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SUMÁRIO
•	Introdução.................................................................................... pág. 6
•	Objetivo....................................................................................... pág. 7
•	Funções: Notação e valor numérico............................................ pág. 8
•	Função do Primeiro Grau ou Função Afim .................................. pág.8
•	Representação Gráfica................................................................ pág. 8
•	Aplicações................................................................................... pág. 9
•	Função do 2º grau ou Quadrática................................................ pág.11
•	Aplicações.................................................................................... pág.12
•	Equação Exponencial................................................................... pág.14
•	Função Exponencial..................................................................... pág.14
•	Gráfico da Função Exponencial................................................... pág.15
•	Aplicações Práticas...................................................................... pág.16
•	Logarítmos: Definição................................................................... pág.18
•	Função Logarítmica...................................................................... pág.19
•	Aplicações do Logarítmo.............................................................. pág.22
•	Função Potência........................................................................... pág.24
•	Aplicações.................................................................................... pág.24
•	Função Polinomial do 1º grau........................................................pág.26
•	Função Polinomial – Conceito e Formas..................................... pág.26
•	Aprenda a generalizar.................................................................. pág.29
•	Aplicações.................................................................................... pág.31
•	Função Racional.......................................................................... pág.32
•	Aplicações................................................................................... pág.33
•	Função Inversa............................................................................ pág.33
•	Aplicações................................................................................... pág.36
•	Conceito de Derivada ................................................................. pág. 36
•	Técnicas de Derivada................................................................. pág.40
•	Aplicações da diferencial a cálculos aproximados...................... pág.42
•	Outras aplicações........................................................................ pág.47
•	Conclusão.................................................................................... pág.51
•	Referências Bibliográficas........................................................... pág.52
INTRODUÇÃO
Grande parte dos alunos que chegam a um curso superior tem uma noção deficiente em relação à matemática. Isso ocorre devido a uma idéia de um ensino “obrigatório” ao longo dos anos do Ensino Fundamental e Médio.
Esses alunos não vêem utilidade em aprender determinados assuntos matemáticos, por isso geralmente não se interessam e muito menos se esforçam para entender. Com isso, acabam julgando a matéria como um sacrifício do qual se “empurra com a barriga” para passar de série.
Mesmo os alunos que se identificam com a matemática e tem preferência pela mesma, antes de iniciar sua carreira profissional ainda não têm uma noção de sua aplicação no dia-a-dia. 
Na administração é fundamental entender os conceitos matemáticos que são fundamentais para exercer a função.
Devido a essa necessidade de um entendimento matemático na graduação de administração, elaboramos uma espécie de manual de pesquisa para ser usado ao longo do curso. Nesse manual serão abordados temas como Funções de 1º e 2º grau, Função exponencial, Logarítmica, Polinomial e outros conceitos assim como suas aplicações práticas.
OBJETIVO
Criar um manual básico e de fácil compreensão contendo teoria e prática de conceitos matemáticos na administração. Este manual poderá ser usado pelos alunos como apoio às atividades da graduação.
Funções: Notação e valor numérico
Notação
Podemos escrever uma função f: A -> B através de suas variáveis x (independente) e y (dependente). Exemplos:
•	y= 3x² + 4x ou f(x) = 3x² + 4x
•	y= 2x + 1 ou f(x) =2x+1
Valor numérico de uma função
Chamamos de valor numérico de uma função o valor que a variável y = f(x) assume quando atribuímos a x um determinado valor.
Considere os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {-1, 1, 3, 5} e a função f: A -> B definida por f(x) = 2x + 1. Vejamos quais valores y = f(x) assume:
•	x = -1 => f(-1) = 2(-1) + 1 = -1
•	x = 0 => f(0) = 2(0) +1 = 1
•	x = 1 => f(1) = 2(1) + 1 = 3
•	x = 2 => f(2) = 2(2) + 1 = 5
Função do Primeiro Grau ou Função Afim
Chama-se função do 1º grau toda sentença da forma y = ax + b, em que {a; b} está contido em IR e a ≠ 0.
Representação Gráfica
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta oblíqua, ou seja, reta não 
Paralela a nenhum dos eixos, Ox ou Oy.
Exemplo:
a) y = 2x + 6
A abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo Ox é a raiz ou zero da função
 
 
Aplicações
1) Receita total
Sendo p o preço de venda por unidade de um determinado bem e q a respectiva quantidade vendida, a receita total (Rt) é dada por Rt = pq.
Quando p é fixo, ou seja, o preço é sempre o mesmo, Rt é uma função do 1ºgrau de q.
Assim, por exemplo, se p = 3, temos Rt = 3q:
	 
 
2) Um carro está localizado no Km 16 de uma rodovia retilínea no instante t = 0. Ele está se movendo a uma velocidade constante de 80 km/h. Determine: 
a) a função horária do movimento do carro. 
Solução: Sabemos que a função horária é dada por S = S0 + vt 
Segue que: 
S0 = 16 e v = 80 km/h 
Assim, 
S = 16 + 80t 
b) Determine a posição que o carro estará no instante t = 1,5 
Solução: Para determinar a posição no instante t = 1,5 basta substituir esse valor na função horária do movimento. Assim, teremos: 
S = 16 +80*1,5 
S = 16 + 120 = 136 km
Função do 2º Grau ou Quadrática
Chama-se função do 2º grau toda sentença da forma
Y = ax² + bx + c
Em que {a; b; c} está contido em IR e a ≠ 0.
Representação Gráfica
O gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola, que pode assumir seis posições em relação ao eixo Ox.
Para traçá-lo, devemos atribuir valores para x e determinar o valor do y correspondente:
Y = x² - 8x +12
x	Y = x² -8x +12	y
0	y = 0² -8 . 0 + 12	12
2	y = 2² -8 . 2 + 12	0
4	y = 4² -8 . 4 + 12	-4
6	y = 6² -8 . 6 + 12	0
8	y = 8² -8 . 8 + 12	12
 
Aplicações
1) Um fabricante pode produzir calçados ao custo de R$ 20,00 o par. Estima-se que, se cada par for vendido por x reais, o fabricante venderá por mês 80 – x (0 ≤ x ≤ 80) pares de sapatos. Assim, o lucro mensal do fabricante é uma função do preço de venda. Qual deve ser o preço de venda, de modo que o lucro mensal seja máximo? 
Custo: valor de produção de cada par de sapatos vezes o número de sapatos fabricados. 
C(x) = 20*(80 – x) 
Receita: número de sapatos vendidos no mês multiplicado pelo valor de venda x. 
R(x) = (80 – x) * x 
Lucro: diferença entre a receita R(x) e o custo C(x) 
L(x) = (80 – x) * x – 20*(80 – x) 
L(x) = 80x – x² – 1600 + 20x 
L(x) = – x² +100x – 1600 
O lucro dado é representado por uma função do 2º grau decrescente, isto é, seu gráfico possui concavidade voltada
para cima ou valor máximo. Para determinarmos o preço de venda do sapato, no intuito de obter o lucro máximo, basta calcular o valor do vértice x da parábola, dado por Xv = – (b/2a). 
L(x) = – x² +100x – 1600 
a = – 1 
b = 100 
c = – 1600
 
Para que se obtenha lucro máximo, o preço de venda do par de sapatos deve ser R$ 50,00.
2) Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 
L(x) = R(x) – C(x) 
L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8) 
L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8 
L(x) = – x² + 6x – 8 
O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro máximo 
será determinado por Xv. 
 
Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades sejam vendidas.
Equação Exponencial
Uma equação é exponencial quando a incógnita está no expoente.
Assim,2x = 32 ou 3x-2 = 27 são exemplos de equação exponencial.
Para resolver equações desse tipo, devemos transformá-las numa igualdade. 
A partir de bases iguais, devemos igualar e, então, determinar o valor da variável:
af(x) = ag(x) 	f(x) = g(x) , com a € IR*+ , e a ≠ 1
Função Exponencial
Dado um número real a, tal que 1 ≠ a > 0, a função f: IR => IR, definida por f(x) = ax , é chamada função exponencial de base a:
f(x) = ax , com a € IR*+ e a ≠ 1
Alguns exemplos:
a) f(x) = 2x 
b) f(x) = (√2)x 
c) f(x) = (1/2)x 
d) f(x) = (0,34)x
Entre as várias aplicações práticas da função exponencial, podem-se citar os cálculos de juros compostos, do crescimento populacional e da depreciação de um bem. 
Gráfico da Função Exponencial
Como exemplo: vamos construir os gráfico da função:
f(x) = 2x
x	2x	y
-3	2-3	1/8
-2	2-2	1/4
-1	2-1	1/2
0	20	1
1	21	2
2	22	4
3	23	8
	
 
Aplicações Práticas da Função Exponencial
1) Cálculo de juros compostos
Consideremos que você faça uma aplicação de R$ 100,00 a juros de 5% ao mês.
No final do 1º mês, seu rendimento será de:
5% de R$ 100,00 = 5/100 . R$ 100,00 = 0,05 . R$ 100,00 = R$ 5,00
Logo, no final do 1º mês você terá:
R$ 100,00 + R$5,00 = R$ 100,00 + 0,05 . R$ 100,00 = R$ 100,00(1 + 0,05) = R$ 100,00 . 1,05
Em outras palavras, se os juros são de 5¢ ao mês, basta multiplicar o valor da aplicação por 1,05 para obter o valor que você terá no final do mês. Se os juros 
forem de, por exemplo, 12%, então multiplicamos R$ 100,00 por 1,12. Se forem de 1,2% multiplicamos por 1,012.
No final do 2º mês, você terá: 
R$ 105,00 . 1,05 = R$ 100,00 . 1,05 . 1,05 = R$ 100,00(1,05)2 = R$ 110,25.
No final do 3º mês:
R$ 110,25 . 1,05 = R$ 100,00 . (1,05)2 . 1,05 = R$ 100,00 . (1,05)3.
Dessa forma, ao final de cinco meses você terá R$ 100,00 . (1,05)5.
E no final de n meses, R$ 100,00(1,05)n.
Observe os seguintes exemplos para ter uma ideia clara da aplicação da função exponencial no cálculo de juros compostos:
•	Se o capital for de R$ 200,00, após 8 meses de aplicação, a juros de 3% ao mês, o montante final (capital + juros) será de R$ 200,00(1,03)8.
•	Se o capital for de R$ 130,00, após 6 meses de aplicação, a juros de 1,5% ao mês, o montante final (capital + juros) será de R$ 200,00(1,015)6.
•	Se o capital for c, após x meses de aplicação, a juros de 3% ao mês, o montante final (capital + juros) será de c(1,03)x.. Se tomarmos 1,03 = a, teremos a função exponencial f(x) = c. ax.
2) Cálculo do crescimento populacional
A população de um país apresenta crescimento exponencial dado pela função f(x) = 30(1,2)x milhões, em que x representa o número de anos decorridos após o início da pesquisa. Assim:
a) a população atual do país é obtida para x = 0. Logo:
f(0) = 30(1,2)0 = 30 milhões.
b)a população após 2 anos é obtida para x = 2, ou seja:
f(2) = 30(1,2)2 = 30 . 1,44 = 43,2 milhões.
Logaritmos: Definição
Certas equações exponenciais não podem ser resolvidas usando-se apenas propriedades da potenciação.
Ao resolver, a equação 2x = 10, por exemplo, podemos afirmar que 2x representa um número real compreendido entre 23 e 24:
23 < 2x < 24 => 3< x < 4
Assim, concluímos que x é um número irracional e, para determiná-lo com maior aproximação, precisamos introduzir um novo conceito, o de logaritmo.
Com ele, podemos resolver problemas de potências com qualquer expoente real, por exemplo:
101,4, 5√3, 3√2, 3√65,4.
Definição
Sendo a e b números reais positivos, com b ≠ 1, chamamos de logaritmo de a na base b o expoente real x ao qual se eleva b para obter a:
Logb a = x  bx = a , com a > 0, b > 0 e b ≠ 1
Exemplos:
*Log2 8 = 3, pois 23 = 8
*log10 100 = 2, pois 102 = 100
*log1/3 9 = -2, pois (1/3)-2 = 9
Observação: Quando a base é 10, por convenção, omitimos a base, ou seja, log10 x = log x
 
Para que logb a = x tenha significado, para todo x real, precisamos impor b > 0, b ≠ 1 e a > 0. A essas restrições chamamos condições de existência dos logaritmos:
1≠ b > 0 => bx > 0 => a > 0
Assim, não existem, por exemplo:
*log2 (-8), pois não existe x tal que 2x = -8
*log1 3, pois não existe x tal que 1x = 3
*log(-2) 8, pois não existe x tal que (-2)x = 8
Na igualdade logb a = x, a é o lagaritmando ou antilogaritmo de x (a = antilogb x), b, a base e x, o logaritmo.
Função Logarítmica
Chamamos de função logarítmica de base a (1 ≠ a > 0) a função que associa a cada elemento x positivo o seu logaritmo nessa base:
f(x) loga x definida de IR+* em IR, com 1 ≠ a >0
A função exponencial, definida de IR em IR+*, é bijetora e, portanto, admite função inversa, que é a função logarítmica:
f(x) = ax definida de IR em IR+*
f(x) = loga x definida de IR+* em IR
Do estudo das funções inversas, sabemos que, no plano cartesiano, seus gráficos são simétricos em relação à bissetriz do 1º e 3º quadrantes. Assim, para as funções exponencial e logarítmica, de base a > 0 e a ≠ 1, temos:
 
a> 1 => f(x) é crescente
 
 0 1 => f(x) é decrescente
 
Da mesma forma que a exponencial, a função logarítmica f(x) = loga x pode ser classificada em crescente ou decrescente.
Exemplo
Construa, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções dadas:
a) y1 = log2 x e sua inversa y2 = 2x, com x pertencente a IR+*
Solução
Como as funções são inversas, basta construir o gráfico de uma delas, permutar as coordanadas dos pontos desse gráfico para obter as do outro.
a)
 
b)
 
Aplicações do Logaritmo
1) Logarítmos e terremotos
Ondas sísmicas são vibrações provocadas por terremotos que acontecem na Terra. Sismógrafos são aparelhos que gravam tais vibrações usando traços em ziguezague que mostram a variação de amplitude dos terremotos. A duração, a localização e a magnitude de cada terremoto podem ser determinadas por estes aparelhos, instaladas em estações sismológicas em todo o mundo.
A escola Richter foi desenvolvida por Charles F. Richter, em 1935, no Instituto de Tecnologia da Califórnia, USA, para comparar dados e efeitos de terremotos. A magnitude de um terremoto é determinada por uma função logarítmica da amplitude das ondas sismológicas gravadas em um sismógrafo. Ajustes são feitos para incluir dados como a distância entre a estação sismológica e o epicentro do terremoto (é o ponto da superfície da Terra localizado diretamente sobre o foco do terremoto) e o intervalo entre duas ondas. 
Richter usou a fórmula abaixo para determinar uma escala para medição da força dos terremotos:
M= log10 A(mm) + 3 . log10 [8 . ∆t(s)] – 2,92, em que M é a magnitude do terremoto (o que originou a tabela Richter), A(mm) é a amplitude (em milímetros) do terremoto medida em um sismógrafo e ∆t é o intervalo (em segundos) entre as ondas S (superficial) e P (pressão máxima), também medidas no sismógrafo.
2) Na equação: Q = Q0 * e– r * t, Q representa a massa final da substância, Q0, a massa inicial, r, a taxa de variação e t, o tempo em anos. Note que nessa equação, a massa final está em função do tempo t. Com base nessa equação, vamos determinar em quantos anos 50 g de uma substância se reduz a 5 g, obedecendo a uma taxa de variação de 8% ao ano
 
O tempo para que ocorra a redução é de aproximadamente 28 anos e 9 meses.
Função Potência 
Uma função potência é dada por
y = f(x) = k . xn , com k, n constantes e k ≠ 0.
Embora o expoente n possa assumir qualquer valor real, é interessante analisar três casos:
*Potências Inteiras e Positivas
Exemplos:
Y = 30x, y = 15x2, y = -200x3, y = 0,75x4 e y = 300x5.
*Potências Fracionárias e Positivas
Exemplos:
y = 50x1/2, y = 10x2/3, y = 0,7x1,4, y = 50x3/2, e y = 20x5/2.
*Potências Inteiras e Negativas
Exemplos:
y = 25x-1, ou y = 25/x, y = 350x-2 ou y = 350/x2, y = 10x-3 ou y = 10/x3.
Aplicações
1) Em uma determinada fábrica, na produção de garrafas plásticas para refrigerante, considerando P a quantidade de garrafas produzidas e q a quantidade de capital aplicada na campra de equipamentos, estabeleceu-se a função da produção
P = 0,05q3
Onde P é medida em milhares de unidades por mês e q é dada em milhares de reais. 
Com base nessas informações, construímos uma tabela que dá a produção para alguns valores do insumo q aplicado na compra de equipamentos.
 Tabela – Produção de garrafas plásticas em função do capital aplicado em equipamentos
Dinheiro aplicado em equipamentos (q) (em milhares de R$)	
0	
2	
4	
6	
8
Garrafas produzidas (P) (em milhares de unidades/mês)	
0	
0,4	
3,2	
10,8	
25,6
2) Em uma determinada linha de produção, o número P de aparelhos eletrônicos montados por um grupo de funcionários depende do número q de horas trabalhadas, e foi estabelecida a função dessa produção como
P = 1.000q3/4
Onde P é medida em unidades montadas, aproximadamente, por dia.
A partir dessa função, construímos uma tabela que dá a produção para alguns valores do insumo q, horas trabalhadas, em um dia.
Tabela – Produção de aparelhos eletrônicos em função das horas trabalhadas.
Horas trabalhadas na montagem (q)	
0	
2	
4	
6
Aparelhos montados (P) (unidade/dia) (aproximadamente)	
0	
1.682	
2.828	
3.834
Função Polinomial do 1º grau
Uma função f de A em B é uma função polinomial do 1º grau se a cada x pertencente a A se associa o elemento (ax + b) pertencente a B, com a pertencente a IR* e b pertencente a IR:
f: A => B definida por f(x) = ax + b ou y = ax + b
Alguns exemplos:
a) f (x) = 2x – 1, com a = 2 e b = -1
b) f (x) = -2x/3 + 1, com a = -2/3 e b = 1
c) y = x-2/5, com a = 1/5 e b = -2/5
d) y = x, com a = 1 e b = 0
A representação no plano cartesiano de uma função polinomial do 1º grau de IR => IR é uma reta. Vamos construir o gráfico da função real y= 2x – 1. Conhecendo dois pontos dessa reta, podemos traçá-la.
 
Função Polinomial – Conceito e formas de polinômio
Conceito
Dados os números complexos an, an-1, ..., a2, a1, e a0, chamamos de polinômio ou função polinomial na variável x a função f: C = C tal que:
f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 (n pertencente a IN)
em que anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0 são termos e an, an-1, ..., a2, a1, e a0 são os coeficientes do polinômio.
Vejamos alguns exemplos
* P(x) = 3x3 + 2x2 + 7x – 3
Termos: 3x3 + 2x2 + 7x – 3
Coeficientes: a3 = 3, a2 = 2, a1 = 7,a0 = -3
Expressões cujos expoentes não sejam números naturais não são polinômios. Por exemplo:
X3 + x2 + √x = x3 + x2 + x1/2 (1/2 não é número nataral)
2x-3 + 2x-2 + x (-3 e -2 não são números naturais)
Formas de polinômio
Grau
Grau do polinômio P(x) = anxn + an-1xn-1 + … +apxp + ... + a2x2 + a1x + a0 é n se, e somente se, an ≠ 0. Indicamos por gr(P) o grau de P(x).
Veja:
* P(x) = 4x3 + x – 1: gr(P) = 3
* Q(x) = 7x5 + 3 x2 – x: gr(Q) = 5
* B(x) = x + 1: gr(B) = 1
Polinômio identicamente nulo
O polinômio em que todos os coeficientes são nulos é o polinômio identicamente nulo.
Por exemplo, p(x) = ax2 + (b-1)x + c -2 será identicamente nulo se todos os coeficientes forem iguais a 0. Assim:
* a = 0 *b-1 = 0 => b = 1 *c – 2 = 0 => c = 2
Polinômios idênticos
Dados os polinômios P1(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x+ a0 e P2(x) = bnxn + bn-1xn-1 + b1x + b0, dizemos que P1(x) é idêntico a P2(x) se, e somente se, todos os coeficientes de P1(x) forem ordenadamente iguais aos de P2(x):
P1(x) ≡ P2(x)  an = bn, an-1 = bn-1, ..., a1 = b1 e a0 = b0
Aprenda a Generalizar
 
 
	
Aplicações
Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x - 3 e x - i. 
As divisões dadas favorecem a aplicação do Teorema de D’Alembert, dessa forma podemos afirmar que: a constante a será raiz do polinômio P(x) se, somente se, o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, basta aplicarmos o Teorema do Resto. 
Para divisor igual a x – 3, a = 3. 
P(3) = 34 – 4 . 33 + 4 . 32 – 4 . 3 + 3 
P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3 
P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3 
P(3) = -27 + 36 – 12 + 3 
P(3) = 9 – 12 + 3 
P(3) = -3 + 3 
P(3) = 0 
Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – 3. 
Para divisor igual a x – i, a = i. 
P(i) = i4 – 4 . i3 + 4 . i2 – 4 . i + 3 
P(i) = 1 – 4 . (-i) + 4 . (-1) – 4i + 3 
P(i) = 1 + 4i – 4 – 4i + 3 
P(i) = 1 – 4 + 3 
P(i) = - 3 + 3 
P(i) = 0 
Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – i.
2) Se não houvesse polinômios, muito provavelmente não poderíamos utilizar CDs, nem de música nem de computador. Os polinômios (e aritmética módulo n, corpos finitos, enfim, tópicos de álgebra abstrata) são a base do código que faz com que os dados sejam escritos em CDs, os chamados códigos corretores 
de erro. Todo meio de comunicação tem o que chamamos de ruído, que faz com que os dados não sejam transmitidos corretamente (não é incompetência do transcritos de dados, é a própria natureza - um bom exemplo é a recepção de celular com ruído atmosférico). Assim, são necessários códigos que eliminem ou corrijam esses erros, que são esses códigos corretores de erros. 
3) A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2 e 3.
Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa) na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálica quadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta função é possível obter valores ótimos para construir a caixa.
 
Função Racional
Uma função racional é dada por:
y = f(x) = P(x)/Q(x)
onde P(x) e Q(x) são polinômios e Q(x) ≠ 0.
Obs.: O que faz a função ser racional é a presença de x no denominador.
Para análise e representação gráfica de tal função, podemos seguir os seguintes passos:
	
•	1º Passo: Analisar onde y = f(x) é definida, investigando assim se há assíntotas verticais. Se há uma assíntota vertical em x = a, analisar o comportamento da função quando x => a, ou seja, estudar os limites laterais. Caso haja várias assíntotas verticais, é interessante construir uma tabela com alguns valores da função para diferentes valores de x entre as assíntotas verticais.
•	2º Passo: Descobrir onde y = f(x) corta
o eixo y fazendo x = 0.
•	3º Passo: Descobrir onde y = F(x) corta o eixo x fazendo y = 0.
•	4º Passo: Analisar o comportamento de y = f(x) quando x => -∞.
•	5º Passo: Analisar o comportamento de y = f(x) quando x => +∞.
Aplicações
1) Considerando a função que dá a receita R para um certo produto em função da quantia x investida em propaganda, foi estabelecido que 
R(x) = 100x+300 / x+10
Consideremos receita e quantia investida em propagandas medidas em milhares de reais. Para entender o comportamento da receita de acordo com a aplicação em propaganda, é importante esboçar o gráfico de R(x).
2) Para um laticínio em um segmento do mercado de laticínios, a quantidade q ofertada pelos produtores e o preço p do laticínio estão relacionados de acordo com q (p) = 200p+400 / p+4, onde a oferta é dada em toneladas e o preço, em reais por quilo (R$/kg).
a) Qual o valor de q(0)? Para esse problema, na prática, qual o significado de q(0)?
b) Para esse problema, na prática, qual o significado de p => +∞?
Solução
a) q(0) = 100 toneladas; isso significa que, se o preço por quilo for zero, a quantidade ofertada é de 100 toneladas.
b) Isso significa que os consumidores estão dispostos a pagar um preço altíssimo.
Função inversa
O objetivo de uma função inversa é criar funções a partir de outras. Uma função somente será inversa se for bijetora, isto é, os pares ordenados da 
função f deverão pertencer à função inversa f –1 da seguinte maneira: (x,y) Є 
f –1(y,x) Є f. 
Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:
 
Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)} 
Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa. 
A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5. 
Veja o diagrama abaixo:
 
Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)} 
O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa. 
Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe: 
Exemplo 1 
Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo: 
x = 3y – 5 
–3y = –x –5 (multiplicar por –1) 
3y = x + 5 
y = (x + 5)/3 
Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.
Exemplo 2 
Dada a função f(x) = x² a sua inversa será: 
Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo: 
x = y² 
√x = √y² 
√x = y 
y = √x 
A função f(x) = x² terá inversa f –1(x) = √x 
Exemplo 3 
Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3. 
Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo: 
x = (2y+3)/(3y–5) 
x*(3y–5) = 2y + 3 
3yx – 5x = 2y + 3 
3yx – 2y = 5x + 3 
y(3x – 2) = 5x + 3 
y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3.
Aplicações
1) Em uma empresa, no decorrer do expediente, para um grupo de funcionários, nota-se que o número P de eletrodomésticos montados é dado aproximadamente por P= 200q4/5 , onde q representa o número de horas trabalhadas a partir do início do expediente.
a) Obtenha a inversa q = f -1 (P) e explique seu significado.
Resolução
q = (P/200)5/4 e fornece a quantidade q a partir da produção P.
2) O custo variável Cv para a produção de q unidades de um produto é dado por Cv = 10q3, onde Cv é medido em reais.
a) Obtenha a inversa q = f -1 (Cv) e explique seu significado.
Resolução
q = 3√ Cv/10 fornece a quantidade q a partir do custro variável Cv.
Conceito de derivada
Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma curva no plano. Uma idéia simples do que significa a reta tangente em um ponto P de uma circunferência, é uma reta que toca a circunferência em exatamente em um ponto P e é perpendicular ao segmento OP, como vemos na figura ao lado.
 
Ao tentar estender esta idéia acerca da reta tangente a uma curva qualquer e tomarmos um ponto P sobre a curva, esta definição perde o sentido, como mostram as figuras abaixo.
 
Nessas figuras, consideramos a reta tangente à curva no ponto P. Na primeira figura, a reta corta a curva em outro ponto Q. Na segunda figura, a curva está muito "achatada" perto do ponto P e a suposta reta tangente toca a curva em mais ddo que um ponto. Na terceira figura, a reta também é tangente à curva no ponto Q.
A derivada do ponto de vista geométrico
Para chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, vamos pensar que essa reta tangente é a reta que contém o ponto e que "melhor aproxima" o gráfico de f nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular 
e pelo ponto de tangência.
 
Consideremos a curva que é o gráfico de uma função contínua f. xo e f(xo) serão as coordenadas do ponto P onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto Q do gráfico de f, descrito por (xo+h,f(xo+h)), onde h é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto P ao ponto Q. A reta que passa por P e Q é secante à curva y=f(x).
 
inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de f com respeito à variável x, no ponto xo:
 
Se P é um ponto fixo e Q um ponto que se aproxima de P, ocupando as posições sucessivas Q1, Q2, Q3,..., as secantes terão as posições por PQ1, PQ2, PQ3, ... e as declividades (inclinações) dessas retas secantes ficarão cada 
vez mais próximas da declividade da reta tangente.
 
Esperamos que a razão incremental se aproximasse de um valor finito k, à medida que o ponto Q se aproxima do ponto P, independentemente do fato que a abscissa de Q seja maior ou menor do que a abscissa de P, mas isto nem sempre ocorre, mas quando isto acontece, definimos a reta tangente ao gráfico de f no ponto P, como sendo aquela que passa por P e cuja declividade (coeficiente angular da reta) é igual a k.
O recurso analítico para fazer Q se aproximar de P, consiste em fazer o número h tender a zero, isto é, tomar os valores de h arbitrariamente próximos de 0.
Se o resultado assume valores positivos (negativos), cada vez mais próximos de zero, isto significa que a sequência de pontos Qj está se aproximando do ponto P pela direita (pela esquerda).
Quando h 0 e a razão incremental se aproxima do valor finito k, dizemos que k é o limite da razão incremental com h tendendo a zero e denotamos isto por:
 
O limite da razão incremental somente tem sentido se o mesmo existe. Neste caso, se a função f for contínua no ponto x=xo, então a reta tangente à curva 
y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)), será dada por:
y = f(xo) + k (x-xo)
Reta tangente a uma curva: Seja a parábola dada pela função f(x)=x². O coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto P=(1,1), é dado por:
 
A reta tangente à curva y=x² em P=(1,1) é y=2x-1.
Derivada de uma função real
Quando h 0 (h diferente de 0) e o quociente de Newton no ponto xo se aproxima de um valor finito k, dizemos que este número k é a derivada de f no ponto xo, denotando este fato por:
 
Desde que tenha sentido este limite. Se tal limite não existe, dizemos que não existe a derivada de f em xo. Se a função tem derivada em um ponto, dizemos que f é derivável (ou diferençável) neste ponto.
Técnicas de derivação
Diferencial de uma função f
Nem sempre a diferença exata ∆f coincide com a variação dinâmica para f, definida como a diferencial de f, denotada por df. A diferencial de uma função contínua f no ponto xo é definida por:
df = f '(xo) dx
que pode ser justificada do ponto de vista geométrico. Já vimos que a equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto P=(xo,f(xo)) é:
y - f(xo) = f '(xo) (x-xo)
Realizamos uma translação de todo o sistema para um novo sistema de coordenadas, cuja origem passa a ser o ponto P=(xo,f(xo)).
 
Com dx=x-xo e dy=y-f(xo) temos um outro sistema em que as variáveis serão dx e dy, no lugar das variáveis antigas x e y. Indicando a nova curva transladada por y=f(x), teremos que a nova reta tangente a esta curva passará pela origem (0,0) do novo sistema.
A equação da reta tangente será dada por:
dy = f '(xo) dx
Cuja inclinação coincide com a diferencial de f no ponto xo. A translação para a origem deste novo sistema é essencial para entender o processo de linearização, fato muito comum na Matemática aplicada. Este processo informa que, ampliando bastante a vizinhança do ponto (xo,f(xo)) (com um zoom-in) nas vizinhanças do ponto P, obteremos praticamente duas retas se tangenciando, como podemos observar na figura.
Aplicações da diferencial a cálculos aproximados
1.	Se o lado de um quadrado aumentar 3%, qual será o aumento aproximado da área do quadrado?
Solução: A área do quadrado é dada por A(x)=x², assim a diferencial desta função será escrita como:
dA = A '(x)dx = 2x dx
pois A '(x)=2x e dx=3%=0,03. A área aumentará aproximadamente:
dA = 2x (0,03) = 0,06 x = 6% de x
2.	Se a aresta de um cubo mede x=10cm, diminuir 3%, qual será a diminuição aproximada do volume deste cubo?
Solução: O volume do cubo é dado por V(x)=x³, assim temos que V'(x)=3x² e a diferencial desta função será escrita como:
dV = V '(x) dx = 3x² dx
Como x=10 e dx=3%=0,03, o volume do cubo diminuirá aproximadamente:
dV = 3 × 10² (0,03) = 9 cm³
3.	Um triângulo tem dois lados que medem 2m e 3m formando um ângulo de 60o. Se o equipamento que mede o ângulo comete um erro de 1%, qual será o erro aproximado no cálculo da área?
Solução: Se a e b são as medidas dos lados de um triângulo que formam um ângulo medindo x, a área desse triângulo é dada por A(x)=½ ab sen(x). Assim:
dA = ½ a b cos(x) dx
Como x=60graus=(pi/3)rad, a=2m, b=3m e dx=1% de 1rad, então
dA = ½ × 2 × 3 × cos(pi/3) × 0,01 = 0,015 m²
Regras de derivação
Nem sempre devemos calcular as derivadas diretamente a partir da definição, usando o limite da razão incremental, pois este método, além de ser repetitivo para certas funções como as lineares e polinomiais, só é prático para funções muito particulares e simples. Temos algumas regras de derivação que nos permitirão encontrar derivadas de funções de uma forma mais fácil e rápida.
Regras gerais para derivadas de funções
1.	Multiplicação por escalar
(kf) '(x) = k f '(x)
2.	Soma de funções
(f+g) '(x) = f '(x) + g '(x)
3.	Diferença de funções
(f–g) '(x) = f '(x) – g '(x)
4.	Produto de funções
(f.g) '(x) = f(x).g '(x) + f '(x).g(x)
5.	Divisão de funções, quando o denominador g=g(x) é não nulo, então
 
Neste caso, a ordem das funções f e g, não pode ser mudada.
Regra da Cadeia
As regras já apresentadas permitem derivar funções que podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas, como por exemplo, f(x)=(4x+1)100 pois, é praticamente impossível derivar um produto com 100 termos pela regra usual. No entanto, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprenderemos a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. A seguir apresentamos a Regra da Cadeia, que nos dá a derivada da função composta.
Teorema: Sejam f e g funções diferenciáveis e h a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u=g(x) é derivável no ponto x e se y=f(u) é derivável no ponto u=g(x), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:
h '(x) = f '(g(x)) g '(x)
Uma notação muito utilizada é:
[f(u(x))] ' = f '(u) u '(x)
Outras notações comuns, como y=h(x)=f(g(x)), sendo u=g(x) e y=f(u), nos dão as expressões equivalentes:
Dxy = Duy Dxu, yx = yu ux, 
Exemplo: Para f(x)=(4x+1)100, tomamos u(x)=4x+1 e v(u)=u100 para escrever f(x)=v(u(x)) e pela regra da cadeia:
f '(x) = [v(u(x))] ' = v '(u(x)) u '(x)
logo
f '(x) = 400 u99 = 400(4x+1)99
Derivada da função inversa: Seja y=f(x) uma função inversível, derivável em um ponto x tal que a derivada de f não se anula e g(y)=g(f(x)) é a função inversa de f. Então g é derivável em y=f(x) e a derivada de g é dada por:
g '(y) = 1/f '(x)
Este resultado é uma aplicação imediata da regra da cadeia, pois se g é a inversa de f, temos que x=g(f(x)) e derivando em relação à variável x em ambos os membros da igualdade, teremos:
1 = g '(f(x)) f '(x) = g '(y) f '(x)
Exemplo: Seja a função real definida por y=f(x)=x²+3x. Mostrar que a derivada da função inversa de f=f(x) é dada por:
g '(y) = 1/(2x+3)
Derivadas de ordem superior
Seja f uma função derivável. Se f ' também for derivável, então a derivada de f ' é denominada derivada segunda de f e é representada por f” (f duas linhas). Se f" é uma função derivável, a sua derivada dada por f ' ' ', é denominada derivada terceira de f. A derivada de ordem n dada por f(n) é obtida pela derivada da derivada de ordem n-1 de f. Algumas notações para algumas derivadas de ordem superior:
f(n) = Derivada de ordem n da função f
f(o) = Derivada de ordem zero para f
Derivadas de Funções Implícitas
As funções abordadas até agora, foram sempre apresentadas na forma explícita y=f(x) em que podemos determinar y em termos de x. Por exemplo, y=f(x)=esen(x) pode ser derivada pelas regras comuns. Muitas vezes, trabalhamos com equações em x e y, como por exemplo:
x² + y² = 1 ou xy + sen(xy) = 3
onde nem sempre se pode explicitar para a variável y ser definida em função de x. As equações acima, definem relações entre y e x, mas nem sempre se pode definir y como uma única função de x. Assim, poderemos explicitar y na primeira, porém não explicitaremos y na segunda, por ser impossível.
Para x²+y²=1, duas soluções possíveis são:
 
 
e obtemos as derivadas pelos processos comuns.
No caso em que temos xy+sen(xy)=3, não é possível extrair o valor de y em função de x e isto nos força a pensar na possibilidade da existência da derivada f ', mesmo que não exista uma função y=f(x).
Construiremos outro processo que nos poupe trabalho. Não trabalharemos agora com a função xy+sen(xy)=3, por ser muito complicada, mas tomaremos a relação: x²+y²=1. Admitindo que exista y=f(x) definida implicitamente com x em algum intervalo real I, tal que f possua derivada neste intervalo, então para cada x em I, poderemos escrever:
x² + f²(x) = 1
Derivando ambos os membros da igualdade em relação a x, obtemos:
2x + 2 f(x) f '(x) = 0
Temos então uma relação entre x, f e f ', dada por:
f '(x) = –x/f(x)
desde que f(x) seja diferente de zero no ponto sob consideração, assim:
 
Exercício: Derivar implicitamente a função y=f(x), definida pela relação:
x3y + x²y² + x + y + xy3 = 6
Outras Aplicações
1) Consideremos a curva conhecida como Folium de Descartes, definida de forma implícita por:
F(x,y) = x³ + y³ - 3axy = 0 (a>0)
Problema: Obter o ponto da curva que está a maior distância do eixo horizontal (altura máxima).
Para resolver este problema, devemos obter o ponto de máximo de y=y(x) e a dificuldade é obter de forma explícita y=y(x). Embora exista a fórmula de Tartaglia-Cardano para resolver o problema, a expressão desta função y=y(x) é muito complicada. Existem outras situações que nem mesmo
é possível explicitar y=y(x). Para contornar estes problemas, usaremos a derivação da função definida implicitamente pela curva:
x³ + y³ - 3axy = 0
Para realizar a derivação implícita, subentendemos que existe y=y(x) de modo que ao substituir y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é:
3 x² + 3 y²(x) y'(x) - 3a [x y'(x) + y(x)] = 0
Simplificando, obtemos
(y² - ax) y'(x) = ay - x²
Desta relação, já temos a derivada y'=y'(x):
 
Os pontos críticos xo são aqueles nos quais a primeira derivada se anula, isto é, y'(xo)=0. Assim, existe uma solução trivial P=(0,0), mas é fácil perceber que este ponto pertence à curva dada. Para obter outros pontos críticos, devemos resolver o sistema formado pelas duas equações:
ay - x² = 0
x³ + y³ -3axy = 0
Este sistema fornece o ponto crítico Q=(xo,yo), dado por:
xo=a 21/3 e yo=a 24/3
Para evitar as frações, usaremos a expressão:
(y² - ax) y '(x) = ay - x²
Realizando a derivada implícita desta última relação, obtemos:
 y'' (y²-ax) + y' (2.y.y' -a) = a.y'-2x
Tomando esta relação no ponto x=xo e levando em consideração que y'(xo)=0, a expressão fica bem simples:
 y''(xo) (yo²-axo) = -2xo
Substituindo os valores de xo e yo,obtemos:
 y''(xo) = -2/a < 0
Logo, xo=a.21/3 é um ponto de máximo e yo=a.41/3 é o valor máximo de y=y(x).
2) Consideremos a elipse rodada em relação aos eixos normais, definida implicitamente por 
F(x,y) = x² + xy + y² - 3 = 0
Nosso objetivo é obter os extremos desta curva no plano cartesiano. Aqui existe também a dificuldade em explicitar y=y(x). A fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara) resolve o problema mas a expressão de y=y(x) fica complicada. Obteremos as duas primeiras derivadas de y=y(x), usando o processo de derivação implícita.
Para realizar a primeira derivada implícita, vamos subentender que existe y=y(x) de modo que substituindo y por y(x), tenhamos apenas uma função da variável x. A derivada implícita desta função é:
2x + x.y' + y + 2y.y' = 0
Simplificando, obtemos
(x +2y) y' = -(y+2x)
Desta relação, temos a derivada:
 
Os pontos críticos xo são os que anulam a primeira derivada, isto é, y '(xo)=0. Dessa forma, a solução depende do fato que y+2x=0. Como sabemos que este ponto pertence à elipse dada, basta resolver o sistema:
 y + 2x = 0
x²+xy+y² =3
Este sistema fornece os pontos P=(-1,2) e Q=(1,-2).
Para obter a segunda derivada implícita, usaremos a expressão
(x +2y) y' = -(y+2x)
Realizando a derivada implícita desta relação, obtemos:
y''(x) (x+2y) + y'(x) (1+2y') = -y'(x)-2
Tomando esta relação em qualquer dos dois pontos críticos, obtemos:
 
O ponto P=(-1,2) é ponto de máximo, pois
y''(-1) = - 2/3 < 0
O ponto Q=(1,-2) é ponto de mínimo, pois
y''(1) = 2/3 > 0
Conclusão
Este manual permite não só que tiremos dúvidas, mas também que lembremos alguns conceitos e regras.
Como a matemática é uma disciplina exata, exige que suas regras sejam seguidas para que não haja erros nos cálculos.
O mais interessante da pesquisa foi descobrir várias aplicações matemáticas ligadas à realidade da vida e da sociedade. Como exemplo o uso da função polinomial do 1º grau no cálculo da Receita e Preço e demanda função polinomial a partir do 2º grau para generalizar, da função exponencial no cálculo de juros compostos, o logaritmo no cálculo da magnitude de um terremoto etc.
Referências Bibliográficas
Livros
•	Mega 1
Ético (sistema de ensino)
Editora Saraiva
Elaboração de originais: Alberto Rodrigues Paiva, Odimar Navas Ferrite
•	Matemática
Marcondes Gentil Sérgio
Livro do Professor
Série Novo Ensino Médio – Volume Único 
Especial – Questões do ENEM 1998, 1999 e 2000
Editora Ática
6ª Edição
Sites
Acessados em 02/04/2011
http://mundoeducacao.com.br/matemática/
www.mat.puc-rio.br
http//:pessoal.sercomtel.com.br/matematica/médio/
**Algumas anotações feitas em sala com explicação da professora tutora.

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