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AL_PROFMAT_cap06

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ao Teorema 6.2.4, temos que
[T−1]αα = ([T ]
α
α)
−1 =
[
1 3/2
1 2
]
.
A transformação linear T−1 é, então, determinada usando a fórmula (3) da
Seção 1, como segue:
[T−1(x, y)]α = [T−1]αα [(x, y)]α =
[
1 3/2
1 2
][
x
y
]
=
[
x+ 3
2
y
x+ 2y
]
,
3. OPERADORES LINEARES EM R2 E EM R3 163
o que fornece
T−1(x, y) = (x+
3
2
y, x+ 2y).
Problemas
2.1 Sejam
A =
1 0 10 2 −1
0 0 1
 e B =
 1 1 −10 0 1
−1 2 0
 .
Determine a transformação linear T : R3 → R3 tal que TA = TB ◦ T .
2.2 Considere as matrizes
A =
1 20 1
1 −1
 e B =
 1 1 1−1 0 0
1 2 1
 .
Determine:
(a) KerTA; (b) ImTA; (c) KerTB;
(d) ImTB; (e) Ker(TB ◦ TA); (f) Im(TB ◦ TA).
2.3 Prove a Proposição 6.2.2.
3 Operadores Lineares em R2 e em R3
Dentre os operadores lineares mais importantes em R2 e em R3 estão os
que produzem reflexões, projeções e rotações. A seguir, passamos a estudar
alguns destes operadores.
Reflexões Consideremos o operador linear T : R2 → R2, chamado de refle-
xão em torno do eixo Ox, que transforma cada vetor v = (x, y) ∈ R2 em sua
imagem simétrica em relação ao eixo Ox.
Figura 10
Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), obtemos as equações
w1 = x = 1x+ 0y, w2 = −y = 0x− 1y.
164 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
Assim, se α denota a base canônica de R2, segue que
[T (v)]α =
[
1 0
0 −1
]
[v]α.
Em geral, os operadores lineares de R2 ou de R3 que levam cada vetor em
seu simétrico em relação a alguma reta ou plano são chamados de reflexões .
Abaixo, apresentamos algumas das reflexões mais comuns em R2 e R3. Fi-
xamos a notação α para denotar a base canônica de R2 ou de R3.
3. OPERADORES LINEARES EM R2 E EM R3 165
Operador Equações Matriz [T ]αα
Reflexão em torno
do eixo Oy
{
w1 = −x
w2 = y
[
−1 0
0 1
]
Reflexão em torno
da reta y = x
{
w1 = y
w2 = x
[
0 1
1 0
]
Reflexão em torno
do plano xOy

w1 = x
w2 = y
w3 = −z
1 0 00 1 0
0 0 −1

Reflexão em torno
do plano yOz

w1 = −x
w2 = y
w3 = z
−1 0 00 1 0
0 0 1

Reflexão em torno
do plano xOz

w1 = x
w2 = −y
w3 = z
1 0 00 −1 0
0 0 1

Projeções Consideremos o operador linear T : R2 → R2 que transforma
cada vetor v = (x, y) ∈ R2 em sua projeção ortogonal sobre o eixo Ox
(Figura 11). Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), obteremos as equações
w1 = x = 1x+ 0y, w2 = 0 = 0x+ 0y.
Assim, se α denota a base canônica de R2, temos
[T (v)]α =
[
1 0
0 0
]
[v]α.
Figura 11
Em geral, uma projeção (ou, mais precisamente, uma projeção ortogonal)
de R2 ou R3 é um operador linear que transforma cada vetor em sua projeção
166 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
ortogonal sobre alguma reta ou algum plano que passa pela origem. A seguir,
apresentamos algumas das projeções mais comuns.
Operador Equações Matriz [T ]αα
Projeção sobre
o eixo Oy
{
w1 = 0
w2 = y
[
0 0
0 1
]
Projeção sobre
o plano xOy

w1 = x
w2 = y
w3 = 0
1 0 00 1 0
0 0 0

Projeção sobre
o plano yOz

w1 = 0
w2 = y
w3 = z
0 0 00 1 0
0 0 1

Projeção sobre
o plano xOz

w1 = x
w2 = 0
w3 = z
1 0 00 0 0
0 0 1

Rotações Consideremos o operador linear T : R2 → R2 que gira cada vetor
v = (x, y) ∈ R2 de um ângulo fixado θ (Figura 12). T é chamado de rotação
por θ em R2.
Figura 12
3. OPERADORES LINEARES EM R2 E EM R3 167
Se escrevermos w = T (v) = (w1, w2), segue da trigonometria que
x = r cosφ, y = r senφ (1)
e
w1 = r cos(θ + φ), w2 = r sen(θ + φ), (2)
onde r denota o comprimento de v e φ denota o ângulo entre v e o eixo Ox
positivo no sentido anti-horário. Aplicando identidades trigonométricas em
(2), temos {
w1 = r cos θ cosφ− r sen θ senφ
w2 = r sen θ cosφ+ r cos θ senφ.
Substituindo (1) nas expressões acima, obtemos as equações{
w1 = x cos θ − y sen θ
w2 = x sen θ + y cos θ.
(3)
Assim, se α denota a base canônica de R2, obtemos
[T (v)]α =
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
[v]α.
Em geral, uma rotação de vetores em R3 é feita em relação a uma reta
partindo da origem, chamada eixo de rotação. À medida que um vetor gira
em torno do eixo de rotação, ele varre uma porção de um cone (Figura 13).
168 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
O ângulo de rotação, que é medido na base do cone, é descrito no sentido
horário ou anti-horário em relação a um ponto de vista ao longo do eixo de
rotação olhando para a origem. Por exemplo, na Figura 13, o vetor T (v)
resulta da rotação no sentido anti-horário do vetor v em torno do eixo Ox
por um ângulo θ. Assim como em R2, os ângulos são positivos se gerados
por rotações no sentido anti-horário e negativos se gerados por rotações no
sentido horário.
Figura 13
Na tabela a seguir, apresentamos as rotações em R3 cujos eixos de rotação
são os eixos coordenados.
3. OPERADORES LINEARES EM R2 E EM R3 169
Operador Equações Matriz [T ]αα
Rotação anti-horária
em torno do eixo Ox
por um ângulo θ

w1 = x
w2 = y cos θ − z sen θ
w3 = y sen θ + z cos θ
1 0 00 cos θ − sen θ
0 sen θ cos θ

Rotação anti-horária
em torno do eixo Oy
por um ângulo θ

w1 = x cos θ + z sen θ
w2 = y
w3 = −x sen θ + z cos θ
 cos θ 0 sen θ0 1 0
− sen θ 0 cos θ

Rotação anti-horária
em torno do eixo Oz
por um ângulo θ

w1 = x cos θ − y sen θ
w2 = x sen θ + y cos θ
w3 = z
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1

Para cada uma das rotações na tabela acima, uma das componentes do
vetor permanece inalterada durante a rotação e a relação entre as duas outras
componentes pode ser deduzida da mesma forma que deduzimos (3).
Sabemos que a multiplicação por escalar de um vetor em R2 e em R3, de-
pendendo do valor do escalar, produz no vetor uma dilatação, contração ou
inversão. Podemos representar estes efeitos geométricos por meio de opera-
dores lineares. De fato, o operador linear Ta : R2 → R2, dado por Ta(v) = av,
em que a ∈ R e v ∈ R2, dilata v, se a ≥ 1; contrai v, se 0 ≤ a < 1; inverte
o sentido de v, se a < 0. No caso particular de a = −1, o operador Ta é
chamado reflexão em torno da origem. O que acabamos de ver vale também
para R3 (Figura 14).
Figura 14
Exemplo 1. Determinemos se T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1, onde T1 : R2 → R2 é a
projeção ortogonal sobre o eixo Ox e T2 : R2 → R2 é a projeção ortogonal
sobre o eixo Oy.
Como vimos na Seção 2, compor transformações lineares é equivalente a
multiplicar as matrizes que representam estas transformações. Seja α a base
170 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES
canônica de R2. Como
[T1]
α
α =
[
1 0
0 0
]
e [T2]
α
α =
[
0 0
0 1
]
,
segue que T1 ◦ T2 é dada pelo produto[
1 0
0 0
][
0 0
0 1
]
=
[
0 0
0 0
]
(4)
e que T2 ◦ T1 é dada pelo produto[
0 0
0 1
][
1 0
0 0
]
=
[
0 0
0 0
]
. (5)
De (4) e (5), obtemos que T1 ◦ T2 e T2 ◦ T1 são o operador nulo em R2.
Portanto, T1 ◦ T2 = T2 ◦ T1.
Problemas
3.1* Encontre a matriz na base canônica para a composição de uma rotação
de 90◦ seguida de uma reflexão em torno da reta y = x, em R2.
3.2* Determine a inversa do operador linear em R3 dado por uma reflexão
em torno do plano xOy.
3.3 Sejam T : R2 → R2 a reflexão em torno do eixo Oy e S : R2 → R2 a
reflexão em torno do eixo Ox. Mostre que S ◦ T = T ◦ S.
4. MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES 171
3.4 Sejam T : R2 → R2 a reflexão em torno da reta y = x e S : R2 → R2 a
projeção ortogonal sobre o eixo Oy. Mostre que S ◦ T 6= T ◦ S.
3.5 Mostre que se T : R3 → R3 é uma projeção ortogonal sobre um dos eixos
coordenados, então os vetores T (v) e v − T (v) são ortogonais,