Parte 1 - Cap_Ondas

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José L. C. Neves
1
FACULDADE DE ENGENHARIAS E CIÊNCIAS DO MAR
LICENCIATURA EM ENGENHARIA INFORMÁTICA 
E TELECOMUNICAÇÕES
PROPAGAÇÃO E ANTENAS
(2019 - 20
PARTE 1
Propagação de ondas EM
Engº José Luís C. Neves 2
ONDAS
Noção geral de onda. Classificação das ondas: natureza,
direcção vibração e dimensão. Equação de onda: onda singular e
onda periódica; comprimento de onda e período. Fase da onda.
Velocidade de fase. Frente de onda ; Onda monocromática
Onda plana: uniforme e não uniforme. Lugares geométricos de
fase : Onda plana, cilíndrica e esférica. Vector de onda k.
Atenuação de uma onda (vector de onda complexo);
CONCEITO DE ONDA 
 Perturbação que se propaga, transportando 
energia sem transporte de matéria;
 Manifestação de um fenómeno físico que envolve 
noções de espaço e de tempo;
EXEMPLO:
Ao deixar cair uma pequena gota de água numa superfície
líquida em repouso observará que a perturbação provocada na
superfície se transmite para os outros pontos. Como os pontos
adquirem movimento, significa que foi transferida um certa
quantidade de energia.
Engº José Luís C. Neves 3
Engº José Luís C. Neves 4
Em suma, onda ou pulso de onda, é
qualquer perturbação que se propaga através
de um meio e, durante a propagação,
transmite energia aos pontos do meio.
CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS
Quanto a Natureza:
Ondas Mecânicas: 
 perturbações que se propagam devido à continuidade de um
determinado meio material, isto é, necessita de um meio
material para se propagar.
 impulsos mecânicos que se transmitem através de vibrações
das partículas que constituem o meio.
Exemplos: onda Sonora; ondas em cordas e molas, ondas em
superfícies líquidas etc.
Engº José Luís C. Neves 5
Engº José Luís C. Neves 6
Ondas Mecânicas
Ondas Eletromagnéticas (EM) 
São aquelas criadas a partir de cargas eléctricas
vibrantes, cujo movimento de vibração origina campos
eléctricos e magnéticos oscilantes.
Essas ondas não necessitam de um meio material para
se propagarem. São constituídas por dois campos
perpendiculares entre si, um elétrico ( E) e um
magnético( B), variáveis com o tempo;
Exemplos: Ondas de rádio e TV, micro-ondas, 
infravermelho, luz visível, ultravioleta, raios X
Engº José Luís C. Neves 7
Engº José Luís C. Neves 8
Onda Electromagnética
Engº José Luís C. Neves 9
Onda Electromagnética
Espectro Eletromagnético
CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS
Quanto a Direcção de vibração
Ondas transversais:
São as ondas em que a direcção de vibração das 
partículas é perpendicular à direcção de propagação 
da onda. Ex.: ondas electromagnéticas, ondas numa 
corda.
Engº José Luís C. Neves 10
CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS
Quanto a Direção de vibração
Ondas longitudinais:
São as ondas nas quais a direcção de vibração das
partículas coincide com a direcção de propagação da
onda. Ex.: o som propagando nos fluidos;
Engº José Luís C. Neves 11
CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS
Quanto a Direção de vibração
Ondas Mistas:
São ondas em que as partículas vibram longitudinal e
transversalmente, ao mesmo tempo. Ex.: Som nos sólidos,
ondas nas superfícies dos líquidos.
Engº José Luís C. Neves 12
CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS
Quanto a Dimensão
Ondas Unidimensionais:
Quando se propagam numa só direcção.
Ex: uma perturbação numa corda.
Engº José Luís C. Neves 13
CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS
Quanto a Dimensão
Ondas bidimensionais:
Quando se propagam ao longo de um plano. 
Ex: ondas na superfície da água.
Engº José Luís C. Neves 14
CLASSIFICAÇÃO DAS ONDAS
Quanto a Dimensão
Ondas tridimensionais: 
Quando se propagam em todas as direcções. 
Ex: ondas sonoras.
Engº José Luís C. Neves 15
SÍNTESE
 Todas as ondas electromagnéticas são 
transversais.
 As ondas mecânicas podem ser longitudinais, 
transversais ou mistas.
 A luz é uma onda transversal.
 O som nos fluidos é uma onda longitudinal
 O som NÃO se propaga no vácuo.
Engº José Luís C. Neves 16
EQUAÇÃO DE ONDA
O conceito de onda envolve as noções de 
espaço e de tempo e deve satisfazer uma 
determinada equação - a equação de onda
 O atributo essencial da onda é exibir o 
movimento de propagação;
 A ideia de onda mais generalizada implica 
um processo repetitivo, mas, há fenómenos 
ondulatórios que são singulares.
Engº José Luís C. Neves 17
EQUAÇÃO DE ONDA
ONDAS SINGULARES:
Vejamos uma onda singular num ponto do espaço, 
x = 0, e deixemos correr o tempo.
Engº José Luís C. Neves 18
EQUAÇÃO DE ONDA
ONDAS SINGULARES:
Se fizermos agora a mesma experiência no local 
genérico x, teremos
Engº José Luís C. Neves 19
Esta função pode ser descrita pela expressão: 
At(t-x/v)
EQUAÇÃO DE ONDA
ONDAS SINGULARES:
Consideremos agora a mesma onda singular, mas 
vamos parar o tempo e descrevê-la no espaço:
Engº José Luís C. Neves 20
EQUAÇÃO DE ONDA
ONDAS SINGULARES:
Se a onda se propaga com uma velocidade v, 
passado o tempo t ela está no ponto x = vt
Engº José Luís C. Neves 21
Esta função pode ser descrita pela expressão:
Ae(x-vt)
EQUAÇÃO DE ONDA
ONDA PERIÓDICA:
Considere uma corda, em que uma das
extremidades esta presa numa parede. Na outra
extremidade da corda, liga-se um gerador
sinusoidal, como mostra a figura.
Engº José Luís C. Neves 22
EQUAÇÃO DE ONDA
ONDA PERIÓDICA:
O deslocamento vertical(y) de cada elemento da 
corda localizado numa determinada posição x da 
corda, variará com o tempo (t) segundo uma função 
dada por:
Onde:
k – designado de número de onda (wavenumber) 
[rad/m];
- frequência angular [rad/s]
Engº José Luís C. Neves 23
0( , ) cos( )y x t y kx t 

EQUAÇÃO DE ONDA
ONDA PERIÓDICA: comprimento de onda ou periodicidade 
espacial
Para t constante, define-se comprimento de 
onda  unidade SI [metro: m], como a distância 
entre dois máximos ou dois mínimos. 
Engº José Luís C. Neves 24
EQUAÇÃO DE ONDA
ONDA PERIÓDICA: Período ou periodicidade temporal
Para x constante, define-se período (T), unidade SI 
[segundo: s], como o tempo decorrido entre dois 
máximos ou dois mínimos. 
Engº José Luís C. Neves 25
EQUAÇÃO DE ONDA
ONDA PERIÓDICA: Relações Típicas
Engº José Luís C. Neves 26
2
2
2
k
f
T



 

 
FASE DA ONDA
Considere a função f(x,t)=At(t-x/v). Esta função 
pode-se escrever como se segue:
onde:
Engº José Luís C. Neves
27
tf (x, t) A {T / ( 2 (t / T x / )2 ) }  
tf (x, t) A {T / ( (2 ) }x, t)
2 Fase da onda (adimensio( , ) nal)x
t
t
x
T
 
 
   
 
VELOCIDADE DE FASE:
A velocidade de fase ou velocidade da onda é a 
taxa de variação do espaço, em ordem ao tempo, 
com fase constante (estacionaridade na fase):
Engº José Luís C. Neves 28
 ( , ) 0 2 0
2 2 fase
t x
dx
d x t d
T
v
dt T
t x
d d
T
 





  
     
  
   
    
 

 
VELOCIDADE DE FASE: 
Exemplo: Considere a função: 
Determine a velocidade de fase da onda.
SOLUÇÃO: 
Engº José Luís C. Neves 29
0( , ) cos( )y x t y kx t 
( , )x t kx t  
8
( , ) 0 ( ) 0
 3 10 ( / )f
d x t d kx t kdx dt
dx
v c m s
dt k
  

     
    
x cte x cte
f
t ctet cte
t t
v
k
k
xx
 


 

           
  
         
FRENTE DE ONDA
Frentes de onda são os lugares geométricos de 
todos os pontos de igual fase em que a função (de 
onda ) toma o mesmo valor.
Engº José Luís C. Neves 30
ONDA MONOCRÓMATICAOnda monocromática é uma onda em que a
frequência não varia com o tempo (a “cor” é sempre a
mesma)
Onda Plana – quando o lugar geométrico dos 
pontos com a mesma fase é um plano.
Engº José Luís C. Neves 31
ONDA PLANA UNIFORME 
quando no plano de fase constante, a onda apresenta 
a mesma amplitude.
Onda plana e uniforme Onda plana não uniforme 
Engº José Luís C. Neves 32
LUGARES GEOMETRICOS DE FASE
ONDA PLANA:
Engº José Luís C. Neves 33
LUGARES GEOMETRICOS DE FASE
ONDA CILINDRICA:
Engº José Luís C. Neves 34
LUGARES GEOMETRICOS DE FASE
ONDA ESFÉRICA:
Engº José Luís C. Neves 35
VECTOR DE ONDA (k)
No caso de uma onda plana tridimensional as frentes 
de onda são planos e é possível definir um vector k
normal às frentes de onda em que a grandeza toma o 
mesmo valor :
Engº José Luís C. Neves 36
Engº José Luís C. Neves 37
Sobre o plano da frente de onda a grandeza que 
se propaga (onda), toma o mesmo valor em todos 
os pontos 
VECTOR DE ONDA (k)
Sobre uma determinada frente de onda plana, a 
equação anterior verifica-se para todos os r. 
Consideremos a seguinte função:
Engº José Luís C. Neves 38
   ( ), cos( ) Re ( )0 0
( ) 
0:
( )
( )
 
0
0
0
j t k r j t
r t A t k r A e r em
r Amplitude complexa
j
onde A A em
fase inic
j
i l
A e
a
k r
r
 
 


 
       

 





VECTOR DE ONDA (k)
Sobre a frente de onda a função tem sempre igual 
valor
Se ao vector r se adicionar um vector com a 
direcção de k e com módulo , a função de onda 
não se altera.
Engº José Luís C. Neves 39
( )
0( )
j k rr A e   
0 0
k k k
j k r j
k kj k rkr A e A e e
k
 

 
       
 
   
 
       
 
 
VECTOR DE ONDA (k)
Ou seja: Para que  seja o período espacial, o 
vector k deverá ter módulo igual ao número de 
onda, pelo que se chama … vector de onda 
…… é perpendicular às frentes de onda e 
colinear com a direcção de propagação
Engº José Luís C. Neves 40
0
j k r jkkr A e e
k
    
 
     
 
 
VECTOR DE ONDA
Assim; para que:
tem de verificar:
Engº José Luís C. Neves 41
 
k
r r
k

 
    
 
 
2
1 2jke k k   
        
^
~
k k k
VECTOR DE ONDA COMPLEXO
Vejamos o formalismo da onda quando o vector de 
onda k é complexa :
Substituindo na expressão da onda, vem:
Engº José Luís C. Neves 42
r ik k jk 
  . ( )( )0 0, i r
k r j t k rj t k rr t A e A e e
     
VECTOR DE ONDA COMPLEXO
para 
A equação da onda mostra uma onda com uma amplitude a 
atenuar-se ao longo de r.
Em tempo constante, a sua descrição no espaço é a 
seguinte:
Engº José Luís C. Neves
43
0ik 
Engº José Luís C. Neves
44
Meios
Tópicos
 Vácuo e meios materiais;
 Parâmetros que caracterizam 
electromagneticamente os meios;
 Meios dispersivos e não dispersivos;
 Plasmas;
Engº José Luís C. Neves
45
Meios
Na teoria da propagação de ondas EM, o modelo 
físico em que se baseia e portanto também o 
tratamento matemático, depende em grande medida 
dos meios em que se está a considerar a onda.
Vácuo
Definimos vácuo numa perspectiva macroscópica, 
dizendo que corresponde a um meio onde não 
existe matéria, ou seja, ausência de moléculas, 
átomos, electrões ou iões.
Engº José Luís C. Neves
46
Vácuo
Pode existir qualquer forma de radiação EM, fotões, 
ou campos de outro tipo, como o gravitacional.
No vácuo a constante dieléctrica vale 0 e a 
permeabilidade magnética vale µ0.
,
47
Parâmetros característicos dos MEIOS
No vácuo, considerando a lei de Coulombo, no
sistema de unidades internacional (SI), para
que a força entre cargas de 1 Coulombo à
distância de 1 metro, seja 1 Newton, e
considerando que a velocidade da luz vale
3x10 8 m s -1, deverá ser:
,
1-
9
0 m F 
36
10



2
ba
0
ab
r
QQ
4
1
F


48
Parâmetros característicos dos MEIOS
Este parâmetro 0 é uma constante e chama-se a 
constante dieléctrica ou permeabilidade eléctrica 
do vácuo. 
Num meio material, obrigatoriamente com um 
valor superior de constante dieléctrica, a força de 
Coulomb será menor.
Sendo o campo eléctrico uma força por unidade 
de carga, o mesmo raciocínio se lhe aplica.
,
1-1-
b
ab
2
a
0
a Vm ouNC 
Q
F
r
Q
4
1
E 


49
Parâmetros característicos dos MEIOS
O parâmetro  está directamente relacionado com a 
capacidade e esta com o armazenamento de energia 
eléctrica.
A constante dieléctrica  = r0 em que, r é a
constante dieléctrica relativa, é normalmente um
número complexo. O seu significado aparecerá
claramente quando revirmos as equações de Maxwell
e tem a ver com o fenómeno de perdas (degradação)
de energia.,
50
Parâmetros característicos dos MEIOS
Tal como cargas dão origem a uma força electrostática 
de Coulomb, também elementos de corrente dão 
origem a forças de atracção ou repulsão.
Aparece então a constante de proporcionalidade 
µ0 que mantém a coerência dimensional do sistema.
Chama-se a permeabilidade magnética do vácuo e vale
Neste caso, porém, a força é directamente 
proporcional à permeabilidade magnética. 
,
7 -14 10 Hm 
51
Parâmetros característicos dos MEIOS
A força entre dois elementos de corrente é 
µr vezes maior do que no vácuo. Também este 
parâmetro é, em geral, uma grandeza complexa.
O vector POLARIZAÇÃO P é um parâmetro 
característico dos dieléctricos e está contido no 
conceito de permeabilidade eléctrica.
A polarização P (vector) num determinado meio é a 
diferença entre o valor do Deslocamento Eléctrico 
D nesse meio e o valor do Deslocamento 
Eléctrico que existiria se fosse o vácuo, 0E.
,
52
Parâmetros característicos dos MEIOS
Também se pode falar em susceptibilidade 
eléctrica (e), que é um factor, adimensional, positivo 
e maior que a unidade, que está incluído na constante 
dieléctrica relativa.
,
P = D - 0 E
Unidades (SI) Cm-2
(é uma densidade superficial de carga)
r = 1 + e
53
Parâmetros característicos dos MEIOS
D = E
D = 0E + P com P = 0eE 
0e= 0 (r - 1) = - 0
54
Parâmetros característicos dos MEIOS
A MAGNETIZAÇÃO M que aparece num meio
material, perante uma indução magnética aplicada
(B), é a diferença entre o campo magnético que
apareceria se o meio fosse vácuo (B/µ0) e o campo
magnético que efectivamente aparece (H), no meio
em apreço.
M = µ0
-1 B – H
55
Parâmetros característicos dos MEIOS
As relações entre a indução magnética aplicada (B), 
a susceptibilidade magnética do meio, e a resultante 
magnetização e campo magnético são:
H = µ-1 B
M = m H m = (µr - 1)
56
Parâmetros característicos dos MEIOS
A densidade volumétrica de carga ρ, medida 
em Cm -3, multiplicada pela velocidade média 
dos electrões (m/s) é uma densidade 
volumétrica de corrente J (A m -2).
A relação entre esta densidade de corrente e o
campo eléctrico aplicado é a condutividade do
meio.
Onde:
n é o número de electrões por m3,
e é a carga do electrão, 
m a sua massa e
tc o tempo médio entre colisões, numa 
unidade de volume.
S m-1
57
Parâmetros característicos dos MEIOS
J =  E
Num condutor perfeito, a condutividade considera-
se infinita e o campo eléctrico, estático ou 
harmónico, será necessariamente zero.
A densidade de corrente e as distribuições de 
carga são apenas superficiais. O campo magnético 
estáticopenetra no condutor perfeito. Num 
dieléctrico puro a condutividade é zero, não há 
distribuições de cargas ou correntes.
58
Resumimos as chamadas relações constitutivas do 
meio (vectoriais e complexas):
D = E
H = µ-1B
J = E
A constante dieléctrica, a permeabilidade magnética 
e a condutividade são, em geral, números complexos 
e, perante excitações (E e B) harmónicas, os seus 
valores dependem da frequência. 
59
Um meio homogéneo é aquele onde um fenómeno 
se desenvolve igualmente em qualquer ponto. 
Num meio linear, o resultado da acção de um 
campo é igual à soma dos resultados da acção de 
vários campos que, juntos, igualem o primeiro.
Um meio isotrópico não tem direcções 
privilegiadas, ou seja o que se passa ao longo de uma 
direcção pode passar-se ao longo de qualquer outra 
direcção.
60
Meios dispersivos e não dispersivos
Um impulso, por exemplo quadrado, pode ser descrito por 
análise de Fourrier, como um conjunto de ondas sinusoidais 
de amplitudes diferentes e diferentes frequências.
Nas Telecomunicações, os sinais com informação, 
correspondem a grupos de frequências, e portanto contêm 
frequências diferentes. Um impulso quadrado é disso um 
exemplo.
Nesses meios, se as várias componentes de Fourrier se 
propagam a velocidade diferente, a forma do impulso vai-se 
progressivamente alongando, evidenciando uma dispersão.
Estes meios chamam-se dispersivos e são disso exemplos os 
guias de onda. O vácuo e os meios dieléctricos indefinidos 
são não-dispersivos.
61
Plasmas
Meios ionizados onde a separação das cargas, iões e
electrões, e a sua densidade, levam à existência de
oscilações próprias, frequências de ressonância, e
portanto uma interacção complicada entre a matéria
e os campos EM