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Análise de Sistemas no Domínio da Freqüência Diagrama de Bode 2/30 Análise na Freqüência A análise da resposta em freqüência compreende o estudo do comportamento de um sistema dinâmico em regime permanente, quando sujeito a uma entrada senoidal com amplitude constante e freqüência variável ! 2( ) sin( )θ φ= −o t A wt1( ) sin( )θ =i t A wt ( ) 1 1 ( ) 2 2 ( ) sin( ) ( ) sin( ) ϕ θ θ ϕ − = = = − = j wt i j wt o t A wt Ae t A wt A e ( ) ( )2 2 ( ) 1 1 ( ) ( ) ϕ ϕθ θ − −= = j wt jo j wt i t A e A e t Ae A 3/30 Análise na Freqüência 2( ) sin( )φ= −y t A wt1( ) sin( )=u t A wt Em ω : • A2=A1 |G(i ω)| • φ é arg(G(iω)) G(s) Vamos demostrar que: 4/30 Relação entre o operador s de Laplace e iω 2 2 1 2 m 1 2 2 2 m 1 2 n 1 2 ( ) sin( ) ( ) a saída é: =G(s)*U(s) upondo que G(s) seja dado por: (s-z )(s-z )...(s-z ) (s-z )(s-z )...(z-z )G(s)= então ( ) Y(s) (s-p )(s- =G(s)* p )...(s-p ) (s-p )(s-p )...(s-p u t A t U s A s A s s Y s ωω ω ωω = ⇒ = + = + n 1 2 m 1 2 n 31 2 n n+1 n+2 1 2 3 2 2*) (s-z )(s-z )...(s-z )( ) em frações parciais tem-se: (s-p )(s-p )...(s-p ) CC C C C CY(s)= , ( ) ... , s+ s ( ) i - in A s Ao Y s s p s p s p s p u s i s i ω ω ω ω ω ω ω = + + + + + + − + − − − + − Seja: 5/30 Relação entre o operador s de Laplace e iω 31 2 n+1 n+2 1 2 3 n+1 n+2 CC C C CY(s)= ... ora: s+ i s- i C lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 2 C lim( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 2 lim ( ) ( ), 1,2,..., . ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω →− →− → →− → + + + + + − − − = + = + = − − = − = − = = − = k s i s i s i s i k ks p s p s p s p As i Y s s i G s U s G i i As i Y s s i G s U s G i i C s p Y s k n 31 2 1 2 3 regime Assim: y(t)=C C C ... ( ) ( ) , admitindo 0 (sist. estável) 2 2 y(t) ( ) ( ) 2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + − + <⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ p tp t p t i t i t k i t i t A Ae e e G i e G i e p i i A AG i e G i e i i 6/30 Relação entre o operador s de Laplace e iω regime arg( ( )) arg( ( )) arg( ( )) regime y(t) ( ) ( ) ora como G(i ) é complexo então: 2 2 G(i )= G(i ) e G(-i )= G(i ) assim: y(t) G(i ) 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ i t i t i G i i G i i G i A AG i e G i e i i e e A e i arg( ( )) arg( ( )) arg( ( )) regime G(i ) 2 y(t) G(i ) portanto: 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ω − − − + ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡ ⎤− + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ i t i G i i t i t i G i i t i G i Ae e e i e eA i ( ) sin(( ) ar ( ))g (ω ωω= +regime G i t G iy t A Basta então fazer s=iω para se conhecer a resposta em freqüência do sistema G(s) !!! • a magnitude da saída é a magnitude da entrada A multiplicada por |G(iω)| • a fase da saída é a fase da entrada ωt somada ao arg(G(iω)) 7/30 Relação entre o operador s de Laplace e iω Outra formulação para se encontrar a relação entre o operador de Laplace s e a freqüência ω. Dado que: ( ) ( )( )( ) ( ) ) ( ( ) ( )j t j td tt Ae j Ae d d t j dt t t ω ωθθ ω θ ω θ== ⇒ = ⇒ Aplicando Laplace dos dois lados tem-se: ( !!!) !) )( (s ss j s jω ωΘ Θ= ⇒ = 8/30 Diagrama de Bode: Exemplo Seja um sistema de primeira ordem: Quando sujeito a uma entrada senoidal unitária na freqüência ω, a magnitude da saída y(t) e a diferença de fase (em regime) serão: ( ) ( ) e ( )r s i s iy t G s G sω ωϕ= == = ( ) e 1 1 K G i K T i Ti ω ϕ ω ω = = − + + Ou: 9/30 Diagrama de Bode: Exemplo Resposta em Freqüência Banda Passante ! K/sqrt(2) e No exemplo: ( ) e ( ) 1 1 K G i G i K T i T i ω ω ω ω = = − + + 10/30 Diagrama de Bode: Exemplo O diagrama de bode é uma versão logarítmica dos gráficos de resposta em freqüência onde: Log do módulo x log da freqüência (gráfico da magnitude) Linear da fase x log da freqüência (gráfico da fase) O módulo é plotado no eixo y numa escala linear cujos valores são dados por: 11/30 Diagrama de Bode: magnitude Idéia Geral do Diagrama (construção e interpretação): Seja um sistema governado por G(s) na forma: 10 10 1020log ( ) 20log ( ) 20log ( ) ( ) ( ) ( ) G s P s Q s G s P s Q s = − = − ( )( ) então ( ) P sG s Q s = Exemplo: ( )( ) ( ) K s aG s s b + = + 10 10 10 10 10 10 10 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) G s K s a s b G s k wi a wi b = + − + ∴ = + + − + 12/30 Diagrama de Bode: magnitude 10 10 10 10 2 2 2 2 10 10 10 10 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( ) G s k i a i b ou G s k a b ω ω ω ω = + + − + = + + − + Termo independente da freqüência Termo dependente da freqüência: para w<<a vale 20log10(a) para w>> a vale 20log10(w) Termo dependente da freqüência: para w<< b vale -20log10(b) para w>> a vale -20log10(w) 13/30 Diagrama de Bode: magnitude 1020log ( ) constante 20 20 (soma de três parcelas)G s x x= + − 2 2 2 2 10 10 10 1020log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( )G s k a bω ω= + + − + Então a expressão acima para ω>> a e ω >> b: Num gráfico onde a escala do eixo x é logarítmica, ou seja log10(ω)=x 10 10 10 1020log ( ) 20log ( ) 20log ( ) 20log ( )G s k ω ω= + − Termo independente Reta com inclinação de +20db/década p/ w>>a Reta com inclinação de -20db/década p/ w>>b 14/30 Diagrama de Bode: magnitude 2 2 2 2 101 1 100 0 20lo20log ( ) 20log ( ) 20log( ) ( )g aG s k bωω= − ++ + ( )( ) ( ) 100( 10)( ) ( 100) K s aG s s b sG s s + = + + = + Bode Diagram Frequency (rad/sec) 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 M ag ni tu de (d B) ao encontar um zero sobe +20dB/dec e ao encontrar um pólo desce -20dB/déc !! Bode Diagram Frequency (rad/sec) 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 M ag ni tu de (d B) 15/30 Diagrama de Bode: magnitude 2 2 10 2 01 2 1010 20 log logo: 20l 40log ( 100( 10 ) )20log (100g ) )o (G s ω ω +−+= + 2 2 ( ) 100( 10) 100( 10)( ) ( ) ( ) ( ) ( 100) ( 100)( 100) K s a s sG s G s G s s b s s s + + + = ⇒ = ⇒ = + + + + 2 2 2 2 10 10 2 2 1 10 1 2 2 10 2 2 10 100 10 0 20log ( ) 20log 2020log ( ) log (20log ( ) 20lo( ) ) 20log ( ) l20log 2*( g ( ) (2 g) 0 o ) G s G s b k bk a a b ω ω ω ω ω += + − = + − −+ ++ + ∴ 16/30 Diagrama de Bode: magnitude 2 2 2 2 101 1 100 0 20 log ( 1 40log ( 10020log ( 0 )100 )l ( ) )20 og G s ωω − ++= + Bode Diagram Frequency (rad/sec) 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -150 -100 -50 0 50 100 M ag ni tu de (d B) ao encontrar um zero duplo sobe +40dB/déc. e ao encontrar um pólo duplo desce -40dB/déc. !! 17/30 Diagrama de Bode: magnitude Dicas: Ganho DC => G(s)|s=0 Ganho no infinito G(s)|s=∞ 10 10 100( 10)( ) ( 100) (0) 10 20*log (10) 20 ( ) 100 20*log (100) 40 sG s s G dB e G dB + = + = ⇒ = ∞ = ⇒ = Bode Diagram Frequency (rad/sec) 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 M ag ni tu de (d B) 18/30 Diagrama de Bode: magnitude Caso Especial: zeros ou pólos na origem. (Ganho DC => G(s)|s=0 =∞ Ganho no infinito G(s)|s=∞=0) 0 2 2 2 2 10 10 10 10 10 100( 10)( ) ( ) ( 100) 20log ( ( ) ) 20log (100) 20log ( 10 20log ( 100 20log ( ) s sG s G s s s G s ω ω ω → + = ⇒ =∞ + = + + − + − Reta com inclinação -20dB e que em ω=1 vale zero dB! (em ω =10 vale -20dB) O pólo(zero) fornece uma reta com inclinação negativa (positiva). O valor da inclinação depende do número de pólos (zeros). Cada pólo(zero) contribui com -20dB(+20dB) 19/30 Diagrama de Bode: magnitude Caso Especial: zeros ou pólos na origem. Ganho DC: G(s)|s=0 =∞ Ganho no infinito: G(s)|s=∞=0) 2 2 101010 2 2 1010 20log ( 20log20log (10020log ( 100( ( ) ) 10 20log ( ))G s ωω ω= + − −+ + 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 M ag ni tu de (d B) Bode Diagram Frequency (rad/sec)0 100( 10)( ) ( ) ( 100) s sG s G s s s → + = ⇒ →∞ + 20/30 Diagrama de Bode: Fase Idéia Geral do Diagrama da Fase (construção e interpretação): Seja um sistema governado por G(s) na forma: 10 10 1020log ( ) 20log ( ) 20log ( ) ( ) ( ) ( ) G s P s Q s G s P s Q s = − = − ( )( ) então ( ) P sG s Q s = Exemplo: ( )( ) ( ) K s aG s s b + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s K s a s b G s K s a s b = + − + ∴ = + + − + 21/30 Diagrama de Bode: Fase ( ) ( ) ( ) 0 artan( ) artan( ) G s K s a s b ou G s K i a i b ou G s a b ω ωω ω = + + − + = + + − + = + − Termo independente da freqüência Termo dependente da freqüência: para w<<a fase é nula para w>> a fase é 90o Termo dependente da freqüência: para w<< b fase é nula para w>> b fase é -90o 22/30 Diagrama de Bode: Fase ( ) 100( 10)( ) ( ) ( ) ( 100) K s a sG s G s s b s + + = ⇒ = + + ( ) ( ) 0 artan( ) artan( )G s K i a i b ou G s a b ω ωω ω= + + − + = + − 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 -90 -45 0 45 90 Ph as e (d eg ) Frequency (rad/sec) Média Geométrica das freqüências: ωc=sqrt(10*100) Frequency (rad/sec) 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 0 30 60 Ph as e (d eg ) Ângulo de avanço θ => tan( ) 0.5 b a a b θ ⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ CONTRIBUIÇÃO NA FASE Termos constantes positivos = 0o Termos constantes negativos = ±180o Pólo na origem = -90o Zero na origem = 90º Zero (z=s+a) fora da origem : θ = atan(ω/a) Pólo (p=s+a) fora da origem: θ = -atan(ω/a) 23/30 Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem Substituindo s por jω ou Cuja magnitude e fase resultam em: 24/30 Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem Freqüência de ressonância ωr e valor de Pico Mr O valor de pico de |G(jw)| ocorre na freqüência ressonante ωr dada por: Obs. a) Para ξ>0.707 não ocorre ressonância e Mr=1. b) A magnitude decai monotonicamente com o crescimento da freqüência. Dado que A fase é: 25/30 Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem -40 -20 0 20 40 60 M ag ni tu de (d B) 10 0 10 1 10 2 -180 -135 -90 -45 0 Ph as e (d eg ) Bode Diagram Frequency (rad/sec) 2 100( ) 2(0.005)(10) 100 G s s s = + + 26/30 Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem 2 1( ) 2 1 n n G s s sξ ω ω = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 27/30 Diagrama de Bode: Fase 2 2 2 2 2 2 2 1) ( ) ) ( ) ( 1)( 2) ( 1) 2) ( ) ) ( ) 2 ( 2) 8 1) ( ) f ) ( ) ( 1) ( 1) n n n a G s b G s s s s s c G s d G s s s s s s se G s G s s s s ω ξω ω = = + + + = = + + + − = = + + Exemplos: 28/30 Constante de erro de posição A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de posição Kp Sistema tipo zero 29/30 Constante de erro de velocidade A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de velocidade Kv Sistema do tipo 1 30/30 Constante de erro de aceleração A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de aceleração Ka Sistema do tipo 2 31/30 Margem de ganho e margem de fase 32/30 Formas alternativas de apresentar dados Gráfico polar ou Diagrama de Nyquist: Gráfico log- magnitude x fase ou Gráfico de Nichols 33/30 Exemplo: obtenha as margens de ganho e de fase para o sistema, nos casos em que K=10 e K=100. 34/30 Curva margem de fase (γ) x fator de amortecimento (ξ) para um sistema de 2ª ordem )..2.( )( 2 n n ss sG ωξ ω + = 100 γξ = 35/30 Curvas Mr x ξ e Mp x ξ para um sistema de 2ª ordem )..2.( )( 2 n n ss sG ωξ ω + = Mr: magnitude do pico ressonante Mp: sobre-sinal (overshoot) ξ : fator de amortecimento 36/30 Largura de banda (bandwidth) e freqüência de corte ωb (cutoff frequency) Resposta em freqüência em malha fechada A LB indica como um sistema vai seguir um sinal senoidal. É proporcional à velocidade de resposta. LB grande corresponde a um pequeno tempo de subida. A LB decresce com o aumento de ξ.
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