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Curso de Analise Vol.1 - Elon L. Lima

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naturais 1, 2, 3, . . . sera´ represen-
tado pelo s´ımbolo N. Portanto
N = {1, 2, 3, . . . }.
O conjunto dos nu´meros inteiros (positivos, negativos e zero)
sera´ indicado pelo s´ımbolo Z. Assim,
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
[SEC. 1: CONJUNTOS 3
O conjunto Q, dos nu´meros racionais, e´ formado pelas frac¸o˜es
p/q, onde p e q pertencem a Z, sendo q 6= 0. Em s´ımbolos,
Q = {p/q; p ∈ Z, q ∈ Z, q 6= 0}.
Leˆ-se: “Q e´ o conjunto das frac¸o˜es p/q tais que p pertence a Z,
q pertence a Z e q e´ diferente de zero”.
A maioria dos conjuntos encontrados em Matema´tica na˜o
sa˜o definidos especificando-se, um a um, os seus elementos. O
me´todo mais frequ¨ente de definir um conjunto e´ por meio de
uma propriedade comum e exclusiva dos seus elementos. Mais
precisamente, parte-se de uma propriedade P. Ela define um
conjunto X, assim: se um objeto x goza da propriedade P, enta˜o
x ∈ X; se x na˜o goza de P enta˜o x /∈ X. Escreve-se
X = {x; x goza da propriedade P}.
Leˆ-se: “X e´ o conjunto dos elementos x tais que x goza da pro-
priedade P”.
Muitas vezes a propriedade P se refere a elementos de um
conjunto fundamental E. Neste caso, escreve-se
X = {x ∈ E; x goza da propriedade P}.
Por exemplo, seja N o conjunto dos nu´meros naturais e con-
sideremos a seguinte propriedade, que se refere a um elemento
gene´rico x ∈ N:
‘‘x e´ maior do que 5 ′′.
A propriedade P, de um nu´mero natural ser maior do que 5,
define o conjunto X = {6, 7, 8, 9, . . . }, ou seja,
X = {x ∈ N; x > 5}.
Leˆ-se: “X e´ o conjunto dos x pertencentes a N tais que x e´ maior
do que 5”.
A`s vezes, ocorre que nenhum elemento de E goza da propri-
edade P. Neste caso, o conjunto {x ∈ E; x goza de P} na˜o possui
4 [CAP. I: CONJUNTOS E FUNC¸O˜ES
elemento algum. Isto e´ o que se chama um conjunto vazio. Para
representa´-lo, usaremos o s´ımbolo ∅.
Portanto, o conjunto vazio ∅ e´ definido assim:
Qualquer que seja x, tem-se x /∈ ∅.
Por exemplo, temos {x ∈ N; 1 < x < 2} = ∅. E tambe´m,
{x; x 6= x} = ∅.
Dados os conjuntos A e B, dizemos que A e´ subconjunto de
B quando todo elemento de A e´ tambe´m elemento de B. Para
indicar este fato, usa-se a notac¸a˜o
A ⊂ B.
Quando A ⊂ B, diz-se tambe´m que A e´ parte de B, que A esta´
inclu´ıdo em B, ou contido em B. A relac¸a˜o A ⊂ B chama-se
relac¸a˜o de inclusa˜o.
Exemplo 2. Os conjuntos nume´ricos N,Z e Q, acima apresen-
tados, cumprem as relac¸o˜es de inclusa˜o N ⊂ Z e Z ⊂ Q. Abre-
viadamente, escrevemos N ⊂ Z ⊂ Q.
Exemplo 3. Sejam X o conjunto dos quadrados e Y o conjunto
dos retaˆngulos. Todo quadrado e´ um retaˆngulo, logo X ⊂ Y.
Quando se escreve X ⊂ Y na˜o esta´ exclu´ıda a possibilidade
de vir a ser X = Y. No caso em que X ⊂ Y e X 6= Y, diz-se que
X e´ uma parte pro´pria ou um subconjunto pro´prio de Y.
Afirmar x ∈ X equivale a afirmar {x} ⊂ X.
A fim de mostrar que um conjunto X na˜o e´ subconjunto de
um conjunto Y, deve-se obter um elemento de X que na˜o pertenc¸a
a Y. Assim, por exemplo, na˜o se tem Q ⊂ Z, pois 1/2 ∈ Q e 1/2
na˜o e´ inteiro.
Segue-se da´ı que o conjunto vazio ∅ e´ subconjunto de qualquer
conjunto X. Com efeito, se na˜o fosse ∅ ⊂ X, existiria algum x ∈ ∅
tal que x /∈ X. Como na˜o existe x ∈ ∅, somos obrigados a admitir
que
∅ ⊂ X, seja qual for o conjunto X.
[SEC. 1: CONJUNTOS 5
A relac¸a˜o de inclusa˜o A ⊂ B e´
Reflexiva – A ⊂ A, seja qual for o conjunto A;
Anti-sime´trica – se A ⊂ B e B ⊂ A, enta˜o A = B;
Transitiva – se A ⊂ B e B ⊂ C, enta˜o A ⊂ C.
A verificac¸a˜o desses treˆs fatos e´ imediata.
Segue-se da propriedade anti-sime´trica que dois conjuntos A
e B sa˜o iguais precisamente quando A ⊂ B e B ⊂ A, isto e´,
quando possuem os mesmo elementos.
Lembremos que, seja quais forem os significados dos s´ımbolos
E e D, o sinal de igualdade numa expressa˜o como E = D significa
que os s´ımbolos E e D esta˜o sendo usados para representar o
mesmo objeto. Em outras palavras, uma coisa so´ e´ igual a si
mesma.
No caso de conjuntos, escrever A = B significa que A e B
sa˜o o mesmo conjunto, ou seja, que A e B possuem os mesmos
elementos. Sempre que tivermos de provar uma igualdade entre
conjuntos A e B, devemos demonstrar primeiro que A ⊂ B (isto
e´, que todo elemento de A pertence necessariamente a B) e,
depois, que B ⊂ A.
Dado um conjunto X, indica-se com P(X) o conjunto cujos
elementos sa˜o as partes de X. Em outras palavras, afirmar que
A ∈ P(X) e´ o mesmo que dizer A ⊂ X. P(X) chama-se o con-
junto das partes de X. Ele nunca e´ vazio: tem-se pelo menos
∅ ∈ P(X) e X ∈ P(X).
Exemplo 4. Seja X = {1, 2, 3}. Enta˜o
P(X) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, X}.
Sejam P e Q propriedades que se referem a elementos de um
certo conjunto E. As propriedades P e Q definem subconjuntos
X e Y de E, a saber:
X = {x ∈ E; x goza de P} e Y = {y ∈ E; y goza de Q}.
6 [CAP. I: CONJUNTOS E FUNC¸O˜ES
As afirmac¸o˜es “P implica Q”, “se P, enta˜o Q”, “P acarreta
Q”, “P e´ condic¸a˜o suficiente para Q”, “Q e´ condic¸a˜o necessa´ria
para P” teˆm todas o mesmo significado. Elas querem dizer que
X ⊂ Y, ou seja, que todo objeto que goza de P tambe´m goza de
Q. Para exprimir este fato, usa-se a notac¸a˜o
P ⇒ Q.
Tambe´m as afirmac¸o˜es “P se, e somente se, Q”, “P e´ condic¸a˜o
necessa´ria e suficiente para Q” teˆm todas o mesmo significado.
Querem dizer que P ⇒ Q eQ⇒ P, ou seja, que o conjunto X dos
elementos que gozam da propriedade P coincide com o conjunto
Y dos elementos que gozam de Q. A notac¸a˜o que exprime este
fato e´
P ⇔ Q.
2 Operac¸o˜es entre conjuntos
A reunia˜o dos conjuntos A e B e´ o conjunto A ∪ B, formado
pelos elementos de A mais os elementos de B. Assim, afirmar
que x ∈ A∪B significa dizer que pelo menos uma das afirmac¸o˜es
seguintes e´ verdadeira: x ∈ A ou x ∈ B. Podemos enta˜o escrever:
A ∪ B = {x; x ∈ A ou x ∈ B}.
Ao contra´rio da linguagem vulgar, a palavra “ou” e´ sempre
utilizada em Matema´tica no sentido lato: ao dizer “x ∈ A ou
x ∈ B” quer-se afirmar que pelo menos uma dessas duas alter-
nativas e´ verdadeira, sem ficar exclu´ıda a possibilidade de que
ambas o sejam, isto e´, de se ter ao mesmo tempo x ∈ A e x ∈ B.
A B
A B
[SEC. 2: OPERAC¸O˜ES ENTRE CONJUNTOS 7
Na figura acima, onde A e B sa˜o discos, a reunia˜o A ∪ B e´ a
parte hachurada.
Sejam quais forem os conjuntos A e B, tem-se A ⊂ A ∪ B e
B ⊂ A ∪ B.
A intersec¸a˜o dos conjuntos A e B e´ o conjunto A∩B, formado
pelos elementos comuns a A e B. Assim, afirmar que x ∈ A ∩ B
significa dizer que se tem, ao mesmo tempo, x ∈ A e x ∈ B.
Escrevemos enta˜o
A ∩ B = {x; x ∈ A e x ∈ B}.
Pode ocorrer que na˜o exista elemento algum x tal que x ∈ A
e x ∈ B. Neste caso, tem-se A ∩ B = ∅ e os conjuntos A e B
dizem-se disjuntos .
BA A B
Na figura acima, os conjuntos A e B sa˜o representados por
discos e a intersec¸a˜o A ∩ B e´ a parte hachurada.
Quaisquer que sejam os conjuntos A e B tem-se A ∩ B ⊂ A
e A ∩ B ⊂ B.
Exemplo 5. Sejam A = {x ∈ N; x ≤ 10} e B = {x ∈ N; x > 5}.
Enta˜o A ∪ B = N e A ∩ B = {6, 7, 8, 9, 10}.
Exemplo 6. Sejam A = {x ∈ N; x > 2} o conjunto dos nu´meros
naturais maiores do que 2 e B = {x ∈ N; x < 3} o conjunto dos
nu´meros naturais menores do que 3. Enta˜o A ∩ B = ∅, pois
na˜o existem nu´meros naturais x tais que 2 < x < 3. Assim os
conjuntos A e B sa˜o disjuntos.
8 [CAP. I: CONJUNTOS E FUNC¸O˜ES
Relacionamos nas listas abaixo as principais propriedades for-
mais das operac¸o˜es de reunia˜o e intersec¸a˜o.
∪1) A ∪ ∅ = A ∩1) A ∩ ∅ = ∅
∪2) A ∪A = A ∩2) A ∩A = A
∪3) A ∪ B = B ∪A ∩3) A ∩ B = B ∩A
∪4) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) ∩4) (A ∩ B) ∩ C =
= A ∩ (B ∩ C)
∪5) A ∪ B = A⇔ B ⊂ A ∩5) A ∩ B = A⇔ A ⊂ B
∪6) A ⊂ B,A ′ ⊂ B ′ ⇒ ∩6) A ⊂ B,A ′ ⊂ B ′ ⇒⇒ A ∪A ′ ⊂ B ∪ B ′ ⇒ A ∩A ′ ⊂ B ∩ B ′
∪7) A ∪ (B ∩ C) = ∩7) A ∩ (B ∪ C) =
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) =(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A demonstrac¸a˜o de qualquer dessas propriedades se reduz