NOTA DE AULA V - Cap 14 - Gravitação

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NOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULANOTA DE AULA 
 
 
05 
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA 
Disciplina: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II (MAF 2202) 
Coordenação: Prof. Dr. Elias Calixto Carrijo 
CAPÍTULO 14 – GRAVITAÇÃO 
 
 
 
1. O MUNDO E A FORÇA GRAVITACIONAL. 
 
Na figura a seguir se vê a galáxia conhecida como Via Láctea. O planeta Terra está 
próximo à borda do disco, a cerca de 26000 anos-luz (2,5x1020 m) do seu centro, que na 
figura está localizado no agrupamento de estrelas conhecido como Sagitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14.0(inicio do capítulo) 
 
A Via Láctea é um membro do grupo Local de galáxias, que inclui a galáxia de 
Andrômeda a uma distância de 2,3x106 anos-luz e vária galáxias anãs mais próximas, como a 
Grande Nuvem de Magalhães. 
A força que mantém reunidas estas estruturas progressivamente maiores, da estrela à 
galáxia e ao superagrupamento, é a força gravitacional. Esta força não apenas nos mantém 
sobre a Terra, mas também exerce influência em todo Espaço intergalático. 
 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 02 
 
 
2. LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃO. 
 
Em 1655, Isaac Newton mostrou que a força que mantém a Lua em sua órbita é a 
mesma que faz com uma maçã caia em direção à Terra. I. Newton concluiu que todo corpo no 
Universo atrai todos os outros corpos; esta tendência dos corpos de se moverem cada um em 
direção ao outro é chamada de gravitação. 
Newton propôs uma lei de forças conhecida hoje como lei da gravitação de Newton, 
dada por: 
 
1 2
2
m mF G
r
= , 
 
onde m1 e m2 são as massas dos corpos, r é a distância entre os mesmos e G é a constante 
gravitacional com valor dado por: 
 
G = 6,67 x 10-11 N . m / Kg2 
 = 6,67 x 10-11 m3 / Kg . s2 
 
 
 Como mostra a figura a seguir, uma partícula m2 atrai uma partícula m1 com uma força 
gravitacional F
→
 dirigida para a partícula m2 e a partícula m1 atrai a partícula m2 com uma 
força gravitacional - F
→
 dirigida para a partícula m1. As forças F
→
 e - F
→
 formam um par de 
forças ação e reação. Estas forças não se alteram pela presença de outros corpos, mesmo que 
estes corpos e situem entre as duas partículas. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig 14.2 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 03 
 
 
 A intensidade da forças gravitacional depende do fator G. Se, por algum fenômeno 
estranho, G fosse multiplicado por um fator 10, seríamos esmagados contra o piso da Terra. 
Ao contrário, se G fosse dividido por 10, poderíamos saltar um prédio. 
 A lei de gravitação pode ser aplicada a corpos desde que as dimensões dos mesmos 
sejam pequenas comparadas com as distâncias entre eles. No caso de pequenos corpos 
próximos à superfície de um planeta, pode-se usar o Teorema da Casca: 
 
Uma casca esférica uniforme de matéria atrai uma partícula que está 
fora da casca como se toda a massa da esfera estivesse concentrada 
em seu centro. 
 
A Terra pode ser imaginada como um conjunto de tais cascas, uma dentro da outra. 
 
3. GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 
 
 Em um grupo de partículas, a força gravitacional resultante em uma delas, exercida 
pelas outras partículas, pode ser calculada usando o princípio da superposição, em que o 
efeito resultante é obtido pela soma dos efeitos individuais. 
 Para n partículas interagindo, o princípio da superposição pode ser escrito como segue: 
 
nres FFFFF 1141312,1 ...
→→→→→
++++= , 
 
onde resF ,1
→
 é a força resultante sobre a partícula 1 e 13
→
F é a força exercida sobre a partícula 1 
pela partícula 3. Em um modo mais compacto tem-se: 
 
∑
=
→→
=
n
i
ires FF
2
1,1 
 
 A força gravitacional sobre um objeto qualquer, em que as dimensões do outro corpo 
não sejam desprezíveis pode ser calculada por: 
 
∫
→→
= FdF 1 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 04 
 
 
A integral é tomada sobre todo objeto de dimensões finitas. 
 
4. GRAVITAÇÃO PRÓXIMA À SUPERFÍCIE TERRESTRE. 
 
 Supondo-se que a Terra seja uma esfera uniforme de Massa M, a intensidade da força 
gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada a uma distância r do centro 
da terra ( r > Raio da Terra) é dada por: 
 
2
r
mMGF = 
 
Se a part6ícula for solta ela cairá em direção a centro da Terra com uma aceleração 
gravitacional 
→
ga . Da segunda lei de Newton relacionamos F e ag por: 
 
F = m ag 
 
Das duas últimas relações obtemos: 
 
2
r
GM
a g = 
 
A tabela 14.1 mostra valores de ag calculados para várias altitudes acima da superfície da 
Terra. 
 TABELA 14.1 Variação de ag com a Altitude 
 
Altitude (km) Ag (m/s
2) Exemplo de Altitude 
0 9,83 Superfície média da Terra 
8,8 9,80 Monte Everest 
36,6 9,71 Balão tripulado mais alto 
400 8,70 Órbita do Ônibus espacial 
35 700 0,225 Satélites de Comunicações 
 
 
 Desprezando a rotação da Terra e supondo que a mesma seja um referencial inercial, a 
aceleração de queda livre g pode ser dada por ag. Entretanto esses valores diferem por tres 
motivos: (1) a Terra não é uniforme, (2) ela não é uma esfera perfeita e (3) ela está girando. 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 05 
 
 
Neste caso, o peso medido da partícula mg difere da força gravitacional dada por GMm/r2. 
Examinando as três razões: 
 
1 A Terra não é uniforme. A massa específica da Terra varia radialmente e na crosta 
varia de região para região. Então g varia de região para região na superfície. 
 
2 A Terra não é uma esfera. Pode-se considerar a Terra um elipsóide, achatado nos 
pólos e saliente no equador. Como um ponto do pólo está mais próximo do núcleo da 
Terra, a aceleração g aumenta à medida que aproximamos dos pólos. 
 
3 A Terra está girando. O eixo de rotação passa pelos pólos Norte e Sul. Essa rotação 
gera uma força resultante centrípeta 
 
Para entendermos como a rotação da Terra provoca diferença entre g e ag , considere uma 
situação de um caixote de massa m sobre uma balança situados na linha do equador, conforme 
mostra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14.7 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 06 
 
 
Na parte b da figura, um diagrama de livre mostra as duas forças sobre o caixote, 
ambas tem a direção radial. A força normal da balança sobre o caixote está dirigida para fora, 
na direção positiva do eixo r. A força gravitacional 
→
gam , está dirigida para dentro. Como o 
caixote se move em um círculo em torno do centro da Terra, à medida que a Terra gira, ele 
possui uma aceleração centrípeta 
→
a dirigida para dentro. Esta aceleração centrípeta é dada por 
ω2R, onde ω é a velocidade angular da Terra e R o seu raio. Então, da segunda lei de Newton 
vem: 
N - m ag = m ( -ω2R ), 
ou seja: 
 
( )centrípetaaceleraçãoxmassa
nalgravitacioforça
daeintensidad
medido
peso
−





=





 
 
O módulo da força norma é igual ao peso mg obtido da balança. Então: 
 
mg = mag – m(ω2R) , 
 
Então o peso medido é de fato menor que a intensidade da forçagravitacional. Da relação 
anterior também obtemos: 
 
g = ag - ω2R 
ou: 
 






−





=





centrípeta
aceleração
nalgravitacio
aceleração
livrequeda
deaceleração
 
 
Então, a aceleração de queda livre medida é menor do que a aceleração gravitacional por 
causa da rotação da Terra. 
 
5. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL 
 
 Seja uma bola de beisebol lançada na vertical se afastando da terra, ao longo da 
trajetória mostrada na figura a seguir: 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deseja-se encontrar uma expressão para a energia potencial gravitacional U da bola no ponto 
P da trajetória. Para tanto, calcula-se o trabalho realizado pela força gravitacional sobre a bola 
quando ela se desloca do ponto P até uma distância infinita da terra. O trabalho é dado por: 
 
( ).
R
W F r dr
∞
= ∫
r r
 
onde 
 
( ). ( ) cosF r dr F r dr φ=r r 
 
Substituindo os respectivos valores obtém-se: 
 
2( ).
GMmF r dr dr
r
=
r r
 
então 
 
2
1
RR
GMmW GMm dr
r r
∞∞
= = ⇒∫ 
 
0 GMm GMmW
R R
= − = − 
 
F
r
drr
P
R 
M 
φ
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 08 
 
 
 Na expressão anterior W é o trabalho para mover a bola do ponto P até o infinito. 
Como: 
,U W∆ = − 
então 
U U W
∞
− = − 
 
Como a energia potencial no infinito é nula, obtém-se: 
 
GMmU W
r
= = − 
INDEPENDÊNCIA DA TRAJETÓRIA 
 
Na figura a seguir mostra-se o movimento da bola de beisebol do ponto A ao ponto G, 
composto de três segmentos radiais e três circulares. O trabalho total realizado pela força 
gravitacional é dado pela soma das parcelas individuais nos respectivos segmentos nos 
segmentos circulares o trabalho é nulo, pois a força é perpendicular à trajetória. O trabalho 
restante é dado pelo trabalho realizado nos segmentos radiais, que já foi calculado no item 
anterior. Isso significa que, sendo a força gravitacional uma força conservativa, o trabalho 
independe da trajetória, o que nos leva à relação: 
 
f iU U U W∆ = − = − 
 
Como o trabalho independe da trajetória, a variação da energia potencial também independe 
da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.14.11 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 09 
 
 
ENERGIA POTENCIAL E FORÇA 
 
 Pode-se fazer o caminho inverso, isto é calcular a força gravitacional a partir da 
energia potencial. 
 
dU d GMmF
dr dr r
GMmF
r
 
= − = − − 
 
= − →
 
 a força aponta radialmente para dentro, em direção a M. 
 
 
Velocidade De Escape 
 
 Velocidade de escape é a velocidade mínima a partir da qual um projétil lançado na 
superfície da Terra escape do campo gravitacional da mesma. 
 Seja um projétil de massa m com velocidade v deixando a superfície da Terra. Ele 
possui energia cinética K dada por m v2/2 e energia potencial dada por: 
 
 
R
GMmU −= 
 
Na relação anterior M é a massa do planeta e R seu raio. 
 
Quando o projétil atinge o infinito ele pára e por isso não possui mais energia cinética, 
nem energia potencial (r→∞ ⇒ U→0), ou seja a energia mecânica total no infinito é nula. Do 
princípio da conservação da energia total tem-se: 
 
0)(
2
1 2
=−+=+
R
GMm
mvUK 
 
Explicitando a velocidade vem: 
 
R
GM
v
2
= 
Lei da Gravitação do Newton 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 010 
 
 
 Velocidade de Escape 
Lua 2,38 km/s 
Terra 11,2 km/s 
Sol 618 km/s 
Supernova (Est.de N.) 2x105 km/s 
 
6. PLANETAS E SATÉLITES: LEIS DE KEPLER. 
 
 O movimento dos planetas sempre despertou interesse nos seres humanos. Após ter 
dedicado toda sua vida a esses fenômenos, Johannes Kepler (1571-1630), estabeleceu leis 
empíricas que governam estes movimentos, que foram compiladas mais tarde por Tycho Brae 
(1546-1601). Posteriormente, Newton (1642-1727) mostrou que a lei da gravitação leva às 
leis de Kepler. Neste seção discutiremos cada lei de Kepler. 
 
1. Lei das Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o sol em um dos focos. 
 
 A figura a seguir mostra um planeta de massa m se movendo em uma órbita deste tipo 
em torno do Sol, com massa M. Sendo M 〉〉 m, pode-se considerar o centro de massa do 
sistema no Sol. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 14.13 
 
 Nesta órbita nota-se o semi-eixo maior a e a excentricidade e. Pode-se calcular a 
excentricidade fazendo e.a = F . Um círculo corresponde a uma excentricidade nula. As 
excentricidades das órbitas planetárias são pequenas, parecendo círculos. 
 
2. Lei das Áreas: Uma linha que liga um planeta ao Sol varre áreas iguais em no plano da 
órbita do planeta em tempos iguais ou seja, a taxa dA/dt com que a linha varre Áreas A é 
constante. 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 011 
 
 
Isso significa que o planeta se moverá mais lentamente quando estiver afastado do Sol 
e mais rapidamente quando estiver mais próximo do Sol. Essa segunda lei é equivalente à 
conservação do momento angular, que mostrado em seguida. 
 Na figura a seguir, a área da cunha sombreada é próxima da área varrida no intervalo 
de tempo ∆t por uma linha que liga o Sol ao planeta, separados por uma distância r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 14.14 
 
A área deste setor é aproximadamente igual à área do triângulo com base r∆θ e altura 
r. Então, a área deste triângulo será ∆A = r2 ∆θ/2. A taxa instantânea que a área está sendo 
varrida será: 
ω
θ 22
2
1
2
1
r
dt
d
r
dt
dA
== 
 
A linha que liga o Sol ao planeta tem velocidade angular ω. 
 A quantidade de movimento linear do planeta e suas componentes radial e 
perpendicular, também são mostrados na figura anterior. Como L = r p⊥ tem-se: 
 
L = r p⊥ = r (m v⊥) = r (mω r) ⇒ 
L = m ω r2 
 
Eliminando r2ω chega-se em: 
 
m
L
dt
dA
2
= 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V 012 
 
 
Se dA/dt é constante, então L também é constante, ou seja se conserva. 
 
3. Lei dos Períodos. O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do semi-
eixo maior da sua órbita. 
 
 Seja a órbita circular da figura a seguir. Aplicando a lei de gravitação e a segunda lei 
de Newton ao planeta ( F = ma) tem-se: 
 
)( 22 rm
r
GMm
ω= 
 
Nesta relação ω2 r é a aceleração centrípeta. Fazendo ω = 2pi/T obtém-se: 
 
3
2
2 4
r
GM
T 





=
pi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 14.15 
 
 
7. SATÉLITES: ÓRBITAS E ENERGIA 
 
 Quando um satélite órbita a terra em uma trajetória elíptica, tanto a velocidade quanto 
sua distância ao centro da terra flutuam, afetando a sua energia cinética e energia potencial 
gravitacional. Entretanto a energia mecânica E permanece constante. 
 A energia potencial do sistema e-: 
 
GMmU
r
= − 
 
 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II – NOTA DE AULA V013 
 
 
 Para determinar a energia cinética de um satélite em órbita circular, escreve-se a 
segunda Lei de Newton Como: 
 
2
2 ,
GMm mv
r r
= 
 
onde 2 /v r é a aceleração centrípeta do satélite. Então a energia cinética será: 
 
21
2 2
GMmK mv
r
= = 
 
ou seja, para um satélite em órbita circular tem-se: 
 
2
UK = − 
 
A energia total do satélite é 
 
2
GMm GMmE K U
r r
= + = − 
 
 
2
GMmE
r
= − 
 
 Portanto, a energia mecânica é igual a – K. 
 
E K= − 
 
Para um satélite com órbita elíptica substituímos r por a e obtemos: 
 
2
GMmE
a
= −