Distribuição f de Snedecor
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Distribuição f de Snedecor


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DISTRIBUIÇÃO F DE SNEDECOR



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A seguir a distribuição F de Snedecor será detalhada.

A distribuição ?F de Snedecor, também conhecida como distribuição de Fisher, é geralmente usada na área de inferência estatística para realizar a análise da variância.

Resumindo de uma forma simplificada, considerando uma variável aleatória ?X com distribuição ?F de Snedecor temos as seguintes propriedades:

  • A variável segue uma distribuição positivamente assimétrica.

  • A distribuição desta variável pode ser caracterizada como uma família de curvas, onde cada curva é determinada por dois parâmetros que representam os graus de liberdade do numerador e denominador.

  • Todos os possíveis valores de ?X são maiores ou iguais a 0.

  • Para todas as combinações de graus de liberdade, o primeiro momento de ?X possui valor próximo ao unitário (?𝔼X1).


Definição

Considere ema variável aleatória e contínua ?X que possui uma distribuição ?F de Snedecor com ?n e ?m graus de liberdade no numerador e denominador respectivamente, desta forma, a sua Função Densidade de Probabilidade (?FDP) deve ser a seguinte expressão:


?f(x)=dfracΓ[dfracm+n2](dfracmn)dfracm2xdfracm21}Γ[dfracm2]Γ[dfracn2][)x+1]dfracm+n2}x


Em que ?Γn representa a função gama e possui a seguinte expressão:


?Γn=(n1)!


Considerando ?n.

Variáveis que seguem essa distribuição possui a seguinte notação: ?XF(m,n).

A seguir é apresentando um gráfico para a ?FDP da distribuição ?F de Snedecor para diferentes valores de ?m e ?n:



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Neste gráfico é exibido a FDP da distribuição F de Snedecor para diferentes valores de n e m


Primeiro e Segundo Momento estatístico

Para a distribuição ?F Snedecor não existe uma expressão fechada para a função geradora de momento, então o primeiro e segundo momento serão encontrado através da integral envolvendo a ?FDP da distribuição, desta maneira para o primeiro momento nós temos que:


?𝔼X=0xf(x)dx=dfracnn2hspace1cmparahspace1cmn>2


Podemos observar então que a média desta distribuição possui dependência apenas do grau de liberdade do numerador e precisa que ?n seja maior que 2.

Já para o segundo momento, temos a seguinte expressão:


?𝔼X2=0x2f(x)dx=dfrac2n2(m+n2)m(m4)(n2)2hspace1cmparahspace1cmn>4


Desta vez podemos observar que a expressão da variância é mais complexa que a da média e que ela necessita que ?n seja maior que 4.


Relação com a distribuição Qui-Quadrado (?̃χ2)

Considere ?Qne ?Qm variáveis aleatórias com distribuição qui-quadrado com ?n e ?m graus de liberdade, respectivamente., ou seja:


?Qñχn2hspace1cmehspace1cmQm̃χm2


Suponha ainda que estas variáveis aleatórias sejam independentes.

Assim definindo uma nova variável aleatória ?F , ela irá ter uma distribuição F de Snedecor


?F=dfracQm/mQn/nF(m,n)



Relação com outras distribuições

A distribuição ?F de Snedecor tem relações com diversas distribuições, confira a seguir algumas dessas relações:


Distribuição Gama

Considere duas variáveis aleatórias com distribuição gama e independentes:


?X1Γ(α1,β1)hspace1cmX2Γ(α2,β2)


Desta forma podemos encontrar a distribuição ?F de Snedecor com a seguinte operação:


?F=dfracα2β1X1α1β2X2F(2α1,2α2)



Distribuição Beta

Considere uma variável aleatória com distribuição beta:


?XBeta(d1/2,d2/2)


Desta maneira podemos encontrar a distribuição ?F de Snedecor com a seguinte operação:


?F=dfracd2Xd1(1X)F(d1,d2)



Distribuição ?t de Student

Considere uma variável aleatória com distribuição ?t de Student:


?Xt(n)


Desta maneira podemos encontrar a distribuição ?F de Snedecor com a seguinte operação:


?X2F(1,n)hspace1cmehspace1cmX2F(n,1)