AL_PROFMAT_cap06

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Livro: Introdução à Álgebra Linear
Autores: Abramo Hefez
Cecília de Souza Fernandez
Capítulo 6: Transformações Lineares e
Matrizes
Sumário
1 Matriz de uma Transformação Linear . . . . . . . 151
2 Operações com Transformações Lineares e Ma-
trizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3 Operadores Lineares em R2 e em R3 . . . . . . . . 163
4 Mudança de Base e Matrizes Semelhantes . . . . 171
1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 151
Neste capítulo, mostramos como associar matrizes a transformações line-
ares, reduzindo as operações com transformações lineares a operações com
matrizes, o que permite ganhar computabilidade.
1 Matriz de uma Transformação Linear
Nesta seção, veremos que se V e W são espaços vetoriais de dimensão
finita, com bases fixadas, então uma transformação linear T : V → W pode
ser representada por uma matriz. A vantagem de uma tal representação é
que muitos problemas associados às transformações lineares entre espaços
de dimensão finita podem ser resolvidos com a teoria das matrizes, como
veremos na próxima seção e nos capítulos a seguir.
Seja T : V→W uma transformação linear, em que dimV=n e dimW=m.
Sejam α = {v1, v2, . . . , vn} e β = {w1, w2, . . . , wm} bases de V e W , respec-
tivamente. Como β é uma base de W , podemos determinar de modo único
números reais aij, com 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, tais que
T (vi) = a1iw1 + · · ·+ ajiwj + · · ·+ amiwm. (1)
Tomemos agora v em V . Temos que v = k1v1 + · · · + knvn, em que ki ∈ R
para 1 ≤ i ≤ n. Pela linearidade de T e por (1), segue que
T (v) = k1T (v1) + · · ·+ knT (vn)
= k1(a11w1 + · · ·+ am1wm) + · · ·+ kn(a1nw1 + · · ·+ amnwm)
= (a11k1 + · · ·+ a1nkn)w1 + · · ·+ (am1k1 + · · ·+ amnkn)wm.
Logo,
[T (v)]β =
 a11k1 + · · ·+ a1nkn..
.
am1k1 + · · ·+ amnkn

=
a11 · · · a1n..
.
.
.
.
am1 · · · amn

k1..
.
kn
 = [T ]αβ · [v]α,
(2)
152 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
onde definimos
[T ]αβ =
a11 · · · a1n..
.
.
.
.
am1 · · · amn
 .
A matriz [T ]αβ , que representa T em relação às bases α e β, é chamada a
matriz de T nas bases α e β. Por (2), temos a expressão
[T (v)]β = [T ]
α
β · [v]α para todo v em V . (3)
Observemos que [T ]αβ é uma matriz de ordem m × n tal que, para cada
1 ≤ i ≤ n, a i-ésima coluna de [T ]αβ é dada pelas coordenadas de T (vi) na
base β.
Exemplo 1. Sejam α = {(1, 1), (0, 2)} e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 2, 0)},
bases de R2 e R3, respectivamente. Calculemos [T ]αβ , onde T : R2 → R3 é
dada por T (x, y) = (2x, x− y, 2y).
Como T é uma transformação linear de R2 em R3, [T ]αβ é uma matriz
3× 2, digamos
[T ]αβ =
a11 a12a21 a22
a31 a32
 .
Pelo que vimos, a11, a21 e a31 são as coordenadas de T (1, 1) na base β e
a12, a22 e a32 são as coordenadas de T (0, 2) na base β. Ou seja,
T (1, 1) = (2, 0, 2) = a11(1, 0, 1) + a21(0, 1, 0) + a31(1, 2, 0)
e
T (0, 2) = (0,−2, 4) = a12(1, 0, 1) + a22(0, 1, 0) + a32(1, 2, 0).
Equivalentemente,
a11 + a31 = 2
a21 + 2a31 = 0
a11 = 2
e

a12 + a32 = 0
a22 + 2a32 = −2
a12 = 4 .
1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 153
Resolvendo os sistemas lineares acima, obtemos
a11 = 2, a21 = 0, a31 = 0, a12 = 4, a22 = 6 e a32 = −4.
Portanto,
[T ]αβ =
2 40 6
0 −4
 .
No exemplo anterior, determinamos [T ]αβ a partir da transformação linear
T . No próximo exemplo, vamos considerar o problema inverso: dada a matriz
[T ]αβ , determinar T a partir desta matriz.
Exemplo 2. Sejam α e β as bases dadas no Exemplo 1. Determine a
transformação linear T : R2 → R3 tal que
[T ]αβ =
1 01 2
0 1
 .
Para determinar T usaremos a expressão (3). Assim, computemos inici-
almente [v]α.
Ora, se (x, y) ∈ R2, então
(x, y) = x(1, 1) +
(
y − x
2
)
(0, 2),
o que nos dá
[(x, y)]α =
 xy − x
2
 .
Portanto,
[T (x, y)]β =
1 01 2
0 1

 xy − x
2
 =

x
y
y − x
2

e, consequentemente,
154 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
T (x, y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0) +
(
y − x
2
)
(1, 2, 0)
=
(
y + x
2
, 2y − x, x
)
.
O Exemplo 2 pode ser resolvido por um outro método. De fato, sabemos
que, na base β, a primeira coluna de [T ]αβ nos dá as coordenadas de T (1, 1)
e a segunda coluna nos dá as coordenadas de T (0, 2).
Assim,
T (1, 1) = 1(1, 0, 1) + 1(0, 1, 0) + 0 · (1, 2, 0) = (1, 1, 1)
e
T (0, 2) = 0 · (1, 0, 1) + 2(0, 1, 0) + 1(1, 2, 0) = (1, 4, 0).
Para (x, y) ∈ R2 arbitrário, temos
(x, y) = x(1, 1) +
(
y − x
2
)
(0, 2).
Agora, pela linearidade de T , segue que
T (x, y) = x(1, 1, 1) +
(
y − x
2
)
(1, 4, 0)
=
(
y + x
2
, 2y − x, x
)
,
como encontrado anteriormente.
Quando a transformação linear for de um espaço vetorial V nele mesmo,
ela será chamada de operador em V .
Exemplo 3. Consideremos o operador identidade em um espaço vetorial V ;
isto é, o operador definido por IV (v) = v para todo v ∈ V .
Tem-se que [IV ]
α
α é a matriz identidade de ordem n. De fato, para cada
1 ≤ j ≤ n, a j-ésima coluna de [IV ]αα é dada pelas coordenadas de IV (vj) na
base α. Mas, para cada 1 ≤ j ≤ n,
IV (vj) = vj = 0v1 + · · ·+ 0vj−1 + 1vj + 0vj+1 + · · ·+ 0vn,
1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 155
o que implica que [IV ]
α
α é a matriz identidade de ordem n:
[IV ]
α
α =

1 · · · 0 · · · 0
0 0 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 · · · 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 · · · 0 · · · 1

.
↑ ↑ ↑
coordenadas coordenadas coordenadas
de IV (v1) de IV (vj) de IV (vn)
na base α na base α na base α
Seja T : V → W uma transformação linear entre espaços vetoriais de
dimensão finita. Vimos que, uma vez fixadas bases α e β de V e W , res-
pectivamente, existe uma única matriz [T ]αβ que representa T nessas bases.
Uma pergunta natural é o que ocorre com a matriz [T ]αβ se diferentes bases
são escolhidas. Consideremos a transformação linear dada no Exemplo 1. Se
α e β são as bases canônicas de R2 e R3, respectivamente, então
[T ]αβ =
2 01 −1
0 2
 .
Assim, podemos ter matrizes diferentes representando uma mesma trans-
formação linear. Isto deixa bastante claro que, embora uma transformação
linear T : V → W não dependa de bases particulares escolhidas para V e W ,
a matriz associada depende dessas bases.
Terminamos esta seção observando que escolhidas bases quaisquer α e β
de Rn e Rm, respectivamente, uma matriz A ∈ M(m,n) define uma trans-
formação linear T : Rn → Rm como segue:
[T (v)]β = A · [v]α, v ∈ Rn.
156 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Mais ainda, tem-se que [T ]αβ = A (veja Problema 1.2).
Em particular, se α e β são as bases canônicas de Rn e Rm, respectiva-
mente, então a transformação linear T é chamada transformação multiplica-
ção por A, sendo representada por TA.
Exemplo 4. Seja A = [aij] uma matriz de ordem m× n. Temos que
TA(x1, . . . , xn) =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn


x1
x2
.
.
.
xn

=

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn
.
.
.
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn

= x1w1 + x2w2 + · · ·+ xnwn,
onde w1, . . . , wn são os vetores colunas da matriz A.
Assim, temos que ImTA é o subespaço de Rm gerado pelas colunas da
matriz A, chamado espaço coluna de A e denotado por C(A). Por outro
lado, o núcleo KerTA de TA é o conjunto solução Sh(A) do sistema linear
homogêneo AX = 0.
Problemas
1.1 Dadas duas transformações lineares T, T ′ : V → W e bases α e β de V e
W , respectivamente, mostre que se [T ]αβ = [T
′]αβ , então T = T