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Francisco Soares
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elon lages lima curso de análise volume 1 L697c Lima, Elon Lages Curso de análise; v.1. 1ed Rio de Janeiro: IMPA, 2014. 431 p.; ilust.; (Projeto Euclides) Bibliografia. e-ISBN 978-85-244-0375-0 1. Análise matemática. 2. Cálculo. I. Título. II. Série. 76-1001 17. CDD-517 18. -515 elon lages lima curso de análise volume 1 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA Copyright 2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Gian Calvi Criação Visual Ltda e Sérgio R. Vaz. Projeto Euclides Comissão Editorial: Elon Lages Lima S. Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima • Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez • Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hönig • Espaços Métricos - Elon Lages Lima • Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo • Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellington C. de Melo • Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves • Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski • Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho • Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo • Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor • Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James • Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima • Teoria Ergódica - Ricardo Mañé • Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler • Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer • Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael Iório Jr. e Valéria Iório • Álgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain • Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima • Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto • Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain • Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani • Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior • Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard • Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e Antonio Leitão • Homologia Básica - Elon Lages Lima • Teoria dos Números: um Passeio com Primos e outros Números Familiares pelo Mundo Inteiro - Fabio Brochero Martinez, Carlos Gustavo Moreira, Nicolau Saldanha e Eduardo Tengan • Introdução à Análise Funcional – César R. de Oliveira Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: ddic@impa.br http://www.impa.br 1 Prefa´cio da primeira edic¸a˜o – What is jazz, Mr. Armstrong? – My dear lady, as long as you have to ask that question, you will never know it. Esta e´ a primeira parte de um Curso de Ana´lise. Nela se estudam as func¸o˜es reais de uma varia´vel real. A teoria e´ apresentada desde o comec¸o. Na˜o se faz uso de resultados que na˜o sejam estabelecidos no texto. Todos os conceitos introduzidos sa˜o amplamente ilustrados por meio de exemplos. Apesar disso, e´ conveniente que os leitores deste livro pos- suam experieˆncia equivalente a` de dois semestres de Ca´lculo. Assim, tera˜o alguma familiaridade com os aspectos computa- cionais mais simples e com a interpretac¸a˜o intuitiva de certas noc¸o˜es como limites, continuidade, derivadas, integrais e se´ries. Essas ide´ias constituem os temas fundamentais do curso. Elas sa˜o tratadas de modo auto-suficiente, mas a eˆnfase e´ colocada na conceituac¸a˜o precisa, no encadeamento lo´gico das proposic¸o˜es e na ana´lise das propriedades mais relevantes dos objetos estuda- dos. As manipulac¸o˜es elementares e rotineiras com limites, deri- vadas, integrais, etc., embora necessa´rias, sa˜o deixadas de lado, pois as supomos suficientemente exercitadas nos cursos de Ca´lculo. Isso na˜o significa que menosprezemos os exerc´ıcios. Pelo contra´rio, este livro conte´m va´rias centenas deles. Ler os enun- ciados de todos e resolver quantos puder e´ uma tarefa essencial do leitor. 2 Matema´tica na˜o se aprende passivamente. Os exerc´ıcios ensinam a usar conceitos e proposic¸o˜es, desfa- zem certos mal-entendidos, ajudam a fixar na mente ide´ias novas, da˜o oportunidade para explorar as fronteiras da validez das teo- rias expostas no texto e reconhecer a necessidade das hipo´teses, apresentam aplicac¸o˜es dos teoremas demonstrados e informam o leitor sobre resultados adicionais, alguns dos quais na˜o figuram no texto apenas por uma questa˜o de gosto. Ao estudar o livro, o aluno esta´ sendo conduzido pela ma˜o do autor. Os exerc´ıcios lhe fornecem o ensejo de caminhar mais solto e, assim, ir ganhando independeˆncia. Para quem esta´ con- vencido da importaˆncia de resolver os exerc´ıcios deste livro, um esclarecimento: eles variam muito em seus graus de dificuldade. Na˜o se desencoraje se na˜o conseguir resolver alguns (ou muitos) deles. E´ que va´rios sa˜o dif´ıceis mesmo. Volte a eles depois, quando tiver lido mais do livro e se sentir mais confiante. Acho, pore´m, que inclu´ı exerc´ıcios “resolv´ıveis” em nu´mero suficiente para satisfazer o amor-pro´prio de cada leitor. No final do livro, ha´ uma lista de refereˆncias bibliogra´ficas. Elas conteˆm material relacionado com os assuntos aqui tratados. A lista e´ bastante seletiva, refletindo fortemente meu gosto pes- soal. Nela foram inclu´ıdos os livros que, no meu entendimento, melhor servem como leitura colateral, esclarecendo, completando ou abordando sob outros aspectos os temas estudados neste livro. Ao adotar este livro num curso, o professor deve considerar a possibilidade de omitir o Cap. I, que conte´m apenas generalida- des sobre conjuntos e func¸o˜es. Se os alunos ja´ estudaram antes estas coisas, o curso pode iniciar pelo Cap. II, servindo o Cap. I apenas para recordar certas definic¸o˜es, se necessa´rio. Tambe´m o Cap. II pode ser omitido, se os alunos ja´ tiverem aprendido a teoria dos nu´meros naturais e as diferenc¸as entre conjunto fi- nito, enumera´vel e na˜o-enumera´vel (num curso de A´lgebra, por exemplo). Assim, para alunos com tal experieˆncia, a leitura deste livro pode comec¸ar no Cap. III, onde sa˜o introduzidos os nu´meros reais. 3 Uma palavra ao leitor: na˜o se leˆ um livro de Matema´tica como se fosse uma novela. Voceˆ deve ter la´pis e papel na ma˜o para reescrever, com suas pro´prias palavras, cada definic¸a˜o, o enunciado de cada teorema, verificar os detalhes a`s vezes omi- tidos nos exemplos e nas demonstrac¸o˜es e resolver os exerc´ıcios referentes a cada to´pico estudado. E´ conveniente, tambe´m, dese- nhar figuras, (principalmente gra´ficos de func¸o˜es) a fim de atri- buir significado intuitivo aos racioc´ınios do texto. Embora as fi- guras na˜o intervenham diretamente na argumentac¸a˜o lo´gica, elas servem de guia a` nossa imaginac¸a˜o, sugerem ide´ias e ajudam a entender os conceitos. Ao terminar, tenho o prazer de registrar meus agradecimen- tos a va´rias pessoas, que contribu´ıram para tornar mais claro o texto em alguns pontos, e livra´-lo de erros em outros: meu colega Manfredo P. do Carmo, com esp´ırito a`s vezes oposicionista, me obrigou a defender minha posic¸a˜o, quando isso era poss´ıvel, e a ceder a`s suas cr´ıticas, quando procedentes; o Professor Renato Pereira Coelho, com pacieˆncia invulgar, apontou va´rios deslizes e pontos obscuros, que procurei corrigir.
