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Capitulo 3a Diagrama de Bode

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Análise de Sistemas no Domínio da 
Freqüência
Diagrama de Bode
2/30
Análise na Freqüência
A análise da resposta em freqüência compreende o estudo 
do comportamento de um sistema dinâmico em regime 
permanente, quando sujeito a uma entrada senoidal com 
amplitude constante e freqüência variável !
2( ) sin( )θ φ= −o t A wt1( ) sin( )θ =i t A wt
( )
1 1
( )
2 2
( ) sin( )
( ) sin( ) ϕ
θ
θ ϕ −
= =
= − =
j wt
i
j wt
o
t A wt Ae
t A wt A e
( )
( )2 2
( )
1 1
( )
( )
ϕ
ϕθ
θ
−
−= =
j wt
jo
j wt
i
t A e A e
t Ae A
3/30
Análise na Freqüência
2( ) sin( )φ= −y t A wt1( ) sin( )=u t A wt
Em ω :
• A2=A1 |G(i ω)|
• φ é arg(G(iω))
G(s)
Vamos demostrar que:
4/30
Relação entre o operador s de Laplace e iω
2 2
1 2 m 1
2 2
2 m
1 2 n 1 2
( ) sin( ) ( ) a saída é: =G(s)*U(s)
upondo que G(s) seja dado por:
(s-z )(s-z )...(s-z ) (s-z )(s-z )...(z-z )G(s)= então ( )
Y(s)
(s-p )(s-
=G(s)*
p )...(s-p ) (s-p )(s-p )...(s-p
u t A t U s A
s
A
s
s
Y s
ωω ω
ωω
= ⇒ =
+
=
+
n
1 2 m
1 2 n
31 2 n n+1 n+2
1 2 3
2 2*)
(s-z )(s-z )...(s-z )( ) em frações parciais tem-se:
(s-p )(s-p )...(s-p )
CC C C C CY(s)=
 
 , 
( )
... , 
s+ s
( )
i - in
A
s
Ao Y s
s p s p s p s p
u
s i s i
ω
ω
ω
ω
ω ω
ω
=
+ + + + + +
−
+
− − −
+ −
Seja:
5/30
Relação entre o operador s de Laplace e iω
31 2 n+1 n+2
1 2 3
n+1
n+2
CC C C CY(s)= ... ora:
s+ i s- i
C lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )
2
C lim( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )
2
lim ( ) ( ), 1,2,..., . 
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
→− →−
→ →−
→
+ + + + +
− − −
= + = + = − −
= − = − =
= − =
k
s i s i
s i s i
k ks p
s p s p s p
As i Y s s i G s U s G i
i
As i Y s s i G s U s G i
i
C s p Y s k n
31 2
1 2 3
regime
 Assim:
y(t)=C C C ... ( ) ( ) , admitindo 0 (sist. estável)
2 2
y(t) ( ) ( )
2 2
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω
−
−
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + − + <⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
p tp t p t i t i t
k
i t i t
A Ae e e G i e G i e p
i i
A AG i e G i e
i i
6/30
Relação entre o operador s de Laplace e iω
regime
arg( ( )) arg( ( ))
arg( ( ))
regime
y(t) ( ) ( ) ora como G(i ) é complexo então:
2 2
G(i )= G(i ) e G(-i )= G(i ) assim: 
y(t) G(i )
2
ω ω
ω ω
ω
ω ω ω
ω ω ω ω
ω
−
−
−
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
i t i t
i G i i G i
i G i
A AG i e G i e
i i
e e
A e
i
arg( ( ))
arg( ( )) arg( ( ))
regime
G(i )
2
y(t) G(i ) portanto:
2
 
ω ω ω
ω ω ω ω
ω
ω
−
− − +
⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− +
= ⎢ ⎥
⎣ ⎦
i t i G i i t
i t i G i i t i G i
Ae e e
i
e eA
i
( ) sin(( ) ar ( ))g (ω ωω= +regime G i t G iy t A
Basta então 
fazer s=iω para 
se conhecer a 
resposta em 
freqüência do 
sistema G(s) !!!
• a magnitude da saída é a magnitude da entrada A multiplicada por
|G(iω)|
• a fase da saída é a fase da entrada ωt somada ao arg(G(iω))
7/30
Relação entre o operador s de Laplace e iω
Outra formulação para se encontrar a relação entre o operador de 
Laplace s e a freqüência ω. Dado que:
( ) ( )( )( ) ( ) ) ( ( ) ( )j t j td tt Ae j Ae
d
d t j
dt
t
t
ω ωθθ ω θ ω θ== ⇒ = ⇒
Aplicando Laplace dos dois lados tem-se:
( !!!) !) )( (s ss j s jω ωΘ Θ= ⇒ =
8/30
Diagrama de Bode: Exemplo
Seja um sistema de primeira ordem:
Quando sujeito a uma entrada senoidal unitária na freqüência ω, a 
magnitude da saída y(t) e a diferença de fase (em regime) serão:
( ) ( ) e ( )r s i s iy t G s G sω ωϕ= == =
( ) e 1
1
K
G i K T i
Ti
ω ϕ ω
ω
= = − +
+
Ou:
9/30
Diagrama de Bode: Exemplo
Resposta em 
Freqüência
Banda 
Passante !
K/sqrt(2)
e
No exemplo: ( ) e ( ) 1
1
K
G i G i K T i
T i
ω ω ω
ω
= = − +
+
10/30
Diagrama de Bode: Exemplo
O diagrama de bode é uma versão logarítmica dos gráficos de resposta 
em freqüência onde:
Log do módulo x log da freqüência (gráfico da magnitude)
Linear da fase x log da freqüência (gráfico da fase)
O módulo é plotado no eixo y numa escala linear cujos valores são 
dados por:
11/30
Diagrama de Bode: magnitude
Idéia Geral do Diagrama (construção e interpretação):
Seja um sistema governado por G(s) na forma:
10 10 1020log ( ) 20log ( ) 20log ( )
( ) ( ) ( )
G s P s Q s
G s P s Q s
= −
= −
( )( ) então 
( )
P sG s
Q s
=
Exemplo: ( )( )
( )
K s aG s
s b
+
=
+
10 10 10
10 10 10 10
20log ( ) 20log ( ) 20log ( )
20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( )
G s K s a s b
G s k wi a wi b
= + − +
∴
= + + − +
12/30
Diagrama de Bode: magnitude
10 10 10 10
2 2 2 2
10 10 10 10
20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( )
20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( )
G s k i a i b
ou
G s k a b
ω ω
ω ω
= + + − +
= + + − +
Termo independente 
da freqüência
Termo dependente da freqüência:
para w<<a vale 20log10(a)
para w>> a vale 20log10(w)
Termo dependente da freqüência:
para w<< b vale -20log10(b)
para w>> a vale -20log10(w)
13/30
Diagrama de Bode: magnitude
1020log ( ) constante 20 20 (soma de três parcelas)G s x x= + −
2 2 2 2
10 10 10 1020log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( )G s k a bω ω= + + − +
Então a expressão acima para ω>> a e ω >> b:
Num gráfico onde a escala do eixo x é logarítmica, ou seja log10(ω)=x
10 10 10 1020log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( )G s k ω ω= + −
Termo 
independente
Reta com inclinação de 
+20db/década p/ w>>a 
Reta com inclinação de 
-20db/década p/ w>>b
14/30
Diagrama de Bode: magnitude
2 2 2 2
101 1 100 0 20lo20log ( ) 20log ( ) 20log( ) ( )g aG s k bωω= − ++ +
( )( )
( )
100( 10)( )
( 100)
K s aG s
s b
sG s
s
+
=
+
+
=
+
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
ao encontar um zero sobe +20dB/dec e
ao encontrar um pólo desce -20dB/déc !!
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
15/30
Diagrama de Bode: magnitude
2 2
10
2
01
2
1010 20 log
logo:
20l 40log ( 100( 10 ) )20log (100g ) )o (G s ω ω +−+= +
2 2
( ) 100( 10) 100( 10)( ) ( ) ( )
( ) ( 100) ( 100)( 100)
K s a s sG s G s G s
s b s s s
+ + +
= ⇒ = ⇒ =
+ + + +
2 2 2 2
10 10
2 2
1
10
1
2 2
10
2 2
10 100
10
0
20log ( )
20log
2020log ( ) log (20log ( )
20lo( )
) 20log ( )
l20log 2*( g ( ) (2 g) 0 o )
G s
G s
b
k
bk a
a b
ω ω
ω
ω
ω
+= + −
= + −
−+
++
+
∴
16/30
Diagrama de Bode: magnitude
2 2 2 2
101 1 100 0 20 log ( 1 40log ( 10020log ( 0 )100 )l ( ) )20 og G s ωω − ++= +
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-150
-100
-50
0
50
100
M
ag
ni
tu
de
 (d
B) ao encontrar um zero 
duplo sobe +40dB/déc. e
ao encontrar um pólo 
duplo desce -40dB/déc. !!
17/30
Diagrama de Bode: magnitude
Dicas: Ganho DC => G(s)|s=0 Ganho no infinito G(s)|s=∞
10
10
100( 10)( )
( 100)
(0) 10 20*log (10) 20
( ) 100 20*log (100) 40
sG s
s
G dB
e
G dB
+
=
+
= ⇒ =
∞ = ⇒ =
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
18/30
Diagrama de Bode: magnitude
Caso Especial: zeros ou 
pólos na origem. 
(Ganho DC => G(s)|s=0 =∞
Ganho no infinito G(s)|s=∞=0)
0
2 2 2 2
10 10 10 10 10
100( 10)( ) ( )
( 100)
20log ( ( ) ) 20log (100) 20log ( 10 20log ( 100 20log ( )
s
sG s G s
s s
G s ω ω ω
→
+
= ⇒ =∞
+
= + + − + −
Reta com inclinação -20dB e que em ω=1 vale zero dB!
(em ω =10 vale -20dB) 
O pólo(zero) fornece uma reta com 
inclinação negativa (positiva). O valor 
da inclinação depende do número de 
pólos (zeros). Cada pólo(zero) 
contribui com -20dB(+20dB)
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Diagrama de Bode: magnitude
Caso Especial: zeros ou 
pólos na origem. 
Ganho DC: G(s)|s=0 =∞
Ganho no infinito: G(s)|s=∞=0)
2 2
101010
2 2
1010 20log ( 20log20log (10020log ( 100( ( ) ) 10 20log ( ))G s ωω ω= + − −+ +
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)

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