Aula 4 - Regra de Três Composta e Regra de Sociedade ( 20 a 26 Fevereiro-2012 )

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MATEMÁTICA APLICADA À ADMINISTRAÇÃO28
UNIMES VIRTUAL
Aula: 04 
Temática: Regra de Três Composta 
 e Regra de Sociedade
Agora que você já compreendeu como desenvolver a Regra 
de Três Simples, podemos juntos resolver problemas envol-
vendo Regra de Três Composta e Regras de Sociedade. 
Vamos lá? 
1. Regra de Três Composta
A Regra de Três Composta aplica-se a problemas que relacionam duas ou 
mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Dizemos que uma 
grandeza G é diretamente proporcional a um conjunto de grandezas {M, 
N, O,...} e inversamente proporcional a outro conjunto de grandezas {m, n, 
o,...} se, e só se, os valores de G são proporcionais ao produto dos valores 
das grandezas M, N, O,... multiplicado por , , ,... . 
Vamos ver como fica um exemplo:
Uma fábrica de cerveja possui 5 máquinas para produzir cerveja. Ela produz 
32.000 litros em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias 
para produzir 6.400 litros de cerveja em 2 dias de trabalho? 
Resolução: 
Colocamos os dados do problema separados em colunas distintas para 
cada uma das unidades de medidas. Aqueles de mesma unidade de medi-
da na mesma coluna. Às grandezas diretamente proporcionais associamos 
flechas orientadas para o mesmo sentido. E àquelas grandezas inversa-
mente proporcionais associamos flechas com sentido oposto. 
Máquinas (em unidades) 
x máquinas
5 máquinas
Cerveja (litros) 
 6.400
32.000
dias
2
6
Identificação das Grandezas Diretamente Proporcionais: máquinas e 
cervejas são grandezas diretamente proporcionais já que (considerando 
um número de dias fixo) quanto mais máquinas tivemos, mais cerveja 
produziremos. 
 1 
 m
 1 
 n
 1 
 o
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Identificação das Grandezas Inversamente Proporcionais: máquinas e 
dias são grandezas inversamente proporcionais (considerando uma quan-
tidade fixa de litros de cerveja para produzir), pois, se aumentarmos o 
número de máquinas para produzir aquela quantidade de cerveja fixada, 
precisaremos de menor número de dias para produzir aquela quantidade 
de cerveja. 
Você obterá o mesmo resultado se imaginar que aumente o número de 
dias para produzir aquela quantidade fixada de cerveja. Com certeza preci-
sará de menos máquinas, não? 
O parágrafo abaixo é Importante para você fixar Regra de Três Composta: 
 
Reforçando o raciocínio 
Fixado um tanto de cerveja, quanto mais máquinas, menos tempo preci-
samos para produzir aquela cerveja. Ou ainda: fixado um tanto de cerveja, 
quanto mais tempo para produzi-la, menos máquinas precisaremos. 
O exercício fica: 
 x 
 5
= 6.400 
 32.000 
. 6 
2
 x 
 5
= 64 
320
 . 3 x 
 5
= 3 
 5
 x= 3
Portanto, nas condições dadas, precisaremos de 3 máquinas. 
2. Regra de Sociedade
Quando são formadas sociedades, temos de definir como será a divisão 
do lucro e/ou prejuízo, proporcionalmente, ao investimento de cada sócio. 
Podemos considerar o tempo de serviço na sociedade, salários, capital 
investido ou outras grandezas que considerarmos relevantes. 
Vejamos a partir de um exemplo: 
Dois torcedores de futebol, um Corinthiano e um Palmeirense, ao perceber 
que o mercado de material esportivo com os emblemas dos times de fute-
bol estava em franca expansão, resolveram abrir uma lojinha em sociedade. 
O Corinthiano investiu R$ 80.000,00 e o Palmeirense R$ 120.000,00. Após 
o primeiro ano de funcionamento o lucro da loja foi de R$ 300.00,00. Quanto 
desse lucro cabe para cada sócio, proporcionalmente ao capital investido ? 
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Resolução: 
Vamos chamar de x e y as partes que cabem a cada um dos sócios. 
Sabemos que:
 x+y = 300.000 (1)
Como as quantias x e y são proporcionais ao capital investido, existe uma 
constante K tal que: 
x = K. 80.000 e y = K. 120.000 (2)
Substituímos as expressões (2) na equação (1):
 K.80.000 + K.120.000 = 300.000 (1)
Efetuando a soma:
K.200.000 = 300.000
Obtemos o valor de K = 300.000 
 200.000
= 1,5
Voltando o valor de K obtido nas equações (2), conseguimos determinar o 
valor de x e y: 
x = (1,5).80.000 = 120.000 e y = (1,5).120.000 = 180.000
 
Vamos Revisar? 
 
Regra de Três Composta: Consideremos uma grandeza G que seja 
diretamente proporcional às grandezas e inversamente proporcional às 
grandezas {m, n, o,...} . Para a grandeza G temos os valores G1 e G2. Para 
as grandezas M,N,O temos os valores M1, M2, N1, N2, O1, O2. Para as 
grandezas m, n, o, temos os valores m1, m2, n1, n2, o1, o2. Então vale a 
equação: G1 
 G2
= M1 
 M2
 N1 
 N2
 O1 
 O2
 m1 
 m2
 n1 
 n2
 o1 
 o2
Regra de Sociedade: considere x e y as partes da sociedade que são 
procuradas. Então x + y = V, V é algum valor dado no exercício. Sejam A 
e B as partes do investimento de cada um dos sócios. Então existe uma 
constante K tal que x = K. A, y = K. B. Temos a equação K.A + K.B = V. 
Desta equação obtemos o valor de K. Com o valor de K obtemos os valores 
de x e y. 
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Tarefa Mínima
1. Em uma construção, 12 operários trabalhando 8 horas por dia demoram 
2 dias para terminar uma empreitada. Determine o número de operários 
necessário para executar a mesma obra se eles trabalharem 6 horas por 
dia durante 8 dias. 
2. Uma transportadora cobra R$ 800,00 para transportar 5 volumes por 40 
km. Por quanto a transportadora vai cobrar para transportar 20 volumes 
por 60 km. 
3. Duas pessoas uniram suas economias de R$160.000,00 para uma 
microempresa. A primeira pessoa colocou R$ 100.000,00 e a segunda 
R$60.000,00. Se o lucro foi de R$ 80.000,00, determine a parcela corres-
pondente a cada um. 
Aos poucos, você perceberá que, quanto mais exercícios fi-
zer, melhor será sua compreensão a respeito da Matemática!
Como sempre, pode contar comigo e com os Professores Tutores Assis-
tentes para esclarecer suas dúvidas na nossa interatividade! Até breve!