Metodo dos Elementos Finitos lopes

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Método dos Elementos Finitos
Prof. Antonio Lopes de Souza, Ph.D.
(Modelo estrutural em elementos finitos do Cubo d’Água de Pequim)
Teoria Eletromagnética IIC
*
Soluções Para Problemas do Eletromagnetismo
Solução Analítica: solução na forma de uma equação algébrica explícita, na qual todos os valores dos parâmetros do problema podem ser substituídos.
Ex.: campo elétrico da carga pontual 
Vantagens das soluções analíticas: são exatas e tornam mais fácil observar o comportamento da solução em função da variação dos parâmetros do problema.
Desvantagem: somente são possíveis para problemas com configurações simples e elevado grau de simetria.
Figura 2 - Linhas de força do campo elétrico de um sistema de duas cargas pontuais
*
Solução não Analítica: é usada quando a complexidade do problema torna difícil a obtenção de uma solução analítica por métodos matemáticos tradicionais. Os procedimentos não-analíticos incluem
Métodos gráficos
Métodos experimentais
Métodos numéricos
Os métodos gráficos e experimentais são aplicados a um número reduzido de problemas e têm utilidade limitada. 
Os métodos numéricos mais usados são:
Método das Diferenças Finitas (FDM - Finite Diference Method)
Método dos Momentos (MOM - Method of Moments)
Método dos Elementos Finitos (FEM – Finite Diference Method)
Soluções Para Problemas do Eletromagnetismo
*
Soluções Para Problemas do Eletromagnetismo
Solução Não-analítica: exemplo
Figura 3 - Visualização da deformação de um carro em um choque assimétrico usando o método dos elementos finitos (imagem: Wikimedia Commons)
*
Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos (FEM – Finite Element Method) é uma técnica numérica usada para encontrar a solução de Equações Diferenciais Parciais (PDE). Ele surgiu na década de 40 do século passado e era usado para resolver problemas estruturais nas engenharias civil e aeronáutica. 
Os primeiros trabalhos sobre o método foram publicados por Alexander Hrennikoff (1) (1941) e Richard Courant (2) (1942). O uso do método para a soluções de problemas de eletromagnetismo data de 1968 (3).
(1) A. Hrennikoff; “Solution of Problems of Elasticity by the Frame-Work Method” (1941); ASME J. Appl. Mech. 8; A619–A715. 
(2) Courant, R.L;“Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Vibration”;Bulletin of the American Mathematical Society 49:1-23 (1943) .
(3) P.P.silvester e R.L.Ferrari; Finite Elements for Electrical Enginiers, Cambridge, England, Cambridge University Press, (1983).
Figura 5: Solução bidimensional de um problema de magetostática mostrando a direção (as linhas) e a intensidade (cores) da densidade de fluxo magnético. (imagem: Wikimedia Commons). 
Esquerda: Malha do problema
Direita: Solução gráfica do problema
*
Método dos Elementos Finitos
Etapas na modelagem de um problema através do Método dos Elementos Finitos:
 Descrição geométrica da região;
Geração de uma malha de elementos interconectados por nós;
Definição das equações diferenciais parciais e respectivas condições de contorno do problema;
Solução numérica do sistema algébrico resultante;
Pós-processamento de resultados e visualização
*
Método dos Elementos Finitos
Sequência na apresentação do método: 
Discretização do domínio em um número finito sub-regiões ou elementos.
Obtenção das equações que regem um elemento típico.
Conexão de todos os elementos no domínio.
Resolução do sistema de equações obtido.
*
Método dos Elementos Finitos
A representação do domínio: o domínio é dividido em regiões (elementos) que não se sobrepõem. Buscamos uma aproximação para o potencial Ve dentro de um elemento. Inter-relacionamos as distribuições de potencial em vários elementos de tal modo que ela seja contínua através dos contornos entre os elementos relacionados.
A solução aproximada do potencial para o domínio em estudo é do tipo:
Onde N é o número de elementos triangulares nos quais o domínio foi dividido
Figura 6 – elemento triangular com a indicação dos nós e tensões de nós. A orientação dos nós segue o sentido anti-horário.
1- Discretização
*
Representação do potencial no interior do elemento: quando o elemento tem a forma triangular a forma mais comumente usada para representar o potencial Ve no seu interior é a aproximação polinomial 
Quando o elemento for quadrangular a aproximação para representar Ve é dada por:
De um modo geral usamos elementos triangulares para problemas bidimensionais porque esses permitem representar fronteiras irregulares com maior precisão. 
Supomos que o potencial varia linearmente dentro do elemento. Isso implica em considerar o campo elétrico é uniforme dentro de um mesmo elemento. Como os potenciais respeitam a equação de Laplace a distribuição de energia do campo elétrico é mínima na região.
Método dos Elementos Finitos
1- Discretização
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
O elemento usado tem a forma triangular abaixo mostrada:
O potencial no seu interior é representado por:
Aplicando a equação aos três vértices do elemento temos:
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
Representando o sistema de equações anterior na forma matricial temos:
Onde a matriz 
É denominada “matriz dos coeficientes”
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
Os coeficientes a,b,c podem ser calculados a partir da equação anterior como:
 
E usando a regra de CRAMER
Onde D é o determinante da matriz dos coeficientes dado por
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
É possível mostrar que a área A do triangulo que representa o elemento é dada por:
Ou seja: 
(Os nós devem ser numerados no sentido anti-horário para evitar que a área do elemento, acima calculada em função das coordenadas dos vértices, produza um valor negativo)
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
Substituindo o valor D=2A em a,b,e c e resolvendo os determinantes temos:
*
As equações anteriores podem ainda ser colocadas na forma matricial como:
Lembrando a forma matricial da equação que descreve as distribuições de potencial, 
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
Substituindo as expressões matriciais para a, b e c na equação matricial que descreve as distribuições de potenciais no elemento temos:
Expandindo a equação acima temos:
Ou seja:
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
e
a1, a2 e a3 são funções lineares de interpolação que permitem a obtenção dos potenciais Ve(x,y) dentro do elemento finito em termos dos potenciais nos nós do mesmo elemento. Elas são denominadas “Funções de Forma dos Elementos”. Desse modo a função 
nos dá o potencial em qualquer ponto (x,y) dentro do elemento finito, desde que os potenciais nos vértices sejam conhecidos.
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
As funções de forma do elemento satisfazem as seguintes propriedades:
Cada uma das três funções de forma se anula em todos os vértices com exceção de um no qual assume o valor unitário.
Cálculo da Energia Armazenada no Elemento
Quando a quantidade analisada é o potencial eletrostático a energia do campo elétrico é o funcional a ser utilizado porque o potencial eletrostático minimiza esta energia. A energia do campo elétrico por unidade de comprimento normal às duas dimensões (ou seja, na direção z) pode ser obtida por:
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
A função de energia pode ser expandida como abaixo:
Onde 
O produto escalar produzirá termos cruzados (ver o detalhamento no texto disponível na pasta do curso – pasta 187 ) e isso permitirá colocar a função de energia na forma abaixo:
Denominando
(O termo Cij(e) pode ser consideradocomo o acoplamento entre os nós i e j)
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
A equação da energia armazenada no campo elétrico
onde é o acoplamento entre os nós i e j
pode ser escrita na forma matricial como:
onde 
A matriz C(e) é denominada “Matriz dos Coeficientes do Elemento”
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
Cálculo dos Termos da Matriz dos Coeficientes do Elemento
Cálculo de C12(e)
Precisamos calcular 
E resolvendo a integral temos que 
 
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
Logo:
Os outros coeficientes podem ser calculados de modo semelhante
Usando a notação: 
Podemos escrever 
*
Método dos Elementos Finitos
2- Equações que regem os elementos
Em resumo: para a obtenção da função potencial no elemento é necessário conhecer as funções de forma a1, a2 e a3 cujo cálculo depende do valor das coordenadas dos vértices do elemento triangular.
O cálculo da energia do elemento pode ser feito
Onde 
Como todos os elementos são escritos em função das diferenças entre as coordenadas podemos definir novas variáveis P e Q como abaixo
As novas variáveis satisfazem as seguintes propriedades:
*
Método dos Elementos Finitos
3- Conexão de todos os elementos
Após a análise de um elemento típico o próximo passo é a conexão de todos os elementos. A energia associada à conexão de todos os elementos da malha é o somatório das energia armazenadas nos elementos: 
 
 onde 
Nas equações acima “N” é o número de elementos e “n” é o número de nós. A matriz [C ] é denominada Matriz de Rigidez Global e representa a conexão das matrizes dos coeficientes dos elementos individuais. Não confundir [C] com [C(e)]. Os coeficientes Cij são obtidos observando-se o fato de que os potenciais devem ser contínuos através dos contornos dos elementos
*
Método dos Elementos Finitos
3- Conexão de todos os elementos
Considere a malha de três elementos abaixo:
Numeração global: 1,2,3,4,5 (nós da malha, qualquer ordem)
Numeração local: 1,2,3 (vértices do elemento, sempre no sentido anti-horário para evitar que a área fique negativa)
Para o elemento 3 a numeração global 3,4,5 corresponde à numeração local 1,2,3 respectivamente.
*
Método dos Elementos Finitos
3- Conexão de todos os elementos
Como a malha tem cinco nós globais a matriz de rigidez global é do tipo 5x5. Note que a matriz de rigidez global é a superposição de todas a matrizes dos elementos. Como muitos potenciais são iguais, vários termos da matriz se superpõem de modo que a mesma fica reduzida a uma matriz de estrutura nxn, onde n é o número de nós globais.
Para obter o termo C11 notamos que o nó global 1 pertence aos elementos1 e 2. Notamos, também que os nós locais que fazem parte do nó global 1 são os nós locais 1 de ambos os elementos, logo:
Já o coeficiente C14 é calculado lembrando que a fronteira global 1-4 contem as fronteiras 1-2 do elemento 1 e 1-3 do elemento 2, então:
*
Método dos Elementos Finitos
3- Conexão de todos os elementos
Quando não há acoplamento entre os nós referenciados no termo o mesmo é nulo, como no caso do termo C15, já que não há conexão direta entre os nós 1 e 5. Desse modo a matriz de rigidez global fica como:
A matriz de rigidez global é simétrica (Cij =Cji) e o determinante formado por seus termos é nulo.
*
Método dos Elementos Finitos
4 - Resolução das equações resultantes
Do cálculo variacional temos que a equação de Laplace é satisfeita no domínio quando a energia total no mesmo é mínima. Portanto é necessário que as derivadas de W em relação ao potencial de cada nó sejam zero. Isso permite estabelecer um sistema de equações que nos levará ao cálculo dos potenciais dos nós globais V1, V2, V3 ...Vn, onde n é o número de nós globais.
*
Método dos Elementos Finitos
4 - Resolução das equações resultantes
Temos que a energia elétrica armazenada em todo o domínio é dada por:
Onde a matriz dos potenciais dos nós globais é dada por 
Desmembrando a equação da energia temos, para o exemplo tomado com três elementos e cinco nós globais:
*
Método dos Elementos Finitos
4 - Resolução das equações resultantes
O produto das matrizes [C] e [V] gera uma matriz coluna como abaixo mostrada:
*
Método dos Elementos Finitos
4 - Resolução das equações resultantes
mas como C12=C21 temos
como 
Ou no geral: 
Dese modo obtemos um conjunto de equações que pode ser resolvido para obter V1, V2, V3, V4, V5
*
Método dos Elementos Finitos
4 - Resolução das equações resultantes
FIM
*
(V/m)
 
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