Análise matemática_12_de_julho

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UNINTER

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D Ribeiro
24.01.2020
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Profa. Dra. Marina Vargas 
 
Análise Matemática– 
“Sequências e Séries de 
funções” 
AULA INTERATIVA: TIRA-DÚVIDAS 
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2 
Sequências e Séries: 
Em vários problemas da matemática e das 
aplicações busca-se uma função que cumpra 
certas condições dadas. É comum que obtenhamos 
uma sequência de funções 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛, … cada uma 
das quais cumprindo as condições exigidas 
aproximadamente, mas com aproximações cada 
vez melhores. 
Dessa forma, uma função limite dessa sequência 
deverá cumprir as condições exigidas. 
LIMA (2006). 
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3 
Sequências e Séries: 
Ainda, em muitos casos, cada função da sequência 
é obtida através da soma das funções anteriores a 
ela. Neste caso temos uma série de funções, 
denotada, por exemplo, por: 
 𝑔𝑛 
Este é o escopo dessa aula: sequências e série de 
funções. 
LIMA (2006). 
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4 
Sequências: 
Uma sequência numérica é uma função real com 
domínio no conjunto dos naturais que, a cada 𝑛 
associa um número real 𝑎𝑛 . Os números 𝑎𝑛 são 
chamados termos da sequência. 
Definição: (sequência de funções reais) Uma 
sequência de funções reais é uma função 𝑓 ∶ 𝑁 →
 𝑅, que associa a cada 𝑛 ∈ 𝑁 uma função 𝑓𝑛 ∶ 𝑋 →
 𝑅, onde 𝑋 é um conjunto da reta real (𝑛 = 1,2, … ). 
LIMA (2019); SODRÉ (2019). 
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Sequência de funções: 
Podemos escrever o conjunto imagem de uma tal 
sequência de funções como: 
𝑓 𝑁 = {𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛, … } 
Exemplo: Sequências de funções reais 
1. 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥
𝑛; 
2. 𝑓𝑛 𝑥 =
𝑥
𝑛
; 
3. 𝑓𝑛 𝑥 = 10 
4. 𝑓𝑛 𝑥 =
sin 𝑛𝑥
𝑛
 
 
SODRÉ (2019). 
4 
6 
Sequências: 
Observação: Algumas vezes será usado o próprio 
conjunto imagem 𝑓(𝑁) como sendo a sequência e 
neste caso a sequencia de funções é denotada por 
uma das formas: 
𝑓 𝑁 = 𝑓𝑛 𝑛∈𝑁 = 𝑓𝑛 𝑛∈𝑁 = (𝑓𝑛) 
SODRÉ (2008). 
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Sequências: 
Observação: (sobre uma sequência em um 
ponto) Seja 𝑓𝑛 uma sequência de funções reais 
definidas sobre um intervalo 𝑋 da reta real. Para 
cada 𝑎 ∈ 𝑋 fixado, a sequência de funções (𝑓𝑛)se 
transformará em uma sequência numérica 
𝑓𝑛 𝑎 𝑛∈𝑁. 
Exemplo 1: Para 𝑓𝑛: [−1,1] → 𝑅 , definida por 
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥
𝑛 , se tomarmos 𝑎 = 1/2 , obteremos a 
sequência real 𝑓𝑛 1/2 =
1
2
𝑛
= 2−𝑛. 
SODRÉ (2019). 
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Convergência simples : 
Definição: Diz-se que uma sequência de funções 
𝑓𝑛: 𝑋 → 𝑅 (𝑛 = 1,2, … ) converge simplesmente para a 
função 𝑓: 𝑋 → 𝑅 quando, para todo 𝑥 ∈ 𝑋, a sequência 
de números 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 ,… , 𝑓𝑛 𝑥 ,… converge para 𝑓 𝑥 . 
𝑓 𝑥 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛(𝑥) 
Assim, 𝑓𝑛 → 𝑓 simplesmente em 𝑋 quando, dados 𝜀 > 0 e 
𝑥 ∈ 𝑋, existe 𝑛0 ∈ 𝑁 (dependendo de 𝜀 e de 𝑥) tal que 
𝑛 > 𝑛0 ⇒ 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 < 𝜀. 
LIMA (2006). 
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Convergência simples: 
Exemplo 2: A sequência de funções 𝑓𝑛: 𝑅 → 𝑅 , 
onde 𝑓𝑛 𝑥 =
𝑥
𝑛
 , converge simplesmente para a 
função 𝑓: 𝑅 → 𝑅 que é identicamente nula. Ou seja, 
para todo 𝑥 ∈ 𝑅 fixado, tem-se: 
 lim
𝑛→∞
𝑥
𝑛
= 0 
LIMA (2006). 
Para cada 𝑥 ∈ 𝑅, a 
sequência de números 
𝑓𝑛 𝑥 =
𝑥
𝑛
 converge para 
zero. 
 
4 
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Convergência simples: 
Assim, dizer que 𝑓𝑛 → 𝑓 simplesmente em 𝑋 significa 
que, fixado arbitrariamente um ponto 𝑥 ∈ 𝑋, os gráficos 
das funções 𝑓𝑛 interceptam a vertical levantada pelo 
ponto 𝑥, 0 numa sequência de pontos cujas 
ordenadas convergem para 𝑓(𝑥) . Coletivamente os 
gráficos das 𝑓𝑛 podem ser bem diferentes do gráfico de 
𝑓 ou mesmo nunca se aproximarem dele. 
LIMA (2006). 
4 
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Convergência pontual : 
Definição: Uma sequência 𝑓𝑛: 𝑋 → 𝑅 converge 
pontualmente em 𝑥 = 𝑎 para o valor 𝐿𝑎 ∈ 𝑅 se, para 
cada 𝜀 > 0 e arbitrário, existe um índice 𝑛0 = 𝑛0 𝜀, 𝑎 ∈
𝑁 tal que para todo 𝑛 > 𝑛0, vale: 
𝑓𝑛 𝑎 − 𝐿𝑎 < 𝜀 
Este fato é indicado por: 
𝐿𝑎 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛(𝑎) 
SODRÉ (2019). 
4 
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Convergência pontual : 
Exemplo 3: (O limite pontual de uma sequência de 
funções contínua pode ser uma função descontínua). 
Para cada 𝑛 ∈ 𝑁, seja 𝑓𝑛: 0,1 → 𝑅 dada por 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥
𝑛. 
lim
𝑛→+∞
𝑓𝑛 𝑥 = 𝑓(𝑥) com 𝑓 𝑥 = 
0, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
1, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
 
https://www.youtube.com/watch?v=wUkupKOhI7M 
https://www.youtube.com/watch?v=wUkupKOhI7M
4 
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Convergência uniforme : 
Definição: Uma sequência de funções 𝑓𝑛: 𝑋 → 𝑅 
converge uniformemente para a função 𝑓: 𝑋 → 𝑅 
quando, para todo 𝜀 > 0 dado, existe 𝑛0 ∈ 𝑁 
(dependendo apenas de 𝜀 ) tal que 
𝑛 > 𝑛0 ⇒ 𝑓𝑛 𝑥 − 𝑓 𝑥 < 𝜀 para qualquer 𝑥 ∈ 𝑋. 
LIMA(2006). 
4 
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Convergência uniforme : 
Isso significa graficamente que o gráfico de 𝑓𝑛 , 
para todo 𝑛 > 𝑛0, está contido na faixa de raio 𝜀 
em torno do gráfico de 𝑓 
LIMA (2006). 
4 
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Convergência uniforme: 
Exemplo 4: (Usando o exemplo 1) Seja uma 
sequência de funções 𝑓𝑛: 𝑅 → 𝑅 , onde 𝑓𝑛 𝑥 =
𝑥
𝑛
. Temos que nenhuma faixa de raio 𝜀 em torno do 
eixo das abscissas (gráfico da função 
identicamente nula) pode conter o gráfico de 
𝑓𝑛 𝑥 =
𝑥
𝑛
. Logo a sequência 𝑓𝑛 do exemplo 2 não 
converge uniformemente para zero em 𝑅. 
LIMA (2006). 
4 
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Convergência uniforme: 
continuação: Por outro lado, se 𝑋 ⊂ 𝑅 é um 
conjunto limitado, digamos |𝑥| ≤ 𝑐 para todo 𝑥 ∈ 𝑋, 
então 𝑓𝑛 → 0 uniformemente em 𝑋 . Desta forma, 
dado 𝜀 > 0, basta tomar 𝑛0 >
𝑐
𝜀
. 
Então 𝑛 > 𝑛0 ⇒ 𝑓𝑛 𝑥 =
|𝑥|
𝑛
<
𝑐
𝑛0
< 𝜀. 
Podemos afirmar que: se 𝑓𝑛 → 𝑓 uniformemente em 
𝑋, então 𝑓𝑛 → 𝑓 simplesmente. Contudo a recíproca 
é falsa. 
LIMA (2006). 
4 
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Convergência uniforme: 
Exemplo 5: Seja a sequência de funções definida 
para 𝑥 ∈ 𝑅, por 𝑓𝑛 𝑥 =
sin(𝑛𝑥)
𝑛
. 
Esta sequência converge uniformemente para 
𝑓 ≡ 0, definida sobre a reta real. Dado 𝜀 = 1/10, 
existe o índice natural N0 = 10 tal que para todo 
𝑛 > 10 , tem-se que os gráficos das funções 𝑓𝑛 
estão entre os gráficos de 𝑦 = −1/10 e 𝑦 = 1/10. 
SODRÉ (2008). 
4 
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Convergência uniforme: 
Exemplo 6: Seja a sequência de funções definida 
para 𝑥 ∈ 𝑅, por 𝑓𝑛 𝑥 =
sin(𝑛𝑥)
𝑛
. 
𝑛 > 10 , tem-se que os gráficos das funções 𝑓𝑛 
estão entre os gráficos de 𝑦 = −1/10 e 𝑦 = 1/10. 
SODRÉ (2008). 
4 
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Convergência uniforme preserva continuidade: 
Teorema 1: Se (𝑓𝑛) é uma sequência de funções 
uniformemente convergentes para 𝑓 sobre um 
conjunto 𝑋 ⊂ 𝑅, 𝑎 é um ponto de acumulação de 𝑋 e 
𝐿𝑛 = lim𝑥→𝑎 𝑓𝑛(𝑥). Então: 
𝐿𝑛 é convergente; 
lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = lim𝑛→∞ 𝐿𝑛 
lim𝑥→𝑎 [ lim
𝑛→∞
𝑓𝑛 𝑥 ] = lim𝑛→∞[lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ], desde que 
existam os dois limites dentro dos colchetes, sendo o 
primeiro deles uniforme. 
SODRÉ (2008). 
4 
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Propriedades da convergência uniforme 
Corolário 1: Seja 𝑎 um ponto de acumulação de 
𝑋. Se a série 𝑓𝑛 converge uniformemente para 𝑓 
em 𝑋 e, para cada 𝑛 ∈ 𝑁 , existe 𝐿𝑛 = lim𝑥→𝑎 𝑓𝑛 𝑥 , 
então 𝐿𝑛 é uma série convergente e 
 𝐿𝑛 = lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 .𝑛 
lim
𝑥→𝑎
 𝑓𝑛 𝑥
𝑛
= lim
𝑥→𝑎
𝑓𝑛(𝑥)
𝑛
 
desde que 𝑓𝑛𝑛 seja uniformemente convergente. 
SODRÉ (2008). 
4 
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Convergência uniforme preserva continuidade: 
Teorema 2: (Continuidade do limite) Se (𝑓𝑛) é uma 
sequência de funções contínuas definidas sobre 𝑋 ⊂ 𝑅 
que converge uniformemente para 𝑓 , então 𝑓 é 
contínua. 
SODRÉ (2008). 
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Séries de funções: 
Seja 𝑓 ∶ 𝑁 → 𝑅 uma sequência de funções reais cuja imagem é 
dada por 
 𝑓 𝑁 = 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛, … . 
Uma série de funções é uma soma infinita dos termos 𝑓, indicada 
por uma das formas: 
 𝑓𝑘 = 𝑓1 + 𝑓2 +⋯+ 𝑓𝑛 +⋯
∞
𝑘=1
 
onde essas funções são definidas sobre um intervalo 𝑋 da reta. 
Por abuso de notação escreveremos a variável 𝑥 na série de 
funções, assim para cada 𝑥 ∈ 𝑋, escrevemos: 
𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 +⋯+ 𝑓𝑛 𝑥 +⋯ 
SODRÉ (2008). 
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Séries de funções: 
Definição: Seja 𝑓 ∶ 𝑁 → 𝑅 uma sequência de 
funções reais cuja imagem seja dada por 𝑓(𝑁) =
{𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛, … }. É possível definir outra sequência 
de funções, indicada por 
𝑆𝑘 𝑘∈𝑁 = 𝑆𝑛 = {𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝑛, … } 
que é a sequência das reduzidas da série 𝑓𝑘(𝑥)
∞
𝑘=1 
definida por: 
SODRÉ (2008). 
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Séries de funções: 
SODRÉ (2008). 
4 
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Convergência simples e uniforme: 
(Convergência simples): 𝑆𝑛 𝑥 → 𝑆 𝑥 para cada 𝑥 ∈ 𝑋 . 
Quando isso acontece, escrevemos: 
𝑆 𝑥 = 𝑓𝑘(𝑥)
∞
𝑘=1
 
E a função 𝑆 é a soma desta série de funções. 
(convergência uniforme): Uma série de funções 𝑓𝑘(𝑥)
∞
𝑘=0 
definida sobre um conjunto 𝑋 ⊂ 𝑅 é uniformemente 
convergente para a função 𝑆: 𝑋 → 𝑅 se, a sequência das 
reduzidas é uniformemente convergente para 𝑆 sobre 𝑋. 
SODRÉ (2008). 
4 
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Critérios para convergência uniforme: 
1. Critério dos majorantes de Weierstrass: Se 
existe uma série majorante convergente para uma 
série de funções, definida sobre um conjunto 
𝑋 ⊂ 𝑅 , então a série de funções será 
uniformemente convergente sobre 𝑋. 
2. Critério de Cauchy: Uma série de funções 
 𝑓𝑘(𝑥)
∞
𝑘=1 converge uniformemente sobre um 
conjunto 𝑋 se, para todo 𝑥 ∈ 𝑋 e para todo 𝜀 > 0, 
existe 𝑁0 = 𝑁0(𝜀) tal que para todo 𝑛 > 𝑁0 e para 
todo 𝑚 > 𝑁0 tem-se que: 𝑆𝑚(𝑥) − 𝑆𝑛 𝑥 < 𝜀 
SODRÉ (2008). 
4 
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Critérios para convergência uniforme: 
Exemplo 7: A série de funções 
 
sin(𝑘𝑥)
𝑘2
∞
𝑘=1
 
é uniformemente convergente em todo 𝑅, pois ela é 
majorada pela série numérica convergente: 
 
𝟏
𝒌𝟐
=
𝝅𝟐
𝟔
∞
𝒌=𝟏
 
SODRÉ (2008). 
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Série de potências: 
Definição: Uma série de potências reais é uma série 
de funções da forma 
 𝑐𝑘 𝑥 − 𝑎
𝑘
∞
𝑘=0
= 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎
2 +⋯+ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎
𝑛 +⋯ 
sendo que 𝑥 = 𝑎 é o ponto em torno do qual a série 
está desenvolvida e os expoentes são números inteiros 
não negativos. 
SODRÉ (2008). 
4 
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Séries de potências: 
Exemplos 8: 
A série de potências 
𝑥𝑘
𝑘!
 ∞𝑘=0 converge em toda a 
reta real, 
a série 
𝑥𝑘
5!
 ∞𝑘=0 converge no intervalo (−5,5) e 
a série 𝑘! 𝑥𝑘∞𝑘=0 é convergente somente no ponto 
𝑥 = 0. 
SODRÉ (2008). 
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Séries de potências: 
O conjunto de todos os valores 𝑥 onde uma série de 
potências converge é denominado região (ou 
intervalo) de convergência e o maior raio do intervalo 
contido nesta região é o raio de convergência desta 
série. 
Nos exemplos anteriores, os raios de convergência 
das séries, são respectivamente: +∞, 5 𝑒 0. 
SODRÉ (2008). 
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Séries de potências: 
Exemplo 9: (A importante série geométrica): 
1. Uma das mais importantes séries de potências é a 
série definida para todo |𝑡| < 1 como: 
1
1−𝑡
= 𝑡𝑘∞𝑘=0 
2. Com a troca 𝑡 = −𝑥, obtemos: 
1
1+𝑥
= −1 𝑘𝑥𝑘∞𝑘=0 ; 
3. Derivando termo a termo a série : 
1
1−𝑡
= 𝑡𝑘∞𝑘=0 , 
obtemos 
1
1−𝑥 2
= 𝑘𝑥𝑘−1∞𝑘=1 
 
SODRÉ (2008). 
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32 
LIMA, E. L. Análise Real volume 1 – Funções de uma variável. Rio de Janeiro, Impa, 2006. 
(Coleção Matemática Universitária). 
________. Análise na reta – Programa de iniciação científica do IMPA (2011). 
https://www.youtube.com/watch?v=C9jTwM44IxI&list=PLo4jXE-
LdDTQPllPLVhXQgloJKdbNnfIN&index=3. Acesso em: 11 de jul. de 2019. 
_________. Análise na reta – Programa de iniciação científica do IMPA (2011). 
https://www.youtube.com/watch?v=wKrX7ESdCh0&list=PLo4jXE-
LdDTQPllPLVhXQgloJKdbNnfIN&index=19. Acesso em: 11 de jul. de 2019. 
CORRÊA, F. J. S. A. Introdução à análise real. 
http://www.mat.unb.br/furtado/homepage/verao/livro_de_analise-novo.pdf. Acesso em: 09 de jul. 
de 2019. 
SODRÉ, U. Elementos de análise na reta. 
http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/analise/analise2008.pdf. Acesso em: 09 de jul. 
de 2019. 
KHANACADEMY. Sequências e Séries infinitas. https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-
series-new. Acesso em 11 de jul. de 2019. 
 
Bibliografia: 
https://www.youtube.com/watch?v=C9jTwM44IxI&list=PLo4jXE-LdDTQPllPLVhXQgloJKdbNnfIN&index=3
https://www.youtube.com/watch?v=C9jTwM44IxI&list=PLo4jXE-LdDTQPllPLVhXQgloJKdbNnfIN&index=3
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http://www.mat.unb.br/furtado/homepage/verao/livro_de_analise-novo.pdf
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http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/analise/analise2008.pdf
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https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series-new
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series-new
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series-new
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