Curso de Analise Vol.1 - Elon L. Lima

b se, e somente se, πi(a) = πi(b) para cada i = 1, . . . , n.
Seja X ⊂ A1 × · · · × An. Os elementos x = (x1, . . . , xn) de
X possuem n coordenadas. As func¸o˜es f : X → B, definidas em
X, podem ser pensadas como func¸o˜es de n varia´veis (a primeira
varia´vel estando em A1, a segunda em A2, etc.) Em particular,
introduzindo-se coordenadas cartesianas no plano, este se identi-
fica com o produto cartesiano R2 = R×R. As func¸o˜es f : X→ R,
definidas em subconjuntos X ⊂ R2, sa˜o as func¸o˜es reais de duas
varia´veis reais.
Dada uma famı´lia de conjuntos (Aλ)λ∈L, seu produto cartesi-
ano
A =
∏
λ∈L
Aλ
28 EXERC´ICIOS
e´ o conjunto das famı´lias (aλ)λ∈L tais que, para cada λ ∈ L,
tem-se a ∈ Aλ.
Em outras palavras, A e´ o conjunto de todas as func¸o˜es
a : L→ ∪Aλ tais que a(λ) = aλ ∈ Aλ para cada λ ∈ L.
As projec¸o˜es πλ : A → Aλ sa˜o definidas por πλ(a) = aλ.
Cada projec¸a˜o πλ e´ uma func¸a˜o sobrejetiva. Dada uma func¸a˜o
f : X→∏Aλ, de um conjunto qualquer X no produto cartesiano
dos Aλ, obte´m-se, para cada λ ∈ L, uma func¸a˜o fλ : X → Aλ,
dada por fλ = πλ ◦ f. Assim, f(x) = (fλ(x))λ ∈ L para cada
x ∈ X. Reciprocamente, se e´ dada, para cada λ ∈ L, uma
func¸a˜o fλ : X → Aλ, enta˜o existe uma u´nica f : X → ∏Aλ tal
que fλ = πλ ◦ f para cada λ ∈ L. Basta poˆr f(x) = (fλ(x))λ∈L
para cada x ∈ X. As func¸o˜es fλ chamam-se as coordenadas de f.
No caso particular em que todos os conjuntos Aλ sa˜o iguais
ao mesmo conjunto A, escreve-se AL em vez de
∏
λ∈L
Aλ. A
L e´
portanto o conjunto de todas as func¸o˜es de L em A.
Destaca-se, em especial, o produto cartesiano de uma sequ¨eˆn-
cia de conjuntos A1, A2, . . . , An, . . . , o qual e´ representado pelas
notac¸o˜es∏
n∈N
An =
∞∏
n=1
An = A1×A2× · · · ×An× . . . .
Os elementos deste conjunto sa˜o as sequ¨eˆncias
a = (a1, a2, . . . , an, . . . ) sujeitas a` condic¸a˜o de ser an ∈ An para
todo n ∈ N.
Exerc´ıcios
1. Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as
seguintes propriedades:
1a¯ X ⊃ A e X ⊃ B,
2a¯ Se Y ⊃ A e Y ⊃ B enta˜o Y ⊃ X.
Prove que X = A ∪ B.
EXERC´ICIOS 29
2. Enuncie e demonstre um resultado ana´logo ao anterior, ca-
racterizando A ∩ B.
3. Sejam A,B ⊂ E. Prove que A ∩ B = ∅ se, e somente se,
A ⊂ ∁B. Prove tambe´m que A ∪ B = E se, e somente se,
∁A ⊂ B.
4. Dados A,B ⊂ E, prove que A ⊂ B se, e somente se,
A ∩ ∁B = ∅.
5. Deˆ exemplo de conjuntos A,B,C tais que
(A ∪ B) ∩ C 6= A ∪ (B ∩ C).
6. Se A,X ⊂ E sa˜o tais que A∩X = ∅ e A∪X = E, prove que
X = ∁A.
7. Se A ⊂ B, enta˜o, B ∩ (A ∪ C) = (B ∩ C) ∪ A para todo
conjunto C. Por outro lado, se existir C de modo que a
igualdade acima seja satisfeita, enta˜o A ⊂ B.
8. Prove que A = B se, e somente se, (A∩∁B)∪(∁A∩B) = ∅.
9. Prove que (A− B) ∪ (B−A) = (A ∪ B) − (A ∩ B).
10. Seja A∆B = (A − B) ∪ (B − A). Prove que A∆B = A∆C
implica B = C. Examine a validez de um resultado ana´logo
com ∩,∪ ou × em vez de ∆.
11. Prove as seguintes afirmac¸o˜es:
a) (A ∪ B)× C = (A× C) ∪ (B× C);
b) (A ∩ B)× C = (A× C) ∩ (B× C);
c) (A− B)× C = (A× C) − (B× C);
d) A ⊂ A ′, B ⊂ B ′ ⇒ A× B ⊂ A ′ × B ′.
12. Dada da func¸a˜o f : A→ B:
a) Prove que se tem f(X − Y) ⊃ f(X) − f(Y), sejam quais
forem os subconjuntos X e Y de A;
30 EXERC´ICIOS
b) Mostre que se f for injetiva enta˜o f(X−Y) = f(X)−f(Y)
para quaisquer X, Y contidos em A.
13. Mostre que a func¸a˜o f : A→ B e´ injetiva se, e somente se,
f(A− X) = f(A) − f(X) para todo X ⊂ A.
14. Dada a func¸a˜o f : A→ B, prove:
a) f−1(f(X)) ⊃ X para todo X ⊂ A;
b) f e´ injetiva se, e somente se, f−1(f(X)) = X para todo
X ⊂ A.
15. Dada f : A→ B, prove:
a) para todo Z ⊂ B, tem-se f(f−1(Z)) ⊂ Z;
b) f e´ sobrejetiva se, e somente se, f(f−1(Z)) = Z para todo
Z ⊂ B.
16. Dada uma famı´lia de conjuntos (Aλ)λ∈L, seja X um con-
junto com as seguintes propriedades:
1a¯ ) para todo λ ∈ L, tem-se X ⊃ Aλ;
2a¯ ) Se Y ⊃ Aλ para todo λ ∈ L, enta˜o Y ⊃ X.
Prove que, nestas condic¸o˜es, tem-se X =
⋃
λ∈L
Aλ.
17. Enuncie e demonstre um resultado ana´logo ao anterior, ca-
racterizando
⋂
λ∈L
Aλ.
18. Seja f : P(A)→ P(A) uma func¸a˜o tal que
X ⊂ Y ⇒ f(Y) ⊂ f(X) e f(f(X)) = X. Prove que
f(∪Xλ) = ∩f(Xλ) e f(∩Xλ) = ∪f(Xλ). [Aqui X, Y e cada Xλ
sa˜o subconjuntos de A].
19. Dadas as famı´lias (Aλ)λ∈L e (Bµ)µ∈M, forme duas famı´lias
com ı´ndices em L×M considerando os conjuntos
(Aλ ∪ Bµ)(λ,µ)∈L×M e (Aλ ∩ Bµ)(λ,µ)∈L×M.
EXERC´ICIOS 31
Prove que se tem(⋃
λ∈L
Aλ
)
∩
(⋃
µ∈M
Bµ
)
=
⋃
(λµ)∈L×M
(Aλ ∩ Bµ),
(⋂
λ∈L
Aλ
)
∪
(⋂
µ∈M
Bµ
)
=
⋂
(λµ)∈L×M
(Aλ ∪ Bµ).
20. Seja (Aij)(i,j)∈N×N uma famı´lia de conjuntos com ı´ndices em
N×N. Prove, ou disprove por contra-exemplo, a igualdade
∞⋃
j=1
( ∞⋂
i=1
Aij
)
=
∞⋂
i=1
( ∞⋃
i=1
Aij
)
.
21. Dados os conjuntos A,B,C, estabelec¸a uma bijec¸a˜o entre
F(A× B;C) e F(A;F(B;C)).
Cap´ıtulo II
Conjuntos Finitos,
Enumera´veis e
Na˜o-Enumera´veis
De posse dos conceitos gerais e dos fatos ba´sicos a respeito
de conjuntos e func¸o˜es, vamos aplica´-los, neste cap´ıtulo, para
estudar as noc¸o˜es de conjunto finito e conjunto infinito.
Deve-se a Cantor a descoberta fundamental de que ha´ diver-
sos tipos de infinito, bem como a ana´lise desses tipos.
Para os nossos propo´sitos, e´ necessa´rio apenas distinguir,
quanto ao nu´mero de elementos, treˆs tipos de conjuntos: os fini-
tos, os enumera´veis e os na˜o-enumera´veis. Aos leitores interessa-
dos em mais informac¸o˜es sobre nu´meros cardinais de conjuntos,
recomendamos [Halmos] ou a memo´ria original [Cantor].
A noc¸a˜o de conjunto enumera´vel esta´ estritamente ligada
ao conjunto N dos nu´meros naturais. Por isso iniciaremos este
cap´ıtulo com uma breve apresentac¸a˜o da teoria dos nu´meros na-
turais a partir dos axiomas de Peano.
Os axiomas de Peano exibem os nu´meros naturais como
“nu´meros ordinais”, isto e´, objetos que ocupam lugares determi-
nados numa sequ¨eˆncia ordenada: 1 e´ o primeiro nu´mero natural,
2 e´ o nu´mero que vem logo depois do 1, 3 vem em seguida ao
2, etc. Mas os nu´meros naturais tambe´m podem ocorrer como
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“nu´meros cardinais”, isto e´, como resultado de uma operac¸a˜o
de contagem, em resposta a` pergunta: quantos elementos possui
este conjunto?
No §2, empregamos os nu´meros naturais para a contagem dos
conjuntos finitos, mostrando como eles podem ser considerados
como nu´meros cardinais e completando, portanto, sua descric¸a˜o.
Na memo´ria original [Dedekind], cuja leitura recomendamos,
o conjunto N dos nu´meros naturais e´ definido a partir da teoria
dos conjuntos e os axiomas, hoje conhecidos com o nome de
Peano, sa˜o demonstrados como teoremas. Esta maneira de obter
os nu´meros naturais pode ser encontrada na exposic¸a˜o recente de
[Halmos]. Do ponto de vista de Peano, os nu´meros naturais na˜o
sa˜o definidos. E´ apresentada uma lista de propriedades gozadas
por eles (os axiomas) e tudo o mais decorre da´ı. Na˜o interessa
o que os nu´meros sa˜o; (isto seria mais um problema filoso´fico) o
que interessa e´ como eles se comportam. Embora os axiomas por
ele adotados ja´ fossem conhecidos por Dedekind, tudo indica que
Peano trabalhou independentemente. De qualquer maneira, o
mais importante na˜o sa˜o quais os axiomas que ele escolheu e sim
a atitude que ele adotou, a qual veio a prevalecer na Matema´tica
atual, sob o nome de me´todo axioma´tico.
Uma exposic¸a˜o sistema´tica dos sistemas nume´ricos utilizados
na Ana´lise Matema´tica pode ser feita a partir dos nu´meros na-
turais, atrave´s de sucessivas extenso˜es do conceito de nu´mero:
primeiro amplia-se N para obter o conjunto Z dos nu´meros in-
teiros; em seguida estende-se Z, passando ao conjunto Q dos
nu´meros racionais, deste se passa para o conjunto R dos reais
e, da´ı, para o conjunto C dos complexos. Essa elaborac¸a˜o, em-
bora instrutiva, e´ um processo demorado. Os leitores