Leitura e interpretação de textos em Português

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Somos todos capazes, basta acreditar. 
 
Seguindo o conteúdo programático do Edital PMESP 
 
Português 
 
1. Leitura e interpretação de diversos textos (literários e não literários). 
Partindo do conceito de texto como sendo um conjunto de palavras que formam um se ntido 
relacionado a um contexto, podemos dividir os textos em dois grandes grupos: os textos 
literários e os textos não literários. 
Texto literário: Um texto literário é uma construção textual de acordo com as normas da 
literatura, com objetivos e características próprias, como linguagem elaborada de forma a 
causar emoções no leitor. Uma das características distintivas dos textos literário é a sua 
função poética, onde é possível constatar ritmo e musicalidade, organização específica das 
palavras e um elevado nível de criatividade. 
Texto não literário: O texto não literário tem como objetivo informar, esclarecer, explicar, ou 
seja, pretende ser útil ao leitor. O texto não literário é frequentemente visto como um texto 
informativo, construído de forma específica, com linguagem clara e objetiva. Alguns 
exemplos são artigos científicos, notícias, ou textos didáticos. 
2. Sinônimos e Antônimos: 
 
Sinônimo: é um adjetivo masculino que classifica uma palavra que, apesar de ser 
diferente, tem o mesmo significado (ou muito parecido) de outra. É importante referir que 
muitas vezes sinônimos, ou seja, com significado equivalente, têm conotações diferentes, 
dependendo do contexto. Em um texto, a utilização de sinônimos de uma palavra é 
importante para evitar repetições. Assim, um sinônimo é uma palavra apesar de ser 
diferente, tem o mesmo significado (ou semelhante), e por isso a sua inclusão não altera o 
sentido do texto em questão. O domínio da língua portuguesa passa pelo conhecimento de 
sinônimos das palavras, evitando repetir as mesmas palavras durante o discurso. 
 
Antônimo: é um substantivo masculino que descreve uma palavra que tem um significado 
oposto em relação à outra palavra. Por exemplo: caro é antônimo de barato. O antônimo é o 
contrário de sinônimo. 
 
 
3. Sentido próprio e figurado das palavras 
 
Sentido próprio: é o sentido literal, ou seja, o sentido comum que costumamos dar a uma 
palavra. 
Sentido figurado: é o sentido simbólico, figurado, que podemos dar a uma palavra. 
4. Pontuação 
 
Os sinais de pontuação são marcações gráficas que servem para compor a coesão e 
a coerência textual além de ressaltar especificidades semânticas e pragmáticas. Veremos 
aqui as principais funções dos sinais de pontuação conhecidos pelo uso da língua 
portuguesa. 
 
Ponto 
1- Indica o término do discurso ou de parte dele. 
- Façamos o que for preciso para tirá-la da situação em que se encontra. 
- Gostaria de comprar pão, queijo, manteiga e leite. 
- Acordei. Olhei em volta. Não reconheci onde estava. 
2- Usa-se nas abreviações 
- V. Exª. 
- Sr. 
Ponto e Vírgula (;) 
1- Separa várias partes do discurso, que têm a mesma importância. 
- “Os pobres dão pelo pão o trabalho; os ricos dão pelo pão a fazenda; os de espíritos 
generosos dão pelo pão a vida; os de nenhum espírito dão pelo pão a alma...” (VIEIRA). 
2- Separa partes de frases que já estão separadas por vírgulas. 
- Alguns quiseram verão, praia e calor; outras montanhas, frio e cobertor. 
3- Separa itens de uma enumeração, exposição de motivos, decreto de lei, etc. 
- Ir ao supermercado; 
- Pegar as crianças na escola; 
- Caminhada na praia; 
- Reunião com amigos. 
 
Dois pontos 
1- Antes de uma citação 
- Vejamos como Afrânio Coutinho trata este assunto: 
2- Antes de um aposto 
- Três coisas não me agradam: chuva pela manhã, frio à tarde e calor à noite. 
3- Antes de uma explicação ou esclarecimento 
- Lá estava a deplorável família: triste, cabisbaixa, vivendo a rotina de sempre. 
4- Em frases de estilo direto 
- Maria perguntou: - Por que você não toma uma decisão? 
 
Ponto de Exclamação 
1- Usa-se para indicar entonação de surpresa, cólera, susto, súplica, etc. 
- Sim! Claro que eu quero me casar com você! 
2- Depois de interjeições ou vocativos 
- Ai! Que susto! 
- João! Há quanto tempo! 
 
Ponto de Interrogação 
Usa-se nas interrogações diretas e indiretas livres. 
“- Então? Que é isso? Desertaram ambos?” (Artur Azevedo). 
 
Reticências 
1- Indica que palavras foram suprimidas. 
- Comprei lápis, canetas, cadernos... 
2- Indica interrupção violenta da frase. 
“- Não... quero dizer... é verdad... Ah!” 
3- Indicam interrupções de hesitação ou dúvida 
- Este mal... Pega doutor? 
4- Indica que o sentido vai além do que foi dito 
- Deixa, depois, o coração falar... 
 
Vírgula 
É usada para vários objetivos, mas em geral usamos a vírgula para dar pausa à leitura ou 
para indicar que algum elemento da frase foi deslocado da sua posição canônica. 
 
5. Classe das Palavras 
 
SUBSTANTIVO – é dita a classe que dá nome aos seres, mas não nomeia somente seres, 
como também sentimentos, estados de espírito, sensações, conceitos filosóficos ou 
políticos, etc. 
Exemplo: Democracia, Andréia, Deus, cadeira, amor, sabor, carinho, etc. 
ARTIGO – classe que abriga palavras que servem para determinar ou indeterminar os 
substantivos, antecedendo-os. 
Exemplo: o, a, os, as, um, uma, uns, umas. 
ADJETIVO – classe das características, qualidades. Os adjetivos servem para dar 
características aos substantivos. 
Exemplo: querido, limpo, horroroso, quente, sábio, triste, amarelo, etc. 
PRONOME – Palavra que pode acompanhar ou substituir um nome (substantivo) e que 
determina a pessoa do discurso. 
Exemplo: eu, nossa, aquilo, esta, nós, mim, te, eles, etc. 
VERBO – palavras que expressam ações ou estados se encontram nesta classe gramatical. 
Exemplo: fazer, ser, andar, partir, impor, etc. 
ADVÉRBIO – palavras que se associam a verbos, adjetivos ou outros advérbios, 
modificando-os. 
Exemplo: não, muito, constantemente, sempre, etc. 
NUMERAL – como o nome diz, expressam quantidades, frações, múltiplos, ordem. 
Exemplo: primeiro, vinte, metade, triplo, etc. 
PREPOSIÇÃO – Servem para ligar uma palavra à outra, estabelecendo relações entre elas. 
Exemplo: em, de, para, por, etc. 
CONJUNÇÃO – São palavras que ligam orações, estabelecendo entre elas relações de 
coordenação ou subordinação. 
Exemplo: porém, e, contudo, portanto, mas, que, etc. 
INTERJEIÇÃO – Contesta-se que esta seja uma classe gramatical como as demais, pois 
algumas de suas palavras podem ter valor de uma frase. Mesmo assim, podemos definir as 
interjeições como palavras ou expressões que evocam emoções, estados de espírito. 
Exemplo: Nossa! Ave Maria! Uau! Que pena! Oh! 
 
 
6. Concordância verbal e nominal 
 
O caso da concordância verbal diz respeito ao verbo em relação ao sujeito, o primeiro 
deve concordar em número (singular ou plural) e pessoa (1ª, 2ª, 3ª) com o segundo. 
 
Já a concordância nominal diz respeito ao substantivo e seus termos referentes: adjetivo, 
numeral, pronome, artigo. Essa concordância é feita em gênero (masculino ou feminino) e 
pessoa. 
 
 
 
7. Regência verbal e nominal 
 
A regência verbal é a relação sintática de dependência que se estabelece entre o verbo — 
termo regente — e o seu complemento — termo regido. A regência determina se uma 
preposição é necessária para ligar o verbo a seu complemento. 
Os termos, quando exigem a presença de outro chamam-se regentes ou subordinantes; 
os que completam a significação dos anteriores chamam-se regidos ousubordinados. 
Quando o termo regente é um nome (substantivo, adjetivo ou advérbio), ocorre à regência 
nominal. Quando o termo regente é um verbo, ocorre a regência verbal. 
Na regênciaverbal, o termo regido pode ser ou não preposicionado. Na regência nominal, 
ele é obrigatoriamente preposicionado. 
 
Regência nominal é o campo da gramática que estuda a relação sintática que se dá entre 
os nomes e os respectivos termos regidos por esse nome. 
Em português, alguns nomes (substantivos, adjetivos e advérbios) exigem um complemento 
precedido por preposição. Tal complemento exerce a função de integrar o sentido da palavra 
completada, enriquecendo assim a semântica da oração em questão. O conjunto de 
complemento regido pela preposição é denominado “complemento nominal”, no qual a 
preposição é definida pela “regência nominal”. 
 
8. Colocação pronominal 
 
É o estudo da colocação dos pronomes oblíquos átonos (me, te, se, o, a, lhe, nos, vos, os, 
as, lhes) em relação ao verbo. 
Os pronomes átonos podem ocupar 3 posições: antes do verbo (próclise), no meio do verbo 
(mesóclise) e depois do verbo (ênclise). 
 
PRÓCLISE 
Usamos a próclise nos seguintes casos: 
(1) Com palavras ou expressões negativas: não, nunca, jamais, nada, ninguém, nem, de 
modo algum. 
- Nada me perturba. 
- Ninguém se mexeu. 
- De modo algum me afastarei daqui. 
- Ela nem se importou com meus problemas. 
(2) Com conjunções subordinativas: quando, se, porque, que, conforme, embora, logo, que. 
- Quando se trata de comida, ele é um “expert”. 
- É necessário que a deixe na escola. 
- Fazia a lista de convidados, conforme me lembrava dos amigos sinceros. 
(3) Advérbios 
- Aqui se tem paz. 
- Sempre me dediquei aos estudos. 
- Talvez o veja na escola. 
OBS: Se houver vírgula depois do advérbio, este (o advérbio) deixa de atrair o pronome. 
- Aqui, trabalha-se. 
(4) Pronomes relativos, demonstrativos e indefinidos. 
- Alguém me ligou? (indefinido) 
- A pessoa que me ligou era minha amiga. (relativo) 
- Isso me traz muita felicidade. (demonstrativo) 
(5) Em frases interrogativas. 
- Quanto me cobrará pela tradução? 
(6) Em frases exclamativas ou optativas (que exprimem desejo). 
- Deus o abençoe! 
- Macacos me mordam! 
- Deus te abençoe, meu filho! 
(7) Com verbo no gerúndio antecedido de preposição EM. 
- Em se plantando tudo dá. 
- Em se tratando de beleza, ele é campeão. 
(8) Com formas verbais proparoxítonas 
- Nós o censurávamos. 
 
MESÓCLISE 
Usada quando o verbo estiver no futuro do presente (vai acontecer – amarei, amarás,...) ou 
no futuro do pretérito (ia acontecer mas não aconteceu – amaria, amarias, ...) 
- Convidar-me-ão para a festa. 
- Convidar-me-iam para a festa. 
Se houver uma palavra atrativa, a próclise será obrigatória. 
- Não (palavra atrativa) me convidarão para a festa. 
 
ÊNCLISE 
Ênclise de verbo no futuro e particípio está sempre errada. 
- Tornarei-me....... (errada) 
- Tinha entregado-nos..........(errada) 
Ênclise de verbo no infinitivo está sempre certa. 
- Entregar-lhe (correta) 
- Não posso recebê-lo. (correta) 
Outros casos: 
- Com o verbo no início da frase: Entregaram-me as camisas. 
- Com o verbo no imperativo afirmativo: Alunos, comportem-se. 
- Com o verbo no gerúndio: Saiu deixando-nos por instantes. 
- Com o verbo no infinitivo impessoal: Convém contar-lhe tudo. 
OBS: se o gerúndio vier precedido de preposição ou de palavra atrativa, ocorrerá a próclise: 
- Em se tratando de cinema, prefiro o suspense. 
- Saiu do escritório, não nos revelando os motivos. 
 
9. Crase 
Conceito: é a fusão de duas vogais da mesma natureza. No português assinalamos a crase 
com o acento grave (`). Observe: 
Obedecemos ao regulamento. 
(a + o) 
Não há crase, pois o encontro ocorreu entre duas vogais diferentes. Mas: 
Obedecemos à norma. 
(a + a) 
Há crase, pois temos a união de duas vogais iguais (a + a = à). 
 
Regra Geral: 
Haverá crase sempre que: 
I. o termo antecedente exija a preposição a; 
II. o termo conseqüente aceite o artigo a. 
 
Matemática 
 
 
1. Numeros inteiros: operações e prpopriedades 
 
 
Neste material será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de 
adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. 
 
Adição 
 
Os termos da adição são chamadas parcelas e o resultado da operação de adição é 
denominado soma outotal. 
1º parcela + 2º parcela = soma ou total 
A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a + b = b + a 
O zero é elemento neutro da adição: 0 + a = a + 0 
 
Subtração 
 
O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o 
resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença. 
minuendo - subtraendo = resto ou diferença 
 
A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a - b ≠ b - a (sempre que a 
≠ b) 
 
Se adicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k. 
Se adicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k. 
A subtração é a operação inversa da adição: 
M - S = R ↔ R + S = M 
 
A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo. 
M + S + R = 2 × M 
 
Valor absoluto 
 
O Valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando 
consideramos a representação dele na reta numérica. 
 
Atenção: O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância. 
A representação do valor absoluto de um número n é | n |. (Lê-se "valor absoluto de n" ou 
"módulo de n".) 
 
Números simétricos 
 
Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a + b = 0 
 
Exemplos: 
-3 e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) = 0. 
4 e -4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) = 0. 
 
O oposto de 5 é -5. 
O simétrico de 6 é -6. 
O oposto de zero é o próprio zero. 
 
Dois números simétricos sempres têm o mesmo módulo. 
 
Exemplo: |-3| = 3 e |3| = 3 
 
 
Operações com números inteiros (Z) 
 
Qualquer adição, subtração ou multiplicação de dois números inteiros sempre resulta 
também um número inteiro. Dizemos então que estas três operações estão bem definidas 
em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z é fechado para qualquer uma destas três 
operações. 
As divisõs, as potenciações e as radiciações entre dois números inteiros nem sempre têm 
resultado inteiro. Assim, dizemos que estas três operações não estão bem definidas no 
conjunto Z ou, equivalentemente, que Znão é fechado para qualquer uma destas três 
operações. 
 
Adições e subtrações com números inteiros 
 
Existe um processo que simplifica o cálculo de adições e subtrações com números inteiros. 
Observe os exemplos seguintes: 
 
Exemplo1: 
Calcular o valor da seguinte expressão: 
10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4 
 
Solução: 
Faremos duas somas separadas 
 uma só com os números positivos: 10 + 15 + 4 = +29 
 outra só com os números negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19 
Agora calcularemos a diferença entre os dois totais encontrados: +29 - 19 = +10 
 
Atenção: É preciso dar sermpre ao resultado o sinal do número que tiver o maior valor 
absoluto! 
 
Exemplo2: 
Calcular o valor da seguinte expressão: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2 
1º passo: Achar os totais (+) e (-): 
 (+): +4 + 3 = +7 
 (-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27 
2º passo: Calcular a diferença dando a ela o sinal do total que tiver o maior módulo: 
 -27 + 7 = - 20 
 
Multiplicação 
 
Os termos de uma multiplicação são chamados fatores e o resultado da operação de 
multiplicação é donominado produto. 
1º fator x 2º fator = produto 
 O primeiro fator também pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fatorpode 
ser chamadomultiplicador. 
 A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicação: a x b = b x a 
 O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: 1 x a = a x 1 = a 
 Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto será adicionado de k vezes 
o outro fator: a x b = c ↔ (a + k) x b = c + (k x b). 
 Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto será multiplicado por k: 
a × b = c ↔ (a × k) × b = k × c 
 Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adição ou subtração qualquer: a × (b ± c) = 
(a × b) ± (a × c) 
 
Divisão inteira 
 
Na divisão inteira de N por D ≠ 0, existirá um único par de inteiros, Q e R, tais que: 
Q × D + R = N e 0 ≤ R < R < |D| (onde |D| é o valor absoluto de D) 
A segunda condição significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. 
Os quatro números envolvidos na divisão inteira são assim denominados: 
N é o dividendo; D é o divisor (sempre diferente de zero); 
Q é o quociente; R é o resto (nunca negativo). 
 
Exemplos: 
1) Na divisão inteira de 60 por 7 o dividendo é 60, o divisor é 7, o quociente é 8 e o resto 
é 4. 
8 × 7 + 4 = 60 e 0 ≤ 4 < |7| 
2) Na divisão inteira de -60 por 7 o dividendo é -60, o divisor é 7, o quociente é -9 e 
o resto é 3. 
-9 × 7 + 3 = -60 e 0 ≤ 3 < |7| 
 Quando ocorrer R = 0 na divisão de N por D, teremos Q × D = N e diremos que a divisão é 
exata indicando-a como N ÷ D = Q. 
 Quando a divisão de N por D for exata diremos que N é divisíve l por D e D é divisor de N 
ou, equivalentemente, que N é múltiplo de D e D é fator de N. 
 O zero é divisível por qualquer número não nulo: D ≠ 0 → 0 ÷ D = 0. 
 Todo número inteiro é divisível por 1: N ÷ 1 = N. 
 Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma divisão por uma constante k ≠ 0, o 
quociente (Q) não será alterado mas o resto (R) ficará multiplicado por k, se R × k < D, ou 
será igual ao resto da divisão de R × k por D, se R × k ≥ D. 
Multiplicação e divisões com números inteiros 
 
Nas multiplicações e divisões de dois números inteiros é preciso observar os sinais dos dois 
termos da operação: 
 
Exemplos: 
Sinais iguais (+) Sinais opostos (-) 
(+) × (+) = + (+) × (-) = - 
(-) × (-) = + (-) × (+) = - 
(+) ÷ (+) = + (+) ÷ (-) = - 
(-) ÷ (-) = + (-) ÷ (+) = - 
 
2. Numeros racionais, representação fracionária e decimal: operações e propriedades. 
 
Podemos transformar qualquer fração ordinária em número decimal, devendo para isso 
dividir o numerador pelo denominador da mesma. Exemplos: 
 Converta em número decimal. 
 
Logo, é igual a 0,75 que é um decimal exato. 
 Converta em número decimal. 
 
Logo, é igual a 0,333... que é uma dízima periódica simples. 
 Converta em número decimal. 
 
Logo, é igual a 0,8333... que é uma dízima periódica composta. 
 
Dízima Periódicas 
Há frações que não possuem representação decimal exata. Por exemplo: 
= 0,333... = 0,8333... 
Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, 
dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas. Em uma dízima 
periódica, o algarismo ou algarismo que se repetem infinitamente, constituem o período 
dessa dízima. As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas 
periódicas compostas. Exemplos: 
= 0,555... (Período: 5) = 2,333... (Período: 3) 
= 0,1212... 
(Período: 12) 
São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula. 
= 0,0222... 
Período: 2 
Parte não periódica: 0 
= 1,15444... 
Período: 4 
Parte não periódica: 15 
= 0,1232323... 
Período: 23 
Parte não periódica: 1 
São dízima periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte 
não periódica. 
 
Observações 
1. Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o 
período. Excluímos, portanto da parte não periódica o inteiro. 
2. Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras: 
0,555... ou ou 0,0222... ou ou 
2,333... ou ou 1,15444... ou ou 
0,121212... ou 0,1232323... ou 
 
 
3. Minímo Multiplo Comum (M.M.C.) 
 
 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.) 
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. 
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: 
 Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... 
 Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... 
 Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... 
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo 
múltiplo comum de 4 e 6. 
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é 
chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a 
abreviação m.m.c. 
 
 CÁLCULO DO M.M.C. 
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o 
cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 
1º) decompomos os números em fatores primos 
 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 
12 = 2 x 2 x 3 
 30 = 2 x 3 x 5 
 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 
 12 = 22 x 3 
 30 = 2 x 3 x 5 
 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos 
fatores 
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. 
 
 PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
Neste processo decompomos todos os números ao 
mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura 
ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos 
nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao 
lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) 
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
 
 
 PROPRIEDADE DO M.M.C. 
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o 
m.m.c.(3,6,30). Observe: 
 
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os 
outros, então 
ele é o m.m.c. dos números dados. 
 
 Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 
60, que é o produto de 4 por 15. Observe: 
 
 
 
4. Razão e Proporção 
 
Razão é uma forma de se realizar a comparação de duas grandezas, no entanto, para isto é 
necessário que as duas estejam na mesma unidade de medida. A razão entre dois 
números a e b é obtida dividindo-se a por b. Obviamente deve ser diferente de zero. 
32 : 16 é um exemplo de razão cujo valor é 2, isto é, a razão de 32 para 16 é igual a 2. 
Você só poderá obter a razão entre o comprimento de duas avenidas, se as duas medidas 
estiverem, por exemplo, em quilômetros, mas não poderá obtê-la caso uma das medidas 
esteja em metros e a outra em quilômetros ou qualquer outra unidade de medida que não 
seja o metro. Neste caso seria necessário, que fosse eleita uma unidade de medida e se 
convertesse para ela, a grandeza que estivesse em desacordo. 
 
Proporção nada mais é que a igualdade entre razões. 
Digamos que em determinada escola, na sala A temos três meninos para cada quatro 
meninas, ou seja, temos a razão de 3 para 4, cuja divisão de 3 por 4 é igual 0,75. 
Suponhamos que na sala B, tenhamos seis meninos para cada oito meninas, então a razão 
é 6 para 8, que também é igual 0,75. Neste caso a igualdade entre estas duas razões vem a 
ser o que chamamos de proporção, já que ambas as razões são iguais a 0,75. 
 
 
 
5. Porcentagem 
 
Porcentagem ou razão centesimal são as razões cujo termo consequente é igual a 100. 
Representamos a porcentagem através do símbolo "%". 
10% é o mesmo que 0,10 (10 centésimos). 
 
 
6. Regra de três simples. 
 
Uma pessoarecebe R$ 1.800,00 por 30 dias trabalhados. Quantos dias esta pessoa 
precisará trabalhar para ter direito a receber R$ 1.200,00? 
Este é o típico caso da utilização de uma "regra de três simples direta". Simples por envolver 
apenas duas grandezas proporcionais, e direta, porque quando uma grandeza aumenta, a 
outra também aumenta. Se uma diminui, o mesmo ocorre com a outra. 
Chamemos de S a grandeza que representa o salário e de D a grandeza que representa o 
número de dias de trabalho e vejamos a representação abaixo: 
 
As setas apontam na mesma direção, pois as grandezas são diretamente proporcionais. 
Percebemos isto, pois ao diminuirmos o número de dias trabalhados, também teremos o 
respectivo salário diminuído. Como o salário vai ser reduzido, obviamente o número de dias 
de trabalho também será. Concluímos assim, que as grandezas S e D são diretamente 
proporcionais. 
De acordo com a orientação das setas, podemos então montar a proporção: 
 
Concluímos que para ter o direito a receber os R$ 1.200,00, a pessoa terá que trabalhar 
por 20 dias. 
Como você pode notar, a resolução de um problema de regra de três, tem por base a 
"propriedade fundamental das proporções". Veja mais sobre isto em proporção. 
 
 
7. Média Aritmética Simples. 
 
Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a média aritmética 
simples. 
Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600, para apurarmos o valor médio artimético deste 
conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de valores 
do conjunto: 
 
Agora preste atenção neste conjunto de números após o colocarmos em ordem crescente: 
{ 1000, 1200, 1400, 1600 } 
Observe que se fossemos inserir o valor médio de 1300 neste conjunto de números 
ordenados, a sua posição seria exatamente no meio da sequência, ou seja, seria o valor 
médio. 
 
Observe ainda está propriedades das médias, que se o valor médio for inserido ao conjunto 
de números originais, a média ainda continuará a mesma: 
 
Digamos que em um concurso você tenha feito três provas e tenha tirado as seguintes 
notas: 10, 8 e 3. Qual foi a sua nota média afinal? 
Vejamos: 
 
Como a nota mínima para passar no concurso era a nota 7, você se sente feliz e aliviado por 
ter conseguido alcançá-la. 
 
8. Equação do 1º grau. 
 
Denomina-se equação do 1° grau com uma incógnita, qualquer equação que possa ser 
reduzida à forma ax = b, onde x é a incógnita e a e b são números reais, 
com a ≠ 0. a e b são coeficientes da equação. 
Equações do 1° grau podem possuir mais de uma incógnita. Como exemplo, temos as 
equações do 1° grau com duas incógnitas, que são quaisquer equações que podem ser 
reduzidas a uma equação equivalente da forma ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0. Neste caso, 
além de a e b, temos também c como coeficientes da equação. 
Utilizamos equações do 1° grau com uma incógnita na resolução de problemas tal qual o 
seguinte: 
"Se eu tivesse o dobro da quantia que eu possuo, com mais dez reais eu poderia comprar 
um certo livro que custa cem reais. Quantos reais eu possuo?" 
Inicialmente iremos expressar este mesmo problema em linguagem matemática. Para isto 
vamos chamar a quantia que eu possuo atualmente de x. Este é valor procurado. 
Ao referir-me ao dobro da quantia, matematicamente estou me referindo a 2x, ou seja, ao 
dobro de x. 
O dobro da quantia mais dez reais será expresso matematicamente como 2x + 10. 
Finalmente devemos expressar que o dobro da quantia mais dez é igual a cem, logo a 
expressão inteira será:2x + 10 = 100. 
Basicamente substituímos o texto em português pelos seus respectivos operadores 
matemáticos. 
 
 
Resolução de equações do 1° grau com uma incógnita 
Para solucionarmos a equação 2x + 10 = 100 iremos recorrer aos conceitos de equações 
equivalentes, princípio aditivo da igualdade e princípio multiplicativo da igualdade, 
vistos no tópico Equação. Resumindo, iremos obter equações equivalentes sucessivamente 
através da aplicação destes princípios, até que a raiz da equação seja encontrada. 
Primeiramente vamos lembrar que o oposto de um número real é igual a este mesmo 
número com o sinal trocado. O oposto de 2 é igual a -2. Obviamente o oposto de -2 voltará 
ao número 2 inicial. Note ainda que a soma de um número pelo seu oposto sempre resultará 
em 0. 
Precisamos também lembrar o que vem a ser o inverso de um número real diferente de 
zero. De antemão sabemos que um número real diferente de zero multiplicado pelo seu 
inverso resultará sempre em 1. 
Segundo este conceito, o inverso de 2 é 1/2, já que 2 . 
1/2 = 1. Obviamente o inverso 
de 1/2 é 2 pelo mesmo motivo. 
O inverso de 3/5 é 
5/3, pois 
3/5 . 
5/3 = 1. 
Simplificando, se a for um número real inteiro e diferente zero, o seu inverso será 1/a. No 
caso de frações, o inverso multiplicativo da fração a/b será 
b/a, com a e b diferentes de zero. 
A partir deste conceito podemos começar a solucionar a equação. 
Vejamos: 
 
A ideia é deixarmos a incógnita x isolada no primeiro membro à direita do sinal de igualdade 
e a raiz no segundo membro, à esquerda. Gradualmente iremos passando os números do 
primeiro membro para o segundo membro. 
Para passarmos o número 10 no primeiro membro, para o segundo membro, iremos recorrer 
ao princípio aditivo da igualdade. Vamos subtrair 10 dos dois membros da equação: 
 
Ao subtrairmos 10 nos dois membros da equação, na verdade estamos somando o oposto 
de 10, que é -10 em ambos os membros como vemos abaixo, de sorte que o 10 saia do 
primeiro membro, pois como já vimos, ao somarmos um número real ao seu oposto o 
resultado sempre será igual a zero: 
 
Ao realizarmos as operações chegaremos à equação: 
 
Que é equivalente a: 
 
Para tirarmos o coeficiente 2 do primeiro membro, iremos recorrer ao princípio multiplicativo 
da igualdade, dividindo ambos os membros por 2: 
 
Na verdade o que estamos fazendo é multiplicando ambos os membros pelo inverso 
multiplicativo do coeficiente 2que é 1/2, para que ele saia do primeiro membro, já que será 
reduzido ao número 1. Na realidade o cálculo seria este: 
 
Realizando os cálculos em qualquer um dos dois casos encontramos a raiz procurada: 
 
 
 
9. Sistema de equação do 1º grau 
 
Quando tratamos as equações do 1° grau com duas variáveis vimos que a equação x + y 
= 20 admite infinitas soluções, pois se não houver restrições como as do exemplo na página 
em questão, podemos atribuir qualquer valor a x, e para tornar a equação verdadeira, basta 
que calculemos y como sendo 20 - x. 
A equação x - y = 6 pelos mesmos motivos, em não havendo restrições, também admite 
infinitas soluções. 
Como as equações x + y = 20 e x - y = 6 admitem infinitas soluções podemos nos 
perguntar: 
Será que dentre estas soluções existem aquelas que são comuns às duas equações, isto é, 
que resolva ao mesmo tempo tanto a primeira, quanto à segunda equação? 
Este é justamente o tema deste tópico que vamos tratar agora. 
 
 
Métodos de Resolução 
Há vários métodos para calcularmos a solução deste tipo de sistema. Agora veremos os 
dois mais uti lizados, primeiro o método da adição e em seguida o método da 
substituição. 
 
 
Método da Adição 
Este método consiste em realizarmos a soma dos respectivos termos de cada uma das 
equações, a fim de obtermos uma equação com apenas uma incógnita. 
Quando a simples soma não nos permite alcançar este objetivo, recorremos ao princípio 
multiplicativo da igualdade para multiplicarmos todos os termos de uma das equações por 
um determinado valor, de sorte que a equação equivalente resultante, nos permita obter 
uma equação com uma única incógnita. 
A seguir temos outras explicações que retratam estas situações.Quando o sistema admite uma única solução? 
Tomemos como ponto de partida o sistema composto pelas duas equações abaixo: 
 
Perceba que iremos eliminar o termo com a variável y, se somarmos cada um dos termos da 
primeira equação com o respectivo termo da segunda equação: 
 
Agora de forma simplificada podemos obter o valor da incógnita x simplesmente passando o 
coeficiente 2 que multiplica esta variável, para o outro lado com a operação inversa, 
dividindo assim todo o segundo membro por 2: 
 
Agora que sabemos que x = 13, para encontrarmos o valor de y, basta que 
troquemos x por 13 na primeira equação e depois isolemos y no primeiro membro: 
 
Escolhemos a primeira e não a segunda equação, pois se escolhêssemos a segunda, 
teríamos que realizar um passo a mais que seria multiplicar ambos os membros por -1, já 
que teríamos -y no primeiro membro e não y como é preciso, no entanto podemos escolher 
a equação que quisermos. Normalmente iremos escolher a equação que nos facilite a 
realização dos cálculos. 
Observe também que neste caso primeiro obtivemos o valor da variável x e em função dele 
conseguimos obter o valor de y, porque isto nos era conveniente. Se for mais fácil primeiro 
encontrarmos o valor da segunda incógnita, é assim que devemos proceder. 
Quando um sistema admite uma única solução dizemos que ele é um sistema possível e 
determinado. 
 
 
Quando o sistema admite uma infinidade de soluções? 
Vejamos o sistema abaixo: 
 
Note que somando todos os termos da primeira equação ao da segunda, não 
conseguiremos eliminar quaisquer variáveis, então vamos multiplicar os termos da primeira 
por -2 e então realizarmos a soma: 
 
Veja que eliminamos não uma das variáveis, mas as duas. O fato de termos obtido 0 = 
0 indica que o sistema admite uma infinidade de soluções. 
Quando um sistema admite uma infinidade de soluções dizemos que ele é um sistema 
possível e indeterminado. 
 
 
Quando o sistema não admite solução? 
Vejamos este outro sistema: 
 
Note que se somarmos os termos da primeira equação com os da segunda, também não 
conseguiremos eliminar nenhuma das variáveis, mas agora veja o que acontece se 
multiplicarmos por 2 todos os termos da primeira equação e realizarmos a soma das 
equações: 
 
Obtivemos 0 = -3 que é inválido, este é o indicativo de que o sistema não admite soluções. 
Quando um sistema não admite soluções dizemos que ele é um sistema impossível. 
 
 
Método da Substituição 
Este método consiste em elegermos uma das equações e desta isolarmos uma das 
variáveis. Feito isto substituímos na outra equação, a variável isolada pela expressão obtida 
no segundo membro da equação obtida quando isolamos a variável. 
Este procedimento também resultará em uma equação com uma única variável. 
O procedimento é menos confuso do que parece. A seguir veremos em detalhes algumas 
situações que exemplificam tais conceitos, assim como fizemos no caso do método da 
adição. 
 
 
Quando o sistema admite uma única solução? 
Para nos permitir a comparação entre os dois métodos, vamos utilizar o mesmo sistema 
utilizado no método anterior: 
 
Vamos escolher a primeira equação e isolar a variável x: 
 
Agora na segunda equação vamos substituir x por 20 - y: 
 
Agora que sabemos que y = 7, podemos calcular o valor de x: 
 
 
 
Quando o sistema admite uma infinidade de soluções? 
Solucionemos o sistema abaixo: 
 
Este sistema já foi resolvido pelo método da adição, agora vamos resolvê -lo pelo método da 
substituição. 
Por ser mais fácil e gerar em um resultado mais simples, vamos isolar a incógnita y da 
primeira equação: 
 
Agora na outra equação vamos substituir y por 10 - 2x: 
 
Como obtivemos 0 = 0, o sistema admite uma infinidade de soluções. 
 
 
Quando o sistema não admite solução? 
Novamente vamos solucionar o mesmo sistema utilizado no método anterior: 
 
Observe que é mais viável isolarmos a variável x da primeira equação, pois o seu 
coeficiente 2 é divisor de ambos coeficientes do primeiro membro da segunda equação, o 
que irá ajudar nos cálculos: 
 
Agora substituímos x na segunda equação pelo valor encontrado: 
 
Conforme explicado anteriormente, o resultado 0 = -3 indica que este sistema não admite 
soluções. 
 
 
 
10. Sistema métrico: medidas de tempo, comprimento, superfície e capacidade. 
 
Unidades de medida ou sistemas de medida é um tema bastante presente em concursos 
públicos e por isto é mais um dos assuntos tratados em nosso site. 
Para podermos comparar um valor com outro, utilizamos uma grandeza predefinida como 
referência, grandeza esta chamada de unidade padrão. 
As unidades de medida padrão que nós brasileiros utilizamos com maior frequencia são 
o grama, o litro e o metro, assim como o metro quadrado e o metro cúbico. 
Além destas também fazemos uso de outras unidades de medida para realizarmos, por 
exemplo a medição de tempo, de temperatura ou de ângulo. 
Dependendo da unidade de medida que estamos uti lizando, a unidade em si ou é muito 
grande ou muito pequena, neste caso então utilizamos os seus múltiplos ou submúltiplos. 
O grama geralmente é uma unidade muito pequena para o uso cotidiano, por isto em geral 
utilizamos o quilograma, assim como em geral utilizamos o mililitro ao invés da própria 
unidade litro, quando o assunto é bebidas por exemplo. 
 
 
Múltiplos e Submúltiplos 
Os múltiplos e submúltiplos mais frequentemente uti lizados estão expostos na tabela a 
seguir: 
 
 
Tabela de Múltiplos e Submúltiplos mais Utilizados das Unidades de Medida 
Abaixo temos a tabela completa com todos os múltiplos e submúltiplos definidos: 
 
 
 
 
 
 
Utilização das Unidades de Medida 
Quando estamos interessados em saber a quantidade de líquido que cabe em um 
recipiente, na verdade estamos interessados em saber a sua capacidade. O volume interno 
de um recipiente é chamado de capacidade. A unidade de medida utilizada na medição de 
capacidades é o litro. 
Se estivéssemos interessados em saber o volume do recipiente em si, a unidade de medida 
utilizada nesta medição seria o metro cúbico. 
Para ladrilharmos um cômodo de uma casa, é necessário que saibamos a área deste 
cômodo. Áreas são medidas em metros quadrados. 
Para sabermos o comprimento de uma corda, é necessário que a meçamos. Nesta 
medição a unidade de medida utilizada será o metro ou metro linear. 
Se você for fazer uma saborosa torta de chocolate, precisará comprar cacau e o mesmo 
será pesado para medirmos a massa desejada. A unidade de medida de massa é o grama. 
Veja a tabela a seguir na qual agrupamos estas principais unidades de medida, seus 
múltiplos e submúltiplos do Sistema Métrico Decimal, segundo o Sistema Internacional 
de Unidades - SI: 
 
 
Subconjunto de Unidades de Medida do Sistema Métrico Decimal 
Observe que as setas que apontam para a direita indicam uma multiplicação pelo fator 
multiplicador (10, 100 ou 1000 dependendo da unidade de medida), assim como as setas 
que apontam para a esquerda indicam uma divisão também pelo fator. 
A conversão de uma unidade para outra unidade dentro da mesma grandeza é realizada 
multiplicando-se ou dividindo-se o seu valor pelo fator de conversão, dependendo da 
unidade original estar à esquerda ou à direita da unidade a que se pretende chegar, tantas 
vezes quantos forem o número de níveis de uma unidade a outra. 
 
 
Exemplos de Conversão entre Unidades de Medida 
Converta 2,5 metros em centímetros 
Para convertermos 2,5 metros em centímetros, devemos multiplicar (porque na 
tabela metro está à esquerda decentímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos 
de metros para centímetros saltamos dois níveis à direita. Primeiropassamos 
de metros para decímetros e depois de decímetros para centímetros: 
 
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita. 
Portanto: 
2,5 m é igual a 250 cm 
 
Passe 5.200 gramas para quilogramas 
Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, devemos dividir (porque na 
tabela grama está à direita dequilograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos 
de gramas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda. Primeiro passamos 
de grama para decagrama, depois de decagrama para hectograma e finalmente 
dehectograma para quilograma: 
 
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda. 
Portanto: 
5.200 g é igual a 5,2 kg 
 
Quantos centilitros equivalem a 15 hl? 
Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos quatro níveis à direita. Multiplicaremos 
então 15 por 10 quatro vezes: 
 
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita. 
Portanto: 
150.000 cl equivalem a 15 hl. 
 
Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3? 
Para passarmos de milímetros cúbicos para quilômetros cúbicos, passaremos seis 
níveis à esquerda. Dividiremos então 14 por 1000 seis vezes: 
 
Portanto: 
0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se expresso em notação científica 
equivalem a 14 mm3. 
 
Passe 50 dm2 para hectometros quadrados 
Para passarmos de decímetros quadrados para hectometros quadrados, passaremos 
três níveis à esquerda. Dividiremos então por 100 três vezes: 
 
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda. 
Portanto: 
50 dm2 é igual a 0,00005 hm2 
 
 
 
Equivalência entre medidas de volume e medidas de capacidade 
Um cubo com aresta de 10 cm terá um volume de 1.000 cm3, medida esta equivalente a 1 l. 
Como 1.000 cm3 equivalem a 1 dm3, temos que 1 dm3 equivale a 1 l. 
Como um litro equivale a 1.000 ml, podemos afirmar que 1 cm3 equivale a 1 ml. 
1.000 dm3 equivalem a 1 m3, portanto 1 m3 é equivalente a 1.000 l, que equivalem a 1 kl. 
 
 
Exemplos de Conversão entre Medidas de Volume e Medidas de Capacidade 
Quantos decalitros equivalem a 1 m3? 
Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para convertermos de litros a decalitros, 
passaremos um nível à esquerda. Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez: 
 
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda. 
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma: 
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 kl para decalitros, quando 
então passaremos dois níveis à direita. Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes: 
 
Portanto: 
100 dal equivalem a 1 m3. 
 
348 mm3 equivalem a quantos decilitros? 
Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividirmos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu 
equivalente em centimetros cúbicos: 0,348 cm3. Logo 348 mm3 equivale a 0,348 ml, já 
que cm3 e ml se equivalem. 
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de volume, para uma unidade de 
medida de capacidade. 
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando então passaremos dois níveis à 
esquerda. Dividiremos então por 10 duas vezes: 
 
Logo: 
348 mm3 equivalem a 0,00348 dl. 
 
 
11. Relações entre grandezas: tabelas e gráficos 
 
Grandeza: É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma 
árvore, o volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são 
grandezas. Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar. 
Razão: é a divisão ou relação entre duas grandezas. Exemplo: se numa classe tivermos 40 
meninos e 30 meninas, qual a razão entre o número de meninos e o número de meninas? 
Razão = 
 
Razão inversa: é o inverso da razão, assim . 
Proporção: é a igualdade entre razões. Exemplo: meu carro faz 13km por litro de 
combustível, então para 26km preciso de 2L, para 39km preciso de 3L e assim por diante. 
1ª situação: 
2ª situação: 
, logo formam uma proporção. 
Observe , se você multiplicar em cruz o resultado será o mesmo: 26 x 3 = 2 x 39 
= 78. 
Numa proporção, quando multiplicamos em cruz, o resultado é o mesmo. Mas além desta 
propriedade, temos outras que serão muito úteis: 
Numa proporção quando somamos termo a termo: , a razão 
se mantém. 
Numa proporção quando subtraímos termo a termo: , a 
razão se mantém. 
Dadas as proporções: 
 
Grandezas Proporcionais 
O que estudaremos são grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais, 
embora existam casos em que essas relações não se observem, e que portanto, não farão 
parte de nosso estudo. 
Por exemplo, "na partida de abertura de um campeonato, um jogador fez três gols, quantos 
gols ele fará ao final do campeonato sabendo que o mesmo terá 46 partidas?". 
Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.) 
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no 
aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que 
você fizer com uma acontecerá com a outra. 
Observação é necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo. 
Exemplo: Se numa receita de pudim de microondas uso duas latas de leite condensado, 6 
ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada 
ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de 
ingredientes se quiser, apenas meia receita. 
Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à 
quantidade de pães que peça: 
Preço 
R$ 
0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00 
Nº de 
pães 
1 2 5 10 20 50 
 
Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço 
mais pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o 
preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor. 
Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante. 
 
Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.) 
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na 
redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que 
você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra. 
Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo. 
Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o 
tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem. 
Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma 
distância de 600km. 
Velocidade média 
(km/h) 
60 100 120 150 200 300 
Tempo de viagem 
(h) 
10 6 5 4 3 2 
 
Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se 
viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um 
tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem 
obtemos sempre o mesmo valor. 
Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante. 
 
 
12. Noções de geometria: forma, perímetro, área, volume, teorema de Pitágoras. 
 
Forma: Forma é a "aparência" da "peça" geométrica em discussão. Por exemplo: Forma de 
quadrada, forma triangular, forma esférica, forma piramidal, entre outras. 
 
Perímetro: é o valor da soma de todos os lados de uma figura geométrica. Por exemplo: o 
perímetro de um quadrado é o valor da soma de seus 4 lados. Se um quadrado tem lado de 
2cm, então seu perímetro vale 8cm. 
É comum ouvir perímetro de uma circunferência, retângulo, etc. 
 
Área: Espaço ocupado pela forma geométrica. 
Para exemplificar, pense no terreno de sua casa. A FORMA desse terreno é retangular. O 
PERÍMETRO desse terreno é a soma do comprimento dos muros.Já a ÁREA é todo o 
espaçoque esse terreno ocupa no chão. 
Para se calcular a área de um retângulo, por exemplo, multiplica-se o lado maior pelo lado 
menor. Se a unidade for metros, a resposta é dada em metros quadrados. Se a unidade for 
quilômetros, a resposta é dada em quilômetros quadrados, e assim por diante. 
 
Volume é todo o espaço interno da forma geométrica. Pense numa garrafa de refrigerante, 
por exemplo. O seu volume é todo o espaço de dentro, que geralmente vale 2 litros. 
Pensando numa bola, o volume é toda a parte de dentro, que está cheia de ar. 
Veja nos anúncios de microondas ou geladeira. O espaço interno sempre é anunciado em 
litros, que é uma unidade de volume. Ou seja, eles querem dizer que dentro de todo aquele 
espaço do forno ou da geladeira, cabe determinada quantidade em litros. 
 
Ângulo é a abertura entre duas retas. Pense na forma do triângulo. O próprio nome já diz: 
"TRI-ângulo", ou seja, 3 ângulos. São três retas que se encontram e, em cada um desses 
encontros, forma-se um ângulo. Seu valor medido em graus. 
 
Teorema de Pitágoras: É um teorema muito utilizado (principalmente no colegial) para 
descobrir um dos lados de um triângulo retângulo. (triângulo retângulo é aquele triângulo 
cujo um de seus ângulos mede 90 graus. 
Esse teorema diz que "a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa". Veja algum livro de geometria de oitava série ou primeiro ano e entenda quais 
são os catetos e qual é a hipotenusa. 
 
 
13. Raciocínio Lógico 
 
Raciocínio lógico matemático ou quantitativo 
O raciocínio lógico matemático ou quantitativo é o raciocínio usado para a resolução de 
alguns problemas e exercícios matemáticos. Esses exercícios são frequentemente usados 
no âmbito escolar, através de problemas matriciais, geométricos e aritméticos, para que os 
alunos desenvolvam determinadas aptidões. Este tipo de raciocínio é bastante usado em 
áreas como a análise combinatória. 
 
14. Resolução de situações- problema. 
Os problemas matemáticos são responsáveis pelas inúmeras dúvidas presentes entre os 
alunos. A grande questão é relacionar as informações fornecidas com os símbolos 
matemáticos, adequados para a solução dos problemas. O aluno precisa entender a 
situação, identificando a operação mais adequada para a resolução, e isso depende de uma 
leitura segura e de um processo interpretativo. Através de exemplos, demonstraremos como 
realizar essa leitura interpretativa, selecionando as palavras-chave, bem como utilizando as 
operações adequadas. 
 
Exemplo 1 
 
Carlos comprou uma televisão no valor de R$ 950,00, dividida em 10 prestações iguais. Ao 
pagar a 4º prestação, recebeu de presente de seu avô, o restante do dinheiro para a 
quitação do aparelho. Quanto Carlos recebeu? 
 
O valor do aparelho é igual a R$ 950,00. 
 
Carlos resolveu dividir o televisor em 10 prestações iguais, então devemos realizar uma 
operação de divisão: 950: 10 = 95 reais. 
 
Carlos efetuou o pagamento de 4 prestações, dessa forma, ainda faltam 6. São as 
prestações restantes que o avô de Carlos resolveu pagar. Portanto, 95 * 6 = 570 reais. 
 
Carlos recebeu R$ 570,00 de seu avô. 
 
 
Exemplo 2 
 
João tinha uma quantia, gastou 35% e ainda ficou com R$ 97,50. Qual o valor que João 
tinha inicialmente? 
 
Quando trabalhamos com porcentagem, sempre precisamos nos lembrar de que o valor 
corresponde a 100%. Dos 100%, João gastou 35%, então: 100% – 35% = 65%. 
 
Os 65% restante, correspondem a R$ 97,50. Dessa forma, temos que: 
 
 
 
João tinha o valor inicial de R$ 150,00. 
 
 
Exemplo 3 
 
O preço de uma geladeira, à vista, é R$ 1 200,00. No pagamento em três prestações ocorre 
um acréscimo de 10% de juros. Qual será o valor da prestação no pagamento parcelado? 
 
Veja que no pagamento parcelado, o preço da televisão aumenta de acordo com o juro de 
10%. Vamos calcular 10% do valor à vista da geladeira: 
 
 
 
A geladeira sofrerá um aumento de R$ 120,00 R$ 1.200,00 + R$ 120,00 = R$ 1320,00 
 
 
O preço final para o financiamento é de R$ 1 320,00, que será dividido em três prestações: 
 
1 320 : 3 = 440 reais. 
 
 
Na compra da geladeira a prazo, o valor de cada prestação será de R$440,00. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONHECIMENTOS GERAIS 
 
História Geral 
 
1. Primeira Guerra Mundial 
 
Vários problemas atingiam as principais nações européias no início do século XX. O século 
anterior havia deixado ferido difíceis de curar. Alguns países estavam extremamente 
descontentes com a partilha da Ásia e da África, ocorrida no final do século XIX. Alemanha e 
Itália, por exemplo, haviam ficado de fora no processo neocolonial. Enquanto isso, França e 
Inglaterra podiam explorar diversas colônias, ricas em matérias-primas e com um grande 
mercado consumidor. A insatisfação da Itália e da Alemanha, neste contexto, pode ser 
considerada uma das causas da Grande Guerra. 
 
Vale lembrar também que no início do século XX havia uma forte concorrência comercial 
entre os países europeus, principalmente na disputa pelos mercados consumidores. Esta 
concorrência gerou vários conflitos de interesses entre as nações. Ao mesmo tempo, os 
países estavam empenhados numa rápida corrida armamentista, já como uma maneira de 
se protegerem, ou atacarem, no futuro próximo. Esta corrida bélica gerava um clima de 
apreensão e medo entre os países, onde um tentava se armar mais do que o outro. 
Existia também, entre duas nações poderosas da época, uma rivalidade muito grande. A 
França havia perdido, no final do século XIX, a região da Alsácia-Lorena para a Alemanha, 
durante a Guerra Franco Prussiana. O revanchismo francês estava no ar, e os franceses 
esperando uma oportunidade para retomar a rica região perdida. 
 
O pan-germanismo e o pan-eslavismo também influenciou e aumentou o estado de alerta na 
Europa. Havia uma forte vontade nacionalista dos germânicos em unir, em apenas uma 
nação, todos os países de origem germânica. O mesmo acontecia com os países eslavos. 
 
O início da Grande Guerra 
O estopim deste conflito foi o assassinato de Francisco Ferdinando, príncipe do império 
austro-húngaro, durante sua visita a Saravejo (Bósnia-Herzegovina). As investigações 
levaram ao criminoso, um jovem integrante de um grupo Sérvio chamado mão-negra, 
contrário a influência da Áustria-Hungria na região dos Balcãs. O império austro-húngaro 
não aceitou as medidas tomadas pela Sérvia com relação ao crime e, no dia 28 de julho de 
1914, declarou guerra a Servia. 
 
Política de Alianças 
Os países europeus começaram a fazer alianças políticas e militares desde o final do século 
XIX. Durante o conflito mundial estas alianças permaneceram. De um lado havia a Tríplice 
Aliança formada em 1882 por Itália, Império Austro-Húngaro e Alemanha (a Itália passou 
para a outra aliança em 1915). Do outro lado a Tríplice Entente, formada em 1907, com a 
participação de França, Rússia e Reino Unido. 
O Brasil também participou, enviando para os campos de batalha enfermeiros e 
medicamentos para ajudar os países da Tríplice Entente. 
 
Desenvolvimento 
As batalhas desenvolveram-se principalmente em trincheiras. Os soldados ficavam, muitas 
vezes, centenas de dias entrincheirados, lutando pela conquista de pequenos pedaços de 
território. A fome e as doenças também eram os inimigos destes guerreiros. Nos combates 
também houve a utilização de novas tecnologias bélicas como, por exemplo, tanques de 
guerra e aviões. Enquanto os homens lutavam nas trincheiras, as mulheres trabalhavam nas 
indústrias bélicascomo empregadas. 
 
Fim do conflito 
Em 1917 ocorreu um fato histórico de extrema importância: a entrada dos Estados Unidos 
no conflito. Os EUA entraram ao lado da Tríplice Entente, pois havia acordos comerciais a 
defender, principalmente com Inglaterra e França. Este fato marcou a vitória da Entente, 
forçando os países da Aliança a assinarem a rendição. Os derrotados tiveram ainda que 
assinar o Tratado de Versalhes que impunha a estes países fortes restrições e punições. A 
Alemanha teve seu exército reduzido, sua indústria bélica controlada, perdeu a região do 
corredor polonês, teve que devolver à França a região da Alsácia Lorena, além de ter que 
pagar os prejuízos da guerra dos países vencedores. O Tratado de Versalhes teve 
repercussões na Alemanha, influenciando o início da Segunda Guerra Mundial. 
A guerra gerou aproximadamente 10 milhões de mortos, o triplo de feridos, arrasou campos 
agrícolas, destruiu indústrias, além de gerar grandes prejuízos econômicos. 
 
2. O nazi-fascismo e a Segunda Guerra Mundial 
 
A Segunda guerra mundial pode ser entendida a partir das relações internacionais, do 
imperialismo, do crescimento do nacionalismo e do desenvolvimento da indústria bélica. 
Com a crise mundial de 1929, o nacionalismo cresceu, bem como a extrema direita (os 
regimes totalitários). 
Política expansionista 
 
Na Alemanha, com a implantação do III Reich, o Tratado de Versalhes foi desrespeitado, 
levando a reorganização das Forças Armadas e ao desenvolvimento da produção de 
armamentos. Iniciava-se então a política de expansão territorial – proclamando a 
necessidade de que toda a raça germânica (considerada a superior). 
 
A expansão alemã iniciou-se em 1938 com o Anschluss, ou seja, a união da Áustria e da 
Alemanha. Em seguida foi anexada a região dos Sudetos (Tchecoslováquia). A ocupação da 
região foi aprovada pela Conferência de Munique (Alemanha, Itália, França e Inglaterra). Em 
1939 a Alemanha realiza um acordo com Itália e Japão – surgindo assim o EIXO (Roma, 
Berlim, Tóquio). 
Já o governo fascista da Itália conquistou a Abissínia (Etiópia) e a Albânia. 
No extremo oriente, o Japão anexava a Manchúria e outras regiões da China 
Política de apaziguamento 
Enquanto os países do EIXO realizavam a expansão territorial, e colocando em risco a paz 
mundial, a Liga das Nações, a França e Inglaterra limitavam-se às pequenas reprimendas – 
procurando evitar a guerra. No entanto, a ausência de medidas mais duras só contribuía 
para o fortalecimento do EIXO. 
Política de neutralidade 
Postura internacional adotada pelos Estados Unidos da América – muito mais preocupados 
em solucionar os efeitos internos da crise de 1929 – que não interferiram nas relações 
políticas da Europa até a guerra começar. 
Política de isolamento 
A União Soviética encontrava-se isolada nas relações- e decisões – políticas, pelo fato do 
regime comunista, imposto desde 1917. A URSS ainda acreditava que a política do 
apaziguamento servia para jogar a Alemanha contra ela (exemplificada na Conferência de 
Munique). 
 
Procurando romper seu isolamento a URSS assinou um pacto de não agressão com a 
Alemanha. Este pacto, denominado Ribbentrop-Molotov, atendia aos interesses da URSS, 
livrando-a (inicialmente) de uma agressão alemã e conseguindo maior tempo para se 
preparar; beneficiava a Alemanha que evitava uma guerra em duas frentes (oriental e 
ocidental). 
 
Porém, tanto comunistas quanto nazistas sabiam que o tratado teria curta duração. 
Garantida à neutralidade da URSS a Alemanha, em 1Š de setembro de 1939 invadiu a 
Polônia, iniciando a Segunda Guerra. 
A Guerra civil espanhola 
Outro fator da Segunda Guerra foi a Guerra civil espanhola (1936-1939), envolvendo 
fascistas espanhóis e republicanos. As tensões iniciaram-se em 1931 com a abdicação do 
rei Afonso XIII, em virtude das pressões sociais, que exigiam uma república. Com a 
abdicação, instalou-se uma república de caráter liberal. 
 
A nascente república espanhola passa por graves problemas políticos – reação da antiga 
elite dominante, anticlericalismo acentuado, autonomismo regionais (como o caso do País 
Basco e Catalunha) e crescimento dos movimentos populares. Neste contexto surge um 
grupo conservador, de extrema direita, com aspectos fascistas – a Falange. 
 
Nas eleições de 1936, a Frente Popular – frente antifascista composta por liberais, 
socialistas, anarquistas e comunistas – venceu e procurou efetivar um conjunto de reformas 
sociais. Em 18 de julho do mesmo ano, o general Francisco Franco iniciou uma revolta 
contra a república. Contou com o apóio da Falange, dos latifundiários, da Igreja e da classe 
média urbana. 
 
A Guerra civil espanhola foi extremamente violenta e contou com a participação 
internacional. A Frente Popular recebe apoio da União Soviética e da Brigadas 
Internacionais (compostas por pessoas de diversos países); já a Falange conta com o apóio 
da Alemanha, Itália e Portugal. A ajuda da Itália e Alemanha foi decisiva para a vitória de 
Franco, iniciando-se na Espanha um Estado de características fascista- o Franquismo. 
Fases da guerra 
A primeira fase da guerra foi marcada pela vitória do EIXO – de 1939 a 1941. A Alemanha 
adotou a Blitzkrieg – “guerra-relâmpago”- tática de operação combinanda (naval aérea e 
terrestre). 
 
A Alemanha ocupou a Polônia, Dinamarca, Noruega, Holanda, Bélgica e França. A França, 
após a invasão, ficou dividida em duas áreas: uma zona de ocupação pelos nazistas e uma 
zona “livre”- governada pelos simpatizantes do nazismo. Em agosto de 1940 iniciou-se o 
ataque a Grã-Bretanha, neutralizada pela ação da RAF (força aérea britânica). 
 
Em 1941 o EIXO recebeu apoio da Hungria, Romênia e Bulgária, houve a ocupação da 
Iugoslávia e da Grécia. No mesmo ano houve o desembarque da Afrikakorps (comandada 
por Rommel) com o objetivo de conquistar o canal de Suez. Entre os anos de 1941 a 1943 
houve um período de equilíbrio entre as forças na guerra. Em junho de 1941 a Alemanha 
deu início à Operação Barbarossa – a invasão da União Soviética. A ofensiva nazista, 
inicialmente, foi vitoriosa. 
Em dezembro de 1941, o Japão durante seu expansionismo pela Ásia, atacou Pearl Habor – 
fato que marca a entrada dos EUA no conflito. Entre 1943 e 1945 a guerra é marcada pela 
vitória das forças contrárias ao EIXO. 
 
Fascismo 
Regime político de caráter totalitário que surge na Europa no entreguerras (1919-1939). 
Originalmente é empregado para denominar o regime político implantado pelo italiano Benito 
Mussolini entre 1919 e 1943. Suas principais características são o nacionalismo, que tem a 
nação como forma suprema de desenvolvimento, e o corporativismo, em que os sindicatos 
patronais e trabalhistas são os mediadores das relações trabalhistas. O fascismo nasce 
oficialmente em 1919, em Milão, quando Mussolini funda o movimento intitulado Fascio de 
Combatimento, cujos integrantes, os camisas pretas (camicie nere), se opõem à classe 
liberal. Em 1922, as milícias fascistas desfilam na Marcha sobre Roma. Pretendem tomar o 
poder militarmente e ocupam prédios públicos e estações ferroviárias, exigindo a formação 
de um novo gabinete. Mussolini é convocado para chefiar o governo do país, que atravessa 
profunda crise econômica, agravada por greves e manifestações de trabalhadores. Por meio 
de fraudes, os fascistas conseguem maioria parlamentar. Em seguida, Mussolini dissolve os 
partidos de oposição, persegue parlamentares oposicionistas e passa a governar por 
decretos. As características do regime são cerceamento da liberdade civil e política, 
unipartidarismo, derrota dos movimentos de esquerda e limitação ao direito dos empresários 
de administrar sua força de trabalho. A política adotada, entretanto, é eficiente na 
modernização da economia industrial e na diminuição dodesemprego. 
 
Nazismo 
Regime político de caráter totalitário que se desenvolve na Alemanha durante as sucessivas 
crises da República de Weimar, entre 1919 e 1933. Baseia-se na doutrina do nacional-
socialismo, formulada por Adolf Hitler, que orienta o programa do Partido Nacional-Socialista 
dos Trabalhadores Alemães (NSDAP). De caráter nacionalista, defende o racismo, a 
superioridade da raça ariana e a luta pelo expansionismo alemão e nega as instituições da 
democracia liberal e a revolução socialista. A essência da ideologia nazista encontra-se no 
livro de Hitler, Minha Luta (Mein Kampf). 
Ao final da I Guerra Mundial, além de perder territórios para França, Polônia, Dinamarca e 
Bélgica, os alemães são obrigados pelo Tratado de Versalhes a pagar altas indenizações 
aos países vencedores. Essa penalidade faz crescer a dívida externa e compromete os 
investimentos internos, gerando falências, inflação e desemprego em massa. As tentativas 
frustradas de revolução socialista (1919, 1921 e 1923) e as sucessivas quedas de gabinetes 
de orientação social-democrata criam condições favoráveis ao surgimento e à expansão do 
nazismo no país. O NSDAP, utilizando-se de espetáculos de massa (comícios e desfiles) e 
dos meios de comunicação (jornais, revistas, rádio e cinema), consegue mobilizar a 
população por meio do apelo à ordem e ao revanchismo. Recebe ajuda da grande 
burguesia, que teme o movimento operário. Favorecidos por uma divisão dos partidos de 
esquerda, os nazistas são vitoriosos nas eleições de 1932. Em 1933, Hitler é nomeado 
primeiro-ministro, com o auxílio de nacionalistas, católicos e setores independentes. Um ano 
depois se torna chefe de governo (chanceler) e chefe de Estado (presidente). Interpreta o 
papel de führer, o guia do povo alemão, criando o III Reich (III Império). 
Com poderes excepcionais, Hitler suprime todos os partidos políticos, exceto o nazista; 
dissolve os sindicatos; cassa o direito de greve; fecha os jornais de oposição; e estabelece a 
censura à imprensa. Apoiando-se em organizações paramilitares, SA (guarda do Exército), 
SS (guarda especial) e Gestapo (polícia política), realiza perseguições aos judeus, aos 
sindicatos e aos políticos comunistas, socialistas e de outros partidos. O intervencionismo e 
a planificação econômicos adotados por Hitler eliminam, no entanto, o desemprego e 
impedem a retirada do capital estrangeiro do país. Há um acelerado desenvolvimento 
industrial, que estimula a indústria bélica e a edificação de obras públicas. Esse crescimento 
se deve em boa parte ao apoio dos grandes grupos alemães, como Krupp, Siemens e 
Bayer, a Adolf Hitler. Em desrespeito ao Tratado de Versalhes, Hitler reinstitui o serviço 
militar obrigatório, em 1935, remilitariza o país e envia tanques e aviões para amparar as 
forças conservadoras do general Francisco Franco durante a Guerra Civil Espanhola, em 
1936. Nesse mesmo ano promove o extermínio sistemático dos judeus por meio da 
deportação para guetos ou campos de concentração. Anexa a Áustria e a região dos 
Sudetos, na Tchecoslováquia (1938). Ao invadir a Polônia, em 1939, dá início à II Guerra 
Mundial. 
Terminado o conflito, instala-se na cidade alemã de Nürenberg um tribunal internacional 
para julgar os crimes de guerra cometidos pelos nazistas. Realizam-se 13 julgamentos entre 
1945 e 1947, 25 alemães são condenados à morte, 20 à prisão perpétua, 97 a penas curtas 
de prisão e 35 são absolvidos. Dos 21 principais líderes nazistas capturados, dez são 
executados por enforcamento em 16 de outubro de 1946. 
Neonazismo – A partir dos anos 80, na Europa, há uma retomada de movimentos 
autoritários e conservadores denominados neonazistas, principalmente na Alemanha, 
Áustria, França e Itália. Eles são favorecidos, entre outros motivos, pela imigração, pela 
recessão, pelo desemprego e pelo ressurgimento de velhos preconceitos étnicos e raciais. 
Manifestam-se de forma violenta e têm nos estrangeiros o alvo preferencial de ataque. Em 
determinados países, os movimentos neonazistas valem-se também da via institucional 
parlamentar, como o partido político Frente Nacional, na França. No Brasil, carecas, 
skinheads e white power são alguns dos grupos em evidência nos grandes centros urbanos, 
promovendo ataques verbais, pichações e agressões dirigidas principalmente contra os 
migrantes nordestinos. 
 
Encarregado de execuções e da segurança de Hitler 
Sigla de Schutzstaffel (‘esquadra de proteção’), organização do Partido Nacional-socialista 
(nazista) alemão, encarregado do serviço de segurança e dos programas de execuções em 
massa que iniciaram a chamada ‘solução final’. Foi constituída, em 1925, como guarda 
pessoal de Adolf Hitler. Em 1929 Heinrich Himmler passou a comandá-la, organizando, em 
1932, uma unidade de inteligência, a SD (Serviço de Segurança das SS), cuja direção foi 
entregue a Reinhard Heydrich. 
Em março de 1934 as SS assumiram a direção de todas as organizações policiais alemães, 
assim como da Gestapo. Algumas de suas unidades confinaram 2,3 milhões de judeus em 
guetos. Em 1941 Hitler ordenou a ‘solução final das questões judia na Europa’, cuja 
conseqüência foi o Holocausto. Foram colocados em funcionamento os campos de 
extermínio, nos quais morreram pelo menos 3 milhões de judeus. Em 1944, Hitler ao ser 
informado que Himmler tentara negociar com os países aliados, contra as potências do Eixo, 
extinguiu as SS, expulsando Himmler do partido. Em 30 de abril de 1945, o Führer se 
suicidou. 
Heinrich Himmler, (1900-1945), oficial alemão nazista. Foi chefe da SS e da Gestapo. Pôs 
em prática o programa destinado a exterminar as populações judia e os oponentes do 
regime de Adolf Hitler. Este lhe nomeou ministro do Interior em 1943. 
 
Gestapo e Hermann Goering 
Gestapo (Geheime Staatspolizei ou Polícia secreta), aposta que designa a polícia política do 
regime nazista, que tomou o poder na Alemanha de 1933 a 1945. Foi fundada por Hermann 
Goering em 1933 com o objetivo de perseguir aos oponentes políticos do nacional-
socialismo. 
Os suspeitos eram arrastados e internados habitualmente em campos de concentração. Sob 
o comando de Heinrich Himmler, que dirigia o ramo paramilitar das SS, essas foram se 
infiltrando na Gestapo. Durante a II Guerra Mundial se transformou em um instrumento 
quase onipotente a serviço dos planos racistas de Hitler. Ao terminar a contenda, foi 
dissolvida e declarada organização criminosa. 
Hermann Goering, (1893-1946), militar e político alemão. Conheceu Adolf Hitler em 1921 e 
um ano mais tarde se transformou em um dos líderes do Partido Nacional Socialista 
(nazista). Foi ministro da Aeronáutica, ministro presidente da Prússia, ministro do Interior e 
chefe de todas as forças de segurança alemãs. Concebeu a política de terror empregada na 
II Guerra Mundial, na qual se bombardearam e arrasaram cidades inteiras para submeter 
seus habitantes. 
 
Os salvadores de Judeus no Nazismo 
Oskar Schindler, (1908-1974), industrial alemão cuja atuação salvou a vida de numerosos 
judeus durante o nazismo. Conseguiu, mediante subornos, que seus trabalhadores não 
fossem para o campo de concentração de Auschwitz. Em 1961, foi convidado a Israel, onde 
recebeu a Cruz do Mérito, existe até um filme de Steven Spilberg "A lista de Schindler" 
contando seus atos de heroísmo que salvaram vários judeus. 
 
Goering do bem 
Irmão do braço direito de Hitler salvou judeus e outros perseguidos pelos nazistas.Seu 
irmão, Hermann Goering, era o braço direito de Adolf Hitler, criou a Gestapo e foi um dos 
principais responsáveis pelo genocídio dos judeus europeus. Albert Goering tinha índole 
inteiramente diferente. Arriscou sua vida (e soube tirar proveito do poder do irmão) para 
salvar muitos judeus e outros perseguidos pelo regime nazista. Preso depois da derrota da 
Alemanha naII Guerra — primeiro pelos aliados, depois pela Checoslováquia —, Albert 
beneficiou-se do testemunho de pessoas que ajudou e pôde recomeçar a vida com um 
certificado de inocência. O paralelo com Oskar Schindler, popularizado por Steven Spielberg 
no filme A Lista de Schindler, é inevitável. A história de Albert Goering, contudo, é quase 
desconhecida, além de mais surpreendente. Quem iria imaginar que o irmão do sucessor 
designado de Hitler tenha permanecido durante toda a guerra firmemente do lado do bem? 
Albert entregou-se ao Exército americano em maio de 1945, certo de que os aliados iriam 
tentar capturá-lo por causa do parentesco com o Reichsmarschall Hermann Goering. Num 
relato entregue aos americanos, Albert enumerava suas atividades desde 1933. Afirmou 
nunca ter-se filiado ao Partido Nazista. Ao contrário, havia sido "um ativo combatente contra 
o nacional-socialismo", além de ter ajudado "dezenas de judeus". Também apresentou uma 
lista de 34 pessoas que salvou da Gestapo. Como prova adicional, dizia que Heinrich 
Himmler, o chefe das SS, chegou a ordenar sua prisão por atividades antinazistas. As 
afirmações eram mais incríveis por ser verdadeiras. 
Suicídio em Nuremberg — Hermann Goering, o irmão mais velho, é uma figura de destaque 
entre os maiores vilões do século. Chefe da Luftwaffe, a Força Aérea alemã, e criador da 
Gestapo, a polícia política, ele foi também o idealizador dos campos de concentração. 
Condenado à forca no Tribunal de Nuremberg, suicidou-se com uma cápsula de cianureto 
horas antes da execução. Seria possível que, sob suas barbas, o próprio irmão desafiasse o 
credo totalitário nazista? Um dos melhores relatos sobre a saga do irmão bom-caráter do 
carrasco nazista foi ao ar no Channel 4, na Inglaterra. Parte desse material havia sido 
publicada em forma de reportagem no jornal inglês Sunday Times seu autor, Adam LeBor, 
conta ter ouvido de testemunhas como Albert se recusava a usar a saudação nazista. 
Sempre que era recebido com um braço levantado e o Heil Hitler, tirava o chapéu e 
respondia com um polido "bom-dia". O irmão perverso, Hermann, chamava-o de "ovelha 
negra da família", embora sempre o salvasse de encrencas. 
Não há, na verdade, nada na família Goering que justifique o antissemitismo fanático de 
Hermann — exceto, e sobre isso só os psicanalistas podem especular, o fato de um amigo 
judeu da família ter sido amante de sua mãe durante quinze anos. Esse homem, Hermann 
Von Epenstein, era padrinho de ambos, e os meninos passaram parte da infância em seu 
castelo na Bavária. Sempre houve especulações sobre a paternidade do caçula. A suspeita 
era reforçada pela tez morena e cabelos escuros de Albert, tão diferentes do loiro Hermann, 
que os nazistas consideravam o protótipo do perfeito "ariano". Os irmãos eram 
extremamente ligados, o que deve explicar a to lerância do chefe nazista em relação ao 
rebelde. 
Salvo-conduto — Quando os alemães anexaram a Áustria, em 1938, Albert era empregado 
de uma companhia cinematográfica cujo proprietário, o judeu Oskar Pilzer, foi preso. "Meu 
pai e Albert não eram amigos", relembrou um filho de Oskar, Georges, hoje com 77 anos, 
em depoimento a LeBor. "Mas, quando os nazistas o prenderam, Albert conseguiu libertá-lo 
na mesma tarde." No ano seguinte, Albert foi trabalhar como diretor de exportação da 
Skoda, a grande metalúrgica checa, então sob controle dos nazistas, que tinham ocupado o 
país. Os diretores da Skoda acharam ótimo ter entre eles o irmão do número 2 do regime 
nazista. Albert ajudou a impedir que a fábrica fosse desmontada e levada para a Alemanha. 
A indústria era o centro da resistência checa — e Albert com certeza sabia disso. 
Como Schindler, Albert era um homem de negócios que soube tirar proveito de suas 
conexões com a cúpula nazista e viver confortavelmente num mundo mergulhado no horror. 
Não é por isso que a História irá julgá-lo — o que pesa são depoimentos como o do médico 
Ladislav Kovacs, judeu húngaro que conheceu Albert em Roma, hoje disponíveis nos 
arquivos públicos em Londres. Albert propôs a Kovacs abrir uma conta bancária na Suíça 
para ajudar judeus e outros refugiados do regime nazista. Em 1943, quando os nazistas 
invadiram a Itália, Albert escreveu pessoalmente um salvo-conduto para Kovacs e sua 
família — documento sem valor legal, mas nenhum agente da Gestapo ousaria afrontar o 
irmão do Reichsmarschall. Exibindo o sobrenome poderoso, Albert passou toda a guerra 
providenciando dinheiro e documentos para pessoas perseguidas pela Gestapo. Umas 
poucas são bem conhecidas, como Jan Moravek, diretor da Skoda e líder da resistência 
checa, ou o compositor Franz Lehar, de A Viúva Alegre, e sua mulher, a judia Sophie 
Paschkis. Albert conseguiu do ministro da Propaganda nazista, o sinistro Joseph Goebbels, 
um certificado de "ariana honorária" para Sophie. 
Há registros de como os irmãos Goering mantinham negócios luc rativos (afinal, Albert 
fabricava armamentos e faturou alto com a guerra). Hermann chegou a advertir o irmão para 
se manter longe dos "assuntos de Estado", eufemismo para o extermínio dos judeus. O 
caçula era, entretanto, incorrigível. Em 1944, foi finalmente preso, por se recusar a sentar à 
mesma mesa com um figurão nazista que certa vez assassinara um político socialista. Como 
sempre, o irmão o socorreu. Albert Goering casou quatro vezes e morreu em 1966, depois 
de trabalhar como projetista e engenheiro numa firma de construção em Munique. Nunca 
falava sobre a história excepcional que viveu durante a guerra. 
 
3. A Guerra Fria 
 
 A Guerra Fria, que teve seu início logo após a Segunda Guerra Mundial (1945) e a extinção 
da União Soviética (1991) é a designação atribuída ao período histórico de disputas 
estratégicas e conflitos indiretos entre os Estados Unidos e a União Soviética, disputando a 
hegemonia política, econômica e militar no mundo. 
 
 Causas 
 
 A União Soviética buscava implantar o socialismo em outros países para que pudessem 
expandir a igualdade social, baseado na economia planificada, partido único (Partido 
Comunista), igualdade social e falta de democracia. Enquanto os Estados Unidos, a outra 
potência mundial defendia a expansão do sistema capitalista, baseado na economia de 
mercado, sistema democrático e propriedade privada. 
 Com o fim da Segunda Guerra Mundial o contraste entre o capitalismo e socialismo era 
predominante entre a política, ideologia e sistemas militares. Apesar da rivalidade e tentativa 
de influenciar outros países, os Estados Unidos não conflitou a União Soviética (e vice-
versa) com armamentos, pois os dois países tinham em posse grande quantidade de 
armamento nuclear, e um conflito armado direto significaria o fim dos dois países e, 
possivelmente, da vida em nosso planeta. Porém ambos acabaram alimentando conflitos 
em outros países como, por exemplo, na Coréia e no Vietnã. 
 Com o objetivo de reforçar o capitalismo, o presidente dos Estados Unidos, Harry Truman, 
lança o Plano Marshal, que era um oferecimento de empréstimos com juros baixos e 
investimentos para que os países arrasados na Segunda Guerra Mundial pudessem se 
recuperar economicamente. A partir desta estratégia a União Soviética criou, em 1949, o 
Comecon, que era uma espécie de contestação ao Plano Marshall que impedia seus aliados 
socialistas de se interessar ao favorecimento proposto pelo então inimigo político. 
 A Alemanha por sua vez, aderiu o Plano Marshall para se restabelecer o que fez com que a 
União Soviética bloqueasse todas as rotas terrestres que davam acesso a Berlim. Desta 
forma, a Alemanha, apoiada pelos Estados Unidos, abastecia sua parte de Berlim por vias 
aéreas provocando maior insatisfação soviética e o que provocou a divisão da Alemanha 
em Alemanha Oriental e Alemanha Ocidental. 
 Em 1949, os Estados Unidos juntamente