Circuito_com_R_L_C

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Circuitos Contendo Resistência, 
Indutância e Capacitância
Prof.: Welbert Rodrigues 
Circuitos Elétricos
Welbert Rodrigues 2
Introdução
� Serão estudadas as relações existentes 
entre as tensões e as correntes alternadas 
senoidais nos Resistores, nos Capacitores 
e nos Indutores e sua forma de 
representação matemática.
� Além de como a freqüência dos sinais 
senoidais afeta as características de 
comportamento desses elementos.
Welbert Rodrigues 3
Introdução
� A forma de onda senoidal é a única forma 
de onda alternada cuja forma não é
afetada pelas características de respostas 
dos elementos resistivos, indutivos e 
capacitivos.
Welbert Rodrigues 4
Resistor em Corrente Alternada
� Lei de Ohm
� Circuito resistivo
V
R
I
=
( ) ( )p Vv t V sen tω θ= +
Welbert Rodrigues 5
Resistor em Corrente Alternada
� Corrente no resistor:
( )( )
( ) ( )p V pR V
V sen t Vv t
i t sen t
R R R
ω θ
ω θ
+
= = = +
p
P
V
I
R
=
( ) ( )R p Vi t I sen tω θ= +
I Vθ θ=
Welbert Rodrigues 6
Resistor em Corrente Alternada
� Tensão e Corrente no resistor:
( ) ( )R p Vv t V sen tω θ= +
( ) ( )R p Ii t I sen tω θ= +
I Vθ θ=
Welbert Rodrigues 7
Resistor em Corrente Alternada
� Tensão e Corrente em fase
Welbert Rodrigues 8
Resistor em Corrente Alternada
� Nos terminais de um resistor, a corrente 
está sempre em fase com a tensão.
� No domínio fasorial:
R
R
V
R
I
•
•=
Welbert Rodrigues 9
Resistor em Corrente Alternada
� Exercício: 
A um resistor de 6Ω é aplicada uma tensão de 
senoidal de 12Vef , 60Hz e ângulo de fase inicial zero.
a) Determine a expressão trigonométrica e o fasor
para a tensão;
b) Determine a expressão trigonométrica e o fasor
para a corrente;
c) Trace as formas de onda para v(t) e i(t);
d) Trace o diagrama fasorial para a tensão e corrente.
Welbert Rodrigues 10
Resistor em Corrente Alternada
� Solução: 
a) 
Expressão trigonométrica:
Fasor da tensão:
Welbert Rodrigues 11
Resistor em Corrente Alternada
� Solução: 
b) Fasor da Corrente:
Corrente Instantânea:
Welbert Rodrigues 12
Resistor em Corrente Alternada
� Solução: 
c) 
Welbert Rodrigues 13
Resistor em Corrente Alternada
� Solução: 
d) Diagrama Fasorial:
Welbert Rodrigues 14
Indutor em Corrente Alternada
� Indutância: é capacidade de um condutor 
possui de induzir tensão em si mesmo quando a 
corrente varia.
� Um indutor armazena energia na forma de 
campo magnético.
LvL
i t
=
∆ ∆
Welbert Rodrigues 15
Indutor em Corrente Alternada
� Exemplo:
Qual a indutância de uma bobina que induz 20V 
quando a corrente que passa pela bobina varia de 
12 para 20 A em 2s?
� Resposta: L=5H.
Welbert Rodrigues 16
Indutor em Corrente Alternada
� Reatância Indutiva(XL): é a oposição à
corrente ca devida à indutância do circuito. 
� Tensão no Indutor:
� Energia do Indutor:
2LX L fLω π= =
L
i
V L
t
∆=
∆
21
2
E LI=
Welbert Rodrigues 17
Indutor em Corrente Alternada
� Indutores em série:
� Indutores em Paralelo:
1 2 3 ...T nL L L L L= + + + +
1 2 3
1 1 1 1 1
...
T nL L L L L
= + + + +
Welbert Rodrigues 18
Indutor em Corrente Alternada
� Tensão e Corrente no Indutor:
Em um indutor num circuito CA, a corrente estará
sempre atrasada de 90º em relação à tensão.
Welbert Rodrigues 19
Indutor em Corrente Alternada
� Lei de Ohm
.L L LV X I=
Welbert Rodrigues 20
Indutor em Corrente Alternada
� Corrente no indutor:
� Na forma fasorial:
( ) ( )L p ii t I sen tω θ= ±
( ) ( 90º )L p iv t V sen tω θ= ± +
L ef iI I θ
•
= ∠
90ºL ef iV V θ
•
= ∠ +
Welbert Rodrigues 21
Indutor em Corrente Alternada
� Lei de Ohm
90º
| | 90º | | .ef iLL L L
ef i
L
VV
X X X j
II
θ
θ
•
•
∠ +
= = = ∠ + =
∠
Welbert Rodrigues 22
Indutor em Corrente Alternada
� Tensão e Corrente no Indutor
Welbert Rodrigues 23
Indutor em Corrente Alternada
� O indutor ideal comporta-se como um curto-circuito 
em corrente contínua e como uma reatância elétrica 
em corrente alternada - XL (se opõe à variação de 
corrente).
� Para freqüências muito altas, o indutor comporta-se 
praticamente como um circuito aberto.
Welbert Rodrigues 24
Indutor em Corrente Alternada
� Exemplo:
Um fonte de tensão eficaz de 12V/60Hz, fase inicial nula, é
aplicada aos terminais de um indutor de 15mH.
a) Determine a forma trigonométrica e fasorial para a tensão 
aplicada ao indutor;
b) Determine o valor da reatância desse indutor;
c) Calcule o valor da corrente na forma fasorial e na forma 
trigonométrica;
d) Trace o diagrama fasorial.
Welbert Rodrigues 25
Indutor em Corrente Alternada
� Solução:
a)
b)
Welbert Rodrigues 26
Indutor em Corrente Alternada
� Solução:
c)
d)
Welbert Rodrigues 27
Indutor em Corrente Alternada
� Impedância:
Para dois terminais A e B de um circuito, cuja tensão e corrente é
conhecido. A impedância (Z) é dada por:
Welbert Rodrigues 28
Indutor em Corrente Alternada
� Como os fasores e são números complexos, a 
impedância Z é também um número complexo, mas 
não é um fasor.
� Para um circuito resistivo puro:
� Para um circuito indutivo puro:
V
•
I
•
Welbert Rodrigues 29
Indutor em Corrente Alternada
� Em um Resistor a impedância é um real positivo.
Welbert Rodrigues 30
Indutor em Corrente Alternada
� Em um Indutor a impedância é um imaginário positivo.
Welbert Rodrigues 31
Indutor em Corrente Alternada
� Em um circuito misto, por exemplo RL a impedância é
um número complexo.
Welbert Rodrigues 32
Indutor em Corrente Alternada
� Associação de Impedância (Série/Paralelo)
Welbert Rodrigues 33
Indutor em Corrente Alternada
Diagrama de Impedâncias e Triângulo de Impedâncias
� Um diagrama de impedância é um gráfico auxiliar 
para se entender a impedância.
� O Triângulo de Impedância é geralmente uma 
representação gráfica mais conveniente.
Welbert Rodrigues 34
Indutor em Corrente Alternada
Diagrama de Impedâncias Triângulo de Impedâncias
Welbert Rodrigues 35
Indutor em Corrente Alternada
� Circuito RL série
Welbert Rodrigues 36
Indutor em Corrente Alternada
� Exemplo:
Um sinal senoidal é
aplicado a um resistor ideal de 25Ω associado em 
série com um indutor ideal de 25mH.
a) Determine o valor dos componentes no domínio 
fasorial;
b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de 
impedâncias;
c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, 
nos domínios fasorial e temporal;
( ) 2.200. (2000. )v t sen t V=
Welbert Rodrigues 37
Indutor em Corrente Alternada
� d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, 
nos domínios fasorial e temporal;
� e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
� f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.
Welbert Rodrigues 38
Indutor em Corrente Alternada
� Solução:
a) R=25Ω
b)
Welbert Rodrigues 39
Indutor em Corrente Alternada
� Solução:
Triângulo de Impedâncias
Welbert Rodrigues 40
Indutor em Corrente Alternada
� Solução:
c) 
Welbert Rodrigues 41
Indutor em Corrente Alternada
� Solução:
d) Tensão no resistor:
Tensão no indutor:
Welbert Rodrigues 42
Indutor em Corrente Alternada
� Solução:
e)
Welbert Rodrigues 43
Indutor em Corrente Alternada
� Solução:
f)
Welbert Rodrigues 44
Capacitor em Corrente Alternada
� Capacitância: é relação entre a quantidade de 
carga armazenada e a tensão admitida entre as 
placas de um capacitor.
Welbert Rodrigues 45
Capacitor em Corrente Alternada
� Um capacitor carregado comporta-se como um 
circuito aberto em tensão contínua constante, 
mas permite a condução de corrente no circuito 
para tensão variável;
� Corrente no capacitor:
c
v
i C
t
∆=
∆
Welbert Rodrigues 46
Capacitor em Corrente Alternada
� Reatância Capacitiva(XC): é a medida da 
oposição que um capacitor oferece à variação da 
tensão entre seus terminais.
� O capacitor armazenar energia no campo 
elétrico.
1 1
2C
X
C fCω π
= =
Welbert Rodrigues 47
Capacitor em Corrente Alternada� Capacitores em série:
� Capacitores em Paralelo:
1 2 3
1 1 1 1 1
...
T nC C C C C
= + + + +
1 2 3 ...T nC C C C C= + + + +
Welbert Rodrigues 48
Capacitor em Corrente Alternada
� Tensão e Corrente no Capacitor:
Em um capacitor num circuito CA, a corrente estará
sempre adiantada de 90º em relação à tensão.
Welbert Rodrigues 49
Capacitor em Corrente Alternada
� Corrente no capacitor:
� Na forma fasorial:
( ) ( )C p ii t I sen tω θ= ±
( ) ( 90º )C p iv t V sen tω θ= ± −
C ef iI I θ
•
= ∠
90ºC ef iV V θ
•
= ∠ −
Welbert Rodrigues 50
Capacitor em Corrente Alternada
� Lei de Ohm
90º
| | 90º . | |ef iCC C C
ef i
C
VV
X X j X
II
θ
θ
•
•
∠ −
= = = ∠ − = −
∠
Welbert Rodrigues 51
Capacitor em Corrente Alternada
� Tensão e Corrente no Capacitor:
Welbert Rodrigues 52
Capacitor em Corrente Alternada
� O capacitor ideal comporta-se como um circuito 
aberto em corrente contínua (freqüência zero) 
� E como uma reatância elétrica (Xc) em corrente 
alternada, pois se opõe à variação de tensão. 
� Para freqüências muito altas, o capacitor 
comporta-se praticamente como um curto-
circuito.
Welbert Rodrigues 53
Capacitor em Corrente Alternada
� Exemplo:
Um fonte de tensão eficaz de 12V/60Hz, fase inicial nula, 
é aplicada aos terminais de um capacitor de 620µF.
a) Determine a forma trigonométrica e fasorial para a 
tensão aplicada ao capacitor;
b) Determine o valor da reatância desse capacitor;
c) Calcule o valor da corrente na forma fasorial e na forma 
trigonométrica;
d) Trace o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
Welbert Rodrigues 54
Capacitor em Corrente Alternada
� Exemplo:
a)
Welbert Rodrigues 55
Capacitor em Corrente Alternada
b)
c)
Welbert Rodrigues 56
Capacitor em Corrente Alternada
d) 
Welbert Rodrigues 57
Capacitor em Corrente Alternada
� Circuito RC série
Welbert Rodrigues 58
Capacitor em Corrente Alternada
� Exemplo:
Um sinal senoidal é aplicado a um 
resistor ideal de 25Ω associado em série com um capacitor 
ideal de 20µF.
a) Determine o valor dos componentes no domínio 
fasorial;
b) Determine a impedância equivalente, o triângulo de 
impedâncias;
c) Determine as correntes nos três elementos do circuito, 
nos domínios fasorial e temporal;
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
Welbert Rodrigues 59
Capacitor em Corrente Alternada
d) Determine as tensões nos três elementos do circuito, 
nos domínios fasorial e temporal;
e) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
f) Trace o diagrama temporal dos sinais nos três elementos.
Welbert Rodrigues 60
Capacitor em Corrente Alternada
� Solução:
a) R=25Ω
b)
Welbert Rodrigues 61
Capacitor em Corrente Alternada
c)
Welbert Rodrigues 62
Capacitor em Corrente Alternada
d)
Welbert Rodrigues 63
Capacitor em Corrente Alternada
e)
Welbert Rodrigues 64
Capacitor em Corrente Alternada
f)
Welbert Rodrigues 65
Análise de Circuito em CA
� Circuito RLC série
Um sinal senoidal é aplicado a 
um resistor ideal de 25Ω associado em série com um 
indutor ideal de 25mH e a um capacitor ideal de 
20µF.
a) Determine a impedância equivalente;
b) Determine as correntes nos três elementos do 
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
Welbert Rodrigues 66
Análise de Circuito em CA
c) Determine as tensões nos três elementos do circuito,
nos domínios fasorial e temporal;
d) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três elementos;
Welbert Rodrigues 67
Análise de Circuito em CA
Solução:
a)
Welbert Rodrigues 68
Análise de Circuito em CA
b)
c)
Welbert Rodrigues 69
Análise de Circuito em CA
Welbert Rodrigues 70
Análise de Circuito em CA
d)
Welbert Rodrigues 71
Análise de Circuito em CA
( ) 200 2 (2000 )v t sen t V=
� Exercício
Um sinal senoidal é aplicado a um resistor ideal de 
25Ω é associado, como mostra a figura abaixo, com 
um indutor ideal de 25mH e a um capacitor ideal de 
20µF. A tensão da fonte é:
Welbert Rodrigues 72
Análise de Circuito em CA
a) Determine a impedância equivalente, o triângulo de 
impedâncias;
b) Determine as correntes nos três elementos do 
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
c) Determine as tensões nos três elementos do 
circuito, nos domínios fasorial e temporal;
d) Trace o diagrama fasorial dos sinais nos três 
elementos;
Welbert Rodrigues 73
Análise de Circuito em CA
a)
Welbert Rodrigues 74
Análise de Circuito em CA
b)
Welbert Rodrigues 75
Análise de Circuito em CA
Forma trigonométrica das correntes:
Welbert Rodrigues 76
Análise de Circuito em CA
c) A tensão no capacitor é a mesma da fonte:
A tensão no Resistor:
Welbert Rodrigues 77
Análise de Circuito em CA
A tensão no Indutor:
Welbert Rodrigues 78
Análise de Circuito em CA
d)
Welbert Rodrigues 79
Análise de Circuito em CA
� Admitância
Definimos Admitância Y como sendo o inverso da 
impedância Z.
Lei de Ohm:
I YV=
1
Y
Z
=
Welbert Rodrigues 80
Análise de Circuito em CA
� Admitância Y é o inverso da Impedância Z
� Condutância G é o inverso da Resistência R
� Susceptância B é o inverso da Reatância X
Welbert Rodrigues 81
Análise de Circuito em CA
Associação de Admitância:
1) Série
2) Paralelo
Welbert Rodrigues 82
Análise de Circuito em CA
Tabela de Impedância e Reatância
Welbert Rodrigues 83
Análise de Circuito em CA
Tabela de Admitância e Susceptância
Welbert Rodrigues 84
Análise de Circuito em CA
Circuitos Ressonantes
� A Freqüência de Ressonância é a freqüência na qual 
um circuito RLC se comporta como um circuito 
resistivo.
� A Ressonância pode ocorrer em circuitos RLC séries, 
paralelos ou mistos.
� O circuito série é ressonante quando:
| | | |C LX X=
Welbert Rodrigues 85
Análise de Circuito em CA
� Freqüência de Ressonância RLC Série:
� Freqüência de Ressonância RLC Paralelo:
0
1
LC
ω =
0
1
LC
ω =