APOSTILA_FENOMENOS_DE_TRANSPORTES_2015-2

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FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
CCE0187 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Engenharia Civil 
2015/2 
 
Prof. Paulo Cesar Martins Penteado 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 2 
 
FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
CCE0187 
Aula 1 
 
Ementa: 
Fundamentos de Hidrostática: 
 Propriedades dos fluidos 
 Densidade e pressão 
 Pressão hidrostática 
 Teorema de Stevin 
 Princípio de Pascal 
 Princípio de Arquimedes 
Fundamentos de Hidrodinâmica 
 Definição de Hidrodinâmica 
 Linhas de corrente 
 Equação de continuidade (Euler) 
 Tipos de escoamento e suas classificações segundo o critério de Reynolds 
 Equação de Bernoulli 
 Tensões em fluidos 
Processos de Propagação e Transmissão de Calor 
 Definição de calor e seus modos de propagação 
 Propagação do calor por condução 
 Propagação do calor por convecção 
 Propagação do calor por irradiação 
 
Bibliografia Básica: 
 Hallyday, R.. Fundamentos de Física vol 2 . 8 ed. São Paulo: LTC, 2009. 
 Çengel, Y. A. et al. Mecânica dos fluidos: Fundamentos e Aplicações 1 ed.. AMGH, 
2008. 
 Assy, T. M.- Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações- 1 ed- Rio de 
Janeiro: LTC, 2004. 
 
Bibliografia Complementar 
 Munson, B. R. et al- Introdução à Engenharia de Sistemas Térmicos- 1 ed- Rio de 
Janeiro: LTC, 2005. 
 McDonald, A.T.- Introdução à Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e Aplicações-
 6 ed- Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
 Cutnell, J. D.- Física vol 1: Fundamentos e Aplicações- 6 ed- Rio de Janeiro: LTC, 
2006. 
 Tipler, P. A.- Física para cientistas e Engenheiros vol 1- 6 ed- Rio de Janeiro: LTC, 
2009. 
 Serway, R. A.- Princípios de Física vol 2- 1 ed- Rio de Janeiro: Cangage Learning, 
2004 
 
Horário das aulas: 
Aulas às sextas-feiras, das 21:00 às 22:40 
 
Data das avaliações (presenciais): 
 
AV1 em 25/SET AV2 em 27/NOV AV3 em 11/DEZ 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 3 
 
Cronograma das aulas (presenciais): 
 
Data Atividade 
07/AGO Aula 1 INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
14/AGO Aula 2 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E CONVERSÃO DE UNIDADES 
21/AGO Aula 3 FUNDAMENTOS DE HIDROSTÁTICA E TEOREMA DE STEVIN 
28/AGO Aula 4 PRINCÍPIO DE PASCAL E SUAS APLICACÕES 
04/SET Aula 5 TEOREMA DE ARQUIMEDES E SUAS APLICACÕES 
11/SET Aula 6 HIDRODINÂMICA - REGIMES DE ESCOAMENTO 
18/SET Aula 7 ANÁLISE DE VAZÕES E PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE I 
25/SET AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV1 
02/OUT Aula 8 ANÁLISE DE VAZÕES E PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE II 
09/OUT Aula 9 TEOREMA DE BERNOULLI 
16/OUT Aula 10 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE BERNOULLI 
23/OUT Aula 11 EQUAÇÃO DA ENERGIA E MÁQUINAS HIDRÁULICAS 
30/OUT Aula 12 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONDUÇÃO I 
06/NOV Aula 13 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONDUÇÃO II 
13/NOV Aula 14 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONVECÇÃO I 
20/NOV Aula 15 TRANSMISSÃO DE CALOR: CONVECÇÃO II 
27/NOV AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV2 
04/DEZ Aula 16 TRANSMISSÃO DE CALOR: RADIAÇÃO 
11/DEZ AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV3 
 
Conteúdo das aulas 
 
Aula 1 - INTRODUÇÃO AOS FENÔMENOS DE TRANSPORTES 
Introdução à disciplina e suas principais aplicações cotidianas e industriais; 
Apresentação dos tópicos de aula gerais; 
Critério de avaliação e condições para aprovação na disciplina; 
Aula 2 - PRINCIPAIS PROPRIEDADES DOS FLUÍDOS E CONVERSÃO DE UNIDADES 
Definição de fluido; 
Apresentação das principais propriedades de um fluído (densidade, tensão superficial, 
capilaridade, viscosidade, etc.); 
Apresentação de métodos de conversão das principais unidades utilizadas ao longo do 
curso (comprimento, área, volume, massa, energia, pressão, etc.). 
Aula 3 - FUNDAMENTOS DE HIDROSTÁTICA E TEOREMA DE STEVIN 
Introdução à Hidrostática: principais conceitos e aplicações; 
Conceito de densidade de uma substância e densidade de misturas; 
Conceito de pressão normal, pressão hidrostática e pressão efetiva; 
Apresentação do teorema de Stevin e suas principais aplicações. 
Aula 4 - HIDROSTÁTICA- PRINCÍPIO DE PASCAL E SUAS PRINCIPAIS APLICACÕES 
Definição do Princípio de Pascal e apresentação do seu equacionamento; 
Principais aplicações do Princípio de Pascal. 
Aula 5 - HIDROSTÁTICA- TEOREMA DE ARQUIMEDES E SUAS PRINCIPAIS 
APLICACÕES 
Definição de Empuxo; 
Apresentação do teorema de Arquimedes; 
Conceito de peso aparente e peso real; 
Aplicações do teorema de Arquimedes. 
Aula 6 - INTRODUÇÃO À HIDRODINÂMICA E A REGIMES DE ESCOAMENTO 
Introdução à Hidrodinâmica e seus principais fundamentos e aplicações; 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 4 
 
Conceito de linhas de corrente e escoamento de fluidos; 
Apresentação dos principais tipos de escoamento existentes e suas características; 
Aula 7 - ANÁLISE DE VAZÕES 
Conceito de vazão; 
Apresentação das principais unidades de vazão e suas conversões; 
Cálculo de vazões em condutos abertos e forçados. 
Aula 8 - CÁLCULO DE VAZÕES E APLICACÕES DO PRINCÍPIO DA CONTINUIDADE 
Conceito de vazão e metodologia de cálculo; 
Apresentação da Equação de Euler da continuidade e suas principais aplicações; 
Aula 9 - EQUACÃO DE BERNOULLI E SUAS APLICAÇÕES 
Conceito de perda de carga; 
Apresentação da equação de Bernoulli; 
Aplicações da equação de Bernoulli; 
Aula 10 - ESTUDO DE CASOS ESPECIAIS DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Apresentação dos casos especiais da Equação de Bernoulli; 
Buracos em tanques de água; 
Medidores de Venturi 
Tubo de Pitot; 
Dimensionamento de asas de aviões. 
Aula 11 - ESTUDO DOS ESCOAMENTOS E CLASSIFICAÇÕES SEGUNDO O 
CRITÉRIO DE REYNOLDS 
Definição do número de Reynolds e sua importância na análise dos escoamentos; 
Classificação dos regimes de escoamento segundo o critério de Reynolds. 
Conceito e cálculo de perdas de carga. 
Aula 12 - PRINCIPAIS PROCESSOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR E SUAS 
EQUAÇÕES 
Conceito de condução de calor; 
Processos de transmissão de calor; 
Transmissão de calor por condução (Lei de Fourier); 
Aula 13 - PRINCIPAIS PROCESSOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR E SUAS 
EQUAÇÕES II 
Conceito de convecção térmica; 
Modelo de visualização da convecção térmica num líquido em aquecimento; 
Fenômenos climáticos relacionados ao processo de convecção térmica. 
Aula 14 - PRINCIPAIS PROCESSOS DE TRANSMISSÃO DE CALOR E SUAS 
EQUAÇÕES III 
Conceito de irradiação térmica; 
Apresentação da Lei de Stefan- Boltzmann para cálculo de poder emissivo e suas 
principais aplicações. 
Aula 15 - APRESENTAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-STOKES E SUAS 
APLICAÇÕES 
Equações de Navier-Stokes; 
Aplicações práticas das equações de Navier-Stokes. 
Aula 16 - REVISÃO GERAL 
Tópicos de Hidrostática 
Tópicos de Hidrodinâmica 
Processos de condução de calor 
 
Este texto, uma seleção de tópicos e exercícios de diferentes fontes, tem por objetivo 
oferecer aos acadêmicos um breve resumo dos conceitos, leis e princípios a serem 
desenvolvidos durante o curso de Fenômenos de Transporte. Longe de pretender ser 
original, tem por objetivo apenas facilitar o estudo do acadêmico. É também importante 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 5 
 
destacar que o acadêmico deve ter sempre em mente que a consulta aos originais citados 
nas Referências Bibliográficas, além de outros, é imprescindível para a evolução de seus 
estudos. 
 
Aula 2 
 
Introdução 
A mecânica dos fluidos é a parte da mecânica aplicada que se dedica à análise do 
comportamento dos líquidos e gases, tanto em equilíbrio como em movimento. 
Obviamente, o campo de estudo da mecânica dos fluidos abrange um vasto conjunto de 
problemas. Por exemplo, estes podem variar do estudo do escoamento de sangue nos 
capilares (que apresentam diâmetro da ordem de poucos mícrons) até o escoamento de 
petróleo através de um oleoduto (alguns com diâmetro igual a 1,2 m e comprimento de 
mais de 1000 km). Os princípios da mecânica dos fluidos são necessários para explicar 
porque o voo dos aviões com formato aerodinâmico e com superfícies lisas é mais 
eficiente e também porque a superfície das bolas de golfe deve ser rugosa. Muitas 
questões interessantes podem ser respondidas se utilizarmos modelos simples da 
mecânica dos fluidos. Porexemplo: 
 Como um foguete gera empuxo no espaço exterior (na ausência de ar para empurrá-lo)? 
 Por que você não escuta o ruído de um avião supersônico até que ele passe por cima 
de você? 
 Por que um rio escoa com uma velocidade significativa apesar do declive da superfície 
ser pequeno (o desnível não é detectado com um nível comum)? 
 Como as informações obtidas num modelo de avião podem ser utilizadas no projeto de 
um avião real? 
 Por que a superfície externa do escoamento de água numa torneira às vezes parece ser 
lisa e em outras vezes parece ser rugosa? 
 Qual é a economia de combustível que pode ser obtida melhorando-se o projeto 
aerodinâmico dos automóveis e caminhões? 
A lista das possíveis aplicações práticas, e também das perguntas envolvidas, é 
infindável. Mas, todas elas têm um ponto em comum – a mecânica dos fluidos. É muito 
provável que, durante a sua carreira de engenheiro, você utilizará vários conceitos da 
mecânica dos fluidos na análise e no projeto dos mais diversos equipamentos e sistemas. 
Assim, torna-se muito importante que você tenha um bom conhecimento desta disciplina. 
Nós esperamos que este texto lhe proporcione uma base dos aspectos fundamentais da 
mecânica dos fluidos. 
 
Algumas características dos fluidos 
Uma das primeiras questões que temos de explorar é ‒ o que é um fluido? Outra pergunta 
pertinente é ‒ quais são as diferenças entre um sólido e um fluido? Todas as pessoas, no 
mínimo, tem uma vaga ideia destas diferenças. Um sólido é “duro” e não é fácil deformá-
lo enquanto um fluido é “mole” e é muito fácil deformá-lo. Estas observações sobre as 
diferenças entre sólidos e fluidos, apesar de serem um tanto descritivas, não são 
satisfatórias do ponto de vista científico ou da engenharia. 
As análises da estrutura molecular dos materiais revelam que as moléculas de um 
material dito sólido (aço, concreto, etc.) são pouco espaçadas e stão sujeitas a forças 
intermoleculares intensas e coesivas. Esta configuração permite ao sólido manter sua 
forma e lhe confere a propriedade de não ser deformado facilmente. Entretanto, num 
material dito líquido (água, óleo, etc.), o espaçamento entre as moléculas é maior e as 
forças intermoleculares são fracas (em relação àquelas dos sólidos). Por estes motivos, 
as moléculas de um líquido apresentam maior liberdade de movimento e, assim, os 
líquidos podem ser facilmente deformados (mas não comprimidos), ser vertidos em 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 6 
 
reservatórios ou forçados a escoar em tubulações. Os gases (ar, oxigênio, etc.) 
apresentam espaços intermoleculares ainda maiores e as forças intermoleculares são 
desprezíveis (a liberdade de movimento das moléculas é ainda maior do que àquela dos 
líquidos). As consequências destas características são: os gases podem ser facilmente 
deformados (e comprimidos) e sempre ocuparão totalmente o volume de qualquer 
reservatório que os armazene. 
Apesar da estrutura molecular dos fluidos ser importante para distinguir um fluido de 
outro, não é possível descrever o comportamento dos fluidos, em equilíbrio ou em 
movimento, a partir da dinâmica individual de suas moléculas. Mais precisamente, nós 
caracterizaremos o comportamento dos fluidos considerando os valores médios, ou 
macroscópicos, das quantidades de interesse. Note que esta média deve ser avaliada em 
um volume pequeno, mas que ainda contém um número muito grande de moléculas. 
Assim, quando afirmamos que a velocidade num ponto do escoamento tem certo valor, na 
verdade, nós estamos indicando a velocidade média das moléculas que ocupam um 
pequeno volume que envolve o ponto. Este volume deve ser pequeno em relação às 
dimensões físicas do sistema que estamos analisando, mas deve ser grande quando 
comparado com a distância média intermolecular. 
Resumindo, fluidos são substâncias sem forma própria, isto é, adaptam-se à forma do 
recipiente que os contém. Ao ser confinado, o fluido reage aos esforços que as paredes 
do recipiente exercem sobre ele, obrigando-o a assumir a mesma forma delas; essa 
reação sobre as paredes do recipiente se traduz pela pressão exercida pelo fluido, 
grandeza que será estudada neste capítulo. 
 
Dimensões, Homogeneidade Dimensional e Unidades 
O estudo da mecânica os fluidos envolve uma variedade de grandezas. Assim, torna-se 
necessário desenvolver um sistema para descrevê-las de modo qualitativo e quantitativo. 
O aspecto qualitativo serve para identificar a natureza, ou tipo, da grandeza (como 
comprimento, tempo, massa, velocidade) enquanto o aspecto quantitativo fornece uma 
medida numérica para a grandeza. A descrição quantitativa requer tanto um número 
quanto um padrão para que as várias quantidades possam ser comparadas. O conjunto 
de padrões é denominado sistema de unidades. 
A descrição qualitativa é convenientemente realizada quando utilizamos certas 
quantidades (como o comprimento L, a massa M, o tempo T e a temperatura ) ditas 
grandezas fundamentais. 
Estas grandezas fundamentais podem ser combinadas e utilizadas para descrever, 
qualitativamente, outras quantidades ditas grandezas derivadas, por exemplo: [área] = 
L2; [velocidade] = LT‒1; [massa específica] = ML‒3. Os coclchetes [ ] são utilizados para 
indicar a dimensão da grandeza derivada em função das dimensões das grandezas 
fundamentais. 
É importante ressaltar que são necessárias apenas três grandezas fundamentais (M, L e 
T) para descrevr um grande número de grandezas derivadas da mecânica dos fluidos. 
Nós também podemos utilizar um sistema com grandezas fundamentais composto por L, 
T e F, em que F é a dimensão da força. Isto é possível porque a 2ª lei de Newton 
estabelece que a força é igual ao produto da massa pela aceleração. 
Assim, podemos descrever qualitativamente uma força como: [força] = MLT‒2 = F 
A descrição qualitativa de uma grandeza derivada é denominada equação dimensional 
da respectiva grandeza. 
Neste curso de Fenômenos de Transporte usaremos, principalmente, o Sistema 
Internacional de Unidades (SI), adotado oficialmente no Brasil. 
O SI, adota 7 grandezas fundamentais e 2 grandezas suplementares de caráter 
geométrico. O esquema abaixo mostras essas grandezas. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 7 
 
 
 
Visando facilitar ainda mais a notação das grandezas, é bastante comum a utilização de 
prefixos representando as potências de dez. A tabela a seguir traz a denominação dos 
principais prefixos de acordo com regulamentação do Instituto Nacional de Metrologia, 
Qualidade e Tecnologia (Inmetro). 
 
 
 
 
Neste ponto, é importante destacar que, ao longo de nosso estudo, faremos uso de um 
grande número de grandezas físicas e muitas delas serão simbolizadas por letras 
minúsculas ou maiúsculas do alfabeto grego. 
 
ALFABETO GREGO 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 8 
 
 
 
Principais propriedades dos fluidos 
 Densidade 
A densidade ρ de um fluido, por definição, é dada pela relação entre sua massa m e o 
correspondente voluma V ocupado pelo fluido. Assim: 
V
m
 
No SI, a unidade de medida da densidade é o kg/m3. 
Para a água, a 4 °C e sob pressão de 1 atm: 
3
água kg/m1000 
 
Quando a densidade se refere a um corpo homogêneo, líquido, gasoso ou sólido, usa-se 
também o termo massa específica, em vez de densidade. 
 
 Densidade relativa 
A densidade relativa (SG specific gravity) de um dado material é a grandeza adimensional 
dada pela relação entre a massa específica do material e a massa específica da água. 
Então: 
C4aágua 



SG 
É importante destacar que o valor da densidade relativa não depende do sistema de 
unidades utilizado. 
 
 Peso específico 
O peso específico, representado pela letra grega  é, por definição, a relação entre o 
peso do corpo e seu volume. Temos, então: 

 g
V
m
V
gm
 g  
No SI, o peso específico é medido em N/m3. 
 
 Tensão superficial 
A tensão superficial é um efeito físico que faz com que a camada superficial de um 
líquido venha a se comportar comouma membrana elástica. Este efeito é causado pelas 
forças de coesão entre moléculas semelhantes, cuja resultante vetorial é diferente na 
superfície. Enquanto as moléculas situadas no interior de um líquido são atraídas em 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 9 
 
todas as direções pelas moléculas vizinhas, as moléculas da superfície do líquido sofrem 
apenas atrações laterais e internas. Este desbalanço de forças de atração que faz a 
interface se comportar como uma película elástica como um látex. 
Devido à tensão superficial, alguns objetos mais densos que o líquido podem flutuar na 
superfície, caso estes se mantenham secos sobre a interface. Este efeito permite, por 
exemplo, que alguns insetos caminhem sobre a superfície da água, como mostrado na 
foto ao lado. 
 
 
 
 Capilaridade 
A tensão superficial também é responsável pelo efeito de capilaridade. 
A capilaridade é a propriedade física que permite aos fluidos subirem ou descerem em 
tubos extremamente finos. 
Quando um líquido entra em contacto com uma superfície sólida, o líquido fica sujeito a 
dois tipos de forças que atuam em sentidos contrários: a força de adesão e a força de 
coesão. 
A força de adesão é a atração entre moléculas 
diferentes, ou seja, a afinidade das moléculas do 
líquido com as moléculas da superfície sólida. Atua 
no sentido de o líquido molhar o sólido. A força de 
coesão é a atração intermolecular entre moléculas 
semelhantes, ou seja, a afinidade entre as moléculas 
do líquido. Atua no sentido de manter o líquido em 
sua forma original. 
Se a força de adesão for superior à de coesão, o 
líquido vai interagir favoravelmente com o sólido, 
molhando-o, e formando um menisco. Se a 
superfície sólida for um tubo de raio pequeno, como 
um capilar de vidro, a afinidade com o sólido é tão 
grande que líquido sobe pelo capilar. No caso do 
mercúrio, acontece o contrário, pois este não tem 
afinidade com o vidro (a força de coesão é maior). 
 
 Viscosidade 
A viscosidade é uma medida da resistência interna de um fluido (gás ou líquido) ao fluxo, 
ou seja, é a resistência oferecida pelo líquido quando uma camada se move em relação a 
uma camada vizinha. Quanto maior a viscosidade, maior é a resistência ao movimento e 
menor é sua capacidade de escoar (fluir). Assim, um líquido como o mel, que resiste 
grandemente ao movimento, possui elevada viscosidade, ao contrário da água, na qual a 
viscosidade é muito menor, o que torna menor a sua resistência ao movimento. Em outras 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 10 
 
palavras, a viscosidade de um fluido é a propriedade que determina o valor de sua 
resistência ao cisalhamento. É a propriedade principal de um lubrificante, pois está 
diretamente relacionada com a capacidade de suportar cargas. 
Para definir quantitativamente a viscosidade, vamos considerar um líquido preenchendo o 
espaço entre duas placas planas paralelas de área A cada uma e separadas por uma 
distância h. Supondo a placa inferior fixa, então é necessária uma força F para mover a 
placa superior, paralelamente à inferior, com velocidade U. Sob certas condições, pode-se 
obter uma distribuição linear de velocidades u dos pontos do líquido, como mostrado na 
figura a seguir. 
 
Neste caso, a força por unidade de área necessária para mover a placa, isto é, a tensão 
de cisalhamento  (medida em N/m2 = Pa) é diretamente proporcional a U e inversamente 
proporcional a h. 
Usando uma constante de proporcionalidade μ, isto pode ser escrito como: 
 
h
U
A
F
  
 
A constante de proporcionalidade μ é denominada viscosidade absoluta (ou 
viscosidade dinâmica). 
A dimensão da viscosidade absoluta é [M·L-1·T-1] e, no SI, a unidade de medida da 
viscosidade é o kg/(m·s) = Pa·s. 
Também se usa o conceito de viscosidade cinemática, 𝝂, que é a razão entre a 
viscosidade absoluta e a densidade: 


  . 
A dimensão da viscosidade cinemática é [L2/T]. No SI, a unidade de viscosidade 
cinemática é, portanto, m2/s. 
 
Exercícios 
 
1. Determine a equação dimensional das grandezas físicas relacionadas abaixo e a 
correspondente unidade de medida no SI. 
a) Área 
b) Volume 
c) Velocidade 
d) Aceleração 
e) Vazão (em volume) 
f) Vazão (em massa) 
g) Força 
h) Massa específica 
i) Peso específico 
j) Pressão 
k) Energia 
l) Potência 
 
2. Se p é uma pressão, V uma velocidade e ρ a massa específica de um fluido, quais 
serão, no sistema MLT, as dimensões de: 
a) p/ρ 
b) p·V·ρ 
c) p/(ρ·V2) 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 11 
 
 
3. A equação usualmente utilizada para determinar a vazão em volume, Q, do 
escoamento líquido através de um orifício localizado na lateral de um tanque é 
hgAQ  20,61 
em que A é a área do orifício, g é a aceleração da gravidade e h é a altura da superfície 
livre do líquido em relação ao orifício. Verifique a homogeneidade desta equação. 
 
4. Uma joia feita com platina pura (ρ = 21,5 g/cm3) tem 50 g de massa. 
a) Determine o volume dessa joia. 
b) Se uma joia idêntica fosse feita de prata (ρ = 10,5 g/cm3), qual seria sua massa? 
 
5. Dois cilindros são aparentemente iguais, com 10 cm2 de área na base e 5,0 cm de 
altura. Entretanto, enquanto um deles é de ouro maciço (ρ = 19,3 g/cm3), o outro tem o 
interior vazio, tendo apenas as paredes de ouro, correspondendo a 10% de seu volume 
total. 
a) Compare percentualmente as massas dos dois cilindros. 
b) Calcule a densidade do segundo cilindro. 
 
6. a) Misturam-se 400 mL de um líquido A, de massa específica 1,50 g/cm3, com 300 mL 
de outro líquido B, de massa específica 0,80 g/cm3. Determine a densidade (média) da 
mistura assim obtida. 
b) Qual deve ser o volume de líquido B a ser misturado com 400 mL do líquido A, para 
que a mistura tenha densidade igual a 1,00 g/cm3? 
 
Aula 3 
 
Pressão 
 
Segure entre as mãos uma caneta esferográfica, das 
que têm a tampa mais afunilada, devidamente 
tampada, como mostra a figura ao lado. A seguir, 
aperte-a levemente entre as mãos. Não use muita 
força. Ao apertar a caneta, você perceberá que a 
extremidade mais afunilada deforma mais a palma da 
mão com a qual está em contato. 
A força que a caneta exerce em cada uma das palmas 
das mãos é a mesma. Entretanto, na extremidade 
afunilada essa força se distribui por uma superfície de 
área menor. Dizemos, então, que aí a pressão é maior 
que na outra extremidade. 
 
Podemos definir pressão (p) como a razão entre a intensidade de um diferencial de força 
dF que age perpendicularmente sobre uma superfície e um infinitésimo de área dA dessa 
superfície na qual a força se distribui: 
A
F
p
d
d
 
 
Sendo dada pela relação entre a intensidade de uma força, cuja unidade no SI é o newton 
(N), e a área de uma superfície, cuja unidade no SI é o metro quadrado (m2), a pressão 
tem como unidade o newton por metro quadrado (N/m2), unidade que recebe o nome de 
pascal (Pa), em homenagem ao matemático, físico e filósofo francês Blaise Pascal (1623-
1662). 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 12 
 
Portanto: Pa1
m
N
1
2
 . 
É importante ressaltar que a pressão sempre atua perpendicularmente às superfícies. 
 
Relação de Stevin 
 
Sabemos intuitivamente que a pressão no interior de um líquido aumenta com a 
profundidade. Isto pode ser imediatamente percebido por aqueles que praticam mergulho. 
A lei fundamental da fluidostática foi elaborada pelo matemático, físico e engenheiro 
flamengo Simon Stevin (1548-1620). Esta lei permite calcular a diferença de pressão 
entre dois pontos de um fluido em equilíbrio. 
Para demonstrar esta lei, consideremos um líquido, de densidade ρ, em equilíbrio em um 
recipiente e, no interior do líquido, um cilindro desse mesmo líquido com altura h e área 
da base A, como mostra a figura a seguir. Seja um ponto 1 na base superior e um ponto 2 
na base inferior. 
Devido à pressão exercida pelo líquido, as paredes 
do cilindro estarão submetidas a forças 
perpendiculares às superfícies. 
Na base superior do cilindro atua uma força Fsup = 
p1·A, verticalpara baixo, e em sua base inferior a 
força Finf = p2·A, vertical para cima. 
Observe que na superfície lateral do cilindro as 
forças de pressão se anulam, pois atuam 
diametralmente em sentidos opostos. 
O peso P do cilindro de líquido é dado por: 
ghAPgVPgmP   
Para o equilíbrio do cilindro devemos ter: 0 yF 
Então:  ghAApApPFF 12supinf hhgpp  12 
Esta relação que fornece a diferença de pressão entre dois pontos de um líquido em 
equilíbrio é conhecida como relação de Stevin. 
 
Observações 
 
 Pontos situados em um mesmo líquido e em um mesmo nível (mesma horizontal) 
estarão submetidos a uma mesma pressão. 
 
 A diferença de pressão entre dois pontos no interior do líquido depende apenas da 
natureza do líquido (de sua densidade ρ ou de seu peso específico  = ρ·g) e do desnível 
(h) entre os pontos. Essa diferença de pressão, devida apenas à coluna de líquido entre 
os pontos é denominada pressão hidrostática ou pressão relativa. 
 
 Para a pressão hidrostática p = ρ·g·h = ·h. A grandeza 

p
h  costuma ser chamada de 
carga de pressão. 
 
 Se tivéssemos considerado a base superior do cilindro coincidente com a superfície do 
líquido, então a pressão nesta base seria igual à pressão exercida pelo fluido em contato 
com ela. Se o fluido for o ar atmosférico, então esta pressão seria a pressão atmosférica, 
patm, e a pressão em um ponto à profundidade h seria: hgpp  atm . 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 13 
 
 
 A soma da pressão atmosférica e da pressão relativa, ou seja, a pressão total é 
denominada pressão absoluta: relativaatmabs ppp  . 
 
A experiência de Torricelli 
 
Quem, pela primeira vez, percebeu que o ar exercia pressão e propôs uma experiência 
para medir a pressão atmosférica foi o físico italiano Evangelista Torricelli (1608-1647). 
Torricelli encheu com mercúrio um tubo de vidro com cerca de 1 m de comprimento. 
Tampou com o dedo sua extremidade aberta e inverteu-o no interior de um recipiente 
contendo mercúrio. Verificou que, no local em que fez o experimento, a coluna de 
mercúrio desceu até se manter a 76 cm do nível de mercúrio no recipiente. Concluiu, daí, 
que a pressão exercida pelo ar, isto é, a pressão atmosférica no ponto A (pA), equivalia à 
pressão exercida no ponto B (pB) por uma coluna de mercúrio com 76 cm de altura. 
 
Podemos usar a relação de Stevin para calcular o valor numérico da pressão atmosférica. 
Como os pontos A e B estão em um mesmo líquido e numa mesma horizontal, então, 
estão submetidos à mesma pressão. Mas, a pressão em A é a pressão atmosférica e a 
pressão em B é a pressão hidrostática da coluna de mercúrio, pois a pressão do vapor de 
mercúrio a baixa pressão é desprezível. Então: ghppp atmBA  Hg 
Considerando ρHg = 13,6·10
3 kg/m3 e g = 9,8 m/s2, vem: 
Pa101,013259,80,761013,6 53  atmatm pp 
 
Unidades práticas de pressão 
 
Existem algumas unidades práticas de pressão, derivadas da pressão hidrostática phidr 
exercida por colunas de líquido. As mais importantes derivam da clássica experiência de 
Torricelli. Conforme foi visto, uma coluna de mercúrio com 76 cm de altura equilibra a 
pressão atmosférica patm ao nível do mar. Podemos dizer, então, que a pressão 
atmosférica ao nível do mar vale uma atmosfera (1 atm) ou 76 centímetros de mercúrio 
(76 cmHg) ou ainda 760 milímetros de mercúrio (760 mmHg). 
Essas unidades podem ser assim definidas: 
 atmosfera (atm): pressão que exerce na sua base uma coluna de mercúrio de 
76 cm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2. 
 centímetro de mercúrio (cmHg): pressão que exerce na sua base uma coluna de 
mercúrio de 1 cm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 14 
 
 milímetro de mercúrio (mmHg): pressão que exerce na sua base uma coluna de 
mercúrio de 1 mm de altura, a 0 °C e num local onde g = 9,8 m/s2. Essa unidade é 
denominada torricelli (Torr) e vale 133,322 Pa. 
Usa-se também uma unidade de pressão denominada bar (símbolo bar) tal que: 
1 bar = 0,1 MPa = 105 Pa 
No sistema britânico, a unidade de medida da pressão é o psi (pounds per square inch, ou 
libra-força/polegada2). Nesse sistema: 
1 atm ≈ 14,696 psi. 
Podemos ainda, de forma geral, medir pressões em quilograma-força por centímetro 
quadrado (kgf/cm2). Neste caso: 
1 atm = 1,033 kgf/cm² 
 
Força atuante em uma superfície plana submersa 
 
Nós sempre detectamos a presença de forças nas superfícies dos corpos que estão 
submersos nos fluidos. A determinação destas forças é importante no projeto de tanques 
para armazenamento de fluidos, navios, barragens e de outras estruturas hidráulicas. 
Também sabemos que o fluido, quando está em repouso, exerce uma fora perpendicular 
nas superfícies submersas, pois as tensões de cisalhamento não estão presentes, e que 
a pressão varia linearmente com a profundidade se o fluido se comportar como 
incompressível. 
Vamos apresentar agora o desenvolvimento de uma interpretação gráfica da força 
desenvolvida por um fluido numa superfície plana. 
Considere a distribuição de pressão ao longo da parede vertical de um tanque com 
largura b e que contém um líquido de peso específico . Podemos representar a 
distribuição de pressão do modo mostrado na figura a seguir porque a pressão varia 
linearmente com a profundidade. 
 
Note que a pressão relativa é nula na superfície livre do líquido, igual a ·h na superfície 
inferior do líquido e que a pressão média ocorre num plano com profundidade h/2. Assim, 
a força resultante que atua na área retangular A = b·h é: 
b
h
Fhb
h
FApF RRmédR 
22
2
 . 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 15 
 
A distribuição de pressão da figura anterior é 
adequada para toda a superfíce vertical e, então, 
podemos representar tridimensionalmente a 
distribuição de pressão do modo mostrado na figura 
ao lado. A base deste “volume” no espaço pressão-
área é a superfície plana que estamos analisando e 
a altura em cada ponto é dada pela pressão. Este 
“volume” é denominado prisma das pressões e é 
claro que o módulo da força resultante que atua na 
superfície vertical é igual ao volume deste prisma: 
 
b
h
Fb
hh
FF RRR 


2
pressõesdasprismadovolume""
2N


2
 
Observe que a linha de ação da força resultante precisa passar pelo centroide do prisma 
de pressões. O centroide do prisma mostrado acima está localizado no eixo vertical de 
simetria da superfície vertical e dista h/3 da base, pois o centroide de um triângulo está 
localizado a h/3 de sua base. 
O ponto de aplicação da força resultante é denominado centro de pressão (CP). 
A mesma abordagem gráfica pode ser 
utilizada nos casos onde a superfície plana 
está totalmente submersa, como mostrado 
na figura ao lado. 
Nestes casos, a seção transversal do prisma 
das pressões é um trapézio. Entretanto, o 
módulo da força resultante que atua sobre a 
superfície ainda é igual ao volume do prisma 
das pressões e sua linha de ação passa pelo 
centroide do volume. 
 
A figura ao lado mostra que o módulo da 
força resultante pode ser obtido 
decompondo o prisma das pressões em 
duas partes (ABDE e BCD). 
Deste modo: FR = F1 + F2 
E estas componentes podem ser 
determinadas facilmente. A localização da 
linha de ação de FR pode ser determinada a 
partir da soma de seus momentos em 
relação a algum eixo conveniente. 
Por exemplo, se considerarmos o eixo que 
passa pelo ponto A: FR· yA = F1 ·y1 + F2 · y2 
 
 
O prisma das pressões também pode ser 
desenvolvido para superfície planas 
inclinadas e, geralmente, a seção transversal 
do prisma será um trapézio, como mostrado 
na figura ao lado. Apesar de ser conveniente 
medir as distãncias ao longo da superfície 
inclinada, a pressão que atua na superfície é 
função da distância vertical entre o ponto 
que está sendo analisado e a superfície livre 
do líquido. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 16 
 
A teoria desenvolvida até este ponto é muito útil quandoa superfície plana submersa é 
retangular, pois o volume do prisma das pressões e a posição de seu centroide podem 
ser facilmente encontrados. Entretanto, quando o formato da superfície não é retangular, 
a determinação do volume e a localização do centroide podem ser realizadas por meio de 
integrações. 
 
Exercícios 
 
1. Para impedir que a pressão interna de 
uma panela de pressão ultrapasse certo 
valor, em sua tampa há um dispositivo 
formado por um pino acoplado a um tubo 
cilíndrico, como esquematizado na figura 
ao lado. 
 
 
Enquanto a força resultante sobre o pino for dirigida para baixo, a panela está 
perfeitamente vedada. Considere o diâmetro interno do tubo cilíndrico igual a 4 mm e a 
massa do pino igual a 48 g. Adotando g = 10 m/s2;  = 3 e 1 atm = 1·105 Pa, determine a 
pressão absoluta máxima no interior da panela, em atm, na situação em que apenas a 
força gravitacional, a pressão atmosférica e a exercida pelos gases na panela atuam no 
pino. 
 
2. O tubo em U da figura ao lado contém, no trecho 
destacado na ramificação da esquerda, uma coluna 
de óleo de 200 mm de altura e uma coluna de água 
de 120 mm. Determine a altura da coluna de água na 
ramificação direita do tubo. 
Dados: g = 9,8 m/s2; 
 ρágua = 1,0·10
3 kg/m3; 
 ρóleo = 8,0·10
2 kg/m3. 
 
 
3. A pressão em um reservatório de gás é 
medida por um tubo em U contendo mercúrio 
(Hg),manômetro de mercúrio. Considerando as 
medidas da figura ao lado e que a pressão 
atmosférica local é patm = 700 mmHg, determine 
a pressão do gás em: 
a) mmHg; 
b) Pa 
 
 
4. O tubo em U da figura ao lado contém água a uma 
distância de 12 cm de sua extremidade na parte superior. 
Colocando óleo na ramificação esquerda até seu limite 
máximo, determine a altura da coluna de óleo no final do 
preenchimento. 
Considere ρágua = 1,0·10
3 kg/m3 e ρóleo = 8,0·10
2 kg/m3. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 17 
 
5. Um tubo em U está parcialmente cheio de água. 
Outro líquido que não se mistura com a água é 
colocado em um dos ramos do tubo até que sua 
superfície livre esteja a uma distância d acima do nível 
livre da água, no outro ramo, que, por sua vez, elevou-
se de uma altura L em relação ao seu nível primitivo, 
conforme a figura. Determine a densidade relativa do 
líquido em relação à água. 
 
6. Um tanque fechado, esboçado na figura ao 
lado, contém ar comprimido e um óleo que 
apresenta densidade 0,9 g/cm3. O fluido 
manométrico utilizado no manômetro em U, 
conectado ao tanque, é mercúrio (densidade 
igual a 13,6 g/cm3). 
Se h1 = 914 mm; h2 = 152 mm e h3 = 229 mm, 
determine a leitura da pressão absoluta no 
manômetro localizado no topo do tanque. 
Adote: g = 9,81 m/s2. 
 
 
7. A figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado para medir a vazão em 
volume em tubos, Q, assunto que estudaremos adiante. O bocal convergente cria uma 
queda de pressão pA ‒ pB no escoamento que está relacionada com a vazão em volume 
através da equção Q = K·( pA ‒ pB)
1/2, em que K é uma constante que é função das 
dimensões do bocal e do tubo. A queda de pressão normalmente é medida com um 
manômetro em U do tipo ilustrado na figura. 
 
a) Determine uma equação para pA ‒ pB em função do peso específico do fluido que 
escoa 1, do peso específico do fluido manométrico, 2, e das várias alturas indicadas na 
figura. 
b) Determine a queda de pressão se 1 = 9,80 kN/m
3; 2 = 15,6 kN/m
3; h1 = 1,0 m e 
h2 = 0,5 m. 
Sugestão: Tente relacionar pA e pB com as pressões nos pontos destacados (1), (2), (3), 
(4) e (5). 
 
8. A face vertical de uma barragem retém água à altura D, 
como mostra a figura abaixo. Seja W a largura da 
barragem. 
a) Determine a força resultante exercida pela água na 
barragem e o momento desta força em relação a O. 
b) Qual é a linha de ação desta força? 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 18 
 
9. A figura ao lado mostra o esboço de um tanque pressurizado 
que contém óleo (densidade 0,9 g/cm3). A plca de inspeção 
instalada no tanque é quadrada e apresenta largura igual a 0,6 m. 
Qual é o módulo, e a localização da linha de ação, da força 
resultante que atua na placa quando a pressão relativa no topo do 
tanque é igual a 50 kPa? Admita que o tanque esteja exposto à 
pressão atmosférica e adote g = 9,81 m/s2. 
 
 
10. A figura ao lado mostra uma comporta rígida OAB, 
articulada em O, e que repousa sobre um suporte B. 
Qual é o módulo da mínima força horizontal P 
necessária para manter a comporta fechada? Admita 
que a largura da comporta é igual a 3 m e despreze 
tanto o peso da comporta quanto o atrito na articulação. 
Observe que a superfície externa da comporta está 
exposta à atmosfera. Considere: água = 10 kN/m
3. 
 
 
Aula 4 
 
O princípio de Pascal 
 
O princípio de Pascal é uma lei física elaborada pelo físico, matemático, filósofo 
moralista e teólogo francês Blaise Pascal (1623-1662). 
Em Física, Pascal estudou a mecânica dos fluidos, e esclareceu os conceitos de pressão 
e vácuo, ampliando o trabalho de Evangelista Torricelli, além de aperfeiçoar seu 
barômetro. Um dos seus tratados sobre hidrostática, Traité de l'équilibre des liqueurs, só 
foi publicado um ano após sua morte (1663). Pascal também esclareceu os princípios 
barométricos da prensa hidráulica e da transmissibilidade de pressões. 
De acordo com o princípio de Pascal 
 
 
O acréscimo de pressão produzido num líquido em equilíbrio transmite-se 
integralmente a todos os pontos do líquido e às paredes do recipiente que o 
contém. 
 
 
Este princípio é a base para o funcionamento do freio hidráulico, do macaco hidráulico e 
da prensa hidráulica. 
 
Prensa hidráulica 
 
O dispositivo denominado prensa hidráulica tem seu funcionamento explicado pelo 
princípio de Pascal. Ele consta de dois recipientes com diâmetros diferentes ligados por 
sua parte inferior, formando assim um sistema de vasos comunicantes. Dentro dele é 
colocado um líquido e sobre as superfícies de cada lado são colocados êmbolos ou 
pistões. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 19 
 
Sendo A1 a área do êmbolo menor e A2 a área 
do êmbolo maior, se aplicarmos uma força de 
intensidade F1 no primeiro êmbolo, o outro ficará 
sujeito a uma força de intensidade F2, como 
mostrado na figura ao lado. 
A variação de pressão Δp será a mesma nos 
dois lados, em vista do princípio de Pascal. 
Então: 
 
1
1
A
F
p  e 
2
2
A
F
p  
Igualando, vem: 
2
2
1
1
A
F
A
F
 
Dessa forma, na prensa hidráulica, a intensidade da força é diretamente proporcional à 
área do êmbolo. Por isso diz-se que a prensa hidráulica é um multiplicador de força, pois 
a intensidade da força transmitida ao segundo êmbolo será tantas vezes maior quantas 
vezes maior for a área deste. Essa propriedade é muito utilizada em postos de serviços 
automotivos, no elevador hidráulico, pois, exercendo-se uma força de pequena 
intensidade no êmbolo menor, consegue-se no outro êmbolo força de intensidade 
suficiente para levantar um automóvel. 
Observe, entretanto, que, ao deslocar o êmbolo menor para baixo, estaremos transferindo 
um determinado volume líquido para o cilindro maior e, consequentemente, o êmbolo 
maior terá que subir. 
Os deslocamentos dos dois êmbolos da prensa hidráulica serão iguais? 
Vejamos. Da igualdade dos volumes transferidos, temos: 
 221121 hAhAVV
1
2
2
1
A
A
h
h
 
Dessa relação, concluímos que os deslocamentos dos êmbolos são inversamente 
proporcionais às suas áreas, ou seja, o êmbolo de maior área sofre um deslocamento 
menor. Por exemplo, se o êmbolo maior tiver uma área 100 vezes maior que a do êmbolo 
menor, seu deslocamento será 100 vezes menor. 
Podemos, portanto, concluir que a prensa hidráulica, apesar de ser uma multiplicadora de 
força, não multiplica trabalho. 
 
Exercícios 
 
1. Uma aplicação sempre citada do “Princípio de Pascal” é o elevador hidráulico (figura 
abaixo). 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 20 
 
Considerando que o carro do desenho tenha1200 kg (correspondente a 1200 kgf) de 
massa e que a área sob o carro seja 15 vezes a área do êmbolo de acionamento do 
elevador, determine a força, em kgf, necessária para acionar o elevador. 
 
2. A figura abaixo mostra, de forma simplificada, o sistema de freios a disco de um 
automóvel. Ao se pressionar o pedal do freio, este empurra o êmbolo de um primeiro 
pistão que, por sua vez, através do óleo do circuito hidráulico, empurra um segundo 
pistão. O segundo pistão pressiona uma pastilha de freio contra um disco metálico preso 
à roda, fazendo com que ela diminua sua velocidade angular. 
 
Considerando o diâmetro d2 do segundo pistão duas vezes maior que o diâmetro d1 do 
primeiro, qual a razão entre a força aplicada ao pedal de freio pelo pé do motorista e a 
força aplicada à pastilha de freio? 
 
3. O esquema ilustra uma prensa hidráulica, operada manualmente, constituída de um 
sistema de vasos comunicantes 1 e 2, com êmbolos de áreas de seção transversal 
respectivas S1 e S2. O sistema é preenchido com um líquido homogêneo e viscoso. O 
êmbolo 2 é ligado a uma alavanca inter-resistente articulada em sua extremidade A. O 
operador aplica forças verticais F na extremidade B da alavanca para transmitir forças F1 
através do êmbolo 1. 
 
Determine a intensidade da força F, em função de F1, S1, S2, AB e AC, que permite obter 
vantagem mecânica. 
 
4. Um pistão de pequena área a da seção transversal é usado em prensa hidráulica, para 
exercer uma força f no líquido contido na prensa. Um tubo faz a ligação deste líquido com 
outro pistão, de área A maior, como mostra a figura. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 21 
 
a) Que força F suportará o pistão de maior diâmetro? 
b) Se o pistão menor tem diâmetro de 4,0 cm e o maior de 50 cm, qual é a massa deve 
ser colocada sobre o menor para suportar 2,0 toneladas colocadas sobre o pistão maior? 
 
5. A figura representa uma prensa hidráulica rudimentar 
de uma pequena empresa rural, usada para compactar 
fardos de algodão. 
Por meio de uma alavanca, o operador exerce uma força 
de intensidade igual a 100 N no êmbolo menor da 
máquina, cuja área é de 400 cm2. Cada fardo é prensado 
por meio de um êmbolo de área seis vezes maior. 
a) Qual é a intensidade da força exercida sobre um fardo 
na sua prensagem? 
b) Qual é a variação de pressão que se transmite pelo 
fluido do dispositivo em cada operação? 
 
 
Aula 5 
 
Introdução 
 
Você já deve ter reparado que, quando está flutuando na água de uma piscina, você se 
sente mais leve. Ou você pode ter se perguntado como um grande navio de aço, com 
algumas dezenas de toneladas, pode flutuar na água enquanto uma moedinha, quando 
colocada na água, simplesmente afunda. 
Qualquer pessoa que já tenha erguido uma grande pedra submersa para fora d’água deve 
ter percebido que essa é uma tarefa relativamente fácil enquanto a rocha estiver abaixo 
da superfície. Entretanto, quando erguida acima da superfície, a força requerida para 
erguê-la aumenta consideravelmente. O que provoca essa aparente mudança no peso da 
pedra? 
A resposta para essas perguntas está relacionada à pressão que os fluidos exercem nos 
corpos neles imersos. 
 
Empuxo – Teorema de Arquimedes 
 
Conta a história que, no século III a.C., Heron, rei da antiga cidade grega de Siracusa, 
mandou uma certa quantidade de ouro a um ourives da Corte para que lhe fizesse uma 
coroa. Ao receber a coroa já pronta, o rei Heron desconfiou que o ourives substituíra parte 
do ouro por prata. Pediu então a Arquimedes (298 a.C. -212 a.C.), um dos maiores 
matemáticos de todos os tempos, para verificar se tal fato tinha realmente acontecido. 
Arquimedes resolveu o problema durante um banho quando, submerso na água, sentiu-se 
mais leve. Teria saído nu pelas ruas de Siracusa gritando “Eureka, eureka!” (“Encontrei, 
encontrei!”). 
Arquimedes havia encontrado a sua lei de flutuação dos corpos: 
“Quando um corpo é mergulhado em água ele perde, em peso, uma quantidade que 
corresponde ao peso do volume de água que foi deslocado pela imersão do corpo.” 
Isso se deve a uma resultante das forças de pressão que o líquido aplica no corpo. Esse 
mesmo tipo de força é a responsável pela flutuação de um grande navio de aço ou pela 
ascensão de um balão de ar quente. 
O teorema de Arquimedes, como enunciado hoje, estabelece que: 
 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 22 
 
Um corpo, total ou parcialmente, imerso em um fluido em equilíbrio recebe desse 
fluido uma força, vertical, de baixo para cima e com intensidade igual ao peso do 
fluido deslocado pela imersão do corpo, chamada EMPUXO. 
 
 
Vamos agora determinar como podemos calcular a intensidade da força empuxo. 
Para isso, consideremos um recipiente qualquer completamente 
preenchido por um líquido em equilíbrio. No interior desse 
líquido consideremos, ainda, uma porção do mesmo fluido, de 
formato cilíndrico e com eixo vertical, como mostrado na figura 
ao lado. Logicamente esse último corpo cilíndrico, dentro do 
líquido, também estará em equilíbrio. 
 
As forças devido à pressão exercida pelo restante do líquido e 
que agem horizontalmente sobre a porção cilíndrica que 
estamos considerando se equilibram, duas a duas, como 
podemos observar na figura ao lado. Na direção vertical, três 
forças atuam sobre o cilindro: 1F

 na base inferior e 2F

 na base 
superior, devidas à pressão do líquido, além, é claro, do peso 
fluidoP

 do corpo cilíndrico. 
Pfluido
F1
F2
 
Como tal corpo se encontra em equilíbrio, devemos ter: F1 = F2 + Pfluido 
A diferença entre as forças hidrostáticas (F1 – F2) é a força empuxo, que representaremos 
por E. 
Assim: gmEPEPFF  fluidofluidofluido21 
Mas, m = ρ · V 
Então, finalmente, obtemos: 
gVE  deslocado fluidofluido 
 
É claro que se substituirmos o corpo cilíndrico de fluido por outro corpo sólido de mesmo 
formato e dimensões, o restante do fluido continuará a atuar sobre o corpo sólido com as 
mesmas forças hidrostáticas 1F

 e 2F

, cuja resultante é o empuxo E

. 
Nesse novo corpo atuam, então, o empuxo, E

, e o peso próprio do corpo, P

. Observe 
que o empuxo que atua em um corpo depende apenas da densidade do fluido e do 
volume de fluido que o corpo desloca. O empuxo não depende da massa do corpo e nem 
da profundidade em que o corpo é colocado no interior do fluido. 
Para comparar a intensidade do empuxo com a do peso do corpo, podemos expressar 
esse peso em função da densidade e do volume do corpo: P = ρcorpo · Vcorpo · g. 
Para um corpo totalmente imerso em fluido devemos ter: Vcorpo = Vfluido deslocado. 
Então, se: 
  EPfluidocorpo  a força resultante sobre o corpo é dirigida para baixo 
e, por esse motivo, o corpo afundará. Tal força resultante R é, geralmente, denominada 
peso aparente e dada por R = P – E. 
  EPfluidocorpo  a força resultante sobre o corpo é nula e o corpo 
permanecerá em equilíbrio em qualquer posição quando abandonado no interior do fluido. 
  EPfluidocorpo  a força resultante R, denominada força ascensional 
e dada por R = E – P, é dirigida para cima e, devido a essa força ascensional o corpo 
subirá até atingir o equilíbrio, quando passará a flutuar, parcialmente imerso, na superfície 
do fluido. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 23 
 
 
 
 
 
 
 
Peso aparente 
 
Considere um corpo cujo peso seja medido com um 
dinamômetro e obtém-se o valor P. 
Se este corpo for, agora, imerso em um líquido, a 
nova leitura de seu peso será menor que P, pois o 
corpo está sujeito agora a um empuxo E. 
Define-se peso aparente (Pap), para um corpo to-
talmente mergulhado em um fluido, como a di-
ferença entre as intensidades do peso do corpo e 
do empuxo recebido. 
 
Então: 
EPPap  
Dessa forma, a leitura do dinamômetro, para o corpo totalmente submerso, corresponderá 
ao peso aparente do corpo: 
 
Exercícios 
 
1. Um balão cheio de hidrogênio, de peso igual a 600 N, está preso por um fio vertical e 
encontra-se em equilíbrio estático.Seu volume é igual a 80,0 m3. 
Adote g =10 m/s2, ρar = 1,25 kg/m
3 e determine: 
a) o empuxo sofrido pelo balão; 
b) a intensidade da força tensora no fio que prende o balão. 
 
2. Um cilindro rola e cai dentro de uma pequena piscina, onde permanece flutuando, com 
30% de seu volume fora d'água. Se o volume d'água, na piscina, aumentou 2 m3, qual a 
massa do cilindro, em toneladas? Dados: massa específica da água = 1 g/cm3, 
aceleração da gravidade = 10 m/s2. 
 
3. Um navio de carga tem uma seção reta longitudinal de área igual a 3000 m2 na linha 
d'água quando o calado é de 9 m. Supondo o peso específico da água igual a 10 kN/m3, 
qual a massa de carga que pode ser colocada no navio antes que o calado atinja o valor 
de 9,2 m? 
Observação: Calado de um navio é a distância vertical entre a superfície da água e a 
parte inferior do casco. 
 
4. Um corpo homogêneo de massa m e volume 
75 cm3 flutua no óleo com 1/5 de seu volume 
submerso (figura A). Um bloco de chumbo é 
colocado sobre o corpo, de modo que este 
fique com a metade de seu volume submerso 
(figura B). Considere a massa específica do 
óleo igual a 0,80 g/cm3 e a aceleração da 
gravidade 10 m/s2. Calcule o valor da massa do 
bloco de chumbo. 
figura A figura B 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 24 
 
 
5. Um cubo de aresta a, feito de material homogêneo, 
possui uma cavidade prismática, de base quadrada de 
lado b e altura c. Quando a cavidade está totalmente 
preenchida com um determinado líquido, o cubo flutua em 
equilíbrio num recipiente que contém esse mesmo líquido, 
de tal maneira que a face superior do cubo fica ao nível da 
superfície livre do líquido do recipiente. Retirando-se o 
líquido da cavidade o cubo aflora, flutuando com sua face 
superior a uma altura x dessa superfície. Determine x. 
a
a
b
c
x
 
 
6. Duas esferas A e B ligadas por um fio inextensível de massa e 
volume desprezíveis encontram-se em equilíbrio, imersas na água 
contida num recipiente conforme ilustra a figura. A esfera A possui 
volume de 20 cm3 e densidade igual a 5,0 g/cm3. 
A esfera B possui massa de 120 g e densidade igual a 0,60 g/cm3. 
Sendo de 1,0 g/cm3 a densidade da água, determine: 
a) o empuxo sobre a esfera B; 
b) a tração no fio que liga as esferas. 
A
B
Água
 
 
7. Deseja-se que um corpo formado de madeira e aço fique flutuando em equilíbrio 
quando totalmente imerso em água. Sabendo-se que as massas específicas da madeira, 
água e aço são, respectivamente, 0,25 g/cm3, 1 g/cm3 e 8 g/cm3, calcule a relação entre o 
volume de madeira V1 e o volume de aço V2 do corpo, de modo que ocorra o equilíbrio. 
 
8. Um conjunto formado por dois cilindros impermeáveis, de mesma seção reta, colados 
base a base, é colocado na água, ficando 2 cm de sua altura fora da água. O cilindro que 
serve de lastro tem 1 cm de altura e foi construído com um material de massa específica 
igual a 8,6 g/cm3. O outro cilindro é de madeira maciça de massa específica igual a 
0,8 g/cm3. Com base nesses dados, e considerando que a massa específica da água é 
1 g/cm3 e a aceleração da gravidade 10 m/s2, calcule a altura do cilindro de madeira. 
 
Aula 6 
 
Introdução 
Até este ponto do nosso curso de Fenômenos de Transporte temos estudado apenas o 
equilíbrio estático dos fluidos, denominado fluidostática ou hidrostática. 
Na hidrostática são discutidos, principalmente, os conceitos de pressão em um ponto no 
interior de um líquido em equilíbrio e o empuxo exercido em um corpo imerso em um 
fluido em repouso. 
Iremos agora fazer um estudo mais complexo, os fluidos em movimento. Nesse ramo da 
Física, denominado hidrodinâmica, muitos aspectos dos movimentos dos fluidos ainda 
estão sendo objeto de estudo. Entretanto, supondo algumas simplificações, podemos ter 
um bom entendimento sobre o assunto. 
 
Tipos de escoamento 
 
Para começar, vamos fazer uma rápida classificação dos diferentes tipos de escoamento 
de um fluido. 
Dizemos que um fluido escoa em regime estacionário (ou em regime permanente) 
quando a velocidade das partículas de fluido que passam em um ponto qualquer não 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 25 
 
varia com o passar do tempo. Assim, no regime permanente, em qualquer ponto, a 
velocidade, a pressão e a densidade do fluido permanecem constantes. 
O esquema a seguir ilustra uma situação prática de escoamento em regime permanente. 
Nesse esquema, o nível da água permanece constante, no reservatório, apesar da saída 
de água pelas tubulações 1 e 2. 
 
Por outro lado, se a velocidade das partículas, em um dado ponto do escoamento, variar 
com o passar do tempo, teremos um escoamento em regime variado (ou em regime 
transitório). 
Mais uma vez, o esquema a seguir ilustra uma situação prática de escoamento em regime 
transitório. Observe que, neste exemplo, o nível de água no reservatório varia com o 
passar do tempo. 
 
Outra classificação a respeito do escoamento pode ser feita se observarmos, por 
exemplo, água, na qual estão dispersas partículas coloridas, fluindo através de um tubo 
de vidro. 
Podemos perceber que, de modo bastante frequente, o fluido não se move em linhas 
paralelas às paredes do tubo, mas de uma maneira bastante irregular. Além do 
movimento ao longo do eixo do tubo, podemos observar que ocorrem movimentos na 
direção perpendicular ao eixo do tubo. Nesse caso, o fluxo é denominado fluxo 
turbulento. 
Entretanto, quando a velocidade de escoamento do fluido diminui abaixo de certo valor, 
que depende de uma série de fatores, as partículas do fluido passam a se movimentar em 
trajetórias paralelas às paredes do tubo. Nesse caso, o fluxo de fluido é suave e passa a 
ser denominado fluxo laminar. 
Em 1883, o físico irlandês Osborne Reynolds (1842-1912) identificou experimentalmente 
estes dois tipos de escoamento levando em consideração o efeito da viscosidade do 
fluido. Reynolds utilizou a montagem mostrada a seguir. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 26 
 
 
Para identificar o tipo de escoamento, Reynolds estabeleceu uma grandeza adimensional, 
atualmente conhecida como número de Reynolds, dada por: 
 

dV
Re

 ou 

 dV
Re

 
Nessa relação, Re é o número de Reynolds (adimensional), V é a velocidade do fluido 
(m/s),  é a viscosidade cinemática do fluido (m2/s), ρ é a massa específica (kg/m3), μ é a 
viscosidade dinâmica (Pa·s) e d é o diâmetro do tubo (m). 
Lembre-se que a viscosidade cinemática  está relacionada à viscosidade dinâmica μ e à 
massa específica ρ: 


  
O parâmetro com dimensão de comprimento no número de Reynolds depende da 
geometria do sistema. 
Teremos, então, de acordo com o número de Reynolds: 
 
Re ≤ 2000 
(Escoamento laminar) 
 
 
2000 < Re < 2400 
(Escoamento de transição) 
 
Re ≥ 2400 
(Escoamento turbulento) 
 
 
 
O número de Reynolds pode ser interpretado como uma relação entre as forças de inércia 
e as forças viscosas existentes no escoamento. Num escoamento laminar, que ocorre 
para números de Reynolds baixos, tem-se que a turbulência é amortecida pelos efeitos 
viscosos. 
 
Linhas de corrente 
 
Na hidrodinâmica, visando facilitar a visualização do fluxo de um fluido, é útil o conceito 
de linha de corrente. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 27 
 
Qualquer que seja o tipo de fluxo, a velocidade de uma partícula do fluido é uma 
quantidade vetorial, ou seja, apresenta módulo, direção e sentido. Assim, quando a 
partícula muda de posição, ela segue uma trajetória particular cujo formato é definido pela 
velocidade da partícula. A localização da partícula o longo da trajetória depende da 
posição ocupada pela partícula no instante inicial e de sua velocidade ao longo da 
trajetória. 
Se o escoamento é em regime permanente, isto é, se nada mudar ao longo do tempo 
em todo o escoamento, então, todas as partículas que passam num dado ponto P 
seguirão uma mesma trajetória. Para estes casos, a trajetória é uma linha fixa. As 
partículas vizinhas, que passam nas vizinhanças imediatas do ponto P, seguem outrastrajetórias que podem apresentar formatos diferentes daquele relativo às partículas que 
passam por P. 
A trajetória seguida pelas partículas do fluido recebe o nome de linha de corrente. 
Portanto, a linha de corrente é, por definição, a curva cuja direção em cada ponto é 
tangente ao vetor velocidade do fluido. Dessa maneira, a partir das linhas de corrente 
podemos visualizar o comportamento do fluido durante seu movimento. 
A figura abaixo mostra as linhas de corrente de um fluxo de fluido (por exemplo, ar) ao 
redor de um corpo (por exemplo, um aerofólio). Observe o comportamento das linhas de 
corrente no fluxo laminar e compare com o fluxo turbulento. 
 
 
 
É importante destacar que duas linhas de corrente nunca podem se cruzar, pois elas são 
linhas tangentes ao vetor velocidade das partículas em cada ponto do escoamento. 
A visualização das linhas de corrente em um escoamento geralmente é obtida com o 
auxílio de um fluido colorido, como mostrado na foto abaixo. 
 
 
 
Exercícios 
 
1. Conceitue escoamento laminar e escoamento turbulento. 
 
2. Descreva a experiência de Reynolds. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 28 
 
 
3. Conceitue linha de corrente. 
 
4. A viscosidade da água a 20 °C é, aproximadamente,  = 1,01·10‒6 m2/s. Em um 
experimento, água deverá fluir através de uma tubulação de diâmetro 1 polegada 
(2,54 cm) em regime laminar. Determine a máxima velocidade do fluxo de água para que 
este tipo de regime de escoamento seja estabelecido. 
 
5. Um fluido, que apresenta viscosidade dinâmica igual a 0,38 N·s/m2 e densidade relativa 
0,91, escoa num tubo de 25 mm de diâmetro interno. Sabendo que a velocidade média do 
escoamento é de 2,6 m/s, determine o valor do número de Reynolds e classifique o 
escoamento. 
 
6. O reservatório da figura seguinte é abastecido com 
água por uma tubulação com diâmetro de 25 mm. A 
velocidade do fluxo é de 0,3 m/s.. A viscosidade 
cinemática da água a 20 °C é 1,0·10‒6 m2/s. Determine o 
tipo de escoamento. 
 
 
7. Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm 
de diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do 
fluído é 2·10‒3 Pa·s e a massa específica é de 800 kg/m3. 
 
Aula 7 / Aula 8 
 
Vazão 
 
Em um escoamento, denomina-se vazão à grandeza que indica a quantidade de fluido 
que passa por uma seção de um conduto, livre ou forçado, na unidade de tempo. 
Assim, se considerarmos o volume de fluido, teremos a vazão volumétrica, Q, dada por: 
 
t
V
Q


 
 
No SI, ΔV é medido em m3, Δt medido em s e Q medido em m3/s. 
Consideremos, então, um fluido escoando, com velocidade constante v, por uma 
tubulação de seção transversal constante, com área A, como esquematizado a seguir. 
 
Observe que o volume de fluido que passa por uma dada seção, em um determinado 
intervalo de tempo é constante. 
Como V = A·Δx, teremos, então: 
t
xA
Q
t
V
Q





 . 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 29 
 
Mas, a relação 
t
x


 é a velocidade v do escoamento. Portanto: vAQ  
 
A vazão também pode ser medida em termos de massa de fluido que passa pela seção. 
Nesse caso, a vazão correspondente passa a ser chamada de fluxo de massa, 

m , dada 
por: 
 
t
m
m




 
 
No SI, o fluxo de massa é medido em kg/s. 
 
A equação da continuidade 
 
A equação da continuidade é a equação que mostra a conservação da massa de líquido 
no conduto, ao longo de todo o escoamento. 
Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as 
seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de massa: m1 = m2 = m = cte. 
 
Consideremos um fluido em um fluxo laminar estacionário no interior de um tubo de 
diâmetro variável como o mostrado na figura a seguir. 
 
 
 
Vamos calcular o fluxo de massa do fluido através da secção transversal de área A1. 
Observe que o volume de fluido que passa através dessa secção transversal, no intervalo 
de tempo Δt é dado por A1·Δx1, em que Δx1 é a distância percorrida pelo fluido no 
intervalo de tempo Δt. 
Então, sendo ρ1 a densidade do fluido nessa região do tubo temos: 
111
11111 vAρ
Δt
ΔxAρ
Δt
ΔVρ
Δt
Δm




 
De maneira análoga, na região do tubo onde a secção transversal tem área A2, teremos: 
222
22222 vAρ
Δt
ΔxAρ
Δt
ΔVρ
Δt
Δm




 
Observe que a massa de fluido que passa por uma dada secção transversal do tubo, em 
um dado intervalo de tempo, é a mesma, qualquer que seja a posição do tubo em que a 
secção é considerada. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 30 
 
Portanto, como o fluxo de massa é constante ao longo do tubo devemos ter: 
 
222111 vAvA   (Equação da continuidade) 
 
Se o fluido é incompressível, o que é uma excelente aproximação no caso dos líquidos na 
maioria das situações (e algumas vezes até mesmo para os gases), então ρ1 = ρ2 e a 
equação da continuidade torna-se mais simples: 
 
2211 vAvA  (quando ρ1 = ρ2) 
 
A partir dessa relação simplificada, podemos concluir que se o diâmetro do tubo diminuir, 
então a velocidade de escoamento do fluido no interior do tubo deverá aumentar e vice-
versa. 
Isso faz sentido e pode ser observado no escoamento das águas de um rio. Nas regiões 
em que o rio é largo, a correnteza é mansa e a água flui calmamente. Entretanto, quando 
o rio se estreita e as margens estão mais próximas, a correnteza atinge velocidades bem 
maiores e a água flui de maneira turbulenta. 
Portanto, a equação da continuidade impõe que a vazão em volume através da tubulação 
é constante em qualquer secção transversal que se considere. 
 
Exercícios 
 
1. O raio da aorta é cerca de 1,0 cm e o sangue flui através dela com velocidade de 
30,0 cm/s. Calcule a velocidade média do sangue nos capilares dado que, cada capilar 
tem um diâmetro interno de cerca de 8·10-4 cm, e que existem literalmente bilhões deles, 
de modo que a área de secção transversal total dos capilares é de cerca de 2.000 cm2. 
 
2. Um líquido incompressível escoa através de uma mangueira cilíndrica de raio r e enche 
um recipiente de volume V em um intervalo de tempo Δt. A velocidade média de 
escoamento do líquido é: 
a) 
tr
V

 c) 
tr
V
 2
 e) 
t
rV

 2
 
 
b) 
tr
V
2
 d) trV  2 
 
3. Uma mangueira, com diâmetro interno de 8,0 cm, é usada para encher uma piscina 
circular com diâmetro de 2,4 m. A água flui através da mangueira com uma velocidade 
média de 0,5 m/s. Por quanto tempo essa mangueira deverá ser usada até a água na 
piscina atingir a profundidade de 0,6 m? 
 
4. Uma mangueira com diâmetro de 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros. 
a) Se leva 1 minuto para encher o balde. Qual é a velocidade com que a água passa pela 
mangueira? 
b) Um brincalhão aperta a saída da mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5 mm, e 
acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira? 
 
5. Considere duas regiões distintas do leito de um rio: uma larga A, com 200,0 m2 de área 
na secção transversal, onde a velocidade média da água é de 1,0 m/s; outra estreita B, 
com 40,0 m2 de área na secção transversal. Calcule: 
a) a vazão volumétrica do rio, em m3/s; 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 31 
 
b) a velocidade média da água do rio, em m/s, na região estreita B. 
 
6. Uma mangueira de jardim tem diâmetro interno de 1,8 cm e está ligada a um irrigador 
que consiste apenas de um recipiente com 24 orifícios, cada um com diâmetro de 
0,12 cm. Se a velocidade da água na mangueira é de 0,90 m/s, qual sua velocidade ao 
sair dos orifícios? 
 
7. A figura abaixo mostra dois riachos, A e B, que se unem para formar um rio. O riacho A 
tem largura de 2,0 m, profundidade 0,50 m e a água flui com velocidade de 4,0 m/s. O 
riacho B tem largura 3,0 m, profundidade 1,0 m e, nesse riacho, a água flui a 2,0 m/s. 
 
Determine a profundidade do rio, sabendo-se que sua largura é de 5,0 m e que a 
velocidade de suas águas é de 2,5 m/s. 
 
8. Qual deveráser a área de secção transversal de uma tubulação, em que ar se move a 
3,0 m/s, de modo a permitir a renovação do ar, a cada 15 minutos, em um quarto com 
300 m3 de volume? Admita que a densidade do ar permaneça constante. 
 
9. Um duto circular, com raio de 15 cm, é usado para renovar o ar em uma sala, com 
dimensões 10 m × 5,0 m × 4,5 m, a cada 10 minutos. Qual deverá ser a velocidade média 
do fluxo de ar através do duto para que a renovação de ar ocorra conforme desejado? 
 
Aula 9 
 
Introdução 
 
Você já deve ter se perguntado como um grande avião, com muitas toneladas, pode 
permanecer no ar apesar de todo o seu peso? Ou como funciona um aerofólio de um 
carro de Fórmula 1? 
A resposta a essas perguntas está em um teorema estabelecido, em 1738, por Daniel 
Bernoulli (1700-1782), matemático e físico suíço e publicado em sua obra 
Hydrodynamica. 
O teorema de Bernoulli, em essência, estabelece que a energia, em um fluxo 
estacionário, é constante ao longo do caminho descrito pelo fluido. Este teorema não é, 
portanto, um princípio novo, mas uma relação obtida a partir das leis básicas da Mecânica 
Clássica. 
O teorema de Bernoulli pode ser deduzido a partir do teorema da energia cinética: "O 
trabalho da resultante das forças agentes em um corpo entre dois instantes é igual à 
variação da energia cinética experimentada pelo corpo naquele intervalo de tempo." 
A figura a seguir mostra um fluido escoando no interior de uma tubulação que se eleva 
gradualmente desde uma altura h1 até uma altura h2, medidas em relação a um plano 
horizontal de referência. Na região mais baixa, o tubo tem área de secção transversal A1, 
e na mais alta, área A2. A pressão do fluido na região inferior do tubo é p1 e na superior, 
p2. 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 32 
 
 
 
Consideremos, então, o deslocamento da porção sombreada de fluido desde a região 
mais baixa do tubo até a região mais alta. Nesse deslocamento, a porção de fluido 
assinalada com hachuras tracejadas permanece invariável. 
O trabalho realizado pela força resultante sobre a porção sombreada de fluido é calculado 
considerando-se que: 
 o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p1·S1 é p1·S1·Δx1; 
 o trabalho realizado sobre a porção de fluido pela força de pressão p2·S2 é – p2·S2·Δx2 
(negativo, pois a força de pressão tem sentido oposto ao do deslocamento da porção 
fluida); 
 o trabalho realizado pela força peso para elevar o fluido desde a altura h1 até a altura 
h2 é igual a – m·g·(h2 – h1) (negativo pois o deslocamento ocorre em sentido contrário ao 
da força peso). 
O trabalho resultante realizado sobre o sistema é dado pela soma dos três termos 
considerados. Assim, temos: 
 
)(tan 12222111 hhgmxApxApteresul  
 
Mas, observe que A1·Δx1 (= A2·Δx2) corresponde ao volume da porção de fluido 
considerado e pode ser expresso como a relação entre a massa de fluido e a sua 
densidade 






m
, em que ρ, a densidade do fluido, é suposta constante. 
Observe também que estamos considerando que o fluido seja incompressível, pois 
admitimos que A1·Δx1 = A2·Δx2 . 
Assim, o trabalho da força resultante sobre o sistema pode ser escrito como: 
  )(resultante 1221 hhgm
m
pp 

 
A variação da energia cinética do sistema é dada por: 
22
2
1
2
2 vmvmEc



 
 O teorema da energia cinética estabelece que o trabalho resultante realizado sobre o 
sistema deve ser igual à variação de sua energia cinética. Temos, então: 
 
22
2
1
2
2
1221
vmvm
hhgm
m
pp



 )(

 
Multiplicando-se todos os termos da expressão por 
m

 e rearranjando-se as parcelas 
teremos, finalmente: 
 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 33 
 
2
2
2
21
2
1
1 hg
v
phg
v
p 



 



22
 (Teorema de Bernoulli) 
 
Como os índices 1 e 2 referem-se a duas posições quaisquer do fluido no tubo podemos 
suprimi-los e escrever, para qualquer ponto do fluido, que: 
 
constante
2


 hg
v
p 
 2
 
 
Essa relação nos mostra –principalmente– que, em uma canalização horizontal, um 
estrangulamento implica –pela equação da continuidade– em um aumento na velocidade 
do fluxo e, consequentemente, em uma diminuição de pressão. 
Nessa relação, a soma hgp   é denominada pressão estática, já estudada 
anteriormente, enquanto o termo 
2
2v
 é a pressão dinâmica, exercida pelo fluido em 
movimento. 
É importante ressaltar que a correta utilização da equação de Bernoulli está baseada nas 
hipóteses usadas em sua obtenção: 
 o fluido é incompressível; 
 o escoamento ocorre em regime uniforme e permanente; 
 o escoamento é invíscido, isto é, fluido sem viscosidade; 
 não há trocas de calor, ou seja, o escoamento é adiabático; 
 não existem máquinas –bombas ou turbinas- no trecho considerado. 
 aplicável a pontos em uma mesma linha de corrente. 
 
Observação: 
Se dividirmos a última equação de Bernoulli, obtida acima, pelo peso específico,  = ρ·g, 
do fluido, chegamos a: 
Hh
vp



g2
2

 
 
Nessa relação, a constante H, denominada carga total, é, como veremos adiante, a 
energia total por unidade de peso do fluido. 
 
Exercícios 
 
1. Água quente circula pela tubulação de um sistema de aquecimento em uma casa. Se a 
água é bombeada, no térreo, com velocidade de 0,50 m/s através de um cano com 4,0 cm 
de diâmetro sob pressão de 3,0 atm, determine a velocidade de escoamento e a pressão 
da água em um cano com 2,6 cm de diâmetro, localizado no andar superior, 5 m acima do 
térreo. 
Considere: g = 10 m/s2, ρ = 1,0.103 kg/m3 e 1 atm = 1,0·105 N/m2. 
 
2. Determinar a velocidade média e a pressão na seção (2) de uma tubulação circular e 
horizontal, pela qual escoa um fluido incompressível e ideal em regime permanente. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 34 
 
 
Dados: 
D1 = 15 cm; D2 = 10 cm; p1 = 50.000 N/m
2; V1 = 3 m/s; fluido=10.000 N/m
3 ; g = 10 m/s2. 
 
3. Um tanque contém água até a altura H; faz-
se um orifício na sua parede lateral, à 
profundidade h abaixo da superfície da água. 
Determine: 
a) a velocidade v com que a água emerge 
pelo orifício; 
b) o alcance horizontal x do jato d'água ao 
atingir o piso. 
 
 
4. Água, cuja densidade é 103 kg/m3, escoa através de um tubo horizontal, com 
velocidade de 2 m/s, sob pressão de 2·105 N/m2. Em certo ponto, o tubo apresenta um 
estreitamento pelo qual a água flui à velocidade de 8 m/s. A pressão, nesse ponto, em 
N/m2, é: 
a) 0,5·105 c) 1,7·105 e) 8,0·105 
b) 1,0·105 d) 4,2·105 
 
5. Um galpão é coberto por um telhado com área de 400 m2. Um vento forte sopra a 
72 km/h sobre esse telhado. O ar dentro do galpão está em repouso e sob pressão de 
1 atm. Considere que a densidade do ar seja ρ = 1,29 kg/m3 e adote 
1 atm = 1,0·105 N/m2. Determine: 
a) a diferença de pressão do ar que circunda o telhado; 
b) a força resultante que atua sobre ele. 
 
6. Um tanque, com área de secção transversal S = 0,07 m2, 
contém água (ρ = 103 kg/m3). Um êmbolo, com massa total 
m = 10 kg, repousa sobre a superfície da água. Um orifício 
circular, com diâmetro 1,5 cm é aberto na parede lateral do 
reservatório a uma profundidade de 60 cm abaixo da 
superfície da água. Qual é a vazão inicial de água, em 
litros/s, através do orifício? Adote: g = 10 m/s2. 
 
 
7. A figura abaixo representa um grande reservatório de água de uma represa, com uma 
canalização nele acoplada, cujas áreas das secções são 900 cm2 em 1 e 600 cm2 em 2. 
 
Admita que a água possa ser considerada um fluido ideal e que escoe em regime 
permanente. Sabendo-se que a aceleração da gravidade vale 10 m/s2 e que a pressão 
atmosférica é igual a 105 N/m2, pede-se: 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 35 
 
a) a velocidade, em m/s, com que a água flui no ponto 2; 
b) a vazão, em m3/s, da água; 
c) a pressão, em N/m2, no ponto 1. 
 
Aula 10 
 
Aplicações do Teorema de Bernoulli 
 
O teorema de Bernoulli pode ser aplicado a um grande número de situações práticas. A 
seguir,analisaremos as principais aplicações desse teorema em situações do nosso dia-
a-dia e também em situações mais técnicas. 
 
 O Tubo de Venturi 
 
O Tubo de Venturi é um medidor de vazão formado por 3 partes importantes: o cone de 
entrada, a garganta e o cone de saída. 
Ele deve ser inserido em uma canalização de 
secção transversal A para se medir a velocidade 
de escoamento v1 de um fluido incompressível, 
de massa específica ρ, através dela. Um 
manômetro tem uma de suas extremidades 
inserida num estrangulamento, com área de 
secção transversal a, e a outra extremidade na 
canalização de área A. Seja ρm a densidade do 
líquido manométrico (mercúrio, por exemplo). 
 
Por simplificação, vamos considerar que a tubulação é horizontal. 
Pelo teorema de Bernoulli, devemos ter: 
22
2
2
2
2
1
1
v
p
v
p





 (I) 
Mas, pela equação da continuidade: 
a
A
vvvavA  1221 (II) 
Então, substituindo (II) em (I) teremos: 
  




 
















2
222
1
21
22
1
21
2
1
2
221 1
a
aAv
pp
a
Av
ppvvpp
222

 (III) 
A relação de Stevin, da hidrostática, permite obter: 
    hgpphghHgpHgp mm   2121 (IV) 
 
Finalmente, substituindo (III) em (IV), chegamos a: 
 
 
 221 aA
hg
av m




2
 
 
Os modelos industriais, como o da foto ao 
lado, são normalizados pela ISO 5167 sendo conhecidos 
como Venturi Clássico, tendo os seguintes tipos: 
Tubo Venturi Clássico com cone convergente fundido 
(aplicação em tubulações de 100 a 800 mm); 
Tubo Venturi Clássico com cone convergente usinado 
(aplicação em tubulações de 50 a 250 mm); 
Tubo Venturi Clássico com cone convergente em chapa 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 36 
 
soldada (aplicação em tubulações de 200 a 1200 mm). 
Existem outros tipos de Tubo Venturi normalizados: o Venturi Excêntrico, o Venturi 
Truncado e os de Perfil Retangular. 
 
 O tubo de Pitot 
 
O tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento de um 
gás –ar, por exemplo. Tal dispositivo está ilustrado na figura abaixo. 
As aberturas a são paralelas à direção de 
escoamento do ar e bastante afastadas da parte 
posterior para que a velocidade v do fluxo de ar e 
a pressão fora dela não sejam perturbadas pelo 
tubo. Seja pa a pressão estática do ar no ramo 
esquerdo do manômetro, que está ligado a essas 
aberturas. 
A abertura do ramo direito do manômetro é 
perpendicular à corrente e, em b, a velocidade 
reduz-se a zero; logo, nessa região a pressão 
total do ar é pb (maior que pa, como nos mostra a 
figura). 
 
O teorema de Bernoulli fornece, então: ba p
v
p 


2
2
 (I) 
A relação de Stevin, aplicada ao líquido do manômetro, fornece: bma phgp   (II) 
Comparando (I) e (II), obtemos:. 


hg
v
m

2
2

 hg
v m


2
 
 
O tubo de Pitot pode ser convenientemente 
calibrado de modo a fornecer o valor da 
velocidade v diretamente. Nesse caso, o 
tubo de Pitot torna-se um velocímetro e seu 
uso é bastante comum em aviões. 
Geralmente, o tubo de Pitot é colocado sob 
as asas do avião. 
 
 
 A bomba spray 
 
O esquema ao lado ilustra uma bomba spray (atomizador) do 
tipo utilizada em frascos de perfume. 
A bomba de borracha ao ser comprimida expele o ar, contido 
em seu interior, a uma alta velocidade. De acordo com o 
teorema de Bernoulli, a pressão do ar fluindo a alta velocidade 
através da região superior do tubo vertical é menor que a 
pressão atmosférica normal atuando na superfície do líquido 
contido no frasco. 
 
Dessa maneira, o líquido é empurrado tubo acima devido à diferença de pressão. Ao 
atingir o topo do tubo, a coluna líquida é fragmentada em pequenas gotículas (spray). 
Atualmente, existem diversos modelos de bomba spray para uso com produtos cotidianos, 
como perfumes, remédios, produtos de limpeza, etc. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 37 
 
 
 
 O empuxo dinâmico em uma asa 
O empuxo dinâmico é a força exercida sobre um corpo devida ao movimento desse corpo 
em um fluido. 
Uma superfície aerodinâmica –como uma asa de avião ou um aerofólio de carro de 
corrida, ou mesmo as aletas de uma lancha– é desenhada de tal maneira que, ao se 
movimentar através de um fluido perturba-o de tal maneira que, em algumas regiões as 
linhas de corrente são mais próximas e em outras regiões elas não são afetadas. 
A figura abaixo mostra as linhas de corrente de um fluxo de ar nas proximidades de uma 
asa de avião, mostrada em corte. 
Observe que acima da asa as linhas de corrente estão mais comprimidas, indicando que 
nessa região a velocidade do fluido é maior. Assim, pelo teorema de Bernoulli 








 constante
2
2v
p

, a pressão na região acima da asa deve ser menor e, portanto, 
existirá uma força resultante dirigida para cima (empuxo dinâmico). Esse empuxo 
dinâmico é, geralmente, chamado de sustentação. 
 
 
 
 O empuxo dinâmico em uma bola girante 
O empuxo dinâmico também pode ser observado numa bola girante. Tal efeito é bastante 
explorado no mundo esportivo, principalmente no tênis, no golfe e no futebol. É muito 
comum no futebol, na cobrança de uma falta com bola parada, a bola, depois de chutada, 
descrever uma curva e enganar o goleiro. 
A figura seguinte mostra as linhas de corrente de um fluido em torno de uma bola que 
translada sem girar (I), as linhas de corrente em torno de uma bola que apenas gira (II) e 
a superposição dos dois movimentos (III). Note que o empuxo dinâmico, mostrado em 
(III), faz com que a bola seja desviada de sua direção original. 
 
 
 
 
 O empuxo dinâmico em uma vela 
O teorema de Bernoulli também pode explicar como um veleiro pode se deslocar quase 
que contra o vento. Para melhor entender como isso acontece, observe a figura abaixo. 
Fenômenos de Transporte CCE 0187 38 
 
 
Quando navegando contra o vento, a vela mestra deve ser posicionada a meio ângulo 
entre a direção do vento e o eixo do barco (linha da quilha). Assim, a pressão atmosférica 
normal atrás da vela mestra é maior que a pressão à sua frente, onde a velocidade do 
fluxo de ar é maior devido ao estreitamento entre a bujarrona e a vela mestra, e isso 
origina uma força Fvento, conforme mostrado na figura, que impulsiona o barco. 
A força resultante no barco, devido ao vento e ao efeito de Bernoulli, atua quase que na 
perpendicular à vela e isso tenderia a deslocar o barco lateralmente se não houvesse uma 
porção da quilha estendendo-se verticalmente abaixo da linha d'água, a bolina. A água 
exerce, então, uma força quase que perpendicular à bolina (Fágua) , ou seja, quase 
perpendicular à quilha do barco. A resultante dessas duas forças, a força Fres, é quase 
que diretamente dirigida para a frente do barco, de modo que o barco desloca-se contra o 
vento. 
 
Observação: Deve-se ressaltar que o empuxo dinâmico é diferente do empuxo estático. 
O empuxo estático corresponde a uma força vertical e dirigida para cima, com intensidade 
igual ao peso de fluido deslocado e que atua em um corpo imerso em um fluido em 
repouso, como em um balão por exemplo. O empuxo dinâmico está sempre associado ao 
movimento relativo entre um corpo –uma asa de avião, um aerofólio, uma vela ou uma 
bola girante– e um fluido. 
 
Exercícios 
 
1. Em 5 minutos, um carro tanque 
descarrega 5.000 litros de gasolina, através 
de um mangote cuja seção transversal tem 
área igual a 0,00267 m2 (ver figura ao lado). 
 
Pergunta-se: 
a) Qual a vazão volumétrica média desse escoamento, em litros/segundo? 
b) Considerando os dados indicados na figura e g = 9,8 m/s2 , qual a vazão volumétrica, 
em litros/segundo, no início do processo de descarga do combustível, quando o nível de 
líquido no tanque está no ponto A? 
c) O valor obtido no item b deve ser maior, menor ou igual ao do item a? 
 
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2. Uma bomba de recalque é usada para 
bombear água para fora de um navio. A 
mangueira da bomba tem um