Prova estatistica
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Prova estatistica

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Universidade Estadual de Maringa\u301 - UEM
Primeira avaliac\u327a\u303o: 13/12/2019
Disciplina: 7259 - Estat\u301\u131stica
NOME:
RA:
\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2013
Atenc\u327a\u303o: Apresente todos os ca\u301lculos que levaram voce\u302 a\u300 resposta final. Resposta sem as devidas justi-
ficativas podera\u301 ser desconsiderada. A prova e\u301 individual sendo proibido o uso de material de apoio (livro
ou anotac\u327o\u303es) ou celular. E\u301 permitido o uso de calculadora e a tabela de probabilidades da distribuic\u327a\u303o
Normal. A prova tem durac\u327a\u303o de 1 hora e 40 minutos.
\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014 Boa prova \u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2014\u2013
Questa\u303o 1: (2,0 pontos) Dois processadores tipos A e B sa\u303o colocados em teste por 50 mil horas. A
probabilidade de que um erro de ca\u301lculo acontec\u327a em um processador do tipo A e\u301 de 0,5, no tipo B e\u301 de 0,3
e, em ambos e\u301 de 0,12. Qual a probabilidade de que:
(a) Pelo menos um dos processadores apresente erro?
(b) Nenhum processador apresente erro?
(c) O processador A apresente erro, dado que B na\u303o apresentou?
Questa\u303o 2: (2,5 pontos) Um fabricante de pec\u327as de automo\u301veis garante que uma caixa de suas pec\u327as
contera\u301, no ma\u301ximo, uma pec\u327a com defeito. Cada caixa conte\u301m 5 pec\u327as e a experie\u302ncia tem demonstrado
que esse processo de fabricac\u327a\u303o produz uma pec\u327a com defeito com probabilidade de 0,08.
(a) Qual a probabilidade de que uma caixa selecionada ao acaso satisfac\u327a a garantia do fabricante?
(b) Suponha que selecionamos ao acaso 4 caixas do estoque. Qual e\u301 a probabilidade de exatamente duas
caixas satisfac\u327am a garantia do fabricante?
Questa\u303o 3: (2,0 pontos) Assumimos que o nu\u301mero de clientes que chegam a cada hora em certo posto
de servic\u327os automobil\u301\u131sticos segue uma distribuic\u327a\u303o de Poisson com me\u301dia \u3bb = 6 clientes/hora.
(a) Calcule a probabilidade de que mais de 2 clientes cheguem em um per\u301\u131odo de uma hora.
(b) Calcule a probabilidade de que nenhum cliente chegue em um per\u301\u131odo de 20 minutos.
Questa\u303o 4: (2,0 pontos) O tempo de resposta de computadores e\u301 uma importante aplicac\u327a\u303o da distri-
buic\u327a\u303o exponencial. Suponha que um estudo sobre certo sistema de computador revele que o tempo de
resposta, em segundos, tem uma distribuic\u327a\u303o exponencial com me\u301dia de cinco segundos. Qual e\u301 a probabi-
lidade de que o tempo de resposta exceda quatro segundos?
Questa\u303o 5: (2,5 pontos) Suponha que, em uma ma\u301quina de engarrafamento de certo tipo de bebida, o
volume depositado em cada garrafa e\u301 explicado por uma varia\u301vel aleato\u301ria normal com me\u301dia µ = 600ml e
desvio-padra\u303o de \u3c3 = 2ml.
(a) Calcule a probabilidade de uma garrafa escolhida ao acaso tenha mais de 603ml.
(b) Qual seria o valor em mililitros tal que ha\u301 uma probabilidade de 95% de selecionarmos uma garrafa
com volume abaixo deste valor?
\u2022 Probabilidade condicional: A probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B, e\u301
P (A|B) = P (A \u2229B)
P (B)
,
desde que P (B) > 0.
\u2022 Regra do produto de probabilidades:
P (A \u2229B) = P (B)P (A|B)
\u2022 Lema da probabilidade total Sejam A e B dois eventos quaisquer, enta\u303o
P (A) = P (A \u2229B) + P (A \u2229Bc)
ou, ainda, pela regra do produto das probabilidades:
P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc)
\u2022 Distribuic\u327a\u303o Binomial Uma varia\u301vel aleato\u301ria discreta X tem distribuic\u327a\u303o binomial de para\u302metros
n e p se sua func\u327a\u303o de probabilidades e\u301 dada por:
p(x) = P (X = x) =
(
n
x
)
px(1\u2212 p)n\u2212x, x = 0, 1, 2, . . . , n,
com
(
n
x
)
representando o coeficiente binomial calculado por(
n
x
)
=
n!
k!(n\u2212 k)!
.
\u2022 Distribuic\u327a\u303o Poisson A varia\u301vel aleato\u301ria discreta X tem distribuic\u327a\u303o Poisson de me\u301dia E(X) = \u3bb
se sua func\u327a\u303o de probabilidades for dada por
p(x) = P (X = x) =
\u3bbxe\u2212\u3bb
x!
, para x = 0, 2, 1, . . .
sendo e = 2, 71828...
\u2022 Distribuic\u327a\u303o Exponencial: Uma varia\u301vel aleato\u301ria cont\u301\u131nua X segue uma distribuic\u327a\u303o Exponen-
cial com me\u301dia E(X) = 1/\u3bb e varia\u302ncia V(X) = 1/\u3bb2, com \u3bb > 0, se sua func\u327a\u303o densidade de
probabilidade e\u301 dada por
f(x) =
{
\u3bbe\u2212\u3bbx se x \u2265 0
0, se x < 0.
Func\u327a\u303o distribuic\u327a\u303o acumulada:
F (x) = P (X \u2264 x) =
{
1\u2212 e\u2212\u3bbx, se x \u2265 0
0, , se x < 0
\u2022 Distribuic\u327a\u303o Normal: Uma varia\u301vel aleato\u301ria cont\u301\u131nua X segue uma distribuic\u327a\u303o Normal com
me\u301dia E(X) = µ e varia\u302ncia V(X) = \u3c32, com \u2212\u221e < µ < \u221e e \u3c3 > 0, se sua func\u327a\u303o densidade de
probabilidade e\u301 dada por
f(x) =
1\u221a
2\u3c0\u3c3
exp
{
\u22121
2
(
x\u2212 µ
\u3c3
)2}
, para todo \u2212\u221e < x <\u221e.