Prova estatistica

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Universidade Estadual de Maringá - UEM
Primeira avaliação: 13/12/2019
Disciplina: 7259 - Estat́ıstica
NOME:
RA:
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Atenção: Apresente todos os cálculos que levaram você à resposta final. Resposta sem as devidas justi-
ficativas poderá ser desconsiderada. A prova é individual sendo proibido o uso de material de apoio (livro
ou anotações) ou celular. É permitido o uso de calculadora e a tabela de probabilidades da distribuição
Normal. A prova tem duração de 1 hora e 40 minutos.
——————————————————— Boa prova ——————————————————————–
Questão 1: (2,0 pontos) Dois processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A
probabilidade de que um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 0,5, no tipo B é de 0,3
e, em ambos é de 0,12. Qual a probabilidade de que:
(a) Pelo menos um dos processadores apresente erro?
(b) Nenhum processador apresente erro?
(c) O processador A apresente erro, dado que B não apresentou?
Questão 2: (2,5 pontos) Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças
conterá, no máximo, uma peça com defeito. Cada caixa contém 5 peças e a experiência tem demonstrado
que esse processo de fabricação produz uma peça com defeito com probabilidade de 0,08.
(a) Qual a probabilidade de que uma caixa selecionada ao acaso satisfaça a garantia do fabricante?
(b) Suponha que selecionamos ao acaso 4 caixas do estoque. Qual é a probabilidade de exatamente duas
caixas satisfaçam a garantia do fabricante?
Questão 3: (2,0 pontos) Assumimos que o número de clientes que chegam a cada hora em certo posto
de serviços automobiĺısticos segue uma distribuição de Poisson com média λ = 6 clientes/hora.
(a) Calcule a probabilidade de que mais de 2 clientes cheguem em um peŕıodo de uma hora.
(b) Calcule a probabilidade de que nenhum cliente chegue em um peŕıodo de 20 minutos.
Questão 4: (2,0 pontos) O tempo de resposta de computadores é uma importante aplicação da distri-
buição exponencial. Suponha que um estudo sobre certo sistema de computador revele que o tempo de
resposta, em segundos, tem uma distribuição exponencial com média de cinco segundos. Qual é a probabi-
lidade de que o tempo de resposta exceda quatro segundos?
Questão 5: (2,5 pontos) Suponha que, em uma máquina de engarrafamento de certo tipo de bebida, o
volume depositado em cada garrafa é explicado por uma variável aleatória normal com média µ = 600ml e
desvio-padrão de σ = 2ml.
(a) Calcule a probabilidade de uma garrafa escolhida ao acaso tenha mais de 603ml.
(b) Qual seria o valor em mililitros tal que há uma probabilidade de 95% de selecionarmos uma garrafa
com volume abaixo deste valor?
• Probabilidade condicional: A probabilidade condicional de A dado que ocorreu o evento B, é
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
,
desde que P (B) > 0.
• Regra do produto de probabilidades:
P (A ∩B) = P (B)P (A|B)
• Lema da probabilidade total Sejam A e B dois eventos quaisquer, então
P (A) = P (A ∩B) + P (A ∩Bc)
ou, ainda, pela regra do produto das probabilidades:
P (A) = P (A|B)P (B) + P (A|Bc)P (Bc)
• Distribuição Binomial Uma variável aleatória discreta X tem distribuição binomial de parâmetros
n e p se sua função de probabilidades é dada por:
p(x) = P (X = x) =
(
n
x
)
px(1− p)n−x, x = 0, 1, 2, . . . , n,
com
(
n
x
)
representando o coeficiente binomial calculado por(
n
x
)
=
n!
k!(n− k)!
.
• Distribuição Poisson A variável aleatória discreta X tem distribuição Poisson de média E(X) = λ
se sua função de probabilidades for dada por
p(x) = P (X = x) =
λxe−λ
x!
, para x = 0, 2, 1, . . .
sendo e = 2, 71828...
• Distribuição Exponencial: Uma variável aleatória cont́ınua X segue uma distribuição Exponen-
cial com média E(X) = 1/λ e variância V(X) = 1/λ2, com λ > 0, se sua função densidade de
probabilidade é dada por
f(x) =
{
λe−λx se x ≥ 0
0, se x < 0.
Função distribuição acumulada:
F (x) = P (X ≤ x) =
{
1− e−λx, se x ≥ 0
0, , se x < 0
• Distribuição Normal: Uma variável aleatória cont́ınua X segue uma distribuição Normal com
média E(X) = µ e variância V(X) = σ2, com −∞ < µ < ∞ e σ > 0, se sua função densidade de
probabilidade é dada por
f(x) =
1√
2πσ
exp
{
−1
2
(
x− µ
σ
)2}
, para todo −∞ < x <∞.