Curso de Analise Vol.1 - Elon L. Lima

ao manejo adequado dos conectivos “e” e “ou”. Na realidade,
podemos interpretar as propriedades acima como regras formais
para o manejo desses conectivos. Demonstremos uma delas, a
t´ıtulo de exemplo.
Vamos demonstrar agora ∪7. Primeiramente provaremos que
A∪ (B∩C) ⊂ (A∪B)∩ (A∪C). Ora, dado x ∈ A ∪ (B ∩ C),
tem-se x ∈ A ou, enta˜o, x ∈ B ∩ C. No primeiro caso, vem
x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C, donde x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
No segundo caso temos x ∈ B e x ∈ C. De x ∈ B segue-se
x ∈ A ∪ B e de x ∈ C conclui-se x ∈ A ∪ C. Logo, x ∈ A ∪ B
e x ∈ A ∪ C, isto e´, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Em qualquer
hipo´tese, x ∈ A ∪ (B ∩ C) implica x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Isto
quer dizer: A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Agora mostra-
remos que (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C). Para isto, seja
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Enta˜o x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C. Dentro
desta situac¸a˜o, ha´ duas possibilidades: ou x ∈ A ou x /∈ A. Se
for x /∈ A, enta˜o (como x ∈ A ∪ B e x ∈ A ∪ C) deve ser x ∈ B
e x ∈ C, isto e´, x ∈ B ∩ C e, portanto, x ∈ A ∪ (B ∩ C). Se
for x ∈ A enta˜o evidentemente x ∈ A ∪ (B ∩ C). Em qualquer
hipo´tese, x ∈ (A∪B)∩ (A∪C) implica x ∈ A∪ (B∩C), ou seja,
(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊂ A ∪ (B ∩ C), como quer´ıamos provar.
A diferenc¸a entre os conjuntos A e B e´ o conjunto A − B,
[SEC. 2: OPERAC¸O˜ES ENTRE CONJUNTOS 9
formado pelos elementos de A que na˜o pertencem a B. Em
s´ımbolos:
A− B = {x; x ∈ A e x /∈ B}.
BA B
Na figura acima, onde os conjuntos A e B sa˜o representados
por discos, a diferenc¸a A− B e´ a parte hachurada.
Na˜o se exige que B esteja contido em A para formar a dife-
renc¸a A− B. Quando A e B sa˜o disjuntos, nenhum elemento de
A pertence a B, portanto, A−B = A. Em qualquer caso, tem-se
A− B = A− (A ∩ B).
Quando se tem B ⊂ A, a diferenc¸a A − B chama-se o com-
plementar de B em relac¸a˜o a A e escreve-se
A− B = ∁AB.
Frequ¨entemente, tem-se um conjunto E que conte´m todos
os conjuntos que ocorrem numa certa discussa˜o. Neste caso, a
diferenc¸a E − X chama-se simplesmente o complementar de X e
indica-se com a notac¸a˜o ∁X.
Por exemplo, nos cap´ıtulos seguintes, estaremos estudando
subconjuntos do conjunto R, dos nu´meros reais. Dado X ⊂ R, a
diferenc¸a R − X sera´ chamada o complementar de X e indicada
pelo s´ımbulo ∁X, sem necessidade de mencionar explicitamente
que se trata de complementar em relac¸a˜o a R.
Confirmando: se nos restringimos a considerar elementos per-
tencentes a um conjunto ba´sico E, enta˜o
x ∈ ∁X⇔ x /∈ X.
10 [CAP. I: CONJUNTOS E FUNC¸O˜ES
Exemplo 7. Sejam A = {x ∈ Z; x ≥ −3} e B = {x ∈ Z; x ≤ 2}.
Enta˜o A − B = {x ∈ Z; x ≥ 3} e B − A = {x ∈ Z; x ≤ −4}.
Tomando Z como conjunto ba´sico, enta˜o ∁A = {inteiros menores
do que −3} e ∁B = {inteiros maiores do que 2}.
A noc¸a˜o de diferenc¸a reduz-se a` de complementar, do seguinte
modo: dados A e B, contidos num conjunto fundamental E, re-
lativamente ao qual tomamos complementares, temos:
A− B = A ∩ ∁B.
Com efeito x ∈ A − B ⇔ x ∈ A e x /∈ B ⇔ x ∈ A e
x ∈ ∁B⇔ x ∈ A ∩ ∁B.
Relacionamos abaixo as principais propriedades formais da
operac¸a˜o de tomar complementares. Os conjuntos A e B sa˜o
partes de um conjunto fundamental E, em relac¸a˜o ao qual esta-
mos tomando os complementares.
C1) ∁(∁A) = A,
C2) A ⊂ B⇔ ∁B ⊂ ∁A,
C3) A = ∅⇔ ∁A = E,
C4) ∁(A ∪ B) = ∁A ∩ ∁B,
C5) ∁(A ∩ B) = ∁A ∪ ∁B.
Demonstraremos estas cinco propriedades.
C1) Temos x ∈ ∁(∁A)⇔ x /∈ ∁A⇔ x ∈ A. Logo ∁(∁A) = A.
C2) Suponhamos A ⊂ B. Enta˜o um elemento x ∈ ∁B na˜o
pode pertencer a B e, com maior raza˜o, na˜o pertencera´ a A.
Logo x ∈ ∁B ⇒ x ∈ ∁A, ou seja ∁B ⊂ ∁A. Reciprocamente,
se temos ∁B ⊂ ∁A enta˜o, pelo que acabamos de ver, deve ser
∁(∁A) ⊂ ∁(∁B). Usando C1, obtemos A ⊂ B.
C3) A = ∅ ⇔ x /∈ A para todo x ∈ E ⇔ x ∈ ∁A para todo
x ∈ E⇔ ∁A = E.
C4) Como A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B, segue-se de C2 que
∁(A ∪ B) ⊂ ∁A e ∁(A ∪ B) ⊂ ∁B, donde ∁(A ∪ B) ⊂ ∁A ∩ ∁B.
[SEC. 2: OPERAC¸O˜ES ENTRE CONJUNTOS 11
Seja X = ∁A ∩ ∁B. Temos X ⊂ ∁A e X ⊂ ∁B. Por C2, vem
A ⊂ ∁X e B ⊂ ∁X, donde A ∪ B ⊂ ∁X. Por C2 e C1, vem
X ⊂ ∁(A ∪ B), isto e´, ∁A ∩ ∁B ⊂ ∁(A ∪ B). Conclu´ımos que
∁(A ∪ B) = ∁A ∩ ∁B.
C5) Demonstrac¸a˜o ana´loga a C4.
As propriedades acima mostram que, tomando-se comple-
mentares, invertem-se as incluso˜es, transformam-se reunio˜es em
intersec¸o˜es e vice-versa.
E
A BA
Na figura a` esquerda, A e´ um disco, contido no retaˆngulo,
que e´ o conjunto fundamental E. O complementar de A e´ a
parte hachurada com listras horizontais. Na figura da direita, A
e B sa˜o discos. O complementar de A e´ hachurado com listras
horizontais e o complementar de B com listras verticais. Enta˜o
∁(A∪B) e´ a parte quadriculada, enquanto ∁(A∩B) e´ a parte que
tem alguma listra (vertical, horizontal ou ambas). Isto mostra
que ∁(A ∪ B) = ∁A ∩ ∁B e ∁(A ∩ B) = ∁A ∪ ∁B.
Outra operac¸a˜o u´til entre conjuntos e´ o produto cartesiano.
Ela se baseia no conceito de par ordenado, que discutiremos
agora.
Dados os objetos a, b, o par ordenado (a, b) fica formado
quando se escolhe um desses objetos (a saber: a) para ser a
primeira coordenada do par e (consequ¨entemente) o objeto b
para ser a segunda coordenada do par. Dois pares ordenados
(a, b) e (a ′, b ′) sera˜o chamados iguais quando suas primeiras
12 [CAP. I: CONJUNTOS E FUNC¸O˜ES
coordenadas, a e a ′, forem iguais e suas segundas coordenadas,
b e b ′, tambe´m. Assim
(a, b) = (a ′, b ′) ⇔ a = a ′ e b = b ′.
Na˜o se deve confundir o par ordenado (a, b) com o conjunto
{a, b}. Com efeito, como dois conjuntos que possuem os mesmos
elementos sa˜o iguais, temos {a, b} = {b, a}, sejam quais forem
a e b. Por outro lado, pela definic¸a˜o de igualdade entre pares
ordenados so´ temos (a, b) = (b, a) quando a = b. Notemos
ainda que {a, a} = {a}, enquanto que (a, a) e´ um par ordenado
leg´ıtimo.
O produto cartesiano dos conjuntos A e B e´ o conjunto A×B
cujos elementos sa˜o todos os pares ordenados (a, b) cuja primeira
coordenada pertence a A e a segunda a B. Portanto:
A× B = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.
Quando A = B, temos o produto cartesiano A2 = A × A.
O subconjunto ∆ ⊂ A × A, formado pelos pares (a, a) cujas
coordenadas sa˜o iguais, chama-se a diagonal de A2.
B
A
BA
a
(a,b)b
Aa
A
a
a
(a,a)
(a,a)
Na figura a` esquerda, os conjuntos A e B sa˜o representados
por segmentos e o produto cartesiano A × B por um retaˆngulo.
A` direita, temos o quadrado A × A = A2, no qual se destaca a
diagonal ∆.
[SEC. 3: FUNC¸O˜ES 13
Exemplo 8. Sejam A = {1, 2, 3} e B = {x, y}. Enta˜o
A× B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}.
Exemplo 9. A introduc¸a˜o de coordenadas cartesianas no plano
faz com que cada ponto seja representado por um par ordenado
(x, y), onde x e´ sua abscissa e y sua ordenada. Isto identifica o
plano com o produto cartesiano R2 = R×R, onde R e´ o conjunto
dos nu´meros reais.
3 Func¸o˜es
Uma func¸a˜o f : A → B consta de treˆs partes: um conjunto
A, chamado o domı´nio da func¸a˜o (ou o conjunto onde a func¸a˜o e´
definida), um conjunto B, chamado o contradomı´nio da func¸a˜o,
ou o conjunto onde a func¸a˜o toma valores, e uma regra que
permite associar, de modo bem determinado, a cada elemento
x ∈ A, um u´nico elemento f(x) ∈ B, chamado o valor que a
func¸a˜o assume em x (ou no ponto x).
Usa-se a notac¸a˜o x 7→ f(x) para indicar que f faz corresponder
a x o valor f(x).
Muitas vezes se diz a “func¸a˜o f” em vez de “a func¸a˜o
f : A → B”. Neste caso, ficam subentendidos o conjunto A,
domı´nio de f, e o conjunto B, contradomı´nio de f.
Na˜o se deve confundir f com f(x): f e´ a func¸a˜o, enquanto que
f(x) e´ o valor que a func¸a˜o assume num ponto x do seu domı´nio.
A natureza da regra que ensina como obter o valor f(x) ∈ B
quando e´ dado x ∈ A e´ inteiramente arbitra´ria, sendo sujeita
apenas a duas condic¸o˜es:
1a¯ Na˜o deve haver excec¸o˜es: a fim de que f tenha o conjunto A
como domı´nio, a regra