A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
447 pág.
Curso de Analise Vol.1 - Elon L. Lima

Pré-visualização | Página 1 de 50

elon lages lima 
 
curso 
de análise 
volume 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L697c Lima, Elon Lages 
Curso de análise; v.1. 1ed Rio de Janeiro: IMPA, 2014. 
431 p.; ilust.; (Projeto Euclides) 
 
Bibliografia. 
e-ISBN 978-85-244-0375-0 
 
1. Análise matemática. 2. Cálculo. I. Título. II. Série. 
 
76-1001 17. CDD-517 
 18. -515 
elon lages lima 
 
curso 
de análise 
volume 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA
Copyright  2014 by Elon Lages Lima 
 
Impresso no Brasil / Printed in Brazil 
 
Capa: Gian Calvi Criação Visual Ltda e Sérgio R. Vaz. 
 
Projeto Euclides 
Comissão Editorial: 
 Elon Lages Lima 
 S. Collier Coutinho 
 Paulo Sad 
 
Títulos Publicados: 
• Curso de Análise, Volume 1 - Elon Lages Lima 
• Medida e Integração - Pedro Jesus Fernandez 
• Aplicações da Topologia à Análise - Chaim Samuel Hönig 
• Espaços Métricos - Elon Lages Lima 
• Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais - Djairo Guedes de Figueiredo 
• Introdução aos Sistemas Dinâmicos - Jacob Palis Junior e Wellington C. de Melo 
• Introdução à Álgebra - Adilson Gonçalves 
• Aspectos Teóricos da Computação - Cláudio L. Lucchesi, Imre Simon, 
Istvan Simon, Janos Simon e Tomasz Kowaltowski 
• Teoria Geométrica das Folheações - Alcides Lins Neto e César Camacho 
• Geometria Riemanniana - Manfredo P. do Carmo 
• Lições de Equações Diferenciais Ordinárias - Jorge Sotomayor 
• Probabilidade: Um Curso em Nível Intermediário - Barry R. James 
• Curso de Análise, Volume 2 - Elon Lages Lima 
• Teoria Ergódica - Ricardo Mañé 
• Teoria dos Números Algébricos - Otto Endler 
• Operadores Auto-Adjuntos e Equações Diferenciais Parciais - Javier Thayer 
• Equações Diferenciais Parciais: Uma Introdução - Rafael Iório Jr. e Valéria Iório 
• Álgebra: Um Curso de Introdução - Arnaldo Leite P. Garcia e Yves Albert E. Lequain 
• Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Elon Lages Lima 
• Funções de uma Variável Complexa - Alcides Lins Neto 
• Elementos de Álgebra - Arnaldo Garcia e Yves Lequain 
• Introdução à Geometria Analítica Complexa - Marcos Sebastiani 
• Curso de Teoria da Medida - Augusto Armando de Castro Júnior 
• Introdução à Teoria da Medida - Carlos Isnard 
• Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica - Johann Baumeister e 
Antonio Leitão 
• Homologia Básica - Elon Lages Lima 
• Teoria dos Números: um Passeio com Primos e outros Números Familiares pelo Mundo Inteiro - 
Fabio Brochero Martinez, Carlos Gustavo Moreira, Nicolau Saldanha e Eduardo 
Tengan 
• Introdução à Análise Funcional – César R. de Oliveira 
 
 
Distribuição: 
 IMPA 
 Estrada Dona Castorina, 110 
 22460-320 Rio de Janeiro, RJ 
 e-mail: ddic@impa.br 
 http://www.impa.br 
1
Prefa´cio da primeira edic¸a˜o
– What is jazz, Mr. Armstrong?
– My dear lady, as long as you have to ask that question,
you will never know it.
Esta e´ a primeira parte de um Curso de Ana´lise. Nela se
estudam as func¸o˜es reais de uma varia´vel real.
A teoria e´ apresentada desde o comec¸o. Na˜o se faz uso
de resultados que na˜o sejam estabelecidos no texto. Todos os
conceitos introduzidos sa˜o amplamente ilustrados por meio de
exemplos.
Apesar disso, e´ conveniente que os leitores deste livro pos-
suam experieˆncia equivalente a` de dois semestres de Ca´lculo.
Assim, tera˜o alguma familiaridade com os aspectos computa-
cionais mais simples e com a interpretac¸a˜o intuitiva de certas
noc¸o˜es como limites, continuidade, derivadas, integrais e se´ries.
Essas ide´ias constituem os temas fundamentais do curso. Elas
sa˜o tratadas de modo auto-suficiente, mas a eˆnfase e´ colocada na
conceituac¸a˜o precisa, no encadeamento lo´gico das proposic¸o˜es e
na ana´lise das propriedades mais relevantes dos objetos estuda-
dos.
As manipulac¸o˜es elementares e rotineiras com limites, deri-
vadas, integrais, etc., embora necessa´rias, sa˜o deixadas de lado,
pois as supomos suficientemente exercitadas nos cursos de Ca´lculo.
Isso na˜o significa que menosprezemos os exerc´ıcios. Pelo
contra´rio, este livro conte´m va´rias centenas deles. Ler os enun-
ciados de todos e resolver quantos puder e´ uma tarefa essencial
do leitor.
2
Matema´tica na˜o se aprende passivamente.
Os exerc´ıcios ensinam a usar conceitos e proposic¸o˜es, desfa-
zem certos mal-entendidos, ajudam a fixar na mente ide´ias novas,
da˜o oportunidade para explorar as fronteiras da validez das teo-
rias expostas no texto e reconhecer a necessidade das hipo´teses,
apresentam aplicac¸o˜es dos teoremas demonstrados e informam o
leitor sobre resultados adicionais, alguns dos quais na˜o figuram
no texto apenas por uma questa˜o de gosto.
Ao estudar o livro, o aluno esta´ sendo conduzido pela ma˜o
do autor. Os exerc´ıcios lhe fornecem o ensejo de caminhar mais
solto e, assim, ir ganhando independeˆncia. Para quem esta´ con-
vencido da importaˆncia de resolver os exerc´ıcios deste livro, um
esclarecimento: eles variam muito em seus graus de dificuldade.
Na˜o se desencoraje se na˜o conseguir resolver alguns (ou muitos)
deles. E´ que va´rios sa˜o dif´ıceis mesmo. Volte a eles depois,
quando tiver lido mais do livro e se sentir mais confiante. Acho,
pore´m, que inclu´ı exerc´ıcios “resolv´ıveis” em nu´mero suficiente
para satisfazer o amor-pro´prio de cada leitor.
No final do livro, ha´ uma lista de refereˆncias bibliogra´ficas.
Elas conteˆm material relacionado com os assuntos aqui tratados.
A lista e´ bastante seletiva, refletindo fortemente meu gosto pes-
soal. Nela foram inclu´ıdos os livros que, no meu entendimento,
melhor servem como leitura colateral, esclarecendo, completando
ou abordando sob outros aspectos os temas estudados neste livro.
Ao adotar este livro num curso, o professor deve considerar a
possibilidade de omitir o Cap. I, que conte´m apenas generalida-
des sobre conjuntos e func¸o˜es. Se os alunos ja´ estudaram antes
estas coisas, o curso pode iniciar pelo Cap. II, servindo o Cap.
I apenas para recordar certas definic¸o˜es, se necessa´rio. Tambe´m
o Cap. II pode ser omitido, se os alunos ja´ tiverem aprendido
a teoria dos nu´meros naturais e as diferenc¸as entre conjunto fi-
nito, enumera´vel e na˜o-enumera´vel (num curso de A´lgebra, por
exemplo). Assim, para alunos com tal experieˆncia, a leitura
deste livro pode comec¸ar no Cap. III, onde sa˜o introduzidos os
nu´meros reais.
3
Uma palavra ao leitor: na˜o se leˆ um livro de Matema´tica
como se fosse uma novela. Voceˆ deve ter la´pis e papel na ma˜o
para reescrever, com suas pro´prias palavras, cada definic¸a˜o, o
enunciado de cada teorema, verificar os detalhes a`s vezes omi-
tidos nos exemplos e nas demonstrac¸o˜es e resolver os exerc´ıcios
referentes a cada to´pico estudado. E´ conveniente, tambe´m, dese-
nhar figuras, (principalmente gra´ficos de func¸o˜es) a fim de atri-
buir significado intuitivo aos racioc´ınios do texto. Embora as fi-
guras na˜o intervenham diretamente na argumentac¸a˜o lo´gica, elas
servem de guia a` nossa imaginac¸a˜o, sugerem ide´ias e ajudam a
entender os conceitos.
Ao terminar, tenho o prazer de registrar meus agradecimen-
tos a va´rias pessoas, que contribu´ıram para tornar mais claro o
texto em alguns pontos, e livra´-lo de erros em outros: meu colega
Manfredo P. do Carmo, com esp´ırito a`s vezes oposicionista, me
obrigou a defender minha posic¸a˜o, quando isso era poss´ıvel, e a
ceder a`s suas cr´ıticas, quando procedentes; o Professor Renato
Pereira Coelho, com pacieˆncia invulgar, apontou va´rios deslizes
e pontos obscuros, que procurei corrigir.