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Curso de Analise Vol.1 - Elon L. Lima

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Sou tambe´m grato a di-
versos alunos do IMPA que leram a versa˜o preliminar e notaram
erros. Na˜o podendo mencionar cada um, agradec¸o entre eles a
Paulo Villela e Maria Lu´cia Campos. Finalmente, sou grato a
Solange de Azevedo, que resolveu os exerc´ıcios e corrigiu alguns
dos seus enunciados.
Rio de Janeiro, agosto de 1976.
Elon Lages Lima
Observac¸a˜o. As citac¸o˜es bibliogra´ficas sa˜o feitas no texto colo-
cando-se o nome do autor entre colchetes. Assim, por exemplo,
[Hardy] significa uma refereˆncia ao livro de G.H. Hardy que cons-
ta da lista na pa´gina 339.
4
Prefa´cio da sexta edic¸a˜o
As cinco edic¸o˜es posteriores diferem da primeira pela correc¸a˜o
de va´rios erros tipogra´ficos, pela modificac¸a˜o de dois ou treˆs
trechos obscuros e pelo acre´scimo de alguns exerc´ıcios. Manifesto
de pu´blico meu agradecimento aos leitores que me chamaram a
atenc¸a˜o para esses pontos, destacando em especial os professores
Oclide Dotto, Claus Doering, Carlos Ivan Simonsen Leal e Lino
Sanabria. Agradec¸o ainda a boa acolhida que o livro recebeu dos
meus colegas que o adotaram. Espero que ele continue a gozar da
mesma confianc¸a e merecer a colaborac¸a˜o desinteressada e cons-
trutiva sob a forma de sugesto˜es, cr´ıticas e reparos, com vistas a
aperfeic¸oamentos posteriores.
Rio de Janeiro, julho de 1989.
Elon Lages Lima
Prefa´cio da de´cima primeira edic¸a˜o
A principal mudanc¸a nesta edic¸a˜o e´ de ordem gra´fica. Todo o
texto foi digitado eletronicamente. Isto ensejou a oportunidade
de incluir novas correc¸o˜es, especialmente algumas apontadas pelo
Professor Floreˆncio Guimara˜es, ale´m da cuidadosa revisa˜o feita
por Dayse Pastore e Priscilla Pomateli, a quem agradec¸o aqui.
A nova diagramac¸a˜o foi feita por Roge´rio Trindade.’
Rio de Janeiro, 7 de janeiro de 2004.
Elon Lages Lima
Conteu´do
I Conjuntos e Func¸o˜es 1
1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Operac¸o˜es entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . 6
3 Func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4 Composic¸a˜o de func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . 20
5 Famı´lias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Conjuntos Finitos, Enumera´veis e Na˜o-Enumera´veis 32
1 Nu´meros naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Boa ordenac¸a˜o e o Segundo Princ´ıpio de Induc¸a˜o 39
3 Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . 42
4 Conjuntos enumera´veis . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Conjuntos na˜o-enumera´veis . . . . . . . . . . . . 51
IIINu´meros Reais 59
1 Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 Corpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
IV Sequ¨eˆncias e Se´ries de Nu´meros Reais 99
1 Sequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2 Limite de uma sequ¨eˆncia . . . . . . . . . . . . . . 107
3 Propriedades aritme´ticas dos limites . . . . . . . . . 115
4 Subsequ¨eˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5 Sequ¨eˆncias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5
6 CONTEU´DO
7 Se´ries nume´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
V Topologia da Reta 161
1 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
2 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3 Pontos de acumulac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 175
4 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . 180
VI Limites de Func¸o˜es 195
1 Definic¸a˜o e propriedades do limite . . . . . . . . . 196
2 Exemplos de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4 Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5 Valores de adereˆncia de uma func¸a˜o; lim sup e lim inf213
VII Func¸o˜es Cont´ınuas 222
1 A noc¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua . . . . . . . . . . . . 222
2 Descontinuidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
3 Func¸o˜es cont´ınuas em intervalos . . . . . . . . . . 234
4 Func¸o˜es cont´ınuas em conjuntos compactos . . 238
5 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 240
VIII Derivadas 255
1 Definic¸a˜o e propriedades da derivada num ponto . 255
2 Func¸o˜es deriva´veis num intervalo . . . . . . . . . 268
3 Fo´rmula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
4 Se´rie de Taylor, func¸o˜es anal´ıticas . . . . . . . . . 288
IX Integral de Riemann 302
1 Integral superior e integral inferior . . . . . . . . 304
2 Func¸o˜es integra´veis . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
3 O Teorema Fundamental do Ca´lculo . . . . . . . . 321
4 Fo´rmulas cla´ssicas do Ca´lculo Integral . . . . . . 326
5 A integral como limite de somas . . . . . . . . . . 331
6 Caracterizac¸a˜o das func¸o˜es integra´veis . . . . . . 336
7 Logaritmos e exponenciais . . . . . . . . . . . . . 345
CONTEU´DO 7
X Sequ¨eˆncias e Se´ries de Func¸o˜es 361
1 Convergeˆncia simples e convergeˆncia uniforme . . 362
2 Propriedades da convergeˆncia uniforme . . . . . . 371
3 Se´ries de poteˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
4 Func¸o˜es anal´ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5 Equ¨icontinuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Bibliografia 425
I´ndice Alfabe´tico 427
Cap´ıtulo I
Conjuntos e Func¸o˜es
Introduziremos neste cap´ıtulo a linguagem de Conjuntos e
Func¸o˜es, que sera´ utilizada sistematicamente nos cap´ıtulos se-
guintes. Toda a Matema´tica e´, hoje em dia, apresentada nessa
linguagem; assim imaginamos que a maioria dos leitores ja´ tenha
certa familiaridade com o assunto. Entretanto, na˜o exigiremos
conhecimento pre´vio algum da mate´ria.
O objetivo deste livro e´ estudar conjuntos de nu´meros reais
e func¸o˜es reais de uma varia´vel real. Os nu´meros reais sera˜o
apresentados no Cap. III. Estes dois primeiros cap´ıtulos sa˜o
preliminares. Por isso nos permitiremos tratar aqui conjuntos e
func¸o˜es dentro do chamado “ponto de vista ingeˆnuo”. Ou seja,
adotamos um estilo informal e descritivo, em contraste com o
ponto de vista axioma´tico, segundo o qual dever´ıamos apresen-
tar uma lista completa de objetos na˜o definidos e proposic¸o˜es
na˜o demonstradas (ou axiomas), a partir dos quais todos os
conceitos seriam definidos e todas as afirmac¸o˜es provadas. O
me´todo axioma´tico sera´ utilizado substancialmente a partir do
Cap. III. Aos leitores interessados em aprofundar seus conheci-
mentos sobre Lo´gica e Teoria dos Conjuntos, recomendamos a
leitura de [Tarski] e [Halmos], duas pequenas obras-primas que
conteˆm tudo o que um matema´tico precisa saber sobre esses as-
suntos.
2 [CAP. I: CONJUNTOS E FUNC¸O˜ES
1 Conjuntos
Um conjunto (ou colec¸a˜o) e´ formado de objetos, chamados
os seus elementos . A relac¸a˜o ba´sica entre um objeto e um con-
junto e´ a relac¸a˜o de pertineˆncia. Quando um objeto x e´ um dos
elementos que compo˜em o conjunto A, dizemos que x pertence a
A e escrevemos
x ∈ A.
Se, pore´m, x na˜o e´ um dos elementos do conjunto A, dizemos
que x na˜o pertence a A e escrevemos
x /∈ A.
Um conjunto A fica definido (ou determinado, ou caracteri-
zado) quando se da´ uma regra que permita decidir se um objeto
arbitra´rio x pertence ou na˜o a A.
Exemplo 1. Seja A o conjunto dos triaˆngulos retaˆngulos. O
conjunto A esta´ bem definido: um objeto x pertence a A quando
e´ um triaˆngulo e, ale´m disso, um dos seus aˆngulos e´ reto. Se x
na˜o for um triaˆngulo, ou se x for um triaˆngulo que na˜o possui
aˆngulo reto, enta˜o x na˜o pertence a A.
Usa-se a notac¸a˜o
X = {a, b, c, . . . }
para representar o conjunto X cujos elementos sa˜o os objetos
a, b, c, etc. Assim, por exemplo, {1, 2} e´ o conjunto cujos elemen-
tos sa˜o os nu´meros 1 e 2. Dado o objeto a, pode-se considerar o
conjunto cujo u´nico elemento e´ a. Esse conjunto e´ representado
por {a}.
O conjunto dos nu´meros