2 
Como a coluna de mercurio sustenta a pressao atmosferica, podemos escre­
ver: 
Patm = Pcoluna 
I Patm = 1,013 . 10 5 N/m 2 I 
Por facilidade, costuma-se adotar como unidade de pressao 0 centimetro de 
merdrio (cm Hg), definido como a pressao exercida (a OOC e num local on­
de g = 9,8 m/s 2) por uma coluna de mercurio com altura de 1 cm. Nesse 
caso, a pressao atmosferica pode ser escrita: 
I Patm = 76 cm Hg I 
Outra unidade pratica e a atmosfera (atm), definida como a pressao exercida 
(a O°C e num local onde g = 9,8 m/s 2) por uma coluna de mercurio com al­
tura de 76 cm. No caso: 
I p atm = 1 atm I 
f55 
~~----~~==============~~~~ 
V.1 	 Num local onde a pressao atmosferica e Palm = 10 5 N/m 2 e a acelera~ao da 
gravidade e -g = 10 m/s 2, uma pessoa mergulha ate 0 fundo de urn lago 
cuja profundidade e H = 10 m. Qual a pressao sustentadaRor essa pessoa 
no fundo do lago? A densidade da agu~ e d = 10~'- -- - -------... 
V.2 	 Num local onde a acelera~ao da gravidade e g = 10 m/s 2, a pressao no inc 
terior de urn Ifquido homogeneo 
em .equilibrio ':..aE~" como indica 
o gnifico . DetermIne: 
a) a pressao atmosferica local. 
b) a densidade do Ifquido. 
c) 	a pressao na profundidade de ' 
30 m. 
" 	 ' 
V.3 	 Numa prensa hidniulica, os embolos tern areas SI = 0,2 m 2 e S2 = 1 m 2• 
Que for~a deve ser aplicada ao embolo menor para que no embolo maior se 
tenha uma for~a de intensidade de 100 N? 
VA A experiencia de Torricelli e rea­
vacuolizada num local onde a acelera­
3 • 105 
10~ 
·0 , ' . 5 10 H(ml 
~ao da gravidade e g = 9,8 m/s2, . 
a temperatura de OOC, quando a 
densidade do mercurio e de 
13,6 . 10 3 kg/m 3• A altura daco­
luna de mercurio obtida e de 
70cm. 
a) 	Determine a pressao atmosfe­
mercurio --.....'""-'-__---=~-'-........-
rica local, em N/m\ em Hg ' ­
e atm. 
b) A experiencia em questao foi 
realizada ao nfvel do mar? 
Justifique a resposta. 
Vasos comunicantes 
Seoois Ifquidos imisclveis de den­
sidades difer:entes forem colocados num 
- '~\' . r--l .
sistema de v~os comunicantes (fig. 2), 
as alturas hI e h 2, em rela~ao a super­
ffcie de separa~ao entre eles, sao inver­ ~ :'------------ ~l"'
samerite proporcionais as densidades 
d l 	 e d 2• 
Fig. 2 
156 
Realmente, igualando as pressoes nos pontos A e B, temos: 
PA = 	 PB 
Palm + d J gh t = P alm + d 2gh2 
,-----------, 
Aplica<;:ao 
A.5 	 Dois lfquidos imisclveis de de~si­
dades d t =0,8g/cm3ed2= 1 g/cm 3 
sao colocados num tubo em U 
e se equilibram do modo esque­
matizado . Se a altura da coluna 
do Ifquido menos denso vale .}l hI 
---------...:.--­h j = 20 cm, qual a altura h 2 da 
coluna do Ifquido mais denso, 
em rela!;ao it horizontal que pas­ 2 
sa pela. superffcie de separa!;ao 
entre os Ifquidos? 
Resolufiio: 
No equilibrio dos dois Ifquidos no tubo em U, vale escrever: 
Logo: 	0,8 . 20 = 1 . h 2 
Verifica~ao 
V~5 Coloca-se mercurio num tubo 
em U. Sobre este, coloca-se agua 
ate formar uma coluna 27,2 cm 
de altura. A densidade do mer- agua 
curio e de 13,6 g/cm 3 e ada agua 
e 1 g/cm 3. Determine a altura da 
coluna de mercurio em rela!;ao it 
superffcie de separa!;ao' entre os 
Ifquidos. mercurio 
EXERCfclOS 
R.1 	 (PUCC-SP) Tem-se urn reservatorio cilfndrico, de base circular, cheio de urn certc 
Hquido. A pressao que esse llquido exerce no fundo do reservatorio so depende , 
aIem da gravidade local: 
'157 
B.2 
R.3 
RA 
R.5 
R.6 
R.7 
158 
a) do peso do liquido e da sua altura. 
b) da natureza do liquido e do seu volume. 
c) da natureza do liquido e da altura da coluna do liquido. 
d) do volume total do liquido e de seu peso. 
e) da natureza do liquido e da area da base do reservatorio . 
(Fatec-SP) A figura abaixo ilustra urn sistema de vasos comunicantes contendo 
agua, a qual se encontra em repouso . Podemos assegurar que as pressoes nos pon­
tos A, B e C obedecem a reJa\;ao : 
a) PA<PB<PC 
b) PA=PB>PC 
C)PA>PB=PC 
 ~ c 
d) PA< PB= Pc 
e) PA=PB=PC 
(Fatec-SP) Submerso em urn lago, urn mergulhador constata que a pressao absolu­
ta no medidor que se encontra no seu pulso corresponde a 1,6 . 10 5 N/m 2. Urn 
barometro indica ser a pressao atmosferica local 1 . 10 5 N/m 2. Considere a massa 
especifica da agua sendo 103kg/m3 e a acelera\;ao da gravidade, 10 m/s 2• 
Em rela\;ao a superficie, 0 mergulhador encontrava-se a uma profundidade de: 
a) 1,6 rn b) 6,0 m c) 16 m d) 5,0 m e) 10 m 
(UF-CE) Urn mergulhador pode suportar uma pressao maxima 10 vezes supe­
rior apressao atmosferica Po' Tomando g = 10 m/s 2 e Po = 1 . 105 N/m2, calcule 
a que profundidade maxima, em metros , pode 0 mergulhador descer abaixo da su­
perficie de urn lago, cuja agua tern densidade de 1 . 103kg/m3. 
(UF-PI) N a prensa hidraulica da figura, uma for\;a F\ (excercida no pistao de area 
SA) transmite uma for\;a F\ no pistao de area SB, de modo que: 
a)~=~
SA SB 
b) !.a.. = ~ 
SB SA 
c) FA=FB(SB+SA) 
d) FA=FB(SB-SA) 
e)FA=FB 
(Fuvest-SP) Considere0 arranjo da 
figura, onde urn liquido esta confina­
do na regiao delimitada pelos ernbo­
los A e B, de areas a = 80 cm 2 e 
b = 20 cm2 , respectivamente. 0 sis­
tema esta em equilibrio. Despreze os 
pesos dos embolos e os atritos. Se 
rnA = 4,0 kg; qual 0 valor de mi 
a) 4 kg c) 1 kg e) 2 kg 
b) 16 kg d) 8 kg 
.FA 'Fa 
SA S6 
horizontal 
A Pzzl!=l-------------- ­ B 
(UF-RS) 0 fato de 1 centimetro cubico de mercurio pesar aproximadarnente 14 
vezes mais do que 1 centimetro cubico de agua permite concluir que a pressao at­
rnosferica e capaz de sustentar uma coluna de agua cuja altura e aproxirnadamente 
igual a: 
a) 0,7 m b) 1 m c) 7 m d) 10 m e) 100 m 
R.8 
R.9 
a) 
a) 
(FESP-SP) Dois lfquidos imisclveis 
(agua e 6leo, por exemplo) estao em 
equillbrio em urn copo, conforme fi­
gura. Qual dos seguintes graficos re­
presenta a varia<;ao da pressao hi­
drostatica com a altura h, a partir do 
fundo do copo? 
P Pb) 
h h h 
Pd) 
.-. 
I I 
I I 
I I 
_ : I 
I I 
I I 
I I h 
I ! 
(F.C.M. Santa Casa-SP) Tres lfqui­
dos nao-misclveis estao em uma pro­
veta, conforme a figura ao lado. 
A pressao hidrostatica p, no interior 
dos Hquidos, po de ser representada, 
em fun<;ao da altura h, pelo grafico: 
P b) P 
c) 
Po 
pp ~ 
h: h h 
0 h3 
Pd) P e)Po 7 I , , , ' I ' : 
I : :, , , 
: : I h h 
0 h, h2 h3 o 
!59 
Pe) 
I 
I 
I 
I 
I-i 
I I 
: I 
I I h 
liq. Z 
Po 
----_.] 
5i~0il 
h, 
c) P 
1 
R.I0 	(PUC-SP) Dois tubos A e B de se­ A 	 B 
t;:oes transversais de areas identicas 
sao ligados, conforme indica a figu­
ra. A torneira Testa fechada . Colo­
ca-se em A, ate um altura de 10 cm, 
um lfquido de densidade 1,8 g/cm 3 e 
em B, ate a altura de 20 cm, um If­
quido de densidade 0,9 g/cm 3• Su­
pondo que os dois lfquidos nao sao 
misclveis e nao reagem quimicamen­
te, aberta a torneira: 
a) os nfveis se igualam em A e B. 
'I 
10cm T -L-~~-
B 
T 
20cm 
b) 0 nfvel em A desce e em consequencia sobe 0 de B. 
c) 0 nfvel em B desce e em consequencia sobe 0 de A. 
d) 0 nfvel em A passa a ser 20 cm eo de B, 10 cm. 
e) os nfveis dos lfquidos permanecem invariaveis nos dois tubos. 
R.Il 	(UF-ES) Dois lfquidos sao colocados nas extremidades A e B de urn tubo que con­
tern urn pequeno embolo E, 0 qual pode se mover sem atrito no seu interior e sepa­
ra os lfquidos. Conhecendo-se a densidade d A e as alturas hA e hB da situat;:ao de 
equilIbrio mostrada na figura, a densidade dB e dada por: 
ha)~. d AB 
b)-?-' d A 
A 
hAc) 
hA + hB 
hlld) 
hA + hB 
e) he. + hll 
hB 
A 
d A 
. d A 
. d A 
&.12 	(U.E. Londrina-PR) Dois lfquidos nao-misclveis estao num tubo em U e perma­
necem em equilIbrio na situat;:ao indicada pela~ura. A relat;:ao entre a densidade 
d, do lfquido CD e a densidade d zdo Hquido ~ e mais bern representada por: 
a) d, = d z 
b) 2d, = 3dz 
c) 2d, = 5dz d) 3d, = 2dz 
2dze) 5d, = 
160 
-r­
3h 
. ]~___________ ~__ 
c A p u L o 
Teorema 
de Arquimedes 
Enunciado e formula 
Embora valido para qualquer fluido (11quido, gas ou vapor) em equillbrio, 
nas considerac;oes seguintes vamos considerar que esse fluido seja 11quido. 
Consideremos urn corpo de massaE 
m, peso P, volume V e densidade d, 
imerso em urn 11quido homogeneo em 
equillbrio de densidade d L(fig. 1). 011­
quido atua sobre 0 corpo com uma for­
c;a E vertical de baixo para cima, deno­
minada empuxo. 
Fig. 1 
Estabelece 0 teorema de Arquimedes que: 
"Urn corpo imerso parcial ou totalmente num lfquido em equillbrio sofre a 
ac;ao de uma forc;a vertical, orientada de baixo para cima, denominada em­
puxo, cuja intensidade e igual ao peso de lfquido deslocado". 
Analiticamente: E = P L= mLg 
IE = d L VLg 1 ' onde V Leo volume do lfquido deslocado pelo corpo. 
Quando urn corpo e colocado num Ifquido de menor densidade, ele desce 
sob a ac;ao da resultante, denominada peso aparente: 
161 
?" 
Condi<;ao de flutua<;ao 
Se 0 corpo for menos denso que 0 
lfquido, 0 equilibrio se estabelece com 0 
carpo flutuando parcialmente imerso 
(fig, 2). Nesse caso, 0 peso do corpo e 
equilibrado pelo empuxo: 
Fig. 2 
Aplica\;ao 
A.l 	 Urn corpo de massa 20 kg e volume 2 . 10-3 m 3 e totalmente mergulhado 
num lfquido de densidade 8 . 103 kg/m 3, num local onde g = 10 m/s2• 
Determine: 
a) a intensidade do empuxo sofrido. 
b) a intensidade de seu peso aparente. 
c) a acelerar;ao de sua descida no lfquido, desprezadas as resistencias. 
Resolufiio : 
a) 	0 empuxo sofrido pelo carpo tern intensidade dada por: E = d LV Lg, 
onde V Leo volume de Ifquido deslocado, que no caso e igual ao volume 
do corpo, pois este esta totalmente mergulhado (V L= 2 . 10-3 m 3) e d L 
e a densidade do Ifquido (d L = 8 103 kg/m 3 ) . 
Assim: 
E = 8 . 103 • 2 . 10-3 • 10 I E = 1,6 . 102 N I 
b) 0 peso do carpo tern intensidade : 
P = mg P = 20 . 10 P = 200 N 
A intensidade do empuxo e: 
E = 1,6 . 10 2 N E = 160 N. 
o peso aparente tern intensidade dada por: 
Pap = P - E 
Logo: Pap = 200 - 160 I Pap = 40 N I 
c) Aplicando 0 principio fundamental da Dinamica: 
Pap = m . a 
40 = 20 . a a = 2 m/s2 ! 
162 
A.2 	 Urn corpo de densidade de 0,8 g/cm J esta em equilIbrio flutuando em agua 
cuja densidade e 1 g/cm J • Qual a rela~ao entre 0 volume imerso na agua e 0 
volume total do corpo? 
Resoluriio: 
Como 0 corpo esta em equilIbrio 
flutuando, seu peso e equilibra­
do pelo empuxo que sofre: 
P=E 
Mas E = d L V Lg, onde V Leo 
volume de Ifquido deslocado, is­
to e, 0 volume do corpo imerso no lfquido. Do mesmo modo, podemos es­
crever P = m . g = d . V . g, onde V e 0 volume total do corpo . Logo: 
dVg = d LV Lg 
V L ddV = 	d LV L =;> V = d 
L 
Como d = 0,8 g/cm 3 e d L= 1 g/cm 3, vern: 
V L _ 0,8 y-- -1­
Esse resultado mostra que a propor~ao do volume do corpo mergulhado na 
agua coincide numericamente com a densidade do corpo (0,8). Observe 
que isso ocorre porque a densidade da agua e de 1 g/cm 3• 
A.3 	 A figura mostra urn rapaz de massa de 50 kg equilibrando-se sobre uma 
prancha cuja densidade e de 0,4 g/cm 3, a qual permanece com metade de 
seu volume imerso . Sendo a densidade da agua igual a 19/cm 3, determine 0 
volume e a massa da prancha. Use g = 10 m/s 2• 
J 
163 
Resolufiio: 
Os pesos do rapaz e da prancha sao equilibrados pelo empuxo exercido pe­
la agua: 
P R + Pp = E (1) 
o peso do rapaz tern intensidade: 
P R = m R • g = 50 . 10 P R = 500 N 
Para 0 peso da prancha, temos: 
Pp = mp . g = d p . V p . g, onde d p= 0,4 g/cm3= 400 kg/m3. Assim: 
P p = 400 . V p' lOPp= 4 000 . V p 
o empuxo tern intensidade: 
E = d L • V L • g, onde d L = 1 g/cm3= 1000 kg/cm3 e V L = ~p. 
Portanto: 
E = 1 000 ~ p • 10 E = 5000 . V p 
Substituindo em (1), vern: 
500 + 4 000 . V p = 5 000 
1 000 . V p = 500 
A massa da prancha edada por: 
mp = d p • V p = 400 . 0,5 mp = 200 kg 
Verificai;ao 
V.l 	 Em urn Ifquido de densidade 600 kg/m3e totalmente imerso urn corpo de 
massa 50 kge volume 0,02 m 3• A ace!era~ao local da gravidade eg= 10 m/s 2• 
Determine as intensidades: 
a) do empuxo que 0 Ifquido exerce no corpo. 
b) do peso aparente do corpo. 
V.2 	 No exerd'cio anterior, desprezadas as resistencias, qual a acelera~ao do 
corpo em seumovimento de descida? 
V.3 	 Urn corpo flutua em agua cuja densidade e1 g/cm3 com metade de seu vo­
lume emerso. Determine a densidade desse corpo. 
164 
V.4 	 Determine que massa m deve ser colocada sobre urn corpo de densidade 
800 kg/m > e volume 0,2 m l para mante-Io completamente Imerso, como 
mostra a figura, em agua de densidade 1 000 kg/mi. 
D E 
R.t 	 (UF-RS) A existencia de empuxo e urn fenomeno que se verifica: 
a) apenas na agua. d) apenas nos gases.b) apenas no ar. e) nos gases enos lfquidos. 
c) apenas nos Ifquidos. 
R.2 	 (PUC-RJ) Duas esferas metalieas, feitas de metais diferentes, com 0 mesmo dia­
metro, uma maci<;a e outra oca, estao totalmente imersas e em equillbrio num reci­
piente que contem agua. A respeito dos empuxos nas esferas, conclui-se que: 
a) sao 19uais. 
b) 0 empuxo sobre a esfera oca e maior que 0 exercido sobre a maci<;a. 
c) 0 empuxo sobre a esfera maci<;a e maior que 0 exercido sobre a oea. 
d) 0 empuxo e maior sobre a esfera que tern maior densidade. 
e) 0 empuxo sobre a esfera oca e maior que 0 seu peso. 
R.3 	 (UF-MA) Uma pedra mergulhada em urn rio vai ao fundo. Isso ocorre porque: 
a) a massa da pedra e muito grande. 
b) a aeelera<;ao da gravidade e maior no interior da agua. 
c) a densidade da agua e maior que a densidade da pedra . 
d) a densidade da pedra e maior que a densidade da agua . 
165 
Jl. '~ 	 (U .F. Uberlandia-MG) Urn corpo encontra-se em equillbrio no interior de urn If­
quido de densidade 0,7 g/cm 3, conforme a figura. Se 0 mesmo for colocado lenta­
mente em agua (d = 1 g/cm 3 ), podemos afirmar que: 
d = 0,7 g/cm 3 
a) 0 corpo ficara em equillbrio, totalmente submerso. 
b) 0 corpo nao flutuara. 
c) 0 corpo ira afundar e exercer forc;a sobre 0 fundo do recipiente. 
d) 0 corpo ficara parcialmente submerso. 
e) fait am dados para se chegar as conclusoes. 
_. ..' (U .F. Uberlfmdia-MG) Urn objeto e totalmente mergulhado no interior de urn If­
quido e abandonado a seguir. Analise as situac;oes abaixo e assinale a alternativa 
VERDADEIRA. 
a) Se 0 empuxo sobre 0 objeto for igual ao seu peso, 0 objeto aflora, passando a flu­
tuar, em equillbrio, na superffcie do Ifquido. 
b) Se a densidade do objeto for menor que a densidade do Ifquido, 0 objeto se des­
loca para pontos de pressoes menores. 
c) Se 0 empuxo sobre 0 objeto for menor que 0 peso do objeto, 0 corpo permanece 
em repouso na posic;ao onde e abandonado. 
d) Se a densidade do objeto for menor que a densidade do Ifquido, 0 corpo afunda. 
e) A pressao exercida pelo Ifquido no ponto A emenor que a exercida no ponto B. 
R.6 	 (Fuvest-SP) Urn tijolo tern massa igual a 2 kg e volume de 1 000 cm 3• 
a) Calcule a densidade do tijolo. 
b) Calcule 0 peso aparente do tijolo quando totalmente imerso em agua. 
R.i 	 (UF-PA) Urn corpo pesa 250 N, em condic;oes normais, e 150 N em agua 
(d = 1 g/cm 3 ). A densidade desse corpo e, em g/cm 3, de: 
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0 
R.8 	 (OSEC-SP) Urn solido pesa no ar 30,0 newtons e na agua 24,0 newtons. Sua den­
sidade, em g/cm 3, e: 
a) 1,25 b) 2,5 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,0 
R.9 	 (UF-ES) Urn solido de densidade 2 . 103 kg/m 3 esta imerso em agua de densida­
de de 103 kg/m 3• Supondo a acelerac;ao da gravidade igual a 10 m/s 2 e desprezando 
a viscosidade do Ifquido, a acelerac;ao de queda desse solido no interior da agua e: 
a) 4 m/s 2 b) 6 m/s 2 c) 5 m/s 2 d) 10 m/s2 e) 8 m/s 2 
166 
1 
R.lO 	(F. C. Chagas-SP) Uma esfera, rfgida e maci~a, esta totalmente mergulhada num 
Ifquido, em repouso, que exerce urn empuxo de modulo E na esfera. Quando esta e 
abandonada no Ifquido, flutua de forma que 2/3 do seu volume ficam acima da su­
perffcie livre do Ifquido. 0 modulo do peso da esfera vale: 
a) E/6 b) E/3 c) 2 E/3 d) E e) 3 E/2 
R.ll 	(PUC-RS) Urn objeto de densidade do flutua em urn Ifquido de densidade dJ • So­
mente a metade do volume do corpo esta submersa no liquido. Conclui-se que a ra­
zao do/d, vale: 
a) 2,0 b) 1,0 c) 0,5 d) 0,40 e) 0,25 
R.12 	(Fuvest-SP) Urn bloco cubico de isopor, com 1 m de aresta, flutua na agua man­
tendo 10% de seu volume submerso. Qual a fra~ao submersa de urn bloco de isopor 
de 2 m de aresta? 
a) 80% b) 60% c) 30% d) 20% e) 10% 
R.B 	(Cesgranrio-RJ) Urn corpo homogeneo flutua na superffcie da agua com somente 
20% de seu volume total emersos, is to e, fora da agua. Qual a densidade desse corpo? 
a) 0,20 g/cm 3 c) 0,80 g/cm 3 e) 0,60 g/cm 3 
b) 0,50 g/cm 3 d) 0,40 g/cm 3 
R . 14 	(Vunesp-SP) Urn iceberg flutua com 10% de seu volume acima do nfvel do mar. Sa­
bendo que a densidade da agua do mar ede 1,04 g/cm 3, calcule a densidade do gelo. 
R.t5 	(UNIP-SP) Urn solido com 0 formato de urn cubo de aresta a esta flutuando em 
urn Ifquido homogeneo, em equillbrio e sob a a~ao da gravidade . A altura emersa 
do cubo vale b. 
J 
b 
a 
A densidade do solido em rela~ao ao Ifquido vale: 
a
a) ~ b) ~ c) 1 - ..!2.. d) 1 e) 1 - ­b a a 	 b 
R.l6 	(Fatec-SP) Urn bloco de cobre re­ cobre 
pousa sobre outro bloco de madeira 
esmaltada, con forme a figura ao lado. 
Retira-se 0 bloco de cobre, 0 qual ejo­
gado no interior do vasilhame. 
Podemos afirmar que 0 nfvel da agua 
nas paredes do vasilhame: 
a) sobe. 
b) desce. 
c) nao se altera. 
d) dependendo do tamanho do bloco de cobre, sobe. 
e) faltam dados para responder. 
167 
vasilhame 
R.17 	(F. Zona Leste-SP) Urn corpo solido flutua em agua com 115 do seu volume imerso . 
e em oleo com 112 do seu volume imerso. Sendo d ll a densidade da agua e d o a den­
sidade do oleo, a rela<;ao d.ld o e igual a: 
a) 2,50 b) 0,10 c) 0,40 d) 0,75 e) 0,80 
R . . 8 (U. Mackenzie-SP) Urn rapaz de 60 kg equilibra-se sobre uma prancha rfgida de 
densidade uniforme de 0,40 g/cml, que flutua em agua (densidade de 1,0 g/cm3). A 
menor massa que a prancha po de ter para que 0 rapaz fique completamente fora da 
agua e: 
a) 400 kg b) 240 kg c) 60 kg d) 40 kg e) 24 kg 
R.19 	(Cesesp-PE) U rna prancha retangular de madeira com 100 m 2 de area e 20 cm de 
espessura eutilizada como balsa para transportar urn caminhao na travessia de urn 
rio. Observa-se que, durante 0 trajeto, 3/4 do volume da balsa permanecem sub­
mersos. Considerando-se que as densidades da agua e da madeira valem, respecti­
vamente, 1 000 kg/m3 e 700 kg/m3, pode-se concluir que a massa do caminhao em 
toneladas e: 
a) 1,00 b) 1,15 c) 1,20 d) 1,25 e) 1,35 
168