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Curso de Analise Vol.1 - Elon L. Lima

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= idN. Por exemplo, poder´ıamos por h(y) = menor nu´mero
natural divis´ıvel por 13 que e´ o produto de y fatores primos
distintos.
Uma func¸a˜o f : A→ B possui inversa a` direita se, e somente
se, e´ sobrejetiva.
Demonstrac¸a˜o. Seja f : A → B sobrejetiva. Enta˜o, para cada
y ∈ B, o conjunto f−1(y) na˜o e´ vazio. Escolhamos, para cada
y ∈ B, um x ∈ A tal que f(x) = y e ponhamos g(y) = x. Isto
define uma func¸a˜o g : B → A tal que f(g(y)) = y. Logo g e´
uma inversa a` direita de f. Reciprocamente, se existe g : B→ A
com f ◦ g = idB enta˜o, para cada y ∈ B, pondo x = g(y), temos
f(x) = f(g(y)) = y. Logo f e´ sobrejetiva.
Uma func¸a˜o g : B→ A chama-se inversa da func¸a˜o f : A→ B
quando g ◦ f = idA e f ◦ g = idB, isto e´, quando g e´ inversa a`
[SEC. 5: FAMI´LIAS 23
esquerda e a` direita para f.
Por exemplo, seja a um nu´mero racional 6= 0 e definamos
f : Q → Q pondo f(x) = ax. A func¸a˜o g : Q → Q, definida por
g(x) = x
a
, e´ inversa de f.
Outro exemplo: dada uma func¸a˜o arbitra´ria f : A → B, seja
G(f) o gra´fico de f. (Lembremos que G(f) e´ o subconjunto de
A× B formado pelos pares ordenados (x, f(x)), onde x percorre
A.) Definimos uma func¸a˜o F : A→ G(f) pondo F(x) = (x, f(x)).
Seja π : G(f) → A definida por π(x, f(x)) = x. (Evidentemen-
te, π = π1 | G(f) e´ a restric¸a˜o a G(f) da primeira projec¸a˜o
π1 : A× B→ A.) Enta˜o F ◦ π = idG(f) e π ◦ F = idA, como se veˆ
facilmente. Portanto π e´ inversa de F.
Segue-se das duas proposic¸o˜es anteriores que uma func¸a˜o
f : A→ B possui inversa se, e somente se, e´ uma bijec¸a˜o.
Ao contra´rio das inversas de um so´ lado, se uma func¸a˜o
f : A→ B possui uma inversa, ela e´ u´nica.
Com efeito suponhamos que g : B → A e h : B → A sejam
ambas inversas de f. Enta˜o h = h◦idB = h◦(f◦g) = (h◦f)◦g =
idA◦g = g.
O leitor atento tera´ notado que provamos acima um pouco
mais do que enunciamos, a saber: se f possui uma inversa a`
esquerda, h, e uma inversa a` direita, g, enta˜o h = g e f tem uma
inversa.
Escreveremos f−1 : B → A para indicar a inversa da bijec¸a˜o
f : A→ B.
Evidentemente, se f : A→ B e g : B→ C sa˜o bijec¸o˜es, tem-se
(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.
5 Famı´lias
Uma famı´lia e´ uma func¸a˜o cujo valor num ponto x se indica
com fx em vez de f(x).
Passemos a`s definic¸o˜es formais.
Seja L um conjunto, cujos elementos chamaremos de ı´ndices
e representaremos genericamente por λ.
24 [CAP. I: CONJUNTOS E FUNC¸O˜ES
Dado um conjunto X, uma famı´lia de elementos de X com
ı´ndices em L e´ uma func¸a˜o x : L→ X. O valor de x no ponto λ ∈ L
sera´ indicado com o s´ımbolo xλ, em vez da notac¸a˜o usual x(λ).
A famı´lia x e´ representada pela notac¸a˜o (xλ)λ∈L ou simplesmente
(xλ) quando na˜o houver du´vida sobre o conjunto de ı´ndices L.
Tomemos, por exemplo, L = {1, 2} como conjunto de ı´ndices.
Dado um conjunto X, uma famı´lia de elementos de X com ı´ndices
em L e´ uma func¸a˜o x : {1, 2} → X. Os valores desta func¸a˜o nos
pontos 1 e 2 sa˜o representados por x1 e x2. Obte´m-se assim
um par ordenado (x1, x2) de elementos de X. Reciprocamente,
todo par ordenado (x1, x2) de elementos de X e´ uma famı´lia
x : {1, 2} → X. Em suma, os pares ordenados de elementos de
X sa˜o as famı´lias de elementos de X com ı´ndices no conjunto
L = {1, 2}. Ou seja, o produto cartesiano X2 = X × X e´ o con-
junto das func¸o˜es (famı´lias) x : {1, 2} → X. Mais geralmente,
dados os conjuntos X1 e X2, o produto cartesiano X1 × X2 e´ o
conjunto das famı´lias x : {1, 2} → X1 ∪ X2 tais que x1 ∈ X1 e
x2 ∈ X2.
Quando L = {1, 2, . . . , n} e´ o conjunto dos nu´meros naturais
desde 1 ate´ n, uma famı´lia x : L → X chama-se uma n-upla de
elementos X. Uma n-upla x = (xi)i∈L e´ comumente represen-
tada pela notac¸a˜o x = (x1, . . . , xn). O elemento xi e´ chamado a
i-e´sima coordenada da n-upla x = (x1, . . . , xn).
Seja (Aλ)λ∈L uma famı´lia de conjuntos com ı´ndices em L.
(Isto que dizer: a cada λ ∈ L fazemos corresponder um conjunto
Aλ.) A reunia˜o dessa famı´lia e´ o conjunto dos elementos que per-
tencem a pelo menos um dos conjuntos Aλ. Ela e´ representada
pela notac¸a˜o
⋃
λ∈L
Aλ ou, simplesmente, ∪Aλ. Assim
⋃
λ∈L
Aλ = {x; existe λ ∈ L com x ∈ Aλ}.
Ainda em outras palavras, ∪Aλ e´ o conjunto dos elementos que
pertencem a algum Aλ.
Analogamente, a intersec¸a˜o da famı´lia (Aλ)λ∈L e´ o conjunto
dos elementos que pertencem simultaneamente a todos os Aλ.
[SEC. 5: FAMI´LIAS 25
Notac¸a˜o:
⋂
λ∈L
Aλ ou simplesmente ∩Aλ. Portanto,
⋂
λ∈L
Aλ = {x; x ∈ Aλ para todo λ ∈ L}.
Quando L = {1, 2, . . . , n}, escreve-se
⋃
i∈L
Ai =
n⋃
i=1
Ai = A1 ∪ · · · ∪An,
⋂
i∈L
Ai =
n⋂
i=1
Ai = A1 ∩ · · · ∩An.
Uma famı´lia com ı´ndices no conjunto N = {1, 2 . . . } dos nu´-
meros naturais chama-se uma sequ¨eˆncia. Assim, uma sequ¨eˆncia
x = (xn)n∈N = (x1, x2, . . . , xn, . . . ) de elementos de um conjunto
X e´ uma func¸a˜o x : N → X, onde o valor x(n) e´ indicado pelo
s´ımbolo xn e chama-se o n-e´simo termo da sequ¨eˆncia.
Dada uma sequ¨eˆncia de conjuntos (An)n∈N, sua reunia˜o e sua
intersec¸a˜o sa˜o representadas por
⋃
n∈N
An =
∞⋃
n=1
An = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An ∪ . . . ,
⋂
n∈N
An =
∞⋂
n=1
An = A1 ∩A2 ∩ · · · ∩An ∩ . . . .
Exemplo 18. Para cada n ∈ N, consideremos o conjunto
An = {−n, −n+ 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . , n− 1, n}.
Enta˜o ∞⋃
n=1
An = Z e
∞⋂
n=1
An = {−1, 0, 1},
como se veˆ facilmente.
26 [CAP. I: CONJUNTOS E FUNC¸O˜ES
Dada uma famı´lia (Aλ)λ∈L de subconjuntos de um conjunto
fundamental E, tem-se
∁(∪Aλ) = ∩∁Aλ
e
∁(∩Aλ) = ∪∁Aλ.
Com efeito, dado x ∈ E, temos sucessivamente x ∈ ∁(∪Aλ)⇔ x /∈ ∪Aλ ⇔ na˜o existe λ ∈ L tal que x ∈ Aλ ⇔ x /∈ Aλ
para todo λ ∈ L⇔ x ∈ ∁Aλ, para todo λ ∈ L⇔ x ∈ ∩∁Aλ.
Isto prova a primeira igualdade. A segunda e´ consequ¨eˆncia,
levando-se em conta que ∁∁X = X. Com efeito, se escrevermos
∁Aλ = Bλ, temos ∁Bλ = Aλ. Logo
∁(∩Aλ) = ∁(∩∁Bλ) = ∁∁(∪Bλ) = ∪Bλ = ∪∁Aλ.
Exemplo 19. Seja (Aλ)λ∈L uma famı´lia de subconjuntos de um
conjunto E. Afirmar que ∪Aλ = E equivale a dizer que, para todo
elemento x ∈ E existe, pelo menos, um λ ∈ L tal que x ∈ Aλ.
Seja Bλ = ∁Aλ. Tem-se ∪Aλ = E se, e somente se, a intersec¸a˜o
dos Bλ e´ vazia, isto e´, ∩Bλ = ∅. Com efeito, pelo que vimos
∩Bλ = ∁(∪Aλ).
Dada uma func¸a˜o f : A → B, consideremos uma famı´lia
(Aλ)λ∈L de subconjuntos de A, e uma famı´lia (Bµ)µ∈M, de sub-
conjuntos de B. Tem-se
f(∪Aλ) = ∪f(Aλ),
f(∩Aλ) ⊂ ∩f(Aλ),
f−1(∪Bµ) = ∪f−1(Bµ),
f−1(∩Bµ) = ∩f−1(Bµ).
Provemos a primeira e a u´ltima dessas afirmac¸o˜es. Dado
y ∈ B, temos:
y ∈ f(∪Aλ)⇔ existe x ∈ ∪Aλ tal que y = f(x)⇔ existem λ ∈ L e x ∈ Aλ, com y = f(x)⇔ existe λ ∈ L tal que y ∈ f(Aλ)⇔ y ∈ ∪f(Aλ).
[SEC. 5: FAMI´LIAS 27
Dado x ∈ A, temos
x ∈ f−1(∩Bµ)⇔ f(x) ∈ ∩Bµ⇔ f(x) ∈ Bµ para todo µ ∈M⇔ x ∈ f−1(Bµ) para todo µ ∈M⇔ x ∈ ∩f−1(Bµ),
A noc¸a˜o de famı´lia permite considerar produtos cartesianos
de uma quantidade arbitra´ria de conjuntos.
Dados os conjuntos A1, . . . , An, seu produto cartesiano
A = A1 × · · · × An =
n∏
i=1
Ai e´ o conjunto formado por todas
as n-uplas a = (a1, . . . , an) tais que a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An.
Em outras palavras, A1 × · · · × An e´ o conjunto de
todas as func¸o˜es a : {1, 2, . . . , n} → A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An tais que
a(i) = ai ∈ Ai para i = 1, 2, . . . , n.
Esta definic¸a˜o estende a do produto cartesiano A× B.
Quando A1 = · · · = An = A, o produto cartesiano A×· · ·×A
de n co´pias de A e´ indicado com An. Ele consiste em todas as
func¸o˜es a : {1, 2, . . . , n} → A, ou seja, de todas as n-uplas de
elementos de A.
No produto cartesiano A = A1 × · · · × An, destacam-se
as projec¸o˜es π1 : A → A1, π2 : A → A2, . . . , πn : A → An.
A i-e´sima projec¸a˜o πi : A → Ai e´ definida pondo-se πi(a) =
ai = i-e´sima coordenada da n-upla a = (a1, . . . , an). Dados
a = (a1, . . . , an) e b = (b1, . . . , bn) em A1 × · · · × An, tem-se
a =