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Curso de Analise Vol.1 - Elon L. Lima

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curiosos
podera˜o consultar o cla´ssico [Landau], o mais recente [Cohen e
Ehrlich], ou os primeiros cap´ıtulos de [Jacy Monteiro], onde os
sistemas nume´ricos sa˜o encarados sob o ponto de vista alge´brico.
34 [CAP. II: CONJUNTOS FINITOS, ENUMERA´VEIS E NA˜O-ENUMERA´VEIS
1 Nu´meros naturais
Toda a teoria dos nu´meros naturais pode ser deduzida dos
treˆs axiomas abaixo, conhecidos como axiomas de Peano.
Sa˜o dados, como objetos na˜o-definidos, um conjunto N, cu-
jos elementos sa˜o chamados nu´meros naturais, e uma func¸a˜o
s : N→ N. Para cada n ∈ N, o nu´mero s(n), valor que a func¸a˜o
s assume no ponto n, e´ chamado o sucessor de n.
A func¸a˜o s satisfaz aos seguintes axiomas:
P1. s : N → N e´ injetiva. Em outros termos: m,n ∈ N,
s(m) = s(n)⇒ m = n. Ou, em palavras, dois nu´meros que teˆm
o mesmo sucessor sa˜o iguais.
P2. N − s(N) consta de um so´ elemento. Ou seja, existe um
u´nico nu´mero natural que na˜o e´ sucessor de nenhum outro. Ele
se chama “um” e e´ representado pelo s´ımbolo 1. Assim, qualquer
que seja n ∈ N, tem-se 1 6= s(n). Por outro lado, se n 6= 1 enta˜o
existe um (u´nico) n0 ∈ N, tal que s(n0) = n.
P3. (Princ´ıpio da Induc¸a˜o). Se X ⊂ N e´ um subconjunto tal
que 1 ∈ X e, para todo n ∈ X tem-se tambe´m s(n) ∈ X, enta˜o
X = N.
O Princ´ıpio da Induc¸a˜o pode tambe´m ser enunciado da se-
guinte maneira:
Seja P uma propriedade referente a nu´meros naturais. Se 1
gozar da propriedade P e se, do fato de um nu´mero natural n
gozar de P puder-se concluir que n + 1 goza da propriedade P ,
enta˜o todos os nu´meros naturais gozam dessa propriedade.
Uma demonstrac¸a˜o na qual o axioma P3 e´ empregado, chama-
se uma demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o.
Para dar um exemplo de demonstrac¸a˜o por induc¸a˜o, mostre-
mos que para todo n ∈ N, tem-se s(n) 6= n. Com efeito, seja
X = {n ∈ N; s(n) 6= n}. Tem-se 1 ∈ X, pois 1 na˜o e´ sucessor de
nu´mero algum, em particular 1 6= s(1). Ale´m disso n ∈ X ⇒
n 6= s(n)⇒ (pela injetividade de s) s(n) 6= s[s(n)]⇒ s(n) ∈ X.
Assim, n ∈ X⇒ s(n) ∈ X. Como 1 ∈ X, segue-se do axioma P3
que X = N, ou seja n 6= s(n) para todo n ∈ N.
O Princ´ıpio da Induc¸a˜o e´ muito u´til pra demonstrar propo-
[SEC. 1: NU´MEROS NATURAIS 35
sic¸o˜es que se referem a inteiros. Ele esta´ impl´ıcito em todos os
argumentos onde se diz “e assim por diante”, “e assim sucessi-
vamente” ou “etc.”.
Na˜o menos importante do que demonstrar proposic¸o˜es por
induc¸a˜o e´ saber definir objetos indutivamente.
As definic¸o˜es por induc¸a˜o se baseiam na possibilidade de se
iterar uma func¸a˜o f : X→ X um nu´mero arbitra´rio, n, de vezes.
Mais precisamente, seja f : X→ X uma func¸a˜o cujo domı´nio e
contradomı´nio sa˜o o mesmo conjunto X. A cada n ∈ N podemos,
de modo u´nico, associar uma func¸a˜o fn : X → X de tal maneira
que f1 = f e fs(n) = f◦fn. Em particular, se chamarmos 2 = s(1),
3 = s(2), teremos f2 = f ◦ f, f3 = f ◦ f ◦ f.
Numa exposic¸a˜o sistema´tica da teoria dos nu´meros naturais,
a existeˆncia da n-e´sima iterada fn de uma func¸a˜o f : X → X
e´ um teorema, chamado “Teorema da Definic¸a˜o por Induc¸a˜o”.
Na˜o daremos sua demonstrac¸a˜o aqui. Apenas observaremos que
na˜o nos seria poss´ıvel, a estas alturas, definir fn simplesmente
como f ◦ f ◦ · · · ◦ f (n vezes) pois “n vezes” e´ uma expressa˜o sem
sentido no contexto dos axiomas de Peano, ja´ que um nu´mero
natural n e´, por enquanto, apenas um elemento do conjunto
N (um nu´mero ordinal), sem condic¸o˜es de servir de resposta a`
pergunta “quantas vezes?”, ate´ que lhe seja dada a condic¸a˜o de
nu´mero cardinal.
Admitamos portanto que, dada uma func¸a˜o f : X → X, sa-
bemos associar, de modo u´nico, a cada nu´mero natural n ∈ N,
uma func¸a˜o fn : X→ X, chamada a n-e´sima iterada de f, de tal
modo que f1 = f e fs(n) = f ◦ fn.
Vejamos um exemplo de definic¸a˜o por induc¸a˜o. Usando as
iteradas da func¸a˜o s : N → N, definiremos a adic¸a˜o de nu´meros
naturais. Dados m, n ∈ N, sua soma m+n ∈ N e´ definida por:
m+ n = sn(m).
Assim, somarm com 1 e´ tomar o sucessor dem enquanto que, em
geral, somar m com n e´ partir de m e iterar n vezes a operac¸a˜o
36 [CAP. II: CONJUNTOS FINITOS, ENUMERA´VEIS E NA˜O-ENUMERA´VEIS
de tomar o sucessor. Em outras palavras, temos, por definic¸a˜o:
m+ 1 = s(m),
m+ s(n) = s(m+ n).
Assim, se quisermos, poderemos dispensar a notac¸a˜o s(n) para
indicar o sucessor de n e usar a notac¸a˜o definitiva n + 1 para
representar esse sucessor. Isto sera´ feito gradativamente. Com a
notac¸a˜o definitiva, a u´ltima das igualdades acima leˆ-se:
m+ (n+ 1) = (m+ n) + 1.
Vemos que a pro´pria definic¸a˜o da somam+n ja´ conte´m uma in-
dicac¸a˜o de que ela goza da propriedade associativa. Provaremos
agora, em geral, que se tem:
m+ (n+ p) = (m+ n) + p,
quaisquer que sejam m, n, p ∈ N.
A demonstrac¸a˜o da propriedade associativa se faz assim:
seja X o conjunto dos nu´meros naturais p tais que
m+ (n+ p) = (m+ n) + p, quaisquer que sejam m, n ∈ N. Ja´
vimos que 1 ∈ X. Ale´m disso, se p ∈ X, enta˜o,
m+ (n+ s(p)) = m+ s(n+ p) = s(m+ (n+ p))
= s((m+ n) + p) = (m+ n) + s(p).
(No terceiro sinal de igualdade, usamos a hipo´tese p ∈ X e
nos demais a definic¸a˜o de soma.) Logo, p ∈ X ⇒ s(p) ∈ X.
Como 1 ∈ X, conclu´ımos, por induc¸a˜o, que X = N, isto e´,
m+ (n+ p) = (m+ n) + p, quaisquer que sejam m, n, p ∈ N.
As propriedades formais da adic¸a˜o sa˜o relacionadas abaixo:
Associatividade: m+ (n+ p) = (m+ n) + p;
Comutatividade: m+ n = n+m;
Lei do corte: m+ n = m+ p⇒ n = p;
Tricotomia: dados m, n ∈ N, exatamente uma das treˆs alter-
nativas seguintes pode ocorrer: ou m = n, ou existe p ∈ N tal
que m = n+ p, ou, enta˜o, existe q ∈ N com n = m+ q.
[SEC. 1: NU´MEROS NATURAIS 37
Omitimos as demonstrac¸o˜es dessas propriedades, que sa˜o fei-
tas por induc¸a˜o.
A relac¸a˜o de ordem entre os nu´meros naturais e´ definida em
termos da adic¸a˜o. Dados os nu´meros naturais m, n dizemos que
m e´ menor do que n e escrevemos
m < n,
para significar que existe p ∈ N tal que n = m+p. Nas mesmas
condic¸o˜es, dizemos que n e´ maior do que m e escrevemos n > m.
A notac¸a˜o m ≤ n significa que m e´ menor do que ou igual a n.
A relac¸a˜o < goza das seguintes propriedades:
Transitividade: se m < n e n < p enta˜o m < p.
Tricotomia: dados m, n, exatamente uma das alternativas se-
guintes pode ocorrer: ou m = n, ou m < n ou n < m.
Monotonicidade da adic¸a˜o: se m < n enta˜o, para todo p ∈ N
tem-se m+ p < n+ p.
Provemos a u´ltima: m < n significa que existe q ∈ N tal
que m + q = n. Enta˜o (m + p) + q = n + p, e, portanto,
m+ p < n+ p.
Observemos que m < n significa que, para um certo p ∈ N,
temos n = sp(m), isto e´, n e´ o sucessor do sucessor ... do
sucessor de m.
Introduziremos agora a multiplicac¸a˜o de nu´meros naturais.
Assim, como a soma m+n foi definida como o resultado que
se obte´m quando se itera n vezes, a partir de m, a operac¸a˜o de
tomar o sucessor, definiremos o produto m ·n como a soma de n
parcelas iguais am, ou melhor, o resultado que se obte´m quando
se adiciona a m, n− 1 vezes, o mesmo nu´mero m.
Em termos precisos, para cada m ∈ N, seja fm : N → N a
func¸a˜o definida por fm(p) = p + m. (Ou seja, fm e´ a func¸a˜o
“somar m”). Usaremos esta func¸a˜o para definir a multiplicac¸a˜o
de nu´meros naturais.
O produto de dois nu´meros naturais e´ definido assim, m ·1 =
m e m · (n+ 1) = (fm)n(m).
38 [CAP. II: CONJUNTOS FINITOS, ENUMERA´VEIS E NA˜O-ENUMERA´VEIS
Em palavras: multiplicar um nu´mero m por 1 na˜o o altera.
Multiplicar m por um nu´mero maior do que 1, ou seja, por um
nu´mero da forma n+1, e´ iterar n-vezes a operac¸a˜o de somar m,
comec¸ando comm. Assim, por exemplo,m·2 = fm(m) = m+m,
m · 3 = (fm)2(m) = m+m+m.
Lembrando a definic¸a˜o de (fm)
n, vemos que o produto m ·n
esta´ definido indutivamente pelas propriedades abaixo:
m · 1 = m,
m · (n+ 1) = m · n+m.
A u´ltima igualdade acima