01R_Cap1

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
NOÇÕES GERAIS - VECTORES 
Capítulo 
1 
DISCIPLINA DE FÍSICA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CAPÍTULO 1 - NOÇÕES GERAIS - VECTORES 
UAlg / EST / ADEC 1-1 DABP@2006 
1.2 Com base na Figura 1.2, determine: 
1.2.1 As componentes escalares e o módulo do vector v
�
. 
1.2.2 O coseno, o seno, a tangente e a cotangente do ângulo α . 
Resolução: 
1.2.1 Componente escalares: 5 2 3xv = − = 3 7 4yv = − = − ( ) ( )
2 22 2 3 4 5x yv v v= + = + − =
�
 
1.2.2 Coseno: x
v 3
cos α= cos α=
v 5
⇔
�
 Seno: y
v -4
sen α = sen α = 
v 5
⇔
�
 
 Tangente: 
4
3
y
x
v
tg tg
v
α α
−
= ⇔ = Co-tangente: x
y
v 3
cotg α = cotg α = 
v -4
⇔ 
 
1.6 Dois vectores r
�
e s
�
estão no plano XY, os seus módulos são respectivamente 4,5 e 7,3 unidades e as suas direcções são de 320º (α) e 85º (β) 
medidos no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo dos x. 
1.6.1 Determine as componentes escalares. 
1.6.2 Qual o valor de sr
��
⋅ . 
Resolução: 
1.6.1 Componentes escalares: 
 xs = s × cos85º = 7,3 × cos85º = 0,64
�
 ys = s × sen85º = 7,3 × sen85º = 7,27
�
 
 xr = r × cos320º = 4,5 × cos320º = 3,45
�
 yr = r × sen320º = 4,5 × sen320º = -2,89
�
 
 
 
 
 
Figura 1.2 
CAPÍTULO 1 - NOÇÕES GERAIS - VECTORES EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DISCIPLINA DE FÍSICA 
DABP@2006 1-2 UAlg / EST / ADEC 
1.6.2 Produto interno: ( )x x y yr s = r × s + r × s = 3,45 × 0,64 + -2,89 × 7,27 = -18,8⋅
� �
 
ou pode ser calculado por, 
 r s= r × s × cosθ = 4,5 × 7,3 × cos125º = -18,8⋅
� � � �
 
 
 
1.7 Considere os vectores 1F
�
 , 2F
�
, 1r
�
 e 2r
�
: 
kjiF ˆ1ˆ2ˆ41 ⋅+⋅−⋅=
�
 jir ˆ1ˆ21 ⋅+⋅−=
�
 
kjiF ˆ1ˆ1ˆ32 ⋅+⋅−⋅=
�
 kjr ˆ1ˆ22 ⋅+⋅=
�
 
Sendo o vector M
�
dado por 2211 FrFr
�
�
�
�
×+× e rF
�
 por 21 FF
��
+ , verifique se RM F⊥
� �
. 
Resolução: 
1 1 2 2
ˆ ˆ ˆ ˆî j k î j k
M = r × F + r × F = -2 1 0 + 0 2 1
4 -2 1 3 -1 1
� � �
� �
 , calculando em separado cada um dos determinantes, 
vem: 
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
ˆ ˆî j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ-2 1 0 = 1 × 1 - 0 × -2 i - -2 × 1 - 0 × 4 j + -2 × -2 - 1 × 4 k = 1i + 2j + 0k
4 -2 1
 
( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
ˆ ˆî j k
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0 2 1 = 2 × 1 - 1 × -1 i - 0 × 1 - 1 × 3 j + 0 × -1 - 2 × 3 k = 3i + 3j + -6 k
3 -1 1
 
 
Figura 1.6 – Representação dos 
vectores e dos ângulos α, β e θ. 
DISCIPLINA DE FÍSICA EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CAPÍTULO 1 - NOÇÕES GERAIS - VECTORES 
UAlg / EST / ADEC 1-3 DABP@2006 
Finalmente a soma de ambos é igual a: ( ) ( )( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1i + 2j + 0k + 3i + 3j + -6 k = 1 + 3 i + 2 + 3 j + (0 - 6)k = 4i + 5j - 6k 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )R 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆF = F + F = 4i - 2j + 1k + 3i - 1j + 1k = 4 + 3 i + -2 + -1 j + 1 + 1 k = 7i - 3j + 2k
� � �
 
Para verificar se RM F⊥
� �
, ou seja, se o vector M
�
 é perpendicular ao vector RF
�
, o produto interno M F⋅
� �
 terá de ser igual a zero. 
( ) ( )( ) ( )M F = 4 × 7 + 5 × -3 + -6 × 2 = 1⋅
� �
, de onde se conclui que os dois vectores não são perpendiculares.