A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
36 pág.
Capitulo 3a Diagrama de Bode

Pré-visualização | Página 2 de 2

0
100( 10)( ) ( )
( 100) s
sG s G s
s s →
+
= ⇒ →∞
+
20/30
Diagrama de Bode: Fase
Idéia Geral do Diagrama da Fase (construção e interpretação):
Seja um sistema governado por G(s) na forma:
10 10 1020log ( ) 20log ( ) 20log ( )
( ) ( ) ( )
G s P s Q s
G s P s Q s
= −
= −
( )( ) então 
( )
P sG s
Q s
=
Exemplo: ( )( )
( )
K s aG s
s b
+
=
+
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
G s K s a s b
G s K s a s b
= + − +
∴
= + + − +
21/30
Diagrama de Bode: Fase
( )
( ) ( ) 0 artan( ) artan( )
G s K s a s b
ou
G s K i a i b ou G s
a b
ω ωω ω
= + + − +
= + + − + = + −
Termo independente 
da freqüência
Termo dependente da freqüência:
para w<<a fase é nula
para w>> a fase é 90o Termo dependente da freqüência:
para w<< b fase é nula
para w>> b fase é -90o
22/30
Diagrama de Bode: Fase
( ) 100( 10)( ) ( )
( ) ( 100)
K s a sG s G s
s b s
+ +
= ⇒ =
+ +
( ) ( ) 0 artan( ) artan( )G s K i a i b ou G s
a b
ω ωω ω= + + − + = + −
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
-90
-45
0
45
90
Ph
as
e 
(d
eg
)
Frequency (rad/sec)
Média Geométrica das freqüências: ωc=sqrt(10*100)
Frequency (rad/sec)
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
0
30
60
Ph
as
e 
(d
eg
)
Ângulo de avanço θ => tan( ) 0.5
b a
a b
θ
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
CONTRIBUIÇÃO NA FASE
Termos constantes positivos = 0o
Termos constantes negativos = ±180o
Pólo na origem = -90o
Zero na origem = 90º
Zero (z=s+a) fora da origem : θ = atan(ω/a)
Pólo (p=s+a) fora da origem: θ = -atan(ω/a) 
23/30
Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem
Substituindo s por jω
ou 
Cuja magnitude e fase resultam em:
24/30
Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem
Freqüência de ressonância ωr e valor de Pico Mr
O valor de pico de |G(jw)| ocorre na freqüência ressonante ωr dada por:
Obs.
a) Para ξ>0.707 não 
ocorre ressonância e 
Mr=1. 
b) A magnitude decai 
monotonicamente com 
o crescimento da 
freqüência.
Dado que
A fase é:
25/30
Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem
-40
-20
0
20
40
60
M
ag
ni
tu
de
 (d
B)
10
0
10
1
10
2
-180
-135
-90
-45
0
Ph
as
e 
(d
eg
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
2
100( )
2(0.005)(10) 100
G s
s s
=
+ +
26/30
Diagrama de Bode: Sistema de 2ª Ordem
2
1( )
2 1
n n
G s
s sξ
ω ω
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
27/30
Diagrama de Bode: Fase
2
2
2 2 2
2
2 1) ( ) ) ( )
( 1)( 2) ( 1)
2) ( ) ) ( )
2 ( 2)
8 1) ( ) f ) ( )
( 1) ( 1)
n
n n
a G s b G s
s s s s
c G s d G s
s s s s
s se G s G s
s s s
ω
ξω ω
= =
+ + +
= =
+ + +
−
= =
+ +
Exemplos:
28/30
Constante de erro de posição 
A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de posição Kp
Sistema tipo zero
29/30
Constante de erro de velocidade
A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de velocidade Kv
Sistema do tipo 1
30/30
Constante de erro de aceleração
A partir do diagrama de bode é possível encontrar o erro de aceleração Ka
Sistema do tipo 2
31/30
Margem de ganho e margem de fase
32/30
Formas alternativas de apresentar dados
Gráfico polar ou
Diagrama de Nyquist:
Gráfico log-
magnitude x fase ou 
Gráfico de Nichols
33/30
Exemplo: obtenha as margens de ganho e de fase para o sistema, nos casos em que 
K=10 e K=100.
34/30
Curva margem de fase (γ) x fator de amortecimento (ξ) 
para um sistema de 2ª ordem
)..2.(
)(
2
n
n
ss
sG
ωξ
ω
+
=
100
γξ =
35/30
Curvas Mr x ξ e Mp x ξ para um sistema de 2ª ordem
)..2.(
)(
2
n
n
ss
sG
ωξ
ω
+
=
Mr: magnitude do pico ressonante
Mp: sobre-sinal (overshoot)
ξ : fator de amortecimento
36/30
Largura de banda (bandwidth)
e freqüência de corte ωb (cutoff frequency)
Resposta em 
freqüência em malha 
fechada
A LB indica como um sistema vai seguir um sinal senoidal. 
É proporcional à velocidade de resposta.
LB grande corresponde a um pequeno tempo de subida.
A LB decresce com o aumento de ξ.