capitulo 9 - material professor - 4 folhas por página

Prévia do material em texto

Resistência do Materiais I - CET 946 3
Deformação de uma viga sob carregamento transversal
• Relação entre momento fletor e curvatura da
superfície neutra permanece válida para
cargas gerais transversais.
EI
xM )(1


• Viga em balanço sujeita a carga concentrada na
extremidade livre,
EI
Px


1
• Curvatura varia linearmente com x
• Na extremidade 
livre A, 
 A
A
 ρ
ρ
,0
1
• No apoio B,
PL
EI
B
B
 

 ,0
1
Resistência do Materiais I - CET 946 4
Deformação de uma viga sob carregamento transversal
• Viga bi apoiada com um balanço
• Curvatura é zero nos pontos onde o momento
fletor é zero, ou seja, em cada extremidade e em
E.
EI
xM )(1


• A viga é côncava para cima, onde o momento
fletor é positivo e côncava para baixo, onde o
momento é negativo.
• Curvatura máxima ocorre quando a magnitude
do momento é máxima.
• Uma equação é necessária para determinar a
deflexão máxima e inclinação da viga para
relacionar sua forma ou linha elástica.
• Reações em A e C
• Diagrama de momento fletor
Resistência do Materiais I - CET 946 5
Equação da linha elástica
• Substituindo e integrando,
 
 
  21
00
1
0
2
21
CxCdxxMdxyEI
CdxxM
dx
dy
EIEI
xM
dx
yd
EIEI
xx
x






• Do cálculo elementar, simplificado para
os parâmetros de viga,
2
2
23
2
2
2
1
1
dx
yd
dx
dy
dx
yd


















Resistência do Materiais I - CET 946 6
Equação da linha elástica
  21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
 
• Constantes são determinadas a partir 
de condições de contorno
• Cargas mais complicadas requerem integrais
múltiplas e aplicação de requisito para a
continuidade de deflexão e inclinação.
– Viga bi apoiada
0,0  BA yy
– Viga bi apoiada com balanço
0,0  BA yy
– Viga em balanço
0,0  AAy 
Resistência do Materiais I - CET 946 7
Determinação direta da linha elástica com base na força 
distribuída
• Equação para o deslocamento da viga torna-se
 xw
dx
yd
EI
dx
Md

4
4
2
2
   
43
2
22
13
16
1 CxCxCxC
dxxwdxdxdxxyEI

 
• Integrando quatro vezes
• Para a viga sujeita a um carregamento
distribuído,
   xw
dx
dV
dx
Md
xV
dx
dM

2
2
• Constantes são determinadas a partir
de condições de contorno.
Resistência do Materiais I - CET 946 8
Vigas estaticamente indeterminadas
• Condições para o equilíbrio estático
000  Ayx MFF
A viga se encontra estaticamente indeterminada.
• Considere a viga com extremidade
engastada em A e a outra apoiada em B.
• A partir do diagrama de corpo livre, observa que
existem quatro incógnitas (reação) desconhecidas.
  21
00
CxCdxxMdxyEI
xx
 
• Também tem a equação de deflexão da viga,
que introduz duas incógnitas, mas fornece
três equações adicionais de condições de contorno :
0, Para00,0 Para  yLxyx 
Resistência do Materiais I - CET 946 9
Problema resolvido 9.1
SOLUÇÃO:
• Desenvolver uma expressão para M (x) e
obter a equação diferencial para a linha
elástica.
• Integrar a equação diferencial duas vezes e
aplicar as condições de contorno para a
obtenção da linha elástica.
• Localizar o ponto de inclinação zero ou
ponto de deflexão máxima.
• Avaliar a deflexão máxima correspondente.
m 2,1m4,5kN220
GPa200mm10302101360 46


aLP
EIW
Para a parte AB da viga bi apoiada com
balanço, determine:
(a) a equação da linha elástica,
(b) a deflexão máxima e
(c) avaliar ymax.
Resistência do Materiais I - CET 946 10
Problema resolvido 9.1
x
L
a
P
dx
yd
EI 
2
2
- A equação diferencial para a linha elástica,
SOLUÇÃO:
• Desenvolver uma expressão para M (x) e obter a
equação diferencial para a linha elástica.
- Reações:







L
a
PR
L
Pa
R BA 1
- A partir do diagrama de corpo livre para a 
seção AD,
 Lxx
L
a
PM  0
Resistência do Materiais I - CET 946 11
Problema resolvido 9.1
PaLCLCL
L
a
PyLx
Cyx
6
1
6
1
0:0, Para
0:0,0 Para
11
3
2


• Integrar a equação diferencial duas vezes e aplicar as 
condições de contorno para a obtenção da linha elástica.
21
3
1
2
6
1
2
1
CxCx
L
a
PyEI
Cx
L
a
P
dx
dy
EI


x
L
a
P
dx
yd
EI 
2
2















32
6 L
x
L
x
EI
PaL
y
PaLxx
L
a
PyEI
L
x
EI
PaL
dx
dy
PaLx
L
a
P
dx
dy
EI
6
1
6
1
31
66
1
2
1
3
2
2
















Substituindo,
Resistência do Materiais I - CET 946 12
Problema resolvido 9.1
• Localizar o ponto de inclinação zero ou ponto
de deflexão máxima.















32
6 L
x
L
x
EI
PaL
y
L
L
x
L
x
EI
PaL
dx
dy
m
m 577.0
3
31
6
0
2
















• Avaliar a deflexão máxima correspondente.
  3
2
max 577.0577.0
6

EI
PaL
y
EI
PaL
y
6
0642.0
2
max 
   
  4629
23
max
m10302N/m10200
m5,4m2,1N10220
0642,0


y
mm7,5max y
Resistência do Materiais I - CET 946 13
Método da superposição
Princípio da Superposição:
• Deflexões de vigas submetidas
a combinações de cargas podem
ser obtidas com a combinação
das deflexões de cada viga
individualmente.
• Este procedimento é facilitado
por tabelas que contém
soluções para os tipos mais
comuns de vigas e carregamento.
Resistência do Materiais I - CET 946 14
Aplicação da superposição para vigas estaticamente 
indeterminadas
• Método de superposição pode ser
aplicado para determinar as reações
nos apoios de vigas estaticamente
indeterminadas.
• Designar uma das reações como
redundante e eliminar ou modificar o
apoio correspondente.
• Determinar a deformação da viga sem o
apoio redundante.
• Tratar a reação redundante como uma
força desconhecida que, juntamente com
as outras forças, deve produzir
deformações compatíveis com os apoios
originais.