FT2_Unidade III_Parte 4

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Fenômenos de Transporte II 
Unidade 3 – Equações Gerais da Dinâmica dos Fluidos 
Profa. Maria das Graças Enrique da Silva 
1 
 
UNIDADE 3 
 
EQUAÇÕES GERAIS DA 
DINÂMICA DOS FLUIDOS 
(Parte IV) 
Fenômenos de Transporte II 
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2 
 
FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
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3 
Primeiramente, vamos determinar as leis básicas para um 
sistema: 
Segunda Lei de Newton 
(Quantidade de Movimento): 
dt
dM
F 

onde:  


)sistema(M )sistema(
sistema dVdmVM

(M é a quantidade de movimento 
 do sistema: M = mV) 
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4 
Seguindo o mesmo procedimento desenvolvido para 
a dedução da Equação Integral da Conservação da 
massa, consideraremos um volume de controle não 
deformável em repouso em relação ao eixo de 
referência x, y, z. 
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5 
-Essa forma inicial do sistema fluido é escolhida como o volume de 
controle a ser estudado. 
-Inicialmente, tomamos uma porção arbitrária de fluido em um 
escoamento (campo arbitrário de velocidades V(x,y,z,t) ), em um instante 
to. 
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6 
No instante to, 
o volume de controle 
coincide com o sistema. 
Após um tempo infinitesimal Δt, 
ou seja no tempo to+Δt, 
o sistema terá se movimentado 
para um novo local. 
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7 
Assim, no instante to+Δt, o sistema estará parcialmente fora do volume de controle, 
resultando em três regiões distintas: 
 
As REGIÕES I e II juntas definem o volume de controle. 
A REGIÃO I é definida de tal forma que sua massa entra no volume de controle 
no intervalo de tempo t. 
A REGIÃO III é definida de tal forma que sua massa deixa o volume de controle 
no tempo t. 
Logo, a REGIÃO II e REGIÃO III delimitam o sistema no instante to+Δt. 
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8 
Um campo arbitrário de velocidades V(x,y,z,t), pertencente aos 
elementos de fluido que entram e saem do volume de controle, dá 
origem ao transporte da quantidade de movimento, dado que o 
momento linear M é definido como o produto da massa pela velocidade, 
ou seja, M = mV. 
 
Da expressão da quantidade de movimento, tem-se que a variação de 
momento linear durante o intervalo de tempo é dada por: 
 
ooo t,vctt,IIItt,II
MMMM  
 
oooo t,vctt,IIItt,Itt,vc
MMMMM  
ou, rearranjando os termos:    tt,Itt,IIIt,vctt,vc oooo MMMMM  
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9 
(Equação 1) 
Dividindo-se toda a equação por Δt e aplicando-se o limite 
quando Δt → 0: 
t
MM
lim
t
MM
lim
t
M
lim
tt,Itt,III
0t
t,vctt,vc
0t0t
oooo







 



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10 
Pela definição de derivada, tem-se que o lado esquerdo e o primeiro 
termo do lado direito da Equação 1, tornam-se: 
 
vc
vc
vc dV
dt
d
)Vm(
dt
d
dt
dM 
t
MM
lim
dt
dM
dt
dM tt,Itt,III
0t
vc oo





Da segunda Lei de Newton: 
 
 
Assim: 
dt
dM
F 
t
MM
limdV
dt
d
F
tt,Itt,III
0t
vc
oo







(Equação 2) 
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11 
Para avaliar o membro direito da Equação 2, 
 
 
será considerado primeiramente a sub-região 1 aumentada: 
O vetor de área é o produto do vetor 
unitário normal a área (para fora da 
superfície de controle) pelo elemento de 
área dA. 
 
O vetor velocidade formará um ângulo  
qualquer com respeito a . 
 
Uma vez que o fluido está entrando no 
volume de controle, o ângulo  será maior 
que 90o (/2) sobre a superfície de controle 
comum a REGIÃO I. 
Ad

Ad

t
MM
limdV
dt
d
F
tt,Itt,III
0t
vc
oo







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  )tAdVV(Vmd 

O vetor comprimento do cilindro é dado por: tVL 

O volume do cilindro, cuja área está formando um ângulo  em relação ao seu 
comprimento é: 
 dAcosLd 
Ad

)AdL(d


)tAdV(d 

 tAdVVdV 

ou, 
(onde cos é negativo porque >/2) 
( é o valor médio da densidade) 
ou, 
O momento linear, M = mV, da sub-região 1 será assim: 
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Assim, integrando sobre a superfície de controle comum a Região I, 
tem-se: 
    
SCI
tt,Itt,I )tAdV(VMVm oo

onde, é o momento linear total contida na REGIÃO I no tempo to+Δt. 
Lembrando, da Equação 2 já foram determinados: 
(Equação 3) 
  tt,I oVm 

t
MM
limdV
dt
d
F
tt,Itt,III
0t
vc
oo







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Seguindo um raciocínio lógico, o momento linear total contida na REGIÃO III é: 
(Equação 4) 
Na Equação 4, o cos é positivo (</2) para a massa que sai da superfície de 
controle. 
    
SCIII
tt,IIItt,III )tAdV(VMVm oo

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Substituindo as Equações 3 e 4 na Equação 2, tem-se: 
como a área da superfície de controle é independente do intervalo de 
tempo, Δt pode ser retirado do denominador e colocado sob o sinal de 
cada integral. Assim: 
t
)tAdV(V)tAdV(V
limdV
dt
d
F SCIII SCI
0t
vc









 










  

SCIII SCI
0t
vc
)AdV(V)AdV(VlimdV
dt
d
F

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16 
Ou ainda, uma vez que as expressões dentro da integral não dependem 
do tempo: 
A superfície de controle total é composta pelas REGIÕES I 
e III, assim: 








  
SCIII SCIvc
)AdV(V)AdV(VdV
dt
d
F

 
scvc
)AdV(VdV
dt
d
F

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FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO 
taxa de variação 
da quantidade 
de movimento 
dentro do VC 
= 
Taxa líquida do fluxo de 
quantidade de movimento 
saindo da SC 
Como nenhuma limitação de tamanho foi imposta ao volume de controle, 
esta equação será válida para qualquer região, finita ou infinitesimal. 
 
scvc
)AdV(VdV
dt
d
F

Somatório de 
todas as forças 
atuando no VC 
+ 
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SIMPLIFICAÇÕES DA EQUAÇÃO INTEGRAL DA 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
ESCOAMENTO PERMANENTE - se a variação da quantidade de 
movimento dentro do volume de controle for independente do tempo, a 
equação geral pode ser simplificada da forma: 
0 
 
SCvc
)AdV(VdV
dt
d
F

 
SC
)AdV(VF

ou, 
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As componentes da equação integral da quantidade de 
movimento em coordenadas cartesianas são: 
  
scvc
x AdVudu
dt
d
F

  
scvc
y AdVvdv
dt
d
F

  
scvc
z AdVwdw
dt
d
F

Direção x: 
Direção y: 
Direção z: 
OBS.: Deve-se tomar bastante cuidado na 
avaliação dos sinais das componentes de 
velocidade e do produto escalar das 
integrais da equação da quantidade de 
movimento. 
 
 
1) O sinal de é determinado 
conforme a discussão do escoamento 
ser para fora ou para dentro do VC. 
 
2) O sinal dos componentes de velocidade 
u, v e w devem ser avaliados em 
relação ao sistema de coordenadas. 
)AdV(


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EXERCÍCIOS 
DE 
QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
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EXEMPLO 1: Um fluido incompressível flui de modo estacionário através de um 
joelho redutor, conforme ilustrado na figura abaixo. Supondo escoamento 
unidimensional, determine a força que deve ser exercida pelo joelho sobre o 
fluido. 
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22 
As forças que agem no volume de controle são mostradas na figura abaixo: 
onde a pressão e a tensão cisalhante na parede são denominadas, 
respectivamente de Pw e τw. A força resultante indica a soma destas forças 
atuando na parede do volume de controle. Tem-se ainda as forças de pressão nas 
superfícies de entrada e/ou saída e a força peso. 
R

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A equação integral da quantidade de movimento nas direções x e y são dadas 
por: 
Para escoamento permanente, estas equações se reduzem a: 
  
scvc
x AdVudu
dt
d
F

  
scvc
y AdVvdv
dt
d
F

  
sc
x AdVuF
   
sc
y AdVvF

e 
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24 
Para a direção x, temos: 
  )dAV(V)dAV(cosVAPcosAPRF 2221112211xx
Para a direção y, temos: 
)dAV(senVWsenAPRF 11111yy  
)AV(V)AV(cosVAPcosAPR 222211112211x 
)AV(senVWsenAPR 111111y 
Assim a força resultante R é dada por: jRiRR yx 

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25 
EXEMPLO 2: Água escoa em regime permanente através do cotovelo redutor de 
90º mostrado na figura abaixo. Na entrada do cotovelo, a pressão absoluta é 
220kPa e a área da seção transversal é 0,01m2. Na saída, a área da seção 
transversal é 0,0025m2 e a velocidade média é de 16m/s. O cotovelo descarrega 
para a atmosfera. Determine a força necessária para manter o cotovelo estático. 
Desconsidere o peso do fluido e do equipamento. 
Dados: Patm = 101325N/m
2 
 ρagua = 999 kg/m
3 
R.: N639RekN35,1R yx 
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26 
EXEMPLO 3: Água escoa em regime permanente através do bocal mostrado na 
figura abaixo, descarregando para a atmosfera. Calcule a componente horizontal 
da força na junta flangeada. 
Dados: P1 = 2,28 psig 
 D1 = 12,5 in 
 V1 = 4,25ft/s 
 D2 = 6,25 in 
 ρagua = 1,94 slug/ft
3 
 1 psi =144 lbf/ft2 
 1ft = 12in 
R.: lbf206Rx 
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27 
EXEMPLO 4: Água escoa em regime permanente através de um cotovelo de 
180º. Na entrada do cotovelo, a pressão manométrica é 96kPa. A água é 
descarregada para a atmosfera. Admita que as propriedades são uniformes nas 
seções de entrada e saída. Determine a componente horizontal da força 
necessária para manter o cotovelo no lugar. 
Dados: A1 = 2600mm
2 
 V1 = 3,05m/s 
 A2 = 650mm
2 
 ρagua = 999kg/m
3 
R.: N370Rx 
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28 
EXEMPLO 5: Água a 20oC escoa através do cotovelo da figura abaixo, e 
descarrega para a atmosfera. O diâmetro do tubo é D1 = 10cm, enquanto 
 D2 = 3cm. Para uma vazão Q = 0,015m
3/s, a pressão P1 = 233kPa 
(manométrica). Desprezando o peso da água e do cotovelo, calcule a força sobre 
os parafusos dos flanges na seção 1. 
Dados: ρagua = 999 kg/m
3 
R.: N8,203ReN45,2101R yx 
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R.: N89,1657ReN43,4692R yx 
EXEMPLO 6: A figura mostra um redutor em uma tubulação. O volume interno 
do redutor é 0,2m3 e sua massa é m = 25 kg. Avalie a força total de reação ( ), 
que deve ser feita pelos tubos adjacentes para suportar o redutor. O fluido é 
gasolina ( = 720 kg/m3). A aceleração da gravidade na terra é g = 9,81 m/s2 e 
pressão atmosférica é Patm = 101.325 Pa. 
R

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30 
EXEMPLO 7: Um joelho redutor é usado para defletir água em um ângulo de 
30º, à taxa de 14 kg por segundo em um tubo horizontal, enquanto promove a 
aceleração do escoamento. O joelho descarrega água na atmosfera. A seção reta 
do joelho é 113 cm2 na entrada e 7 cm2 na saída. O peso do joelho e da água 
dentro da tubulação podem ser desprezados. Determine a força de ancoragem 
necessária para manter o joelho no lugar. A pressão manométrica na seção de 
entrada vale 202,2 kPa. 
Dados:  = 999 kg/m3 
R.: N140ReN7,2059R yx 
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31 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 
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32 
1- Calcule a força requerida para manter o tampão fixo na saída do 
tubo de água. A vazão e 1,5 m3/s e a pressão a montante é 3,5 MPa 
(manométrica). R.: F = -90,5 kN 
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33 
2- Água escoa em regime permanente através do bocal de uma 
mangueira de incêndio. A mangueira tem diâmetro interno de 75mm e a 
ponta do bocal 25mm; a pressão manométrica na mangueira é 510kPa 
e a corrente de água deixando o bocal é uniforme. Na saída do bocal, a 
velocidade da água é 32m/s e a pressão é atmosférica. Determine a 
força transmitida pelo acoplamento entre a mangueira e o bocal. 
R.: F = -1,81 kN 
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34 
3- Calcule a força resultante de reação sobre o joelho redutor da figura, 
considerando a vazão volumétrica de 0,50m3/s de água. 
Área da seção 1 = 0,20m2 ; pressão da seção 1: 180kPa (manométrica) 
Área da seção 2 = 0,05m2 ; pressão da seção 2: 150kPa (manométrica) 
R.: kN8,10RekN31R yx 
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35 
4- Água entra em um cotovelo redutor de 180o, com velocidade média 
de 1m/s e pressão manométrica de 400kPa. Na saída a pressão 
manométrica é 50kPa e os diâmetros das seções de entrada e saída do 
cotovelo são 0,25m e 0,05m, respectivamente. Qual a força requerida 
para manter o cotovelo em estacionário? R.: F = -20,15 kN 
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36 
5- Um dispositivo de formação de jato é mostrado no diagrama abaixo. 
A água é fornecida a p = 1,45psig (manométrica) através da abertura 
flangeada de área A = 3in2. A água sai do dispositivo num jato livre, em 
regime permanente, à pressão atmosférica. A área e a velocidade do 
jato são a = 1,0in2 e V = 15ft/s. O dispositivo tem massa de 0,2lbm e 
contém um volume  = 12in3 de água. Determine a força exercida pelo 
dispositivo sobre o tubo de suprimento de água. 
R.: F = -1,70 lbf 
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37 
6- Um fluido incompressível escoa em regime permanente na região 
de entrada de um tubo circular de raio R. A velocidade uniforme na 
entrada do tubo é U1 = 30ft/s. A distribuição de velocidades em uma 
seção a jusante é: 
Avalie a velocidade máxima na seção a jusante. Calcule a queda de 
pressão que existiria no tubo se o atrito viscoso nas paredes fosse 
desprezível. 
R.: umáx = 60 ft/s; 
p1-p2 = 0,699 lbf/ft
2 
2
máx R
r
1
u
u






