Apostila Estatística

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1 – INTRODUÇÃO 
 
 
1.1 – O que é Estatística? 
 
 A Estatística é um ramo científico relacionado à obtenção de informações a partir de dados 
numéricos e ao emprego dessas informações para efetuar inferências a respeito de uma 
população, a partir da qual os dados são coletados. O estatístico estuda procedimentos 
inferenciais, sempre visando obter o melhor processo de realizar previsões ou tomar decisões a 
respeito de uma dada situação e, mais importante que isso, o estatístico obtém informações a 
respeito da boa qualidade de um procedimento inferencial. 
 
 Ou resumindo: a Estatística é uma metodologia de coleta, sistematização, descrição, análise, 
apresentação e interpretação de dados, para a tomada de decisões. Basicamente, temos dois 
ramos de Estatística: 
 
 Estatística Descritiva ou Dedutiva: conjunto de técnicas destinadas à síntese dos dados. 
 
 Estatística Inferencial ou Indutiva: técnicas segundo as quais são tomadas decisões sobre 
uma população com base na observação de uma amostra. 
 
 
1.2 – A Estatística nas Ciências Econômicas 
 
Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, podemos conhecer 
a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponíveis, além 
das expectativas da comunidade. Esse conhecimento é fundamental para uma análise de 
conjuntura estruturada e fundamentada. 
As Ciências Econômicas têm fundamentos quantitativos e a Estatística contribui para a 
formulação matemática das teorias econômicas. 
 
1.3 – A Estatística e as empresas 
 
A formação do profissional que trabalhará nas empresas do futuro deve ser centrada numa 
perspectiva política, social e cultural, possibilitando uma interpretação crítica do mundo, 
compreendendo a leitura e a escrita de dados estatísticos como produtos de uma prática social, 
na qual o sujeito e a educação precedem a escolarização. 
Por isso, possível afirmar que a inserção de determinados mecanismos no cotidiano das pessoas 
refletem diretamente na gestão empresarial, que deve se adaptar a uma sociedade 
iminentemente tecnológica, caracterizada pelo acúmulo de informações. 
1.4 – Conceitos Básicos 
 
 Planejamento estatístico 
O planejamento estatístico é composto de diversas fases, as quais devem ser estudadas 
isoladamente e em conjunto. Com base no objetivo da pesquisa, o primeiro passo é a 
identificação da população e das variáveis que serão medidas. Feito isso, é preciso decidir se a 
pesquisa se dará por meio de um censo ou por amostragem. Segue-se a coleta dos dados, que 
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posteriormente devem ser organizados e sintetizados. Faz-se, então, o cálculo das estatísticas 
ou parâmetros relativos aos dados coletados. Esses resultados obtidos, em conjunto com 
gráficos e tabelas, já possibilitam uma análise preliminar. Se a pesquisa foi feita com base em 
uma amostra, o que ocorre na maioria dos casos, é preciso extrapolar os resultados para a 
população, considerando-se a incerteza e a possibilidade de erro, que são mensurados com o 
auxílio da teoria de probabilidades. Os testes de hipóteses permitirão a interpretação dos 
resultados e a sua análise final poderá então ser feita, possibilitando uma posterior tomada de 
decisão. Todo esse processo pode ser simplificadamente expresso pelo fluxo a seguir: 
 
No fluxograma acima, a cor verde indica procedimentos de estatística descritiva e a cor laranja 
indica os procedimentos de estatística inferencial. 
 
 População: conjunto de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum. 
Exemplos: os estudantes da universidade X, os candidatos ao concurso Y, as crianças de até 
5 anos de idade de São Paulo, etc. Quanto ao número de elementos, a população pode ser 
finita ou infinita. A primeira é aquela que apresenta um número limitado de indivíduos. 
Muitas vezes, no entanto, o número de observações é infinito. A população será, então, 
infinita. Esta última normalmente está associada a processos. Ex: se um técnico de 
laboratório quisesse pesar um certo material, por maior que fosse o cuidado na 
experimentação ele poderia, em cada pesagem, obter uma leitura de certo modo diferente. 
Qualquer número de observações que ele realizasse não constituiria uma população 
completa, pois os resultados poderiam não ser uniformes. O número de tais medições 
(observações) tenderia a ser infinito, dando origem a uma população infinita. Uma população 
infinita deverá, então, ser concebida apenas como um esquema conceitual e teórico. 
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 Censo: é um tipo de pesquisa na qual são inferidos todos os elementos da população. No 
Brasil, é muito conhecido o censo demográfico feito pela Fundação Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE), que costuma ser realizado com periodicidade decenal. Como 
outro exemplo, imagine que se queira fazer uma pesquisa sobre a qualidade da aula de um 
professor. A população, nesse caso, será composta por todos os alunos desse professor e, se 
pesquisarmos todos, teremos um censo. Geralmente, por problemas financeiros, temporais 
ou logísticos, limitamos as observações referentes a uma pesquisa a apenas uma parte da 
população, chamada de amostra. 
 Amostra: é um subconjunto finito de uma população. Para que as inferências sejam corretas, 
é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, isto é, a amostra deve 
possuir as mesmas características básicas da população no que diz respeito aos fenômenos 
que desejamos pesquisar. 
 Amostragem: conjunto de técnicas para a escolha das amostras, que procuram garantir o 
tanto quanto possível a sua representatividade, bem como o acaso na escolha dos seus 
elementos. As principais técnicas de amostragem são: 
a) aleatória ou casual: a população é numerada de 1 a n e, por meio de um mecanismo aleatório, 
sorteiam-se os elementos que irão compor a amostra; 
b) estratificada: a população é dividida em subgrupos (os estratos), que têm comportamento 
heterogêneo. A proporção desses estratos na população é respeitada na amostra. 
c) sistemática: a população já está ordenada e os elementos que irão compor a amostra são 
escolhidos em intervalos regulares. 
d) conglomerados: a população é dividida em subgrupos (os conglomerados), que têm 
comportamento homogêneo. Sorteia-se um conglomerado e a sondagem é feita somente ali. 
e) amostragens não probabilísticas: são amostragens intencionais ou feitas por conveniência. 
Seus resultados têm validade local, apenas para a amostra estudada, e não podem ser 
generalizados para a população. 
 
 Variável: é uma propriedade de um elemento que está sendo medido, assumindo diferentes 
valores ou atributos. 
 
Variável Qualitativa: seus valores se expressam através de atributos ou nomes. É uma forma 
mais rudimentar de variável, ou de nível mais baixo. Pode ser de dois tipos: nominal ou ordinal. 
a) Nominal: não apresenta uma ordenação. Exemplos: religião, cor dos cabelos. 
b) Ordinal: tem uma ordenação explícita. Exemplos: conceitos de alunos em escolas públicas, 
nível de renda, nível de instrução. 
 
Variável Quantitativa: seus valores se expressam através de números. Pode ser de dois tipos: 
a) Discreta: resulta da contagem, por isso seus valores geralmente são expressos através de 
números inteiros não negativos. Ex: no de livros de uma biblioteca, no de filhos, etc. 
b) Contínua: diz-se que uma variável é contínua se, ao passar de um valor real a para um valor 
real b qualquer, ela assume todos os valores intermediários entre a e b. Exemplos: temperatura, 
peso, altura, etc. 
 
 
 
 
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1.5 – Arredondamento de dados 
 
O correto arredondamento é fundamental para que possamos fazer um estudo preciso da 
variável. O resultado do arredondamento de um número como 72,8 para o inteiro mais próximo 
é 73, posto que 72,8 está mais próximo de 73 do que de 72. Assim, 72,8146 arredondado para 
o centésimo mais próximo é 72,81, pois está mais próximo de 72,81 do que de 72,82. Para o 
caso em que a primeira casa decimala ser desprezada apresenta o número 5, temos os seguintes 
casos: 
 
a) ao 5 sucede-se algum número diferente de zero: o arredondamento é feito para cima. Ex: 
arredondando para o décimo: 43,256  43,3 ; 17,8501  17,9 
 
b) o 5 é a última casa decimal, ou a ele só se sucedem zeros: neste caso temos duas hipóteses: 
 
b1) o último algarismo a permanecer é par: desprezamos o 5 e fica o último algarismo par: Ex: 
arredondando para o décimo: 13,25  13,2 ; 7,6500  7,6 
 
b2) o último algarismo a permanecer é ímpar: neste caso aumentamos uma unidade a este 
algarismo, transformando-o em um número par. Ex: arredondando para o décimo: 61,35  
61,4 ; 92,5500  92,6 
 
Ao arredondar os números em uma sequência de soma, é comum o resultado da soma 
arredondada ser diferente do resultado da soma se fizéssemos o arredondamento somente no 
final. Quando isso ocorrer, deve-se descarregar a diferença no maior número somado, indicando 
posteriormente que este número foi arredondado por compensação. Ex: 
 
25,32 + 17,85 + 10,44 + 31,17 = 84,78 arredondando para o décimo, temos: 
 
25,3 + 17,8 + 10,4 + 31,2 = 84,7 
 
Note que o segundo resultado (84,7) é diferente do resultado que obtivemos (84,78) 
arredondado para o décimo, que é 84,8. Sabemos então que o resultado mais próximo do real 
é 84,8 e não 84,7. Essa diferença (0,1) deve ser acrescentada ao maior número somado, para 
que o resultado correto seja obtido. Assim temos o arredondamento final: 
25,3 + 17,8 + 10,4 + 31,3* = 84,8 
* arredondado por compensação 
Obs: essas regras estão em conformidade com a resolução 886/66 da Fundação IBGE. 
 
 
Exercícios 
 
1) População é: 
a) conjunto de pessoas. 
b) conjunto de indivíduos apresentando uma característica especial. 
c) conjunto de todos os elementos apresentando uma característica comum objeto de estudo. 
d) conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 
e) subconjunto finito do conjunto universo. 
 
 
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2) Classifique as variáveis abaixo em Quantitativa Discreta (QD), Quantitativa Contínua (QC) ou 
Qualitativa (QL): 
a) ( ) salário 
b) ( ) temperatura 
c) ( ) idade 
d) ( ) hierarquia militar 
e) ( ) peso 
 
3) Assinale V ou F: 
a) ( ) Estatística Inferencial compreende um conjunto de técnicas destinadas à síntese de dados 
numéricos. 
b) ( ) O processo utilizado para se medir as características de todos os membros de uma dada 
população recebe o nome de censo. 
c) ( ) A Estatística Descritiva compreende as técnicas por meio das quais são tomadas decisões 
sobre uma população com base na observação de uma amostra. 
d) ( ) Uma população só pode ser caracterizada se forem observados todos os seus 
componentes. 
e) ( ) Na amostragem por conglomerados, a população está dividida em subpopulações que 
têm comportamento homogêneo entre si. 
 
4) Arredonde os dados abaixo para o décimo: 
 
234,7832  
45,09  
12,35  
78,84  
28,255  
125,4500  
48,85001 
299,951 
 
5) Efetue a soma, arredonde os dados para o centésimo e compense, se necessário. 
 
0,060 + 0,119 + 0,223 + 0,313 + 0,164 + 0,091 + 0,030 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 – APRESENTAÇÃO DOS DADOS 
 
Após a fase de coleta dos dados, os resultados devem ser organizados e sintetizados, para 
permitir uma análise criteriosa. As tabelas e os gráficos devem ser usados para esse fim, pois 
permitem uma melhor avaliação dos resultados obtidos. 
 
2.1 - Tabelas 
 
A tabela é um quadro composto por linhas e colunas, no qual se pode representar um conjunto 
de observações, sendo que os dados numéricos se destacam como informação central. Nas 
tabelas podemos identificar: 
 Título: localizado na parte superior da tabela, deve indicar a natureza dos dados numéricos 
e suas abrangências temporal e geográfica. 
 Cabeçalho: parte superior da tabela, logo abaixo do título, indica o conteúdo das colunas; 
 Corpo da tabela: compreende as linhas e as colunas, as quais contém as informações sobre 
as variáveis pesquisadas. 
 Coluna indicadora: apresenta as designações (classificações) da variável. 
 Coluna numérica: apresenta os resultados de cada designação da variável. 
 Casa ou Célula: espaço destinado a um só número ou classificação da variável. 
 Elementos Complementares: na parte inferior da tabela, no qual se colocam as informações 
pertinentes aos dados, tais como fonte, notas e chamadas. 
 
Exemplo: 
 
 
De acordo com as Normas de Apresentação Tabular da Fundação IBGE1, as tabelas não devem 
ser fechadas lateralmente e nas casas ou células devemos colocar: 
 () quando o valor assumido pela variável é zero, não resultante de arredondamento; 
 (...) quando o dado numérico não está disponível; 
 (..) quando não se aplica dado numérico; 
 (x) para omitir o valor numérico; 
 
1 IBGE. Centro de Documentação e Disseminação de Informações. Normas de apresentação 
tabular. 3ª ed. Rio de Janeiro: IBGE, 1993. 
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 0 ou 0,0 ou 0,00 quando o valor original é positivo, mas muito pequeno, fazendo com que 
seu arredondamento para a precisão utilizada resulte em 0; 
 -0 ou -0,0 ou -0,00 quando o valor original é negativo, mas muito pequeno, fazendo com que 
seu arredondamento para a precisão utilizada resulte em 0. 
 
Em trabalhos acadêmicos é importante observar as normas do IBGE, que são corroboradas pela 
ABNT e elaboradas com o objetivo de padronizar e racionalizar a apresentação de dados 
numéricos, bem como procuram garantir a clareza das informações apresentadas. Outros tipos 
de publicações não costumam observar com muito rigor essas normas, preferindo seguir 
orientações estéticas, normas editoriais próprias, ou definem outros recursos gráficos. 
 
2.2 - Séries Estatísticas 
 
As séries estatísticas compõem uma classificação dos diversos tipos de tabelas, que se dá em 
referência ao tipo de variável utilizada e sua discriminação. Basicamente, as séries designam 
tabelas cujas variáveis são dadas em função da época, do local ou da espécie. 
 
a) Série histórica, cronológica ou temporal: a variável é discriminada em períodos de tempo: 
 
Domicílios com acesso à 
Internet - Brasil - 2005-2009 
período 
número de domicílios 
(em milhões) 
2005 13,7 
2006 16,7 
2007 20,0 
2008 23,8 
2009 27,4 
Fonte: PNAD - IBGE 
 
 
b) Série geográfica, espacial, territorial ou de localização: a variável é discriminada segundo 
regiões. 
Países que mais investem em 
Educação como % do PIB - 2011 
 
País 
Gasto com educação 
(% do PIB) 
Islândia 7,80 
Noruega 7,30 
Bélgica 6,60 
Irlanda 6,50 
Estônia 6,10 
Argentina 6,00 
França 5,90 
Israel 5,80 
Portugal 5,80 
Brasil 5,70 
Fonte: Exame (http://exame.abril.com.br) 17/09/2012 
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c) Série específica ou categórica: discrimina a variável segundo especificações ou categorias. 
 
Licenciamentos de carros 
por montadora - Brasil/2012 
Empresa número de veículos 
Fiat 679.289 
VW 651.277 
GM 535.711 
Ford 255.443 
Renault 180.699 
Honda 120.056 
Nissan 87.196 
Citroen 72.474 
Peugeot 66.173 
Toyota 63.585 
Hyundai 62.970 
Fonte: ANFAVEA 
 
d) Séries conjugadas ou tabelas de dupla entrada: refere-se à conjugação de duas séries em uma 
única tabela. Em uma tabela desse tipo, ficam criadas duas ordens de classificação: uma 
horizontal (linha) e uma vertical (coluna). A tabela abaixo apresenta uma conjugação histórico-
geográfica (ou vice-versa): 
 
Mortalidade Infantil - Brasil - 1930-2010 
Ano/Região Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste 
1930 193,3 193,2 153,0 121,0 146,0 
1940 166,0 187,0 140,0 118,0 133,0 
1950 145,4 175,0 122,0 109,0 119,0 
1960 122,9 164,1 110,0 96,0 115,0 
1970 104,3 146,4 96,2 81,9 89,7 
1980 79,4 117,6 57,0 58,9 69,6 
1990 44,6 74,3 33,6 27,4 31,2 
2000 28,6 43,0 20,7 18,4 21,0 
2010 23,5 33,2 16,6 15,1 17,8 
Unidade: óbitos antes de completar 1 ano para cada 1.000 nascidos vivos 
Fonte: IBGE 
 
É possíveltambém conjugar mais de duas séries, formando tabelas mais complexas, como 
mostrado no próximo exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Desempenho da Indústria Brasileira de Motociclos - 2011/2012 
em milhares de unidades 
 
produção vendas internas exportações 
2011 2012 2011 2012 2011 2012 
janeiro 180,4 177,0 164,9 154,8 3,6 6,8 
fevereiro 141,1 153,1 165,2 149,0 5,0 8,7 
março 181,6 179,5 173,5 164,7 4,6 7,0 
abril 178,6 145,7 173,7 138,6 6,6 8,8 
maio 203,9 171,7 195,3 151,3 6,7 10,2 
junho 163,2 140,9 160,8 138,9 6,0 6,9 
julho 160,2 75,8 161,3 86,8 5,4 6,7 
agosto 217,6 178,0 203,7 170,9 4,7 13,0 
setembro 187,5 130,9 177,7 129,0 6,6 8,9 
outubro 195,4 133,3 176,8 112,3 5,7 8,5 
novembro 195,6 137,7 177,8 125,8 9,7 10,0 
dezembro 101,8 ... 113,8 ... 8,8 ... 
Fonte: Abraciclo 
 
e) Distribuição de frequência: é um conceito estatístico muito importante dentro do estudo 
descritivo dos dados numéricos, e será abordado com mais detalhes no final deste capítulo. 
Nesse tipo de tabela, a variável é discriminada em intervalos numéricos ou, se for discreta, em 
valores absolutos. 
 
Atendimentos na Campanha Nacional da Voz – Univ. Federal de Goiás - 1999 
faixa etária (anos) número de pacientes frequência relativa (%) 
 0├── 10 32 7,10 
10├── 20 36 7,98 
20├── 30 71 15,74 
30├── 40 90 19,96 
40├── 50 106 23,50 
50├── 60 56 12,42 
60├── 70 43 9,53 
70├── 80 13 2,88 
80├── 90 4 0,89 
total 451 100,00 
Fonte: Revista Bras. de Otorrinolaringologia, n. 2732, vol. 67, ed. 1, jan/fev 2001 (adaptado) 
 
 
2.3 - Gráficos 
 
A apresentação dos dados de uma pesquisa por meio de um gráfico representa um 
complemento importante da apresentação tabular. A principal vantagem de um gráfico sobre a 
tabela refere-se ao fato de que ele possibilita uma visualização mais rápida da concentração e 
da dispersão dos valores observados. No gráfico, podemos fazer uma interpretação visual da 
distribuição dos dados, comparando as grandezas e observando as tendências de maneira mais 
fácil e ágil. Contudo, devemos observar que, em geral, os gráficos não são tão ricos em detalhes 
como as tabelas, mas, em contrapartida, eles permitem uma melhor avaliação da distribuição 
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global dos dados. Dessa forma, entendemos que ao invés de compararmos a eficácia dos dois 
tipos de representação dos dados, o melhor é dispor dos dois para que a análise possa ser feita 
de maneira mais completa. 
Existem diversos tipos de gráficos, que podem (e devem) ser feitos com ferramentas 
computacionais, tais como a planilha eletrônica Excel. Alguns tipos de gráficos são mais 
indicados para certas finalidades específicas. Apresentamos a seguir os principais tipos de 
gráficos e suas aplicações. 
 
 Gráfico em Colunas ou em Barras: é a representação de uma série por meio de retângulos, 
dispostos horizontalmente (em barras) ou verticalmente (em colunas). Exemplos: 
 
 
Percentage of interviewers that claim to be included in debt’s negative register by 
income class – Brazil 2008 
 
Source: data from Data Popular (2008) 
 
44
55 53
57
0
10
20
30
40
50
60
class A class B class C class D
11 
 
 
 
 
Esse tipo de gráfico deve ser feito de forma que suas colunas ou barras se apresentem em ordem 
crescente ou decrescente, a não ser que a série seja histórica, caso em que devemos adotar a 
ordem cronológica. 
Um gráfico em barras muito utilizado é o da chamada pirâmide etária, que mostra a distribuição 
da população de um país segundo intervalos de idade e por sexo. De acordo com o censo 
demográfico do IBGE de 2010, a pirâmide etária do Brasil é: 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
7
3o trimestre
2001
4o trimestre
2001
1o trimestre
2002
2o trimestre
2002
3o trimestre
2002
taxa (%)
PIB - Brasil - Taxa acumulada no ano
agropecuária
indústria
serviços
Fonte: IBGE – Depto. de Contas Nacionais 
12 
 
 Gráfico em Setores: também chamado de gráfico tipo torta ou pizza. É construído com base 
em um círculo e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação do dado no 
total. Podem ser planificados, em perspectiva ou com as fatias destacadas. Os setores são 
tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série. Exemplos: 
 
3%
7%
2%
1%
2%
13%
29%
38%
3% 2%
Safra agrícola - Brasil - 2011
principais produtos (exceto cana, frutas e hortaliças) 
Algodão
Arroz
Batata-inglesa
Café
Feijão
Mandioca
Milho
Soja
Trigo
 
 
 
2.237.426 
2.540.527 
1.822.221 
1.864.678
3.928.351 
PROJETO PINTANDO A LIBERDADE
investimento em R$ no projeto por região 
1997 a 2001
NORTE
NORDESTE
CENTRO-OESTE
SUDESTE
SUL
 
 
Recomenda-se não utilizar muitos setores. As categorias com percentuais baixos devem ser 
agregadas para facilitar a interpretação do gráfico e valorizar a sua estética. 
 
 Gráfico em Linhas: Os gráficos em linhas são interessantes para se destacar uma tendência. 
É comum também a sobreposição de linhas quando se quer comparar dados de duas ou mais 
séries. As linhas são mais eficientes do que as colunas quando há intensas flutuações nos 
dados. Exemplos: 
 
Fonte: Ministério do Esporte e Turismo 
Fonte: GCEA/IBGE, DPE, COAGRO 
13 
 
 
 
 
 
 
 Comparativo Gráfico x Tabela 
 
Receita consolidada do Governo Federal por Regiões - 1999 
 
Valor (1.000 R$) 
Brasil 
Grandes Regiões 
Norte Nordeste Sudeste Sul 
Centro-
Oeste 
Total das 
receitas 
283.769.434 4.795.727 16.040.941 153.003.819 29.734.718 80.194.829 
Fonte: IBGE 
 300
 400
 500
 600
 700
 800
 900
produção de petróleo - Brasil - em milhões de barris
Fonte: ANP
0
4
8
12
16
20
24
28
32
36
%
Fonte: Datafolha
Intenção de voto para prefeito de São Paulo - 2012
Serra
Russomano
Haddad
Chalita
14 
 
 
 
 
 
A leitura da tabela é mais difícil, enquanto o gráfico apresenta um entendimento bem mais fácil 
e agradável. Se for possível usar o recurso de cores no gráfico, fica melhor ainda. Entretanto, no 
gráfico perdemos os detalhes, ficamos apenas com uma idéia visual comparativa. 
Existem muitos outros tipos de gráficos, tais como os pictóricos e o cartograma. É aconselhável 
que os gráficos sejam produzidos com o auxílio de softwares adequados. O mais comumente 
usado é o Excel. 
 
Exemplo de pictograma: a revista portuguesa Grande Reportagem publicou uma série de oito 
gráficos, intitulada "O Poder das Estrelas". Um deles, sobre a guerra contra o Iraque é 
apresentado a seguir: 
 
 
2% 6%
54%
10%
28%
Receita consolidada do Governo Federal por 
Regiões - 1999
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro-Oeste
Receita total: R$284 bi 
Fonte: IBGE 
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Exemplo de cartograma: o gráfico abaixo mostra um mapa-múndi com cores indicando as 
escalas do IDH: 
 
 
 
 
2.4 - Distribuição de frequências 
 
 Agrupamento dos Dados 
 
Os dados numéricos provenientes da coleta, sem qualquer tipo de organização, são chamados 
de dados brutos. Uma primeira forma de organizá-los, ainda que de forma rudimentar, seria 
colocá-los em uma lista, obedecendo a uma ordem, crescente ou decrescente, obtendo o que 
chamamos de rol. 
 
Exemplos: 
 
Consumo mensal de energia elétrica de 80 residências com até 3 moradores, em kWh 
 
dados brutos 
302 219 251 194 216 135 385 305 240 88 
161 373 208 198 372 94 236 140 333 330 
208 352 87 197 238 314 89 376 208 121 
182 268 273 321 181 375 187 183 339 204 
182 133 182 156 239 385 113 316 285 179 
318 169 138 399 330 115 345 256 294 176 
111 293 338 140 206 349 189 333 87 198 
302 159 179 314 378 129 385 208 141 122 
16 
 
 
 
 
rol crescente 
87 121 141 181 197 208 256 305 333 373 
87 122 156 182 198 216 268 314 333 375 
88 129 159 182 198 219 273 314 338 376 
89 133 161 182 204 236 285 316 339 378 
94 135 169 183 206 238 293 318 345 385 
111 138 176 187 208 239 294 321 349 385 
113 140 179 189 208 240 302 330 352 385 
115 140 179 194 208 251 302 330 372 399 
 
 
Tabelas de frequência: são representações nas quais os valores se apresentam em 
correspondência com suas repetições,evitando-se assim que eles apareçam mais de uma vez 
na tabela, como ocorre com o rol. As tabelas de frequências resumem os dados e facilitam o seu 
estudo e interpretação. 
 
Distribuição de frequência de dados tabulados não-agrupados em classes: é uma tabela na 
qual os valores da variável aparecem individualmente. Esse tipo de apresentação é utilizado para 
representar uma variável discreta. Exemplo: a tabela abaixo representa o número de faltas 
registrado em um semestre em uma grande empresa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Xi é a variável, ou seja, as faltas. 
fi é a frequência absoluta simples das faltas, que são os resultados numéricos provenientes da 
contagem. A soma das frequências é sempre igual ao número total de valores observados. 
n =  fi = 158 
 
 
Distribuição de frequências de dados agrupados em classes: é uma tabela na qual os valores 
não mais aparecerão individualmente, mas agrupados em classes. Quando a variável do estudo 
for contínua, será sempre conveniente agrupar os valores observados em classes. Se, por outro 
lado, a variável for discreta e o número de valores representativos dessa variável for muito 
grande, recomenda-se o agrupamento dos dados em classes. 
Exemplo: a tabela abaixo mostra a quantidade de municípios do Brasil em cada faixa de tamanho 
de população: 
Número de 
faltas (Xi) 
Quantidade de funcionários 
(fi) 
0 95 
1 28 
2 19 
3 12 
4 4 
total fi = 158 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a variável for contínua, é conveniente utilizar os símbolos abaixo para separar os limites 
superior e inferior de cada classe: 
├── : inclui o limite inferior, exclui o limite superior 
├─┤ : inclui os limites inferior e superior 
──┤ : exclui o limite inferior, inclui o superior 
 : exclui os limites inferior e superior 
 
 Elementos de uma Distribuição de Frequências 
 
Amplitude Total (At): é a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em 
estudo. Se, por exemplo, no teste que deu origem à tabela anterior a maior nota tivesse sido 97 
e a menor 1, a amplitude total do conjunto de valores observados seria: At = 97 - 1 = 96 
 
Classe: é cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do conjunto de 
valores observados da variável. O número de classes é representado por k. É importante que a 
distribuição tenha um número adequado de classes. Para determinar o número de classes há 
diversos métodos. A regra de Sturges estabelece que: k = 1 + 3,3.log n. Para a tabela anterior, 
em que temos n = 500, o número de classes, pela regra de Sturges calculado pela fórmula é k = 
9,9. Arredondando, temos um total de 10 classes. Há quem prefira utilizar a relação k = n , 
mas estas fórmulas não nos levam a uma decisão precisa sobre o valor de k; esta vai depender 
de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados, da unidade usada para 
expressá-los e, ainda, do objetivo que se tem em vista, procurando evitar classes com frequência 
nula ou muito exagerada. 
Obs. k tem de ser um número natural e para obtê-lo devemos arredondar o resultado de 1 + 
3,3.log n para mais ou para menos, conforme a conveniência. 
 
Amplitude do Intervalo de Classe (h): calculado o valor de k, devemos determinar a amplitude 
do intervalo de classe, o que é conseguido dividindo-se a amplitude total pelo número de 
classes: 
k
A
h t 
Quando o resultado não é exato, devemos arredondá-lo para cima. É conveniente a escolha de 
números naturais sempre que possível. É conveniente sempre construir tabelas nas quais as 
amplitudes dos intervalos sejam iguais, para evitar equívocos na interpretação da variação do 
fenômeno. Podemos também saber a amplitude do intervalo verificando a diferença entre o 
limite superior e o limite inferior de cada classe. Assim: h = LS – LI (usamos esta relação quando 
a tabela já é dada e queremos apenas saber o valor da amplitude das classes), mas essa definição 
não é geral. Em classes com intervalos abertos, fazemos a diferença entre dois limites inferiores 
sucessivos ou entre dois limites superiores sucessivos ou ainda entre o limite real superior e o 
limite real inferior. 
Municípios e População – Brasil/2011 
Classes de tamanho da 
população 
Número de municípios 
(frequências) 
0 a 5.000 1.300 
5.001 a 20.000 2.602 
20.001 a 50.000 1.054 
50.001 a 500.000 571 
acima de 500.000 38 
 fi = 5.565 
Fonte: IBGE/TCU 
18 
 
 
Exemplo: construir as classes para 300 dados, maior valor = 4.510 e menor valor = 482. 
Solução: 
At = 4.510 – 482 = 4.028 
log 300 = 2,477 
k = 1 + 3,3.2,477 = 9,17 ~ 9  44856,447
9
4028
h 
Faremos 9 classes de tamanho 448. Como 9 x 448 = 4.032, observe que esse resultado supera 
em 4 unidades a amplitude total (4.028). Sendo assim, para equilibrar a distribuição, vamos 
começar a primeira classe em 480 (2 unidades abaixo do menor valor), para terminá-la em 4512 
(2 unidades a mais que o maior valor): 
 480 ├── 928 
 928 ├── 1.376 
1.376 ├── 1.824 
1.824 ├── 2.272 
2.272 ├── 2.720 
2.720 ├── 3.168 
3.168 ├── 3.616 
3.616 ├── 4.064 
4.064 ├── 4.512 
 
Exercício: 
 
1) Construir as classes para 250 dados, menor valor = 80, maior valor = 640. 
 
 
Ponto Médio de Classe (xi) : é o valor que representa a classe para efeito do cálculo de certas 
medidas. Na distribuição de frequências com valores agrupados em classes, considera-se que os 
resultados incluídos em cada classe distribuem-se uniformemente por seu intervalo, por isso 
escolhemos o ponto médio para representá-la. 
 
2
si
i
LL
x

 
 
Frequência Relativa Simples: é obtida quando dividimos a frequência absoluta simples pelo 
número total de dados (n). Desejando-se expressar o resultado em porcentagem, basta 
multiplicar o quociente obtido por 100. 
 
A soma das frequências relativas é sempre igual a 1 ou 100%. 
 
Frequência Absoluta Acumulada “Abaixo de”: é a soma da frequência absoluta simples de uma 
classe com as frequências absolutas simples das classes anteriores. Toda vez que se procura 
saber quantas observações existem até uma determinada classe, recorre-se à frequência 
acumulada “abaixo de”. 
 
Frequência Absoluta Acumulada “Acima de”: é a soma da frequência absoluta simples de uma 
classe com as frequências absolutas simples das classes posteriores. 
 
Obs: as frequências acumuladas também podem ser calculadas em distribuições de dados não-
agrupados em classes e podem ser representadas em porcentagem. 
 
Exemplo: a tabela abaixo representa os salários pagos a 110 operários da empresa XYZ ltda. 
100
n
f
fr ii
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determinar a frequência relativa, as frequências acumuladas e os pontos médios. 
b) Quantos operários ganham abaixo de 6 salários mínimos? 
c) Qual a porcentagem de operários com salário entre 6 e 8 salários mínimos? 
 
Solução: 
a) 
Classes fi xi fri (%) fac  fac  
0 | 2 22 1 20,0 22 110 
2 | 4 28 3 25,5 50 88 
4 | 6 31 5 28,1* 81 60 
6 | 8 17 7 15,5 98 29 
8 | 10 12 9 10,9 110 12 
  = 110  = 100,0 
*arredondado com compensação 
 
b) 81 operários 
c) 15,5% 
 
 Histogramas: são gráficos formados por um conjunto de retângulos justapostos, de forma 
que a área de cada retângulo seja proporcional à frequência da classe que ele representa. 
Assim sendo, a soma dos valores correspondentes às áreas dos retângulos será sempre igual 
à frequência total. No eixo horizontal são anotados os valores individuais da variável em 
estudo ou os limites das classes e no eixo vertical as frequências da variável. É possível utilizá-
lo para representar as frequências absolutas ou relativas, simples ou acumuladas. O 
histograma pode ser utilizado para representar a distribuição de variáveis quantitativas do 
tipo discreta ou contínua. 
 
Exemplo: para a tabela anterior, o histograma é: 
 
No de salários mínimos No de operários 
0 | 2 22 
2 | 4 28 
4 | 6 31 
6 | 8 17 
 8 | 10 12 
Total 110 
20 Polígono de Frequência: é um gráfico em linha, obtido unindo-se por segmentos os pontos 
médios das bases superiores dos retângulos do histograma. Pode referir-se às frequências 
absolutas ou relativas, conforme a escala utilizada no eixo vertical. O polígono feito sobre o 
histograma de frequência acumulada é chamado de Ogiva de Galton. Exemplo: 
 
 
 
 Curvas de Frequência: são polígonos de frequência polidos, apresentando um formato 
característico, assemelhando-se ao contorno de um sino, evidenciando uma forte 
concentração dos valores em torno do centro da distribuição. Mesmo que a semelhança com 
um sino seja muito grande, é bem provável que, na prática, a curva apresente uma certa 
deformação (distorção) para a esquerda ou para a direita. Podemos dizer que, enquanto o 
polígono de frequência nos dá a imagem real do fenômeno, a curva de frequência nos dá a 
Salários da empresa XYZ ltda.
0
5
10
15
20
25
30
35
0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10
salários mínimos
n
o
. 
d
e
 f
u
n
c
io
n
á
ri
o
s
salários da empresa XYZ ltda
0
5
10
15
20
25
30
35
0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10
salários mínimos
n
o
. 
d
e
 f
u
n
c
io
n
á
ri
o
s
21 
 
imagem tendencial. Assim, após o traçado de um polígono de frequência, e desejável, muitas 
vezes, que se lhe faça um polimento. Geometricamente, o polimento corresponde à 
eliminação dos vértices da linha poligonal. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
2) Assinale a(s) definição/afirmação incorreta(s) em relação aos gráficos 
a) Um histograma representa uma distribuição de frequências para variáveis do tipo quantitativa 
contínua, somente. 
b) O gráfico de barras representa, por meio de uma série de barras, quantidades ou frequências 
para variáveis categóricas. 
c) O gráfico de setores é apropriado, quando se quer representar as divisões de um montante 
total. 
d) Um histograma pode ser construído utilizando-se, indistintamente, as frequências absolutas 
ou relativas. 
e) Uma ogiva pode ser obtida ligando-se os pontos médios dos topos dos retângulos em um 
histograma de frequência absoluta simples. 
 
3) Frequência simples absoluta de um valor da variável é: 
a) o número de repetições desse valor. 
b) a porcentagem de repetições de valor. 
c) o número de observações acumuladas até esse valor. 
d) o somatório das frequências simples. 
e) quociente entre o número de repetições desse valor e o número total de casos. 
 
4) Um conjunto de 100 notas de Matemática, de alunos do sexo masculino, tiradas dos arquivos 
da secretaria da escola, constitui: 
a) um rol 
b) uma relação de dados brutos 
c) uma tabela 
d) uma distribuição de frequência 
e) uma população 
 
5) Assinale a alternativa verdadeira: 
a) A amplitude do intervalo de classe é calculada pela soma entre os limites inferior e superior 
de uma classe. 
b) O ponto médio da classe é a média aritmética dos seus limites inferior e superior 
c) Um intervalo de classe aberto em seus dois limites inclui ambos os números extremos. 
d) Intervalos de classe fechados têm seus limites superior e inferior excluídos dos números que 
os compõem. 
e) Os intervalos de classe precisam ser necessariamente iguais, na elaboração de uma tabela 
que apresente uma distribuição de frequência. 
22 
 
 
6) Os gráficos próprios de uma distribuição de frequência são: 
a) colunas, curva de frequência e histograma. 
b) polígono de frequência e histograma. 
c) colunas, curva de frequência e polígono de frequência. 
d) gráfico em setores, gráfico em barras, curva de frequência e curva normal. 
e) colunas, barras, setores e curva de frequência. 
 
7) Os dados seguintes representam 40 observações relativas ao índice pluviométrico em 
determinados municípios do estado: 
 
Milímetros de chuva 
 
144 152 159 160 136 144 152 153 
160 151 157 146 137 155 159 154 
154 145 141 150 139 140 145 158 
142 146 142 141 144 147 150 149 
141 150 143 158 159 162 151 151 
 
a) construir a tabela de frequências absolutas simples; 
b) determinar as frequências absolutas acumuladas ‘abaixo de’ e ‘acima de’; 
c) determinar as frequências relativas; 
d) obter os pontos médios das classes; 
e) construir o histograma e o polígono de frequências. 
 
8) Das afirmações: 
 
I. Tanto o histograma como o polígono de frequência, que são gráficos próprios da 
distribuição de frequência, são gráficos de análise, os quais devem ser feitos só quando 
a variável for discreta. 
II. Tanto o polígono de frequência como o histograma, que são gráficos próprios da 
distribuição de frequência, podem ser feitos para qualquer tipo de variável, desde que 
ela seja quantitativa. 
III. O histograma é um gráfico em colunas, mas qualquer gráfico em colunas não é 
necessariamente um histograma. 
 
a) todas são verdadeiras 
b) todas são falsas 
c) apenas I é falsa 
d) apenas I e II são falsas 
e) apenas II e III são falsas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
3 – MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
 São medidas que caracterizam a distribuição. Conhecendo-se algumas destas medidas podemos 
fazer uma ideia geral da distribuição. Ex: sabendo que a média de uma classe numa prova foi de 
8,5, podemos concluir que a maioria dos alunos teve um bom desempenho na prova, mesmo 
sem saber a nota de cada um. São medidas de posição: as médias, a mediana, a moda, os quartis, 
decis, centis, etc. 
 
 
Medidas de Tendência Central: são as medidas de posição mais importantes. Também 
chamadas de promédias, elas caracterizam o centro da distribuição e são utilizadas para resumir 
o conjunto de valores representativos do fenômeno que se deseja estudar. Ex: médias, mediana, 
moda. Dentre as médias, estudaremos a aritmética simples e ponderada, mas existem outras, 
como a geométrica e a harmônica. 
 
 
3.1 - Média Aritmética: símbolo: x 
 
Pode ser simples ou ponderada. 
 
a) Simples: usada para dados brutos: X = {x1, x2, ... , xn} 
 
 
 
n
x
n
xxx
x
in  ....21 
Ex: X = {1, 3, 8, 10, 12} 
 
 
5
1210831 
x  8,6x 
 
na HP 12-C: 
 
f REG 
f Σ 
1 Σ+ 3 Σ+ 8 Σ+ 10 Σ+ 12 Σ+ 
g x (é a tecla 0) 
 
b) Ponderada: usada para dados tabulados. Cada valor xi da variável é ponderado pela sua 
frequência fi. Temos então: 
 
 
 x
x f x f x f
f
k k
i

  

1 1 2 2. . ... .
  x
x f
f
i i
i



.
 
 
Lembrando que se os dados estiverem agrupados em classes, cada valor de xi é o ponto médio 
da classe correspondente. 
Veja o exemplo seguinte, observando que a coluna xi traz o ponto médio de cada classe e que 
abrimos uma coluna xi . fi para facilitar o cálculo. 
 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35
50
1750





i
ii
f
fx
x 
 
A média aritmética é utilizada principalmente quando desejamos obter a medida de posição 
central que possui a maior estabilidade. Entretanto, devemos lembrar que a média é fortemente 
influenciada pelos extremos, fato que pode descaracterizá-la como principal medida de 
tendência central. 
Nos casos em que as medidas extremas forem bastante afastadas das demais, a média será 
tendenciosa, e por isso deveremos optar por outra medida de posição, que não sofra esse tipo 
de influência. 
A média aritmética sozinha não deve ser tomada como espelho da distribuição. É necessário 
compor outras medidas de posição para podermos fazer uma completa avaliação dos dados. 
 
 
Exercícios 
1) Uma empresa fabrica um componente e, para isso, precisa importar três itens A, B e C. Sabe-
se que ela comprou 3.000 unidades do item A, pagando alíquota de 8% de imposto; 4.500 
unidades do item B, com alíquota de 12% e 5.000 unidades do item C, com alíquota e 15%. Qual 
foi a alíquota média paga pela empresa? 
2) Uma empresa comprou 400 unidades de um item A, pagando R$14,30 a unidade. Entretanto, 
ela recebeu uma proposta de outro fornecedor, que lhe ofereceu o mesmo item por R$13,20. A 
empresa decidiu então comprar mais 300 unidades desse novo fornecedor. Qual o preço médio 
pago por essa empresa pelo item A? 
3) Calcule a média aritmética da distribuiçãoabaixo. 
Classes fi xi xi . fi 
10 | 20 6 15 90 
20 | 30 11 25 275 
30 | 40 15 35 525 
40 | 50 13 45 585 
50 | 60 5 55 275 
  fi = 50 = n  xi.fi = 1.750 
Consumo 
(kwh) 
no de 
usuários 
 
5 | 25 4 
25 |45 6 
45 |65 14 
65 |85 26 
85 |105 16 
105 |125 7 
125 |145 5 
145 |165 2 
 80 
25 
 
 
3.2 - Moda: símbolo: Mo ou x̂ 
 
Também chamada de norma, valor dominante ou valor típico. Pode-se definir moda como o 
valor mais frequente, quando comparada sua frequência com a dos valores contíguos de um 
conjunto ordenado. Quando afirmamos que o salário modal de uma empresa é de R$1.200,00, 
queremos dizer que esse é o salário percebido pelo maior número de pessoas dessa empresa. 
O termo moda foi utilizado primeiramente por Karl Pearson em 1895, talvez como uma 
associação a sua concepção na linguagem comum. 
 
a) Dados Não-Tabulados: considerando um conjunto ordenado de valores, a moda será o valor 
mais frequente desse conjunto. 
Exemplo: calcular a moda dos conjuntos: X ={4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8} 
 Y = {4, 4, 5, 5, 6, 6} 
 Z = {1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6} 
 W = {1, 2, 3, 4, 5} 
A moda de cada um dos conjuntos será: 
X: x̂ = 6 (unimodal) ; Y: amodal; Z: 2ˆ1 x e 5ˆ2 x (bimodal); W: amodal 
 
Obs: para mais de duas modas, a série é classificada como plurimodal. 
 
b) Dados Tabulados: para dados não agrupados, a moda será o valor de xi correspondente à 
maior frequência, tirado direto da tabela, sem a necessidade de cálculos. Se os valores 
estiverem agrupados em classes, temos vários métodos de cálculo, como a moda bruta 
(ponto médio da classe de maior frequência) e o método de King2, mas o mais elaborado é o 
método de Czuber, que leva em consideração a frequência modal e as frequências adjacentes 
à classe modal (classe modal é a classe de maior frequência). 
 
Fórmula de Czuber: 
 
 fpfafm
fafmh
Lx i



2
ˆ na qual 
 
Li = limite inferior da classe modal 
h = amplitude da classe modal 
fm = frequência absoluta simples da classe modal 
fa = frequência absoluta simples da classe anterior à modal 
fp = frequência absoluta simples da classe posterior à modal 
 
 
 
Exemplo: calcular a moda da distribuição ao 
lado, pelo método de Czuber: 
 
 
 
 
 
 
 
2 O método de King não leva em consideração a frequência da classe modal, apenas as frequências anterior 
e posterior. 
Consumo (kwh) no de usuários 
 5 | 25 4 
25 |45 6 
45 |65 14 
65 |85 26 
 85 |105 16 
105 |125 7 
125 |145 5 
145 |165 2 
 80 
26 
 
 
Temos: 
classe modal: 4a classe: 65 | 85 (classe de maior frequência) 
Li = 65 ; h = 20 ; fm = 26 ; fa = 14 ; fp = 16 
Utilizando a fórmula, temos: 
 
 
 
A moda corresponderá ao ponto médio da classe modal, quando as frequências anterior e 
posterior à modal forem iguais. 
 
Podemos também identificar as expressões gráficas da moda. Na curva de frequência, a moda é 
o valor correspondente, no eixo das abscissas, ao ponto de ordenada máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 curva modal curva não-modal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 curva antimodal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 curva bimodal 
 
 
 
9,759,1065
22
240
65
3052
1220
65
1614262
142620
65ˆ 





x 
27 
 
 
Exercícios 
 
4) calcular a moda para a distribuição abaixo: 
 
classes fi 
10 | 20 10 
20 | 30 20 
30 | 40 35 
40 | 50 42 
50 | 60 25 
60 | 70 18 
 fi = 150 
 
 
5) A moda é utilizada para determinar o perfil de uma população. Considerando a sala de aula, 
identifique as variáveis que podem compor o perfil dos alunos e obtenha os resultados. 
 
 
3.3 - Mediana: símbolo: Md ou ~x . 
 
 É o valor que divide uma série ordenada de tal forma que pelo menos a metade ou 50% dos 
itens sejam iguais ou maiores do que ela, e que haja pelo menos outra metade ou 50% de itens 
menores do que ela. 
 
a) Dados Não-Tabulados: podem ocorrer duas hipóteses: 
 o no de observações é ímpar: o elemento mediano é dado por: Emd = 
n  1
2
. O passo seguinte 
é localizar a mediana na lista de valores, de acordo com o resultado obtido no cálculo do 
elemento mediano. 
 
Exemplo: calcular a mediana do conjunto X = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30} 
 
Solução: sendo n = 7 (ímpar), temos então: Emd = 
7 1
2
4

 . A mediana será, pois, o 4o elemento 
da série, ou seja, 12. 
 o no de observações é par: o elemento mediano é dado por: Emd = n 2 
 
Exemplo: calcular a mediana do conjunto X = {3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20} 
 
Solução: sendo n par, temos então Emd = 8 2 4 . A mediana seria, pois, o 4o elemento da série, 
ou seja, 12. Entretanto, este valor contraria a definição, uma vez que não teríamos a mesma 
proporção de valores menores e maiores que 12. A mediana deverá então ser calculada como a 
média aritmética dos valores centrais, ou seja, 
12 14
2
13

 . Agora, percebe-se a ocorrência de 
igual número de valores maiores e menores do que ~x . Nesse exemplo verificamos também que 
a mediana não é típica. 
b) Dados Tabulados não Agrupados em Classes: o procedimento a ser adotado é semelhante ao 
anterior. Em primeiro lugar deve-se verificar se o número de observações é ímpar ou par e, 
conforme o caso, aplicar as fórmulas adotadas na alínea (a) para o cálculo do elemento mediano. 
28 
 
Em seguida, acrescentamos à tabela a coluna com as frequências acumuladas “abaixo de”. 
Comparando o resultado obtido no cálculo do elemento mediano com os valores dessa coluna, 
determinaremos a mediana. 
Exemplos: calcular a mediana dos valores apresentados nas tabelas: 
 
 
n é par, então Emd = n/2 = 50/2 = 25 
 
A mediana deverá ser a média aritmética entre o 25o e o 26o 
elementos, que estão na 3a classe, portanto: 
 4~ x 
 
 
 
 
n é ímpar, então Emd = 
n 


 
1
2
35 1
2
36
2
18 
 
A mediana deverá ser o 18o elemento, que está na 
3a classe, portanto: 5~ x 
 
 
c) Dados Tabulados Agrupados em Classes: inicialmente determinamos a classe mediana, sendo 
que esta é aquela à qual corresponde à frequência acumulada “abaixo de” imediatamente 
superior a 
2
if . Feito isso, um problema de interpolação resolve a questão, admitindo-se que os 
valores se distribuam uniformemente no intervalo de classe. 
Assim: 
 
 onde: 
 Li = limite inferior da classe mediana 
Faa = freq. acumulada “abaixo de” anterior à classe 
mediana 
h = amplitude da classe mediana 
 fmd = freq. absoluta simples da classe mediana 
 
Exemplo: calcule a mediana para os dados da tabela: 
 
 
 
150/2 = 75  a classe mediana é a 4a classe. 
 
 4,42
42
100
40
42
1065
2
150
40~ 







x 
 
 
Obs: Se existir uma fac  com valor igual a 
2
if , então a mediana será o limite superior da classe 
correspondente a essa fac, sem a necessidade de usar a fórmula. 
xi fi fac  
2 5 5 
3 10 15 
4 15 30 
5 12 42 
6 8 50 
 n = 50 
xi fi fac  
3 3 3 
4 6 9 
5 9 18 
6 8 26 
7 9 35 
 n = 35 
classes fi fac  
10 | 20 10 10 
20 | 30 20 30 
30 | 40 35 65 
40 | 50 42 107 
50 | 60 25 132 
60 | 70 18 150 
 fi = 150 
mdf
Faa
fi
h
Lix










2~
29 
 
Exercício 
 
6) Calcular a mediana para a distribuição abaixo. 
 
Consumo (kwh) no de usuários 
 5 | 25 4 
25 |45 6 
45 |65 14 
65 |85 26 
 85 |105 16 
105 |125 7 
125 |145 5 
145 |165 2 
 80 
 
 
3.4 - Considerações Adicionais Sobre Média Aritmética, Mediana e Moda 
 
 Dentre as várias medidas de tendência central, seguramente a média aritmética é a mais 
utilizada por ser mais estável. 
Em termos de uma curva de distribuição de frequência, podemos perceber melhor o 
posicionamento dessas medidas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 curva normal(simétrica) 
 
 
 assimétrica à esquerda assimétrica à direita 
 
 
30 
 
A média aritmética é preferível às demais medidas, para estimar a tendência central, quando se 
trata de muitas classes de populações, por haver menos variabilidade entre as médias 
aritméticas calculadas a partir de várias amostras aleatórias do que entre as medianas e as 
modas. 
A mediana é preferível à média quando se está interessado em conhecer exatamente o ponto 
médio da distribuição, aquele valor que a divide em duas partes exatamente iguais. É preferível 
ainda, quando os resultados extremos são tais que podem afetar sensivelmente o valor da 
média. 
 A moda é utilizada essencialmente quando pretendemos apenas uma medida rápida e 
aproximada da tendência central. A moda é também bastante útil quando desejamos que este 
valor seja típico da distribuição. 
Tanto a média aritmética quanto a mediana e a moda são dadas na mesma unidade da variável. 
Obs: um promédio não deve ser usado como um resumo da distribuição de frequências, quando 
o interesse estiver concentrado na distribuição completa. 
 
 
Exercícios 
 
Considere a distribuição de salários anuais abaixo para responder as questões 7 e 8: 
 
Frequências Acumuladas de Salários Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa 
Classes de Salário Frequências Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
 
 
7) Quer-se estimar o salário médio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opção 
que representa a aproximação desta estatística calculada com base na distribuição de 
frequências. 
a) 9,93 b) 15,00 c) 13,50 d) 10,00 e) 12,50 
 
8) Quer-se estimar o salário mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opção que corresponde ao 
valor aproximado desta estatística, com base na distribuição de frequências. 
a) 12,50 b) 9,60 c) 9,00 d) 12,00 e) 12,10 
 
Exercícios 9 e 10: os dados abaixo representam a distribuição de 1.200 domicílios residenciais, 
por classe de consumo de energia elétrica mensal, em uma área de concessão da CERON, 
medidos em 2006. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Faixa de consumo Frequência relativa 
0 – 50 kWh 8% 
50 – 100 kWh 12% 
100 – 150 kWh 32% 
150 – 300 kWh 40% 
300 – 500 kWh 8% 
 
31 
 
9) O consumo médio mensal, em kWh, pode ser estimado, aproximadamente, em: 
a) 108 b ) 124 c) 147 d) 173 e) 
236 
 
10) O consumo mediano mensal, em kWh, pode ser estimado, aproximadamente, em: 
a) 108 b) 124 c) 147 d) 173 e) 
236 
 
11) A tabela abaixo representa o tamanho de áreas (em hectares) devastadas em 100 fazendas 
da região amazônica em determinado ano. 
 
 
Área Tamanho (Ha) Nº de fazendas 
1 5 ├── 15 10 
2 15 ├── 25 20 
3 25 ├── 35 25 
4 35 ├── 45 30 
5 45 ├── 55 10 
6 55 ├── 65 5 
Total 100 
Fonte: SEAD/SEMA – FADESP/2008 
Podemos afirmar que os números médio, mediano e modal do tamanho das áreas são, 
respectivamente, 
a) Média = 28,2; Mediana = 27,5; Moda = 35,0. 
b) Média = 30,5; Mediana = 30,2; Moda = 36,5. 
c) Média = 32,5; Mediana = 33,0; Moda = 37,0. 
d) Média = 35,0; Mediana = 35,0; Moda = 37,5. 
 
12) Considere os valores totais lançados em notas fiscais durante um dia de vendas: R$2.000,00; 
R$4.500,00; R$3.000,00; R$2.500,00; R$3.500,00 e R$2.500,00. Tomando por base esses dados, 
é correto afirmar sobre média aritmética, mediana e moda que: 
a) o valor da mediana supera o valor da média aritmética. 
b) os valores da moda e da mediana são iguais. 
c) o valor da média aritmética supera o valor da mediana em R$500,00. 
d) os valores da mediana e da moda são inferiores ao valor da média aritmética. 
e) o valor da moda é inferior ao valor da mediana em R$500,00. 
 
13) Considere o seguinte texto, adaptado da publicação ‘Núcleo de Inflação’, inserida no 
relatório de inflação do Banco Central do Brasil em junho/2000 (pp. 90-91). 
<https://www.bcb.gov.br/htms/relinf/port/2000/06/ri200006b4p.pdf> 
 
O núcleo de inflação, também denominado de inflação subjacente, é uma medida que procura 
captar a tendência dos preços, desconsiderando distúrbios resultantes de choques temporários. 
É uma medida de inflação desenhada para detectar mudanças de caráter fundamental nos preços, 
que podem ser causadas por pressões de demanda sobre a capacidade produtiva, por choques 
permanentes nos preços relativos ou por alterações nas expectativas de inflação. 
A literatura sobre núcleo de inflação vem avançando rapidamente nos últimos anos, à medida 
que mais países adotam explicitamente o regime de metas para inflação, ou passam a enfatizar 
a estabilidade de preços como principal objetivo de política monetária. O núcleo é uma medida 
relevante para orientar a política monetária, pois ajuda a autoridade monetária a identificar e 
diagnosticar os choques que afetam a inflação. 
32 
 
Muitos bancos centrais divulgam medidas de núcleo, notadamente os de países desenvolvidos. 
No Brasil, o cálculo do núcleo de inflação é tema recente e que tomou corpo após a adoção das 
metas para a inflação como regime de política monetária. No início de 2000, começaram a 
aparecer os primeiros resultados em termos de cálculos de indicadores de tendência de inflação. 
A FGV, a partir de março/2000, passou a divulgar mensalmente uma medida de núcleo para o 
IPC-Br. O IPEA, por sua vez, no Boletim Conjuntural de janeiro/2000, apresentou os resultados 
preliminares de medidas de núcleo de inflação para o IPCA utilizando métodos de suavização. 
Existem várias metodologias para o cálculo do núcleo de inflação, sendo que uma delas propõe 
a adoção da mediana como medida de referência. 
 
Nesse contexto, pergunta-se: 
 
a) O que se pode esperar de uma medida de inflação que utilize a mediana, ao invés da 
média aritmética, para o cálculo do índice? 
b) O que a inflação do núcleo tem a ver com a política de metas de inflação? 
 
14) (Administrador/BNDES – Cesgranrio/2013) A figura abaixo representa um histograma. 
 
 
 
Em relação às medidas de centralidade do histograma, considere as afirmativas abaixo. 
I – A média é maior que a mediana. 
II – A distribuição dos dados é unimodal. 
III – A moda é menor que a média. 
É correto o que se afirma em 
a) II, apenas 
b) III, apenas 
c) I e II, apenas 
d) II e III, apenas 
e) I, II e III 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
4 – MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
 A análise completa dos dados não requer apenas a sua apresentação por meio de gráficos e 
tabelas, ou do cálculo de promédios ou outras medidas de posição. Caracterizar um conjunto de 
valores apenas pela média, por exemplo, é descrevê-lo inadequadamente, uma vez que os dados 
diferem entre si, em maior ou menor grau. Para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão dos 
valores de um conjunto de números, lançaremos mão das estatísticas denominadas medidas de 
dispersão. Elas nos proporcionarão um conhecimento mais completo do fenômeno a ser 
analisado, permitindo estabelecer comparações entre fenômenos de mesma natureza e 
mostrando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da tendência central. 
 
 
4.1 - Desvio-padrão: (S) é a medida de dispersão mais usada e considera os desvios tomados em 
relação a x . O desvio-padrão é a média quadrática dos desvios em relação à média aritmética 
de um conjunto de números, ou seja, a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos 
desvios, tomados a partir da média aritmética. Em distribuições normais (ou aproximadamente 
normais), o intervalo Sx  contém aproximadamente 70% dos dados da série. 
 
a) Dados Brutos: o desvio-padrão é calculado por: 
 
n
xx
S
i 

2
 
 
Obs: alguns autores afirmam que quando o desvio-padrão representar uma descrição da 
amostra e não da população, caso mais frequente em estatística, o denominadordas expressões 
acima deve ser n  1 , em vez de n. A razão desse procedimento reside no fato de que, utilizando 
o divisor n  1 , obtém-se uma estimativa melhor do parâmetro de população. Para valores 
grandes de n (n > 30) não há grande diferença entre os resultados proporcionados pela utilização 
de qualquer dos dois divisores. Daremos preferência para a fórmula que proporciona um cálculo 
mais simples e rápido (denominador n). 
Exemplo: calcular o desvio-padrão do conjunto abaixo: 
X = {1, 3, 8, 10, 12}  8,6x 
5
04,2724,1044,144,1464,33
5
)8,612()8,610()8,68()8,63()8,61( 22222 


S 
 166533,436,17
5
8,86
S 
Na HP 12-C, o cálculo do desvio padrão pode ser feito com a seguinte sequência de teclas: 
 
com denominador n – 1 com denominador n 
f REG f REG 
f Σ f Σ 
1 Σ+ 1 Σ+ 
3 Σ+ 3 Σ+ 
8 Σ+ 8 Σ+ 
10 Σ+ 10 Σ+ 
12 Σ+ 12 Σ+ 
g S (tecla ponto) g x (tecla 0) 
 Σ+ 
visor: 4,65833 visor: 4,166533 
34 
 
b) Dados Tabulados: utilizando o divisor n, temos: 
 
 
 
fi
fxx
S
ii




2
 
 
 
Exemplo: calcular o desvio-padrão da tabela abaixo: 
 
 
 
99899,309375,960
80
875.76
2





fi
fxx
S
ii
 kwh 
 
Observações: 
(i) O desvio-padrão é dado na mesma unidade da variável. 
(ii) A média aritmética desta distribuição é 78,75 (já calculada). 
 
4.2 - Variância: (S2) é o quadrado do desvio-padrão. Dessa forma, pode-se dizer que a fórmula 
da variância é igual à expressão do desvio-padrão, sem o sinal do radical. Utilizaremos, também 
neste caso, o denominador n. A variância é uma medida que tem pouca utilidade como 
estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em 
combinações de amostras. 
 
4.3 - Medida de Dispersão Relativa - Coeficiente de Variação de Pearson: o desvio-padrão por 
si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio-padrão de duas unidades pode ser considerado 
pequeno para uma série de valores cuja média é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o 
mesmo não pode ser dito. Além disso, o fato de o desvio-padrão ser expresso na mesma unidade 
dos dados limita o seu emprego, quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores 
relativamente à sua dispersão. Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos 
caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, 
medida essa denominada coeficiente de variação de Pearson: 
 
100
x
S
CV 
 
No exemplo anterior temos: %36,39100
75,78
99899,30
CV 
 
Quanto menor for o CV, mais homogêneo será o conjunto de dados. 
Consumo (kwh) 
no de usuários 
(fi) 
xi x xi   x xi 
2
  x x fi i
2
. 
5 | 25 4 15 -63,75 4.064,0625 16.256,2500 
25 |45 6 35 -43,75 1.914,0625 11.484,3750 
45 |65 14 55 -23,75 564,0625 7.904,7500 
65 |85 26 75 -3,75 14,0625 365,6250 
85 |105 16 95 16,25 264,0625 4.225,0000 
105 |125 7 115 36,25 1.314,0625 9.198,4375 
125 |145 5 135 56,25 3.164,0625 15.820,3125 
145 |165 2 155 76,25 5.814,0625 11.628,1250 
 80 76.875,0000 
35 
 
Exercícios 
 
1) O que é o desvio padrão e o que ele mede? 
 
2) Complete a tabela abaixo com os dados que julgar necessários para determinar: 
a) desvio padrão; 
b) variância; 
c) coeficiente de variação. 
 
 
3) Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de 
empresas apresentando os resultados seguintes: 
 
Grupo Média Desvio padrão 
A 20 4 
B 10 3 
Assinale a opção correta. 
 
a) No Grupo B, Y tem maior dispersão absoluta. 
b) A dispersão absoluta de cada grupo é igual à dispersão relativa. 
c) A dispersão relativa do Grupo B é maior do que a dispersão relativa do Grupo A. 
d) A dispersão relativa de Y entre os Grupos A e B é medida pelo quociente da diferença de 
desvios padrão pela diferença de médias. 
e) Sem o conhecimento dos quartis não é possível calcular a dispersão relativa nos grupos. 
 
4) De posse dos resultados de produtividade alcançados por funcionários de determinada área 
da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte 
estratégia: aqueles funcionários com rendimento inferior a dois desvios padrões abaixo da 
média (Limite Inferior - LI) deverão passar por treinamento específico para melhorar seus 
desempenhos; aqueles funcionários com rendimento superior a dois desvios padrões acima de 
média (Limite Superior - LS) serão promovidos a líderes de equipe. 
 
Indicador Frequência 
0 ├─ 2 10 
2 ├─ 6 20 
4 ├─ 6 240 
6 ├─ 8 410 
 8 ├─ 10 120 
Total 800 
 
Xi frequências (fi) 
2 | 6 5 
 6 | 10 10 
10 | 14 18 
14 | 18 14 
18 | 22 3 
 50 
36 
 
Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos 
Humanos. 
a) LI = 4,0 e LS = 9,0 
b) LI = 3,6 e LS = 9,4 
c) LI = 3,0 e LS = 9,8 
d) LI = 3,2 e LS = 9,4 
e) LI = 3,4 e LS = 9,6 
 
5) (EXCEL) Dois importantes indicadores usados pelos investidores em mercados de ações são o 
retorno diário médio (percentual) e o desvio padrão desses retornos (medida de risco). 
Considere a planilha abaixo com preços de fechamento do ativo BRFS3 (Brasil Foods). Obtenha 
o retorno médio e o desvio padrão dessa amostra. 
 
data R$ 
1/10/2014 58,32 
2/10/2014 58,83 
3/10/2014 59,31 
6/10/2014 60,33 
7/10/2014 60,08 
8/10/2014 60,60 
9/10/2014 61,35 
10/10/2014 60,27 
13/10/2014 61,01 
14/10/2014 60,88 
15/10/2014 60,48 
16/10/2014 58,43 
17/10/2014 59,80 
20/10/2014 59,05 
21/10/2014 56,86 
22/10/2014 58,36 
23/10/2014 57,09 
24/10/2014 56,78 
27/10/2014 56,72 
28/10/2014 58,67 
29/10/2014 59,06 
30/10/2014 60,83 
31/10/2014 64,01 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
5 – MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE 
 
 
São as medidas que faltam para complementarmos o quadro das estatísticas descritivas, que 
proporcionam, juntamente com as medidas de posição e de dispersão, a descrição e 
compreensão completas da distribuição de frequências estudada. As distribuições de frequência 
não diferem apenas quanto ao valor médio e à variabilidade, como também quanto à sua forma. 
Do ponto de vista desse último aspecto, as características mais importantes são o grau de 
deformação ou assimetria e o grau de achatamento ou afilamento da curva de frequências ou 
do histograma. 
 
 
 Assimetria: Símbolo: (As ou Sk). Como já vimos, se a média aritmética coincidir com a moda, 
temos uma distribuição simétrica dos valores estudados. A diferença entre a média e a moda 
já nos dá uma boa ideia da assimetria da distribuição, mas essa medida é absoluta, o que 
não é adequado, pois não permite comparações com as medidas de outras distribuições. 
Por esse motivo, dá-se preferência ao Coeficiente de Assimetria de Pearson , dado por: 
 
 
S
xx
As
~.3 
 
 
Obs: Se o módulo de As estiver entre 0,15 e 1, a assimetria é considerada moderada. Acima de 
1 (em módulo), é forte. 
 
Exemplo: Considerando a distribuição de frequências abaixo, determine o tipo de assimetria e o 
seu grau. 
 
 
 x  
400
60
6,67
 
 
~
.
.
,x L
h
fi
Faa
fi Md
 







 

  

2
6
2 30 24
15
6
12
15
6 8 
 
 
99,29567,8
60
4,537
2




n
fxx
S
ii 
 
 
 
 
assimetria fraca à esquerda 
 
Xi fi xi Fac  xi . fi x xi   x xi 
2
 
 x x fi i 
2
 
0 | 2 5 1 5 5 -5,67 32,15 160,75 
2 | 4 7 3 12 21 -3,67 13,47 94,29 
4 | 6 12 5 24 60 -1,67 2,79 33,48 
6 | 8 15 7 39 105 0,33 0,11 1,65 
 8 | 10 11 9 50 99 2,33 5,43 59,73 
10 | 12 10 11 60 110 4,33 18,75 187,50 
  = 60 400 537,40 
13,0
99,2
39,0
99,2
)13,0(3
99,2
)8,667,6(3)~(
3 








S
xx
As 
38 
 
 Curtose: símbolo: (C). Denomina-securtose o grau de achatamento de uma distribuição em 
relação a uma distribuição padrão, denominada curva normal (curva correspondente a uma 
distribuição teórica de probabilidade), à qual tem índice de curtose igual a 0,263. Tem-se 
então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A curtose (C) se define como a razão entre a amplitude semi-interquartílica (Q) e a amplitude 
decílica - Curtose Decílica. 
 
 
C
Q Q
D D



3 1
9 12
 
 
Os quartis (Q1 e Q3) são medidas de posição, calculadas como a mediana, que dividem a 
distribuição em quatro partes com a mesma quantidade de elementos. Assim: 
 
 
 
Q L
k n Faa h
f
k i
i
 
 







.
4
 
 
Os decis (D9 e D1) também são medidas de posição, semelhantes aos quartis, que dividem a 
distribuição em dez partes com a mesma quantidade de elementos. Assim: 
 
 
D L
k n Faa h
f
k i
i
 
 








.
10
 
no qual: 
 
fi = frequência absoluta simples da classe quartílica / decílica 
Li = limite inferior da classe quartílica / decílica 
h = amplitude da classe quartílica / decílica 
n = número total de observações (fi) 
Faa = frequência acumulada anterior à classe quartílica / decílica 
k = ordem do quartil / decil. 
 
Essas medidas de posição são importantes, pois: 
a) entre os quartis Q1 e Q3 encontramos 50% dos dados da amostra; 
b) entre os decis D1 e D9, encontramos 90% dos dados da amostra. 
 
Exemplo: determinar o índice de curtose e da distribuição abaixo: 
 
 
39 
 
 
 
 1o Quartil: 
1
4
1 60
4
15




n
  15a posição (3a classe)  
 
 
 
3o Quartil: 
3
4
3 60
4
45




n
  45a posição (5a classe)  
 
 
 
 
1o Decil: 
1
10
1 60
10
6




n
  6a posição (2a classe)  
 
 
 
 
 
9o Decil: 
9
10
9 60
10
54




n
  54a posição (6a classe)  
 
 
 
 
Assim: 
   
C
Q Q
D D








 
3 1
9 12
9 09 4 5
2 10 8 2 29
4 59
2 8 51
4 59
17 02
0 27
, ,
, ,
,
,
,
,
, 
 
A distribuição tende ao achatamento (platicúrtica). 
 
Exercícios 
 
 Para as questões 1 e 2, considere a tabela de frequências abaixo. 
 
pesos (kg) fi xi xi . fi xxi  
2)( xxi  ii fxx 
2)( fac ↓ 
 50 ├─ 58 10 54 540 -20,08 403,2064 4032,0640 10 
 58 ├─ 66 15 62 930 -12,08 145,9264 2188,8960 25 
 66 ├─ 74 25 70 1750 -4,08 16,6464 416,1600 50 
 74 ├─ 82 24 78 1872 3,92 15,3664 368,7936 74 
 82 ├─ 90 16 86 1376 11,92 142,0864 2273,3824 90 
 90 ├─ 98 10 94 940 19,92 396,8064 3968,0640 100 
 100 7408 13247,3600 
 
 
 
Xi fi fac  
0 | 2 5 5 
2 | 4 7 12 
4 | 6 12 24 
6 | 8 15 39 
 8 | 10 11 50 
10 | 12 10 60 
 60 
   
50,4
12
6
4
12
21215
44
.1
1 




 








 

i
i
f
hFaan
LQ
 
   
Q L
n Faa h
f
i
i
3
3
4
8
45 39 2
11
8
12
11
9 09 
 







 
 




   
.
, 
   
D L
n Faa h
f
i
i
1
1
10
2
6 5 2
7
2
2
7
2 
 







 
 




   
.
,29 
   
80,10
10
8
10
10
25054
1010
.9
9 




 








 

i
i
f
hFaan
LD 
40 
 
1) O índice de curtose e a sua classificação são, respectivamente: 
a) 0,26  mesocúrtica 
b) 0,258  platicúrtica 
c) 0,258  leptocúrtica 
d) 25,8%  fortemente cúrtica 
e) 25,8%  moderadamente cúrtica 
 
2) O coeficiente de assimetria de Pearson e sua classificação são, respectivamente: 
a) 0,258  assimétrica à esquerda 
b) 0,258  assimétrica à direita 
c) praticamente 0  simétrica 
d) 0,02  assimétrica à direita 
e) 20%  assimétrica à direita 
 
3) Para dados agrupados representados por uma curva de frequências, as diferenças entre os 
valores da média, da mediana e da moda são indicadores da assimetria da curva. Indique a 
relação entre essas medidas de posição para uma distribuição negativamente assimétrica. 
a) A média apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda. 
b) A moda apresenta o maior valor e a média se encontra abaixo da mediana. 
c) A média apresenta o menor valor e a moda se encontra abaixo da mediana. 
d) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. 
e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da média. 
 
4) Considerando o coeficiente de curtose das distribuições de frequências, pode-se afirmar que 
a sequência que apresenta ordem crescente com relação à respectiva dispersão dos dados é 
dada pelas distribuições 
a) leptocúrtica, mesocúrtica e platicúrtica. 
b) platicúrtica, mesocúrtica e leptocúrtica. 
c) platicúrtica, leptocúrtica e mesocúrtica. 
d) leptocúrtica, platicúrtica e mesocúrtica. 
e) mesocúrtica, leptocúrtica e platicúrtica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
6 – PROBABILIDADE – CONCEITOS BÁSICOS 
 
 
 Experimentos Aleatórios: ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos 
várias vezes sob as mesmas condições, apresentam resultados imprevisíveis. 
 
 Espaço Amostral: Consideremos uma experiência onde pode ocorrer qualquer um de n 
resultados possíveis. Cada um dos n resultados possíveis será chamado de ponto amostral, 
e o conjunto S de todos os resultados possíveis, ou seja, o conjunto S de todos os pontos 
amostrais, será chamado de espaço amostral, espaço de prova ou conjunto universo da 
experiência. Nos espaços amostrais equiprobabilísticos ou laplacianos, todos os pontos 
amostrais tem a “mesma chance” de ocorrer. 
 
 Evento: Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral S. 
Ex: No lançamento de um dado, considerar a ocorrência de um no ímpar. Temos: 
Espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento no ímpar A = {1, 3, 5} 
 
 Evento certo - é o próprio conjunto universo S. Intuitivamente, é o fato que ocorre sempre, 
com certeza. 
 
 Evento impossível - o conjunto vazio também é subconjunto de S, portanto  também é 
um evento, chamado de impossível porque nunca ocorre. 
Ex: No lançamento de um dado, o evento “no maior ou igual a 7” é um evento impossível e o 
evento “no menor ou igual a 6” é um evento certo. 
 
 Probabilidade: Dado um espaço amostral S, com n(S) elementos, e um evento A de S, com 
n(A) elementos, A probabilidade do evento A é o número P(A) tal que: 
P A
n A
n S
( )
( )
( )
 
Exemplos: 
a) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A “obter cara”, temos: 
S = {Ca, Co}  n(S) = 2 
A = {Ca}  n(A) = 1 
Logo: P(A) = ½ = 0,5 ou 50% 
 
b) Considerando o lançamento de um dado, vamos calcular a probabilidade do evento B 
“obter o número 4 na face superior”. Temos: 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(S) = 6 
A = {4}  n(A) = 1 
Logo: P(A) = 1/6 = 0,1666... ou aprox. 16,7% 
 
 Eventos Complementares – Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a 
probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra 
(insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação: 
 
p + q = 1 
 
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele não 
ocorra é: 
 q = 1 – 1/5 = 4/5 
42 
 
Exemplo: sabemos que a probabilidade de tirar quatro no jogo de um dado é 1/6. Assim, a 
probabilidade de não tirar 4 é: 
q = 1 – 1/6 = 5/6. 
 
 Eventos independentes – dizemos que dois eventos são independentes quando a realização 
ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e 
vice-versa. Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles 
independe do resultado obtido no outro. Se dois eventos são independentes, a 
probabilidade de que eles se realizem simultaneamente é igual ao produto das 
probabilidades de realização dos dois eventos. Assim, sendo p1 a probabilidade de realização 
do primeiro evento e p2 a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade 
de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por: 
 
p = p1 . p2 
 
Exemplo: lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado é p1 =1/6. A 
probabilidade de obtermos 5 no segundo dado é p2 = 1/6. Logo, a probabilidade de obtermos, 
simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é: 
 
p = 1/6 . 1/6 = 1/36. 
 
 Eventos mutuamente exclusivos – dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente 
exclusivos quando a realização de um exclui a realização do outro. Assim, no lançamento de 
uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já 
que, ao se realizar um deles o outro não se realiza. Se dois eventos são mutuamente 
exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades 
de que cada um deles se realize: 
 
p = p1 + p2 
 
Exemplo: lançamos um dado. A probabilidade de se tirar o 3 ou o 5 é: 
 
 p = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 
 
Se dois eventos A e B não forem mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é 
dada por: 
 
 P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(AB) 
 
AB significa A e B, ou seja, P(AB) = P(A) . P(B) 
 
Exemplo: ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta ser um 
Ás ou carta de ouros? 
 
P(ás) = 4/52 = 1/13 P(ouros) = 13/52 = 1/4 
 
P(ás de ouros) = 1/13 * 1/4 = 1/52 
 
 P(ás ou ouros) = 1/13 + 1/4 – 1/52 = 16/52 
 
 
43 
 
 Probabilidade condicionada 
 
Sejam A e B dois eventos associados ao experimento E. Denotaremos por P(B/A) a probabilidade 
condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido. 
Sempre que calculamos P(B/A), estaremos essencialmente calculando P(B) em relação ao 
espaço amostral reduzido A, em lugar de fazê-lo em relação ao espaço amostral original S. 
 
Exemplo: dois dados equilibrados são lançados, registrando-se o resultado. Considere os 
eventos: 
A = soma igual a 10 B = resultado do primeiro dado é maior que o resultado do segundo 
Calcular a probabilidade de ocorrer B, sabendo que ocorreu A. 
Resolução: O espaço amostral é: 
 S = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) } 
Os eventos são: 
A = { (4,6) (5,5) (6,4) } B = { (6,4) } 
Observe que aqui usamos o evento A para espaço amostral de B. 
Assim, P(B/A) = 1/3 
Poderíamos também calcular a probabilidade de ocorrer A sabendo que ocorreu B. Nesse caso, 
primeiro construímos o evento B. 
B = { (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (4,3) (5,3) (6,3) (5,4) (6,4) (6,5) } 
A = { (6,4) } 
Assim, P(A/B) = 1/15 
 
Exercícios resolvidos: 
1) De um baralho de 52 cartas, retiram-se ao acaso duas cartas sem reposição. Qual é a 
probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser de ouros? 
R: P = (1/52).(13/51) = 13/2652 
 
2) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou ouros quando retiramos uma carta de 
um baralho de 52 cartas? 
R: P = (13/52) + (13/52) = 26/52 = 1/2 
 
3) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a 5? 
R: S = {5, 6}  P = 2/6 = 1/3 
 
4) Dois dados são lançados ao mesmo tempo. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou 
maior que 10. 
R: A = {(5,5), (5,6), (6,5), (6,6)}  como S tem 36 elementos (6×6), temos P = 4/36 = 1/9 
 
5) Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: 
a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa. 
R: P = 4/12 = 1/3 
b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa. 
R: este evento e o anterior são complementares, logo: P = 1 – 1/3 = 2/3 
44 
 
Exercícios 
 
1) A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o 
esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui 
a 10 anos é igual a 
a) 30% b) 36% c) 56% d) 38% e) 44% 
 
2) Na prova de Língua Estrangeira de um concurso, 60% dos candidatos optaram por Inglês e os 
demais, por Espanhol. Destes, 5% foram classificados e daqueles, 10% foram classificados. 
Escolhendo-se ao acaso um candidato classificado, qual é a probabilidade de ele haver optado 
por Inglês? 
a) 0,06 b) 0,40 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,75 
 
3) Em um jogo de cara-ou-coroa, foram realizados dois lances independentes de uma moeda 
não viciada. Sabe-se que pelo menos um dos resultados foi cara. Assim sendo, a probabilidade 
de que os dois resultados tenham sido cara é: 
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2/3 e) 3/4 
 
4) Uma loja de artigos femininos vende blusas, saias e calças, confeccionadas em seda e 
confeccionadas em algodão. Ao final de cada mês, o gerente dessa loja costuma sortear dois 
artigos para suas clientes. Para tanto, ele escreve o nome de cada artigo e do material de que 
ele é feito numa pequena ficha, que é posta numa urna. A seguir, sorteia a primeira ficha, 
recoloca-a na urna e sorteia a segunda. A probabilidade de que esse gerente tenha sorteado 
uma saia de algodão e uma blusa, no final do mês passado, é de 
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/18 d) 1/36 e) 1/72 
 
5) (Escriturário Banco do Brasil/DF – FCC/2006) O histograma de frequências absolutas abaixo 
demonstra o comportamento dos salários dos 160 empregados de uma empresa em dezembro 
de 2005. 
 
Utilizando as informações nele contidas, calculou-se a média aritmética dos valores dos salários 
destes empregados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe 
são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Escolhendo aleatoriamente um 
empregado da empresa, a probabilidade dele pertencer ao mesmo intervalo de classe do 
histograma ao qual pertence a média aritmética calculada é 
45 
 
a) 6,25% b) 12,50% c) 18,75% d) 31,25% e) 
32,00% 
 
 
6) Lança-se um par de dados. Aparecendo dois números diferentes, encontre a probabilidade 
de que: 
a) a soma seja 6; 
b) o 1 apareça; 
c) a soma seja 4 ou menor que 4. 
 
7) Considere que 60% do total dos títulos que um investidor possui é do tipo X e o restante do 
tipo Y. A probabilidade do título X apresentar uma taxa de retorno igual ou superior à taxa 
de inflação é igual a 80% e do título Y igual a 50%. Selecionando ao acaso um título entre 
estes em poder do investidor e verificando que a taxa de retorno apresentada foi inferior à 
taxa de inflação, a probabilidade dele ser um título do tipo Y é igual a 
a) 37,5% b) 50,0% c) 56,5% d) 62,5% e) 65,0% 
 
8) Um grupo de funcionários da Administração Tributária de um Estado é composto por 
auditores e fiscais de receitas estaduais conforme quadro abaixo: 
 
 
 
Uma pessoa desse grupo é sorteada ao acaso, a probabilidade de ocorrer no sorteio um homem, 
sabendo que o funcionário sorteado é auditor: 
a) é inferior a 0,15 
b) está entre 0,15 e 0,25 
c) está entre 0,25 e 0,35 
d) está entre 0,35 e 0,50 
e) é superior a 0,50 
 
 
 Esperança Matemática 
 
Se p é a probabilidade de uma pessoa receber uma quantia $, a esperança matemática é definida 
por p.$. 
Exemplo 1: se a probabilidade de um homem ganhar um prêmio de R$10,00 é de 1/5, sua 
esperança é de (1/5).10 = 2 ou R$2,00 
Se X representa uma variável aleatória discreta que pode assumir os valores X1, X2, ..., Xn com as 
probabilidades de p1, p2, ..., pn, respectivamente, sendo p1 + p2 + ... + pn = 1, a esperança 
matemática de X é definida por: 
E(X) = p1.X1 + p2.X2 + ... + pn.Xn 
Exemplo 2: se um homem adquirir um bilhete de loteria, poderá ganhar um primeiro prêmio de 
R$5.000,00 ou um segundo, de R$2.000,00 com as probabilidades de 0,1% e 0,3% 
respectivamente. Qual será o preço justo a se pagar pelo bilhete? 
Resolução: E = 5000 . 0,001 + 2000 . 0,003 = 5 + 6 = 11 (R$11,00 é o preço justo) 
 
46 
 
Exemplo 3: em uma certa especulação comercial, um homem pode ter um lucro de R$300,00 
com a probabilidade de 0,6, ou um prejuízo de R$100,00, com a probabilidade de 0,4. 
Determinar a sua esperança. 
Resolução: E = 300 . 0,6 + (-100) . 0,4 = 180 – 40 = 140 ou R$140,00 
 
Exercícios 
 
9) Um fiscal pretende avaliar o lucro de um