3 - Centróides e Momentos de Inércia

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Prof. Victor Augusto
Centróides e Momentos de Inércia de Área
Considerando a área A situada no plano xy. Se x e y forem coordenadas de um elemento de área dA, definem-se os momentos estáticos de área A em relação aos eixos x e y, da forma:
Dependendo da posição dos eixos coordenados, os momentos estáticos podem ser positivos, negativos ou nulos. Os momentos estáticos são usualmente expressos em m³ ou mm³.
Momento Estático
Centróide
O centróide da área A é definido como o ponto C de coordenadas x e y que satisfazem as relações:
Os momentos estáticos da área A podem ser expressos pelo produto da área através das coordenadas de seu centróide.
Centróide
Quando uma área possui um eixo de simetria, o momento estático da área com relação a esse eixo é zero. 
Assim, se uma área possui um eixo de simetria, seu centróide se localiza nesse eixo.
Centróide
Como um retângulo possui dois eixos de simetria, o centróide de uma área retangular coincide com seu centro geométrico. 
Da mesma forma, o centróide de uma área circular coincide com o centro do círculo.
Quando a área possui um centro de simetria O, o momento estático da área em relação a qualquer eixo que passe por O é zero. 
Centróide
Quando o centróide C de uma área pode ser localizado por meio de simetria, o seu momento estático em relação a um certo eixo pode ser obtido pelas equações 
Centróide
Na maior parte dos casos, é necessário realizar as integrais para a determinar os momentos estáticos e do centróide de uma dada área.
As integrais indicadas nas equações, são na verdade, integrais duplas (x e y).
Muitas vezes, porém, se consegue reduzir o problema ao cálculo de integrais em uma variável, tomando-se elementos de área dA na forma de faixas horizontais ou verticais.
Centróide
Determinar, para a área triangular:
Momento estático da área com relação ao eixo x;
A ordenada do centróide da área.
Centróide
Determinar o centróide da área sombreada
Áreas compostas
Considerando uma área A que possa ser dividida em formas geométricas simples:
++++
++++
Áreas compostas
Para determinar as coordenadas e do centróide C da área composta A, substitui-se por e por , assim:
Resolvendo para e , e lembrando que a área é a soma das áreas , escreve-se:
Áreas compostas
Determinar o centróide C da área abaixo:
Momento de Inércia de Área
Considerando a área A situada no plano xy e o elemento de área dA de coordenadas x e y. O momento de inércia da área A em relação ao eixo x e ao eixo y são definidos como:
Momentos de Inércia Retangulares
Momento de Inércia de Área
Considerando a área A situada no plano xy e o elemento de área dA de coordenadas x e y. O momento de inércia polar da área A em relação ao ponto O é dado por:
Momento de Inércia Polar
+
Raio de giração
O raio de giração de uma área A em relação ao eixo x é definido pela grandeza que satisfaz a relação
Analogamente:
Momento de inércia de área e raio de giração
Determinar para a área retangular abaixo:
Momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal
Raio de giração correspondente
Momento de inércia de área e raio de giração
Determinar para a área Circular abaixo:
Momento de inércia polar da área 
Momentos de inércia retangulares e 
Teorema dos eixos paralelos
Considerando o momento de inércia de uma área A em relação a um eixo x arbitrário. E desenhando o eixo centroidal x’, ou seja, o eixo paralelo ao eixo x que passa pelo centróide C da área A.
Teorema dos eixos paralelos
Momento estático da área em relação ao eixo x, Qx = 0;
Área total A
Momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal x’
Momento de inércia de uma área composta
Determinar o momento de inércia da área indicada em relação ao eixo centroidal x.
Centróides de figuras planas
2
x
x
Ar
I
=
A
I
r
x
x
=
2
y
y
Ar
I
=
A
I
r
y
y
=
2
o
O
A
J
r
=
A
J
o
o
=
r
x
I
x
r
O
J
x
I
y
I
(
)
ò
ò
ò
ò
ò
+
+
=
+
=
=
A
A
A
x
A
A
x
dA
d
dA
y
d
dA
y
I
dA
d
y
dA
y
I
2
2
2
2
'
2
'
'
ò
ò
ò
+
+
=
A
A
A
x
dA
d
dA
y
d
dA
y
I
2
2
'
2
'
2
'
Ad
I
I
x
x
+
=
x
I
'
x
I