Cap35 - Interferência

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Caṕıtulo 35 Interferência
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F́ısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e Zemansky
Edição: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
4 de junho de 2013
Caṕıtulo 35 Interferência
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I O que acontece quando duas ondas se combinam, ou interferem, no espaço.
I Como entender a figura de interferência formada pela interferência de duas
ondas luminosas coerentes.
I Como calcular a intensidade em vários pontos de uma figura de interferência.
I Como a interferência ocorre quando a luz se reflete nas duas superf́ıcies de uma
peĺıcula fina.
I Como a interferência torna posśıvel medir distâncias extremamente pequenas.
Caṕıtulo 35 Interferência
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I O que acontece quando duas ondas se combinam, ou interferem, no espaço.
I Como entender a figura de interferência formada pela interferência de duas
ondas luminosas coerentes.
I Como calcular a intensidade em vários pontos de uma figura de interferência.
I Como a interferência ocorre quando a luz se reflete nas duas superf́ıcies de uma
peĺıcula fina.
I Como a interferência torna posśıvel medir distâncias extremamente pequenas.
Caṕıtulo 35 Interferência
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I O que acontece quando duas ondas se combinam, ou interferem, no espaço.
I Como entender a figura de interferência formada pela interferência de duas
ondas luminosas coerentes.
I Como calcular a intensidade em vários pontos de uma figura de interferência.
I Como a interferência ocorre quando a luz se reflete nas duas superf́ıcies de uma
peĺıcula fina.
I Como a interferência torna posśıvel medir distâncias extremamente pequenas.
Caṕıtulo 35 Interferência
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I O que acontece quando duas ondas se combinam, ou interferem, no espaço.
I Como entender a figura de interferência formada pela interferência de duas
ondas luminosas coerentes.
I Como calcular a intensidade em vários pontos de uma figura de interferência.
I Como a interferência ocorre quando a luz se reflete nas duas superf́ıcies de uma
peĺıcula fina.
I Como a interferência torna posśıvel medir distâncias extremamente pequenas.
Caṕıtulo 35 Interferência
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este caṕıtulo você aprenderá:
I O que acontece quando duas ondas se combinam, ou interferem, no espaço.
I Como entender a figura de interferência formada pela interferência de duas
ondas luminosas coerentes.
I Como calcular a intensidade em vários pontos de uma figura de interferência.
I Como a interferência ocorre quando a luz se reflete nas duas superf́ıcies de uma
peĺıcula fina.
I Como a interferência torna posśıvel medir distâncias extremamente pequenas.
Caṕıtulo 35 Interferência
Introdução
I Água ensaboada não tem cor, mas, quando fazemos bolhinhas de sabão, elas
brilham em cores vivas.
I Como a espessura das paredes da bolha determina as cores especificas que
aparecem?
I As cores que observamos na superf́ıcie de bolhas de sabão resultam de
fenômenos de interferência.
I São decorrentes de reflexões entre a parte superior e a parte inferior de uma
peĺıcula formada pela solução de água e sabão.
Caṕıtulo 35 Interferência
Introdução
I Água ensaboada não tem cor, mas, quando fazemos bolhinhas de sabão, elas
brilham em cores vivas.
I Como a espessura das paredes da bolha determina as cores especificas que
aparecem?
I As cores que observamos na superf́ıcie de bolhas de sabão resultam de
fenômenos de interferência.
I São decorrentes de reflexões entre a parte superior e a parte inferior de uma
peĺıcula formada pela solução de água e sabão.
Caṕıtulo 35 Interferência
Introdução
I Água ensaboada não tem cor, mas, quando fazemos bolhinhas de sabão, elas
brilham em cores vivas.
I Como a espessura das paredes da bolha determina as cores especificas que
aparecem?
I As cores que observamos na superf́ıcie de bolhas de sabão resultam de
fenômenos de interferência.
I São decorrentes de reflexões entre a parte superior e a parte inferior de uma
peĺıcula formada pela solução de água e sabão.
Caṕıtulo 35 Interferência
Introdução
I Água ensaboada não tem cor, mas, quando fazemos bolhinhas de sabão, elas
brilham em cores vivas.
I Como a espessura das paredes da bolha determina as cores especificas que
aparecem?
I As cores que observamos na superf́ıcie de bolhas de sabão resultam de
fenômenos de interferência.
I São decorrentes de reflexões entre a parte superior e a parte inferior de uma
peĺıcula formada pela solução de água e sabão.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
I O termo interferência indica a superposição de duas ou mais ondas na mesma
região do espaço.
I A onda resultante em qualquer ponto em um dado instante e determinada
pelo prinćıpio da superposição.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
I O termo interferência indica a superposição de duas ou mais ondas na mesma
região do espaço.
I A onda resultante em qualquer ponto em um dado instante e determinada
pelo prinćıpio da superposição.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
I O termo interferência indica a superposição de duas ou mais ondas na mesma
região do espaço.
I A onda resultante em qualquer ponto em um dado instante e determinada
pelo prinćıpio da superposição.
Principio da Superposição
I Quando duas ou mais ondas se superpõem, o deslocamento resultante em
qualquer ponto em um dado instante pode ser determinado somando-se os
deslocamentos instantâneos de cada onda como se ela estivesse presente
sozinha.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
I O termo interferência indica a superposição de duas ou mais ondas na mesma
região do espaço.
I A onda resultante em qualquer ponto em um dado instante e determinada
pelo prinćıpio da superposição.
Principio da Superposição
I Quando duas ou mais ondas se superpõem, o deslocamento resultante em
qualquer ponto em um dado instante pode ser determinado somando-se os
deslocamentos instantâneos de cada onda como se ela estivesse presente
sozinha.
I O termo deslocamento para ondas eletromagnéticas, compreende uma
componente especifico do campo magnético ou do campo elétrico.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência em duas ou três dimensões
I As ondas luminosas podem se propagar em um meio com duas ou três
dimensões.
I Os efeitos de interferência podem ser estudados com mais facilidade quando
combinamos ondas senoidais com uma única freqüência f e comprimento de
onda λ.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência em duas ou três dimensões
I As ondas luminosas podem se propagar em um meio com duas ou três
dimensões.
I Os efeitos de interferência podem ser estudados com mais facilidade quando
combinamos ondas senoidais com uma única freqüência f e comprimento de
onda λ.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência em duas ou três dimensões
I As ondas luminosas podem se propagar em um meio com duas ou três
dimensões.
I Os efeitos de interferência podem ser estudados com mais facilidade quando
combinamos ondas senoidais com uma única freqüência f e comprimento de
onda λ.
I O material que circunda a fonte S1 é
uniforme.
I A velocidade da onda e a mesma em todas
as direções, não existe refração.
I Quando as ondas se propagam em duas
dimensões, as circunferências representam
frentes de onda circulares.
I Quando as ondas se propagam em três
dimensões, as circunferências representam
frentes de onda esféricas.
I .
Caṕıtulo35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência em duas ou três dimensões
I As ondas luminosas podem se propagar em um meio com duas ou três
dimensões.
I Os efeitos de interferência podem ser estudados com mais facilidade quando
combinamos ondas senoidais com uma única freqüência f e comprimento de
onda λ.
I O material que circunda a fonte S1 é
uniforme.
I A velocidade da onda e a mesma em todas
as direções, não existe refração.
I Quando as ondas se propagam em duas
dimensões, as circunferências representam
frentes de onda circulares.
I Quando as ondas se propagam em três
dimensões, as circunferências representam
frentes de onda esféricas.
I .
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Interferência e Fontes Coerentes
Interferência em duas ou três dimensões
I As ondas luminosas podem se propagar em um meio com duas ou três
dimensões.
I Os efeitos de interferência podem ser estudados com mais facilidade quando
combinamos ondas senoidais com uma única freqüência f e comprimento de
onda λ.
I O material que circunda a fonte S1 é
uniforme.
I A velocidade da onda e a mesma em todas
as direções, não existe refração.
I Quando as ondas se propagam em duas
dimensões, as circunferências representam
frentes de onda circulares.
I Quando as ondas se propagam em três
dimensões, as circunferências representam
frentes de onda esféricas.
I .
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Interferência e Fontes Coerentes
Interferência em duas ou três dimensões
I As ondas luminosas podem se propagar em um meio com duas ou três
dimensões.
I Os efeitos de interferência podem ser estudados com mais facilidade quando
combinamos ondas senoidais com uma única freqüência f e comprimento de
onda λ.
I O material que circunda a fonte S1 é
uniforme.
I A velocidade da onda e a mesma em todas
as direções, não existe refração.
I Quando as ondas se propagam em duas
dimensões, as circunferências representam
frentes de onda circulares.
I Quando as ondas se propagam em três
dimensões, as circunferências representam
frentes de onda esféricas.
I .
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
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Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
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Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
I Obtemos que a intensidade de uma
onda plana é dada por:
I =
1
2
√
�0
µ0
E20
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Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
I Obtemos que a intensidade de uma
onda plana é dada por:
I =
1
2
√
�0
µ0
E20
I Uma fonte que emite energia por
unidade de tempo emtodas as direções
emite ondas esféricas, com ~κ = κr̂ .
I A potência estará distribúıda sobre uma
esfera. A intensidade a uma distância r
da fonte será dada por: I = (Pot/4π)
r2
.
I Para ondas esféricas, a amplitude do
campo elétrico deve ser proporcional a
1/r de forma que leve a uma
intensidade proporcional a 1/r2.
I ~Er = Re(~A(r)e−iωt)
I ~A(r) = E0 ê0
r
e i(κr+φ).
I I(r) =
√
�0
µ0
|~A(r)e−iωt |2 =
√
�0
µ0
|~A(r)|2
2
.
I I(r) = 1
2
√
�0
µ0
E20
r2
.
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Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
I Obtemos que a intensidade de uma
onda plana é dada por:
I =
1
2
√
�0
µ0
E20
I Uma fonte que emite energia por
unidade de tempo em todas as direções
emite ondas esféricas, com ~κ = κr̂ .
I A potência estará distribúıda sobre uma
esfera. A intensidade a uma distância r
da fonte será dada por: I = (Pot/4π)
r2
.
I Para ondas esféricas, a amplitude do
campo elétrico deve ser proporcional a
1/r de forma que leve a uma
intensidade proporcional a 1/r2.
I ~Er = Re(~A(r)e−iωt)
I ~A(r) = E0 ê0
r
e i(κr+φ).
I I(r) =
√
�0
µ0
|~A(r)e−iωt |2 =
√
�0
µ0
|~A(r)|2
2
.
I I(r) = 1
2
√
�0
µ0
E20
r2
.
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Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
I Obtemos que a intensidade de uma
onda plana é dada por:
I =
1
2
√
�0
µ0
E20
I Uma fonte que emite energia por
unidade de tempo em todas as direções
emite ondas esféricas, com ~κ = κr̂ .
I A potência estará distribúıda sobre uma
esfera. A intensidade a uma distância r
da fonte será dada por: I = (Pot/4π)
r2
.
I Para ondas esféricas, a amplitude do
campo elétrico deve ser proporcional a
1/r de forma que leve a uma
intensidade proporcional a 1/r2.
I ~Er = Re(~A(r)e−iωt)
I ~A(r) = E0 ê0
r
e i(κr+φ).
I I(r) =
√
�0
µ0
|~A(r)e−iωt |2 =
√
�0
µ0
|~A(r)|2
2
.
I I(r) = 1
2
√
�0
µ0
E20
r2
.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
I Obtemos que a intensidade de uma
onda plana é dada por:
I =
1
2
√
�0
µ0
E20
I Uma fonte que emite energia por
unidade de tempo em todas as direções
emite ondas esféricas, com ~κ = κr̂ .
I A potência estará distribúıda sobre uma
esfera. A intensidade a uma distância r
da fonte será dada por: I = (Pot/4π)
r2
.
I Para ondas esféricas, a amplitude do
campo elétrico deve ser proporcional a
1/r de forma que leve a uma
intensidade proporcional a 1/r2.
I ~Er = Re(~A(r)e−iωt)
I ~A(r) = E0 ê0
r
e i(κr+φ).
I I(r) =
√
�0
µ0
|~A(r)e−iωt |2 =
√
�0
µ0
|~A(r)|2
2
.
I I(r) = 1
2
√
�0
µ0
E20
r2
.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
I Obtemos que a intensidade de uma
onda plana é dada por:
I =
1
2
√
�0
µ0
E20
I Uma fonte que emite energia por
unidade de tempo em todas as direções
emite ondas esféricas, com ~κ = κr̂ .
I A potência estará distribúıda sobre uma
esfera. A intensidade a uma distância r
da fonte será dada por: I = (Pot/4π)
r2
.
I Para ondas esféricas, a amplitude do
campo elétrico deve ser proporcional a
1/r de forma que leve a uma
intensidade proporcional a 1/r2.
I ~Er = Re(~A(r)e−iωt)
I ~A(r) = E0 ê0
r
e i(κr+φ).
I I(r) =
√
�0
µ0
|~A(r)e−iωt |2 =
√
�0
µ0
|~A(r)|2
2
.
I I(r) = 1
2
√
�0
µ0
E20
r2
.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
I Obtemos que a intensidade de uma
onda plana é dada por:
I =
1
2
√
�0
µ0
E20
I Uma fonte que emite energia por
unidade de tempo em todas as direções
emite ondas esféricas, com ~κ = κr̂ .
I A potência estará distribúıda sobre uma
esfera. A intensidade a uma distância r
da fonte será dada por: I = (Pot/4π)
r2
.
I Para ondas esféricas, a amplitude do
campo elétrico deve ser proporcional a
1/r de forma que leve a uma
intensidade proporcional a 1/r2.
I ~Er = Re(~A(r)e−iωt)
I ~A(r) = E0 ê0
r
e i(κr+φ).
I I(r) =
√
�0
µ0
|~A(r)e−iωt |2 =
√
�0
µ0
|~A(r)|2
2
.
I I(r) = 1
2
√
�0
µ0
E20
r2
.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Intensidade e Amplitude em 2-D e 3-D.
I Vimos que ~E = Ẽ0e i(~κ·~r−ωt) descreve uma
luz monocromática plana.
I A luz será descrita pela parte real desta
função ~Er = Re(Ẽ0e i(~κ·~r−ωt)).
I Onde Ẽ0 = E0e iφê0, ê0 é a direção de
polarização e φ é uma fase que depende do
instante inicial.
I Obtemos, ~Er = E0ê0 cos(~κ ·~r − ωt + φ).
I A intensidade desta onda é dada por:
I = 〈|~S |〉 =
√
1
µ0
〈|~E × ~B|〉 =
√
�0
µ0
〈~E2〉
I =
√
�0
µ0
E20 〈cos2(~κ ·~r − ωt + φ)〉
I A intensidade é medida em algum ponto ~r
fixo onde se encontra o detector.
I Definirei α = ~κ ·~r + φ,
〈cos2(α− ωt)〉 = 〈sin2(α− ωt)〉 = 1/2.
I Obtemos que a intensidade de uma
onda plana é dada por:
I =
1
2
√
�0
µ0
E20
I Uma fonte que emite energia por
unidade de tempo em todas as direções
emite ondas esféricas, com ~κ = κr̂ .
I A potência estará distribúıda sobre uma
esfera. A intensidadea uma distância r
da fonte será dada por: I = (Pot/4π)
r2
.
I Para ondas esféricas, a amplitude do
campo elétrico deve ser proporcional a
1/r de forma que leve a uma
intensidade proporcional a 1/r2.
I ~Er = Re(~A(r)e−iωt)
I ~A(r) = E0 ê0
r
e i(κr+φ).
I I(r) =
√
�0
µ0
|~A(r)e−iωt |2 =
√
�0
µ0
|~A(r)|2
2
.
I I(r) = 1
2
√
�0
µ0
E20
r2
.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
~ET = Re(~E1 + ~E2)
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
~ET = Re(~E1 + ~E2)
~ET = Re[(~A1(r1) + ~A2(r2))e
−iωt ]
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
~ET = Re(~E1 + ~E2)
~ET = Re[(~A1(r1) + ~A2(r2))e
−iωt ]
I(r) =
1
2
√
�0
µ0
|~A1(r1) + ~A2(r2)|2
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
~ET = Re(~E1 + ~E2)
~ET = Re[(~A1(r1) + ~A2(r2))e
−iωt ]
I(r) =
1
2
√
�0
µ0
|~A1(r1) + ~A2(r2)|2
I(r) = Z
∣∣∣∣E1ê0r1 e i(κr1+φ1) + E2ê0r2 e i(κr2+φ2)
∣∣∣∣2
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
~ET = Re(~E1 + ~E2)
~ET = Re[(~A1(r1) + ~A2(r2))e
−iωt ]
I(r) =
1
2
√
�0
µ0
|~A1(r1) + ~A2(r2)|2
I(r) = Z
∣∣∣∣E1ê0r1 e i(κr1+φ1) + E2ê0r2 e i(κr2+φ2)
∣∣∣∣2
I(r) = I1 + I2 + 2
√
I1
√
I2 cos(∆)
∆ = κ(r1 − r2) + (φ1 − φ2)
Z =
1
2
√
�0
µ0
I1(r1) = Z
E21
r21
; I2(r2) = Z
E22
r22
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
~ET = Re(~E1 + ~E2)
~ET = Re[(~A1(r1) + ~A2(r2))e
−iωt ]
I(r) =
1
2
√
�0
µ0
|~A1(r1) + ~A2(r2)|2
I(r) = Z
∣∣∣∣E1ê0r1 e i(κr1+φ1) + E2ê0r2 e i(κr2+φ2)
∣∣∣∣2
I(r) = I1 + I2 + 2
√
I1
√
I2 cos(∆)
∆ = κ(r1 − r2) + (φ1 − φ2)
Z =
1
2
√
�0
µ0
I1(r1) = Z
E21
r21
; I2(r2) = Z
E22
r22
Interferência Construtiva
I Se ∆ = 2πn, com n = 0,±1,±2, ...
I I(r) = (
√
I1 +
√
I2)2
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
~ET = Re(~E1 + ~E2)
~ET = Re[(~A1(r1) + ~A2(r2))e
−iωt ]
I(r) =
1
2
√
�0
µ0
|~A1(r1) + ~A2(r2)|2
I(r) = Z
∣∣∣∣E1ê0r1 e i(κr1+φ1) + E2ê0r2 e i(κr2+φ2)
∣∣∣∣2
I(r) = I1 + I2 + 2
√
I1
√
I2 cos(∆)
∆ = κ(r1 − r2) + (φ1 − φ2)
Z =
1
2
√
�0
µ0
I1(r1) = Z
E21
r21
; I2(r2) = Z
E22
r22
Interferência Construtiva
I Se ∆ = 2πn, com n = 0,±1,±2, ...
I I(r) = (
√
I1 +
√
I2)2
Interferência Destrutiva
I Se ∆ = (2n+ 1)π, com n = 0,±1,±2, ...
I I(r) = (
√
I1 −
√
I2)2
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência e Fontes Coerentes
Interferência construtiva e destrutiva
I Para duas ou mais ondas provenientes de
duas fontes S1 e S2 o campo elétrico
resultante em um ponto será a soma dos
compos.
~ET = Re(~E1 + ~E2)
~ET = Re[(~A1(r1) + ~A2(r2))e
−iωt ]
I(r) =
1
2
√
�0
µ0
|~A1(r1) + ~A2(r2)|2
I(r) = Z
∣∣∣∣E1ê0r1 e i(κr1+φ1) + E2ê0r2 e i(κr2+φ2)
∣∣∣∣2
I(r) = I1 + I2 + 2
√
I1
√
I2 cos(∆)
∆ = κ(r1 − r2) + (φ1 − φ2)
Z =
1
2
√
�0
µ0
I1(r1) = Z
E21
r21
; I2(r2) = Z
E22
r22
Interferência Construtiva
I Se ∆ = 2πn, com n = 0,±1,±2, ...
I I(r) = (
√
I1 +
√
I2)2
Interferência Destrutiva
I Se ∆ = (2n+ 1)π, com n = 0,±1,±2, ...
I I(r) = (
√
I1 −
√
I2)2
Para ondas com fase inicial,φ1 = φ2
I Se r1 − r2 = nλ, Construtiva
I Se r1 − r2 = (n + 1/2)λ, Destrutiva
Para ondas com fase inicial,φ1 − φ2 = ±π
I Se r1 − r2 = (n + 1/2)λ, Construtiva
I Se r1 − r2 = nλ, Destrutiva
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
Temos φ1 = φ2 e I1 = I2
I r1 − r2 = nλ, Construtiva
I r1 − r2 = (n + 1/2)λ, Destrutiva
I I(r) = 4I1 cos2(
π(r1−r2)
λ
)
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
I Da figura vemos que:
~r = r cos θî + r sin θĵ
~r1 = ~r − (d/2)̂j
~r2 = ~r + (d/2)̂j
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
I Da figura vemos que:
~r = r cos θî + r sin θĵ
~r1 = ~r − (d/2)̂j
~r2 = ~r + (d/2)̂j
r1 =
√
r2 + (d/2)2 − 2(d/2)r sin θ
r2 =
√
r2 + (d/2)2 + 2(d/2)r sin θ
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
I Da figura vemos que:
~r = r cos θî + r sin θĵ
~r1 = ~r − (d/2)̂j
~r2 = ~r + (d/2)̂j
r1 =
√
r2 + (d/2)2 − 2(d/2)r sin θ
r2 =
√
r2 + (d/2)2 + 2(d/2)r sin θ
I Como r > (d/2) obtemos que:
r1 ∼= r − (d/2) sin θ
r2 ∼= r + (d/2) sin θ
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
I Da figura vemos que:
~r = r cos θî + r sin θĵ
~r1 = ~r − (d/2)̂j
~r2 = ~r + (d/2)̂j
r1 =
√
r2 + (d/2)2 − 2(d/2)r sin θ
r2 =
√
r2 + (d/2)2 + 2(d/2)r sin θ
I Como r > (d/2) obtemos que:
r1 ∼= r − (d/2) sin θ
r2 ∼= r + (d/2) sin θ
|r1 − r2| = d sin θ
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
I Da figura vemos que:
~r = r cos θî + r sin θĵ
~r1 = ~r − (d/2)̂j
~r2 = ~r + (d/2)̂j
r1 =
√
r2 + (d/2)2 − 2(d/2)r sin θ
r2 =
√
r2 + (d/2)2 + 2(d/2)r sin θ
I Como r > (d/2) obtemos que:
r1 ∼= r − (d/2) sin θ
r2 ∼= r + (d/2) sin θ
|r1 − r2| = d sin θ
I Como R > y obtemos que:
sin θ =
y√
R2 + y2
∼=
y
R
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
I Como r > (d/2) obtemos que:
r1 ∼= r − (d/2) sin θ
r2 ∼= r + (d/2) sin θ
|r1 − r2| = d sin θ
I Como R > y obtemos que:
sin θ =
y√
R2 + y2
∼=
y
R
|r1 − r2| = d
y
R
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
I Como r > (d/2) obtemos que:
r1 ∼= r − (d/2) sin θ
r2 ∼= r + (d/2) sin θ
|r1 − r2| = d sin θ
I Como R > y obtemos que:
sin θ =
y√
R2 + y2
∼=
y
R
|r1 − r2| = d
y
R
I r1 − r2 = nλ = d sin θn = d ynR ,
Construtiva
I r1 − r2 = (n + 1/2)λ = d sin θn = d ynR ,
Destrutiva
I I(r) = 4I1 cos2(
πynd
Rλ
)
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes
I r1 − r2 = nλ = d sin θn = d ynR ,
Construtiva
I r1 − r2 = (n + 1/2)λ = d sin θn = d ynR ,
Destrutiva
I I(r) = 4I1 cos2(
πynd
Rλ
)
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
~l1 = xi − dĵ
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
~l1 = xi − dĵ
l1 =
√
x2 + d2
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
~l1 = xi − dĵ
l1 =
√
x2 + d2
l2 =
√
l21 − y2
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
~l1 = xi − dĵ
l1 =
√
x2 + d2
l2 =
√
l21 − y2
y = l1 sin(2θ2)
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
~l1 = xi − dĵ
l1 =
√
x2 + d2
l2 =
√
l21 − y2
y = l1 sin(2θ2)
d = l1 cos(θ2)
Caṕıtulo 35 InterferênciaInterferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
~l1 = xi − dĵ
l1 =
√
x2 + d2
l2 =
√
l21 − y2
y = l1 sin(2θ2)
d = l1 cos(θ2)
l2 = l1 cos(2θ2)
I Quando uma onda percorre um caminho
l1 + l2 qualquer ela ganha uma fase igual
a:
e−ik(l1+l2) = e−ik0nl1(1+cos(2θ2))
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
~l1 = xi − dĵ
l1 =
√
x2 + d2
l2 =
√
l21 − y2
y = l1 sin(2θ2)
d = l1 cos(θ2)
l2 = l1 cos(2θ2)
I Quando uma onda percorre um caminho
l1 + l2 qualquer ela ganha uma fase igual
a:
e−ik(l1+l2) = e−ik0nl1(1+cos(2θ2))
= e−i2k0nl1 cos
2(θ2)
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Da figura vemos que:
~l1 = xi − dĵ
l1 =
√
x2 + d2
l2 =
√
l21 − y2
y = l1 sin(2θ2)
d = l1 cos(θ2)
l2 = l1 cos(2θ2)
I Quando uma onda percorre um caminho
l1 + l2 qualquer ela ganha uma fase igual
a:
e−ik(l1+l2) = e−ik0nl1(1+cos(2θ2))
= e−i2k0nl1 cos
2(θ2)
= e−i2k0nd cos(θ2)
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Quando uma onda percorre um caminho
l1 + l2 qualquer ela ganha uma fase igual
a:
e−ik(l1+l2) = e−ik0nl1(1+cos(2θ2))
= e−i2k0nl1 cos
2(θ2)
= e−i2k0nd cos(θ2)
Mı́nimo Reflexão. Máximo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = 2πm m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = mλ0 I θ1 ≈ θ2 = 0 d = 0, λ/2, λ, ...
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Quando uma onda percorre um caminho
l1 + l2 qualquer ela ganha uma fase igual
a:
e−ik(l1+l2) = e−ik0nl1(1+cos(2θ2))
= e−i2k0nl1 cos
2(θ2)
= e−i2k0nd cos(θ2)
Mı́nimo Reflexão. Máximo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = 2πm m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = mλ0
Máximo Reflexão. Mı́nimo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = (2m + 1)π
m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = (m + 1/2)λ0
I θ1 ≈ θ2 = 0 d = 0, λ/2, λ, ...
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Quando uma onda percorre um caminho
l1 + l2 qualquer ela ganha uma fase igual
a:
e−ik(l1+l2) = e−ik0nl1(1+cos(2θ2))
= e−i2k0nl1 cos
2(θ2)
= e−i2k0nd cos(θ2)
Mı́nimo Reflexão. Máximo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = 2πm m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = mλ0
Máximo Reflexão. Mı́nimo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = (2m + 1)π
m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = (m + 1/2)λ0
I θ1 ≈ θ2 = 0 d = 0, λ/2, λ, ...
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
I Quando uma onda percorre um caminho
l1 + l2 qualquer ela ganha uma fase igual
a:
e−ik(l1+l2) = e−ik0nl1(1+cos(2θ2))
= e−i2k0nl1 cos
2(θ2)
= e−i2k0nd cos(θ2)
Mı́nimo Reflexão. Máximo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = 2πm m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = mλ0
Máximo Reflexão. Mı́nimo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = (2m + 1)π
m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = (m + 1/2)λ0
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Interferência em Peĺıculas Finas
I Quando uma onda percorre um caminho
l1 + l2 qualquer ela ganha uma fase igual
a:
e−ik(l1+l2) = e−ik0nl1(1+cos(2θ2))
= e−i2k0nl1 cos
2(θ2)
= e−i2k0nd cos(θ2)
Mı́nimo Reflexão. Máximo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = 2πm m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = mλ0
Máximo Reflexão. Mı́nimo de Transmissão
I 2k0nd cos(θ2) = (2m + 1)π
m = 0,±1,±2, ...
I 2nd cos(θ2) = (m + 1/2)λ0
Caṕıtulo 35 Interferência
Interferência em Peĺıculas Finas
Caṕıtulo 35 Interferência
O Interferômetro de Michelson
O Interferômetro de Michelson
	Introdução
	Interferência e Fontes Coerentes
	Interferência da Luz Produzida por Duas Fontes 
	Interferência em Películas Finas 
	O Interferômetro de Michelson