Mecânica dos Fluidos - Teoria

Prévia do material em texto

FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 1 
1 
 
 Ementa 
 
 
 Fluidos – Definição 
 
 Tensão de cisalhamento. 
 Viscosidade dinâmica e cinemática. 
 Densidade. 
 Pressão Hidrostática. Teorema de Stevin. 
 Pressão atmosférica. 
 Manômetros e Bombas de vácuo. 
Medidores de pressão: Manômetros diferenciais e 
de Bourdon. 
 Princípio de Arquimedes. Empuxo. 
 Equação da continuidade. 
 Equação de Bernoulli. 
 Tubo de Venturi e placas de orifício. 
 Regimes de escoamento. Escoamento 
laminar e turbulento. Número de Reynolds. 
 Teorema de Stokes. 
 Lei de Poiseulli. 
 Tubo de Pitot e de Prandtl. 
 Equação de Bernoulli na presença de 
uma máquina: Bombas e Turbinas. Rendimento. 
 Equação de Bernoulli admitindo perda 
de carga. 
 Fórmula fundamental para perda de 
carga. Diagrama de Perdas de carga localizadas e 
perda de carga total. 
 Diagrama de Moody-Rouse. 
 
 Bibliografia. 
 1. Sears, F. W.;Zemansky, M. W.; Young. H. D. 
Física. 2
a
. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e 
Científicos, V. 1-2, 2000 
 2. Halliday, D.; Resnick, R. Fundamentos da 
Física, Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, 
v.1-2, 1991. 
 3. Tipler, P. A. Física, 2
a
, Ed. Guanabara dois, V1, 
1985. 
 4. Franco e Brunetti, Mecânica dos Fluidos, Ed. 
Pearson Prentice Hall, São Paulo, 2005. 
 5. Notas de aula: www.claudio.sartori.nom.br. 
 6. Ranald V Giles; Evett J.; Liu C., Mecânica de 
Fluidos e Hidráulica, 1994. 
 
 
 
 
 Fluido 
Um fluido é uma substância que se deforma 
continuamente quando submetida a uma tensão de 
cisalhamento, não importando o quanto pequena 
possa ser essa tensão. Tanto os gases quanto os 
líquidos são classificados como fluidos. 
Um fluido complexo é um fluido cujas 
propriedades de transporte só podem ser 
determinadas a partir do conhecimento detalhado da 
sua estrutura microscópica. 
Um fluido newtoniano é um fluido em 
que cada componente da velocidade é 
proporcional ao gradiente de velocidade na 
direcção normal a essa componente. A constante 
de proporcionalidade é a viscosidade absoluta 
ou dinâmica . 
u
y
 



 
 Tensão de Cisalhamento 
 
Uma força de cisalhamento é a 
componente tangencial de uma dada força que 
age sobre a superfiície e, dividida pela área da 
superfície, dá origem à tensão de cisalhamento 
média sobre a área quando a área tende a um 
ponto. 
 
 Figura 1 – Escoamento de um fluido 
viscoso. A área da placa é A e a taxa de variação 
da velocidade com a distância vertical é 
dv
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Viscosidade absoluta ou dinâmica. 
 
 Definimos como viscosidade absoluta ou 
dinâmica  a razão entre a tensçao de 
cisalhamento  e a taxa de variação da 
velocidade com a distância vertical medida 
entre as duas placas indicadas na figura 1. 
dv
dy

 
 
v
dv
F A
dy
  
 
 Unidade: 
 Poise: 
1 1
2 2
1 1 10 1 10
g kg
cm s m s
din N
Po
s cm s m
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 Viscosidade cinemática 
 
 Definimos como viscosidade 
cinemática  como sendo a razão entre a 
viscosidade dinâmica e a densidade do corpo . 




 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 2 
2 
 Unidades: 
2m
s
 (SI) 
Stoke: 
2
1 1
cm
st
s

 
 Massa específica e densidade 
 Princípio de Arquimedes – 
 
De acordo com a lenda, isto (eureca!) foi o que 
Arquimedes gritou quando ele descobriu um fato 
importante sobre a força de empuxo. Tão importante 
que o chama de princípio de Arquimedes (e tão 
importante que, diz a lenda, Arquimedes pulou da 
banheira e correu pelas ruas após a descoberta). 
 Observando as figuras abaixo: 
 
 Figura 2 – (a) Diferença entre as pressões 
na parte superior 1 do corpo a uma profundidade h1 e 
na parte inferior 2 do corpo a uma profundidade h2. 
 (b) As diferenças entre as pressões laterais 
se cancelam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As pressões laterais se cancelam (b) e a 
diferença entre as pressões entre os pontos 1 e 2 no 
copo, ficará: 
 2 1 0 2 0 1p p p p gh p gh       
 
 2 1p g h h  
 
E
p g h
A
   
 
E g hA 
 
E Vg 
 
fE m g
 
 Princípio de Arquimedes : Um objeto 
que está parcialmente, ou completamente, 
submerso em um fluido, sofrerá uma força de 
empuxo igual ao peso do fluido que objeto 
desloca. 
 FE = Wfluido = fluido . Vdeslocado . g 
O valor do empuxo, que atua em um 
corpo mergulhado em um líquido, é igual ao 
peso do líquido deslocado pelo corpo. 
A força de empuxo, FE , aplicada pelo 
fluido sobre um objeto é dirigida para cima. A 
força deve-se à diferença de pressão exercida na 
parte de baixo e na parte de cima do objeto. Para 
um objeto flutuante, a parte que fica acima da 
superfície está sob a pressão atmosférica, 
enquanto que a parte que está abaixo da 
superfície está sob uma pressão maior porque 
ela está em contato com uma certa 
profundidade do fluido, e a pressão aumenta 
com a profundidade. Para um objeto 
completamente submerso, a parte de cima do 
objeto não está sob a pressão atmosférica, mas a 
parte de baixo ainda está sob uma pressão maior 
porque está mais fundo no fluido. Em ambos os 
casos a diferença na pressão resulta em uma 
força resultante para cima (força de empuxo) 
sobre o objeto. Esta força tem que ser igual ao 
peso da massa de água (fluido . Vdeslocado) 
deslocada, já que se o objeto não ocupasse 
aquele espaço esta seria a força aplicada ao 
fluido dentro daquele volume (Vdeslocado) a fim 
de que o fluido estivesse em estado de 
equilíbrio. 
 
Nas figuras abaixo indicamos como 
calcular a massa real de um corpo (mr) e a 
massa aparente do corpo (ma), usando uma 
balança. 
 
 
 E 
 
 
 -N P 
 
 
 
rN P m g 
 
Quando o corpo de massa mr estiver 
totalmente imerso: 
r fP E T m g m g T    
 
2 2r H O C r H O C
m g gV T T m g gV      
Mas:
r r
C C
C C
m m
V
V


  
. Substituindo na 
equação acima teremos: 
2
2
H Or
r H O r r
C C
m T
T m g g m m
g
      
 
Chamando a massa aparente m2=T/g, teremos: 
2 2H O H O
a r r r r a
C C
m m m m m m m
 
       
 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 3 
3 
2
2
H O r
r C H O
C
m
m m
m
       
 
2
r
C H O
m
m
  

 
r am m m  
 
 
 APLICAÇÕES: Cálculo da massa específica 
do corpo C para diferentes materiais. 
 
 Tabela 1 - Densidade de algumas 
substâncias: 
 
Material 
Densidade 
(g/cm
3
) 
Líquidos 
Água at 4 0C 1.0000 
Água a 20 0C 0.998 
Gasolina 0.70 
Mercúrio 13.6 
Leite 1.03 
Material 
Densidade 
(gm/cm
3
) 
Sólidos 
Magnésio 1.7 
Alumínio 2.7 
Cobre 8.3-9.0 
Ouro 19.3 
Ferro 7.8 
Lead 11.3 
Platina 21.4 
Urânio 18.7 
Ósmio 22.5 
Gelo at 0 0C 0.92 
Material 
Densidade 
(gm/cm
3
) 
Gases a STP 
Ar 0.001293 
Dióxido de Carbono .001977 
Monóxido de 
Carbono 
0.00125 
Hydrogênio 0.00009 
Hélio 0.000178 
Nitrogênio 0.001251 
 
 
 Densímetro: 
 
É um instrumento usado para medir a 
densidade de um líquido segundo o princípio do 
empuxo. 
Quando colocado em água pura, a 
gravidade específica é marcada para indicar 1.Figura 3 - Um Densímetro. (A) 
Flutuando na água êle marca 1, a densidade da 
água pura. (B) O densímetro sobe mais na 
solução de ácido da bateria inteiramente 
carregada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O densímetro desloca um menor 
volume de líquido e flutua mais alto. À medida 
que a bateria vai-se descarregando, a quantidade 
de ácido no líquido vai diminuindo e, portanto, 
também sua densidade. 
 Densímetros especiais usados para medir 
densidade de álcool e de leite são chamados 
alcoômetros e lactômetros. 
 Sendo W o peso do hidrômetro e V0 o 
volume submerso abaixo da linha 1: 
W E
 
0aW V 
 
 Em um líquido desconhecido, de peso 
específico x, o balanço das forças seria: 
 
 0xW V A h   
 
 Aqui, A é a seção transversal da haste. 
 Podemos então: 
 0 0a xV V A h     
 
0
00
x
a
V
V A h



 
 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 4 
4 
 
 Pressão atmosférica: 
 
Embora o ar seja extremamente leve, não é 
desprovido de peso. O peso que exerce sobre nós a 
totalidade da atmosfera denomina-se pressão 
atmosférica. Cada pessoa suporta em média sobre 
os ombros o peso de cerca de 1 tonelada de ar, que, 
porém não sente, já que o ar é um gás e a força da 
pressão exerce-se em todas as direções. O peso 
normal do ar ao nível do mar é de 1Kg/cm
2
. Porém, 
a pressão atmosférica desce com a altitude. A 3000 
m, é de cerca de 0,7 kg/cm
2
. A 8848 m, a altitude do 
monte Everest, a pressão é de apenas 0,3 Kg/cm
2
. 
 O barômetro é o instrumento usado para medir a 
pressão atmosférica. 
Quando o ar quente se eleva cria, por baixo dele, 
uma zona de baixa pressão. Baixas pressões 
normalmente significam tempo ruim. 
 
Figura 4 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Baixas Pressões 
 
À medida que o ar, ao subir, arrefece, o seu 
vapor de água transforma-se em nuvens, que podem 
produzir chuva, neve ou tempestades. 
Simultaneamente, ao nível do solo, há ar que se 
desloca para substituir o ar quente em elevação, o 
que dá origem a ventos. 
As massas de ar deslocam-se sempre de um centro 
de alta pressão para um de baixa pressão, gerando o 
vento. Mas neste caminho são desviadas (para a 
direita no hemisfério Norte) por causa da rotação 
terrestre. 
 Se nos pusermos de costas para o vento (no 
hemisfério Norte), o centro de baixa pressão 
encontra-se sempre à nossa esquerda. Esta regra foi 
descoberta pelo físico Buys-Ballot, em 1800. 
 
 Figura 5 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Altas Pressões 
 
Quando o ar é relativamente frio, desce 
lentamente e comprime o ar que está por baixo, 
causando uma maior pressão. Embora esta seja 
causada pelo ar frio, provoca um tempo quente e 
soalheiro. Isto acontece porque o ar, ao descer, 
impede a formação de nuvens, originando um 
céu limpo. 
 
 Variação da pressão atmosférica com a 
altitude: 
A pressão atmosférica, ao ser acrescida de um 
valor dz, é diminuída de: 
 
dp gdz 
 
Onde  é a densidade do ar. 
 Segundo o modelo do gás ideal, 
podemos considerar: 
pV nRT p RT  
 
p
RT
 
 
 Na troposfera: 
0( )T z T z 
 
Onde: 
  = 0,0065K/m 
T0 = 288 K 
Assim: 
 0
p
dp gdz
R T z
 

 
 0
dp g
dz
p R T z
 

 
00atm
p z
p
dp g dz
p R T z
 
 
 
 pode ser dada por: 
 
 
 
0
0
ln ln
atm
T zp g
p R T




 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 5 
5 
0
0
( )
g R
atm
T z
p z p
T

 
  
 
 
 
 
 Na estratosfera: 
 
 Na estratosfera, entre 11 e 20 km, a 
temperatura é constante e aproximadamente -56,5°C. 
 R = 287 J/(kgK) 
 Ts: Temperatura na interface troposfera-
estratosfera. 
0s
p z
sp
dp g
dz
p RT
  
 
 
( )
s
s
g
z z
RT
sp z p e
 

 
 Resumindo, podemos escrever: 
 
 
 
0
0
; se 10
; se 10
s
s
g R
atm
g
z z
RT
s
T z
p z km
Tp z
p e z km


 
  
  
  

 
 
 A tabela a seguir ilustra alguns valores da 
pressão, densidade e temperatura do ar em algumas 
altitudes. 
 
 Tabela I – Valores das grandezas físicas do 
ar com a altitude z. 
 
z(m) T(K) P(kPa) (kg/m3
) 
v(m/s
) 
0 288,2 101,3 1,225 340 
500 284,8 95,43 1,167 338 
1000 281,7 89,85 1,112 336 
2000 275,2 79,48 1,007 333 
4000 262,2 61,64 0,8194 325 
6000 249,2 47,21 0,6602 316 
8000 236,2 35,65 0,5258 308 
1000
0 
Ts=223,
3 
26,49 0,4136 300 
1200
0 
216,7 19,40 0,3119 295 
1400
0 
216,7 14,17 0,2278 295 
1600
0 
216,7 10,35 0,1665 295 
1800
0 
216,7 7,563 0,1213 295 
2000
0 
216,7 5,528 0,0889 295 
3000
0 
226,5 1,196 0,0184 302 
4000 250,4 0,287 4,00.10
-
3 
317 
5000 270,7 0,0798 1,03.10
-
330 
3 
6000
0 
255,8 0,0225 3,06.10
-
4 
321 
7000
0 
219,7 0,0055
1 
8,75.10
-
5 
297 
8000
0 
180,7 0,0010
3 
2,00.10
-
5 
269 
 
 
Figura 6 - Variação da temperatura nas 
diversas camadas atmosféricas. 
 z(km) 
 
 Ionosfera 
 
 
 80 
 
 60 
 
 40 Estratosfera 
 
 20 
 
 
 Troposfera 
 
 -67 -56.5 15 T(ºC) 
 
 
 
 Medidores de pressão. 
 
 Manômetro de Bourdon: Consiste 
num tubo de latão achatado, fechado numa 
extremidade e dobrado em forma circular. A 
extremidade fechada é ligada por engrenagem e 
pinhão a um ponteiro que se desloca sobre uma 
escala. A aberta é ligada a um aparelho cuja 
pressão externa quer se medir. Quando se 
exerce uma pressão no interior do tubo 
achatado, ele se desenrola ligeiramente, como o 
faria uma mangueira de borracha enrolada, 
quando se abre a torneira d‗água. O movimento 
resultante da extremidade fechada do tubo é 
transmitido ao ponteiro. 
 
Figura 7 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 6 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dados Técnicos: 
Series 61000 gages feature an extra 
sensitive bronze diaphragm for ASME Grade A 
accuracy in ranges to 100 inches w.c. The Series 
62000 employs a bronze Bourdon tube for ranges to 
300 psig with Grade B accuracy. Both measure 
pressures of air, natural gas and other compatible 
gases and liquids. 
PHYSICAL DATA 
 
Dial/Pointer: Aluminum 
Housing: Steel with black baked enamel finish 
Diaphragm/Bourdon Tube: Phosphor bronze 
Connection: ¼" NPT(M) bottom-std. ¼" NPT(M) 
back 61000U, 62000U 
Operating Mechanism: Polycarbonate and brass 
Accuracy: 61000, ASME Grade A - 1% middle half 
of scale, 2% remainder 
61015 only - 1% middle half of scale, 3% remainder 
62000, ASMD Grade B - 2% middle half of scale, 
3% remainder 
Temperature Range: -40 to 160°F (-40 to 71°C) 
 Manômetros diferenciais 
 
Um manômetro é um instrumento 
utilizado para medir pressão. 
Um tipo de manómetro já com séculos de existência 
é o de coluna líquida.Este manómetro pode ser 
simplesmente um tubo em forma de U, no qual se 
coloca uma dada quantidade de líquido (não convém 
estar muito cheio para não transbordar facilmente). 
Neste método a pressão a medir é aplicada a uma 
das aberturas do U, enquanto que uma pressão de 
referência é aplicada à segunda abertura. A diferença 
entre as pressões é proporcional à diferença do nível 
do líquido, em que a constante de proporcionalidade 
é o peso volúmico do fluído. 
Os manômetros de coluna líquida podem 
ser em forma de U, ou alternativamente podem ter 
uma única coluna. Para se forçar o líquido a 
percorrer uma maior distância utilizam-se colunas 
com inclinação (uma vez que a pressão obriga a 
subir, o que exige um maior deslocamento no caso 
de a coluna estar inclinada), sendo necessário 
conhecer o ângulo relativamente à horizontal com 
precisão. 
Um outro tipo de manômetro recorre à 
deformação de uma membrana flexível. Estas 
membranas, por terem deformação proporcional 
à pressão a que estão sujeitas, são utilizadas 
com vários outros métodos no sentido de 
transformar a deformação numa grandeza que 
possa ser processada. 
Utilizam-se extensômetros (resistências 
variáveis com a deformação) para possibilitar a 
conversão para grandezas eléctricas. Contudo, 
um dos métodos mais utilizados corresponde a 
ligar electricamente a membrana de tal forma 
que seja uma armadura móvel de dois 
condensadores, assim a deformação a que a 
membrana se sujeita gera uma variação da 
capacidade, recorrendo a alguma electrónica o 
consegue-se obter uma tensão eléctrica 
directamente proporcional à pressão aplicada à 
membrana. 
Imensos outros métodos podem ser 
utilizados para efectuar a medição de pressão, 
tais como: LVDT, manómetros de Bourdon, 
manómetro de cilindro, cristais piezoeléctricos, 
etc... 
Adaptado de: 
"http://pt.wikipedia.org/wiki/Man%C3%B4metr
o" 
Pode-se encontrar a diferença de 
pressão, medindo a altura dos desníveis quando 
acoplado esse manômetro a dois diferentes 
pontos da tubulação. 
 
 
 
 
 
 
 
 Teoria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilização do manômetro pode ser 
vista na experiência de Torricelli: 
 
 Figura 8 - Experimento de Torricelli. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 7 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veja que: pA = pB. 
 Equações 
 
A pressão é dada por: 
A
F
p 
 
 Nos fluidos: 
ghp f
 
A pressão efetiva ou manométrica tem como 
referência a pressão atmosférica, e pode ser: 
negativa, nula ou positiva. 
A pressão absoluta tem como referência o 
vácuo perfeito, e pode ser: nula ou positiva. 
 Instrumentos de medição: manômetros, 
vacuômetros , barômetros , altímetros , etc. 
  hgp OHHg  2
 
 
 Sistemas de Unidades: 
 
M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m
2
 ] onde : 1 [ N ] 
= [ 1 Kg * m / s
2
 ] 
C. G. S. : 1 [ ba ] = 1 [ din / cm
2
 ] 
M.Kgf.S. : 1 [ Kgf / m
2
 ] 
 
Outras unidades : 
 
 1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg = 
1,033 Kgf / cm
2
 = 1 atmosfera física. 
 1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg = 
1,0 Kgf / cm
2
 = 0,968 atN = 10 m.c.a. 
 1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa 
 1 ‖ = 2,54 cm 1 ‘ = 1 pé = 12 ‖ 1 
jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ‘ 
 1 jd = 91,44 cm 1 pé = 30,48 cm 1 
libra = 1 lb = 0,45359 Kg 
 
 Medidores de pressão no corpo humano: 
 
 Pressão intraocular: Os fluidos do globo 
ocular, os humores aquoso e vítreo que transmitem a 
luz à retina (parte fotossensível do olho), estão sob 
pressão e mantêm o globo numa forma e dimensão 
aproximadamente fixas. As dimensões do olho são 
críticas para se ter uma boa visão. Uma variação de 
0,1 mm o seu diâmetro pode produzir um efeito 
significativo no desempenho da visão. A pressão em 
olhos normais varia de 13 a 28 mmHg, sendo a 
média de 15 mmHg. 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 - O olho humano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O humor aquoso, fluido contido na 
parte frontal do olho, é essencialmente água. O 
olho reduz continuamente o humor aquoso, 
cerca de 5 ml por dia, e existe um sistema de 
drenagem que permite a saída do excesso. No 
entanto, se ocorresse um bloqueio nesse sistema 
de drenagem, a pressão ocular aumentaria 
comprimindo a artéria retiniana e isso poderia 
restringir a circulação sangüínea na retina, 
provocando a visão tunelada ou até mesmo a 
cegueira. A essa situação se dá o nome de 
glaucoma, e a pressão intra-ocular pode 
aumentar até 70 mmHg, embora em 
circunstâncias normais se eleve até 30 ou 45 
mmHg. 
A pressão intra-ocular era estimada pelos 
médicos pressionando o olho com os dedos e 
sentindo a reação produzida pelo mesmo. Hoje 
em dia isso é feito pelo tonômetro, que mede 
pressão ocular determinando a deflexão da 
córnea sob a açâo de uma força conhecida. 
 
 Pressão sanguínea: A pressão 
sanguínea é medida com o esfigmomanômetro, 
que consiste de uma coluna de mercúrio com 
uma das extremidades ligada a uma bolsa, que 
pode ser inflada através de uma pequena bomba 
de borracha, como indica a Figura 32 (A). A 
bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível 
aproximadamente igual ao do coração, a fim de 
assegurar que as pressões medidas mais 
próximas às da aorta. A pressão do ar contido na 
bolsa é aumentada até que o fluxo de sangue 
através das artérias do braço seja bloqueado. 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 8 
8 
A seguir, o ar é gradualmente eliminado da 
bolsa ao mesmo tempo em que se usa um 
estetoscópio para detectar a volta das pulsações ao 
braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do 
ar contido na bolsa se igualar à pressão sistólica, 
isto é, a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, 
o sangue que está à pressão sistólica consegue fluir 
pela (os sons ouvidos através do estetoscópio são 
produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são 
chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna 
de mercúrio lida corresponde à pressão manométrica 
sistólica. À medida que o ar é eliminado, a 
intensidade do som ouvido através do esteie 
aumenta. A pressão correspondente ao último som 
audível é a pressão diastólica, isto é, a pressão 
sanguínea, quando o sangue a baixa pressão 
consegue fluir pela artéria não oclusa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (A) 
 
Figura 10 – Procedimento para medir a pressão 
em um paciente usando o esfigmomanômetro (A). 
Tipos de aparelhos (B) e variação da pressão ao 
longo do corpo humano (C). 
 
 (B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ALGUNS EFEITOS FISIOLÓGICOS 
DA VARIAÇÃO DA PRESSÃO DE 
FLUIDOS 
 
 Efeito da postura na pressão sanguínea 
O coração é uma "bomba" muscular 
que, no homem, pode exercer uma pressão 
manométrica máxima de cerca de 120 mmHg no 
sangue durante a contração (sístole), e de cerca 
de 80 mmHg durante a relaxação (diástole). 
Devido à contração do músculo cardíaco, o 
sangue sai do ventrículo esquerdo, passa pela 
aorta e pelas artérias, seguindo em direção aos 
capilares. Dos capilares venosos o sangue segue 
para as veias e chega ao átrio direito com uma 
pressão quase nula. Em média, a diferença 
máxima entre as pressõesarterial e venosa é da 
ordem de 100 mmHg. 
Como a densidade do sangue (1,04 
g/cm
3
) é quase igual à da água, a diferença de 
pressão hidrostática entre a cabeça e os pés 
numa pessoa de 1,80 m de altura é 180cm de 
H
2
0. A Figura anterior mostra as pressões 
arterial e venosa médias (em cm de água), para 
uma pessoa de 1,80 m de altura, em vários 
níveis em relação ao coração. Uma pessoa 
deitada possui pressão hidrostática praticamente 
constante em todos os pontos e igual à do 
coração. Se um manômetro aberto contendo 
mercúrio fosse utilizado para medir as pressões 
arteriais em vários pontos de um indivíduo 
deitado, a altura da coluna de mercúrio seria de 
aproximadamente 100 mm, ou seja, 136 cm de 
H
2
O. 
As pressões arteriais em todas as partes 
do corpo de uma pessoa deitada são 
aproximadamente iguais à pressão arterial do 
coração. Assim, quando uma pessoa deitada se 
levantar rapidamente, a queda de pressão 
arterial da cabeça será de ρgh, o que implicará 
uma diminuição do fluxo sanguíneo no cérebro. 
Como o fluxo deve ser contínuo e como o ajuste 
do fluxo pela expansão das artérias não é 
instantâneo, a pessoa pode sentir-se tonta. Em 
casos de variações de pressão muito rápidas, a 
diminuição da circulação pode ser tal que 
provoque desmaio. 
Um animal que possui propriedades 
fisiológicas extraordinárias é a girafa. Sua altura 
varia de 4,0 m a 5,5 m. Seu coração está, 
aproximadamente, eqüidistante da cabeça e das 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 9 
9 
patas, ou seja, a uns 2 m abaixo da cabeça Isso 
significa que a pressão arterial da girafa precisa ser 
muito maior que a do homem, ou de outro animal 
mais baixo, para que a cabeça possa ser atingida 
pelo fluxo sanguíneo. J. V. Warren e sua equipe 
mediram as pressões nas artérias de algumas girafas 
de uma reserva. Em uma posição determinada, 
quando a girafa está deitada, sua cabeça e seu 
coração estão no mesmo nível, e a pressão arterial da 
carótida varia entre os valores de 180 e 240 mmHg e 
o ritmo cardíaco é 96/min. Quando o animal levanta 
a cabeça a pressão se mantém aproximadamente 
igual, mas a freqüência cardíaca diminui. Na posição 
ereta e em movimento normal, aumenta a freqüência 
cardíaca a cerca de 150/min, enquanto que a pressão 
arterial cai para 90 a 150 mmHg. O galope eleva a 
freqüência cardíaca ao valor de 170/min e produz 
uma variação da pressão arterial entre 80 e 200 
mmHg. A pressão sistólica ao nível do coração da 
girafa varia entre 200 e 300 mmHg, enquanto que a 
diastólica varia entre 100 e 170 mmHg. O valor 
médio da razão pressão sistólica/pressão diastólica é 
de 260/160. Esse valor, comparado com o valor 
médio de uma pessoa - 120/80 classificaria a girafa 
como hipertensa. Entretanto, essa hipertensão não se 
deve a problemas vasculares, mas é uma condição 
necessária para suprir o cérebro do animal com 
sangue quando ele está ereto. 
 Mergulho subaquático 
O corpo humano é composto 
principalmente por estruturas sólidas e líquidas, que 
são quase incompressíveis. Por esse motivo, 
mudanças de pressão externa têm pequeno efeito 
sobre essas estruturas. No entanto, existem 
cavidades contendo gás no corpo que, sob mudanças 
bruscas de pressão, podem produzir fortes efeitos no 
indivíduo. 
O ouvido médio é uma cavidade de ar atrás 
do tímpano, dentro da cabeça. Se a pressão nessa 
cavidade não for igual à pressão no lado externo do 
tímpano, a pessoa pode sentir mal-estar. Ela pode 
evitar isso equalizando as pressões através do 
bocejo, da mastigação ou da deglutição. 
Quando uma pessoa mergulha na água, a 
equalização das pressões nos dois lados do tímpano 
pode não ocorrer, e uma diferença de pressão de 120 
mmHg pode ocasionar sua ruptura. 
Uma maneira de equalizar essas pressões é 
aumentar a pressão da boca, mantendo boca e nariz 
fechados e forçando um pouco do ar dos pulmões 
para as trompas de Eustáquio. 
A pressão nos pulmões a qualquer profundidade 
atingida num mergulho é maior que a pressão ao 
nível do mar. Isso significa que as pressões parciais 
dos componentes do ar são também mais elevadas. 
O aumento da pressão parcial do oxigênio faz que 
maior número de moléculas desse gás seja 
transferido para o sangue. Dependendo desse 
acréscimo, pode ocorrer envenenamento por 
oxigênio. Um possível efeito do envenenamento por 
oxigênio é a oxidação de enzimas dos pulmões, 
que pode provocar convulsões. Em bebês 
prematuros, colocados em tendas de oxigênio 
puro, há grandes riscos de se desenvolver 
cegueira devida ao bloqueio do 
desenvolvimento dos vasos sanguíneos dos 
olhos. 
Se for usado o ar nos tanques de 
mergulho, a altas pressões o nitrogênio se 
dissolve no sangue. Se o mergulhador voltar 
rapidamente à superfície, o nitrogênio dentro do 
sangue pode "ferver" formando bolhas. Isso 
pode provocar lesões graves nos ossos, levando 
até â necrose do tecido ósseo. A razão dessa 
necrose são os infartos no tecido, causados pelo 
bloqueio da circulação do sangue pelas bolhas. 
Por isso, a subida de um mergulhador deve ser 
feita lentamente. Caso ocorra a formação de 
bolhas, um dos efeitos sobre o mergulhador é a 
produção de cãibras. Nesse caso, o acidentado 
deve ser recolocado num ambiente à pressão 
alta e ser lentamente descompressado. 
 Efeitos da altitude Ao subir uma 
montanha, uma pessoa pode sentir uma série de 
distúrbios, que se tornam mais acentuados a 
partir dos 3 000 m. Os sintomas mais comuns 
são dificuldade de respirar, taquicardias com 
freqüências cardíacas superiores a 100/min, 
mal-estar generalizado, dores de cabeça, náusea, 
vômito, insônia etc. Esses efeitos se devem 
essencialmente à diminuição da pressão 
atmosférica, o que é conseqüência da 
diminuição da densidade do ar. Aos 5 000 m de 
altitude a pressão parcial de O
2
 é 
aproximadamente a metade da pressão parcial 
ao nível do mar. Ou seja, só existe metade da 
quantidade de O
2
 com relação ao nível do mar. 
Esse efeito é chamado hipoxia, isto é, baixo 
fornecimento de O
2
, e é também observado em 
balões dirigíveis em ascensão. 
Qualitativamente, podem-se resumir as 
mudanças funcionais com a altitude, para um 
indivíduo saudável normal e não treinado, da 
seguinte maneira: 
- Abaixo de 3 000 m: não existem efeitos 
detectáveis no desempenho da respiração, e o 
nível cardíaco, em geral, não se altera. 
- Entre 3000 e 4600 m: região de "hipoxia 
compensada" em que aparece um pequeno 
aumento dos ritmos cardíaco e respiratório, e 
uma pequena perda de eficiência na execução de 
tarefas complexas. 
- Entre 4 600 e 6 100 m: mudanças dramáticas 
começam a ocorrer. As freqüências respiratórias 
cardíaca aumentam drasticamente; pode 
aparecer a perda de julgamento crítico e 
controle muscular, e também entorpecimento 
dos sentidos. Estados emocionais podem variar 
desde a letargia até grandes excitações com 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 10 
10 
euforia ou mesmo com alucinações. Esse é o estado 
de "hipoxia manifesta". 
- Entre 6 100 e 7 600 m: essa é a região de "hipoxia 
crítica". Os sintomas são perda rápida controle 
neuromuscular, da consciência seguida de parada 
respiratória, e finalmente morte. 
Esses vários sintomas foram verificados na 
ascensão do balão "Zenith", a 15 de abril de 1875 a 
França, que chegou a atingir 8 600 m, causando a 
morte de dois dos três membros da expedição. 
Apesar de reservatórios de gás contendo 70% 
de oxigênio haver sido incluído no equipamento a 
hipoxia provocou a reduçãodo juízo crítico e do 
controle muscular de seus tripulantes, Permitindo o 
uso do oxigênio quando isso se fez necessário. 
 
 O QUE SIGNIFICAM OS NÚMEROS DE 
UMA MEDIDA DE PRESSÃO ARTERIAL? 
 Significam uma medida de pressão calibrada em 
milímetros de mercúrio (mmHg). O primeiro 
número, ou o de maior valor, é chamado de sistólico, 
e corresponde à pressão da artéria no momento em 
que o sangue foi bombeado pelo coração. O segundo 
número, ou o de menor valor é chamado de 
diastólico, e corresponde à pressão na mesma 
artéria, no momento em que o coração está relaxado 
após uma contração. Não existe uma combinação 
precisa de medidas para se dizer qual é a pressão 
normal, mas em termos gerais, diz-se que o valor de 
120/80 mmHg é o valor considerado ideal. 
Contudo, medidas até 140 mmHg para a pressão 
sistólica, e 90 mmHg para a diastólica, podem ser 
aceitas como normais. O local mais comum de 
verificação da pressão arterial é no braço, usando 
como ponto de ausculta a artéria braquial. O 
equipamento usado é o esfigmomanômetro ou 
tensiômetro, vulgarmente chamado de manguito, e 
para auscultar os batimentos, usa-se o estetoscópio. 
 
TABELA DE VALORES MÉDIOS NORMAIS 
DE PRESSÃO ARTERIAL 
IDADE EM ANOS 
PRESSÃO ARTERIAL 
EM mmhg 
4 85/60 
6 95/62 
10 100/65 
12 108/67 
16 118/75 
Adulto 120/80 
Idoso 140-160/90-100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Medidores de baixa pressão: 
 
 Bombas de Vácuo – 
 
 As bombas de vácuo são utilizadas 
quando queremos exaurir o ar de um sistema a 
ser exaurido. 
A seguir ilustramos as denominações das 
regiões de diferentes pressões e o tipo de bomba 
utilizado para atingi-las. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As bombas de vácuo podem ser 
classificadas como: 
 
 1. Bombas com deslocamento de gás - 
retiram os gases do sistema expelindo-os para a 
atmosfera 
 2. Bombas que trabalham a partir da 
pressão atmosférica (bombas rotativas) 
 3. Bombas que trabalham à pressões 
subatmosférica - requerem a ligação a uma 
bomba de vácuo primária para remover os gases 
para a atmosfera (bombas rotativas e bombas de 
vapor) 
 4. Bombas de fixação - retêm os gases 
dentro da própria bomba. 
 Para se atingir baixas pressões 
associam-se duas ou mais bombas de vácuo, 
constituindo, assim, sistemas ou grupos de 
bombeamento. 
 Nas bombas mecânicas há passagem de 
gás da entrada para a saída provocada pela 
transferência de momento linear (energia) entre 
um meio motor e o gás. Ex: bombas rotatórias 
(vácuo primário), as "roots" e bombas 
moleculares (alto vácuo). 
 Nas bombas de vapor o vapor de água, 
mercúrio ou óleo de baixa tensão de vapor é que 
arrasta as moléculas de gás da entrada para a 
saída da bomba. Esses tipos de bombas 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 11 
11 
necessitam sempre de bombas de pré-vácuo 
associadas, de modo que o vapor seja orientado no 
sentido mais conveniente à extração dos gases. 
Classificação de bombas à vapor: 
 a. Ejetores de vapor - 1013 a 4.10
-2
mbar 
 b. Difusoras - < 10
-3
 mbar 
 c. "Booster"- 10
-2
 a 10
-4
 mbar 
 A razão de compressão de uma bomba de 
vácuo é definida como o quociente entre as pressões 
à saída da bomba e à entrada, prestando-se como um 
parâmetro de 
caracterização de bombas mecânicas e de vapor. Ao 
contrário, nas bombas de fixação o gás é retirado do 
volume a bombear fixando-se em paredes que tem a 
propriedade de "bombear" gases, não havendo 
compressão do gás e este também não é expulso à 
atmosfera. As bombas de fixação atingirão uma 
saturação ao final de um período de trabalho mais ou 
menos longo, podendo ser regenerada. 
 Os processos de fixação dependem das 
ligações que se estabelecem entre as moléculas da 
parede e do gás a bombear, o que faz com que o 
bombeamento seja seletivo. 
 Processos para que ocorra a fixação, podem 
ser classificados em: 
 a. Absorção - quando as moléculas 
penetram no interior da parede e ficam inclusas no 
material. Ex.: zeolita, alumina, carvão ativado. Este 
processo geralmente é reversível 
 b. Adsorção - uma camada de gás se 
deposita numa superfície estabelecendo ligações 
entre suas moléculas e a superfície. As ligações 
podem ser químicas (forte) ou físicas 
(fracas). 
 c. Ionização - quando ocorre a ionização 
das moléculas seguida de penetração dos íons com 
grande energia nos materiais da parede. 
 d. Condensação - ocorre a condensação 
das moléculas numa superfície arrefecida. 
 As bombas de fixação mais utilizadas são: 
bombas de absorção; bombas de adsorção; bombas 
iônicas e de adsorção; bombas criogênicas. 
 
 Bombas Rotatórias com Vedação a Óleo 
 
 Bombas rotatórias são aquelas que 
asseguram o vácuo primário. As bombas rotatórias 
consistem de um corpo cilíndrico (estator) e o rotor 
montado no centro do estator. Fundamentalmente 
são compressores que extraem os gases do sistema 
lançando-os na atmosfera. A vedação é feita com 
óleo que também serve como lubrificante dos 
componentes móveis. Os óleos usados tem tensão de 
vapor bastante baixa. As bombas rotatórias dividem-
se em: 
 1. Bombas de pistão rotatório 
 2. Bombas de palhetas 
 2.1. duas palhetas 
 2.2. palheta simples 
 Podem ainda ser de um ou dois 
estágios. É comum exprimir a velocidade de 
bombeamento das bombas rotatórias em L/min, 
podendo ter valores entre 10 a 90.000 L/min. 
Bombas de um estágio atingem pressão limite 
de 10-2 mbar e de dois estágios de 10
-4
 mbar. 
 Para melhorar o bombeamento quando 
existem vapores, as bombas estão geralmente 
equipadas com um balastro ("gas ballast"), ou 
seja, uma pequena válvula de entrada de ar, 
regulável, situada numa posição que 
corresponde quase ao fim do ciclo, portanto, à 
fase de compressão. 
Figura 11 – Esquema de uma bomba 
mecânica rotativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R 
 
 
 
 
 
 
 H A 
 
 
 F 
 
 
 
 G 
 E D 
 
 
 
 
 C B 
 
 
 
 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 12 
12 
 
 Óleo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Características: 
 Pressão: 10-2 Pa 
 
 Componentes: 
C: Cilindro excêntrico. 
F: Mola. 
H: Abertura da parte superior. 
G: Válvula. 
A: Tubo que liga o recipiente a ser exaurido 
R à bomba de vácuo. 
B: Espaço onde passa o ar. 
 D: Palheta deslizante. 
 
 Aplicações: Lâmpadas elétricas, tubos de 
imagem de TV, tubos de osciloscópios, células 
fotoelétricas, tubos de raios X, etc. 
 
 
 Bomba Difusora e Bombas 
Moleculares: 
 
 Uma bomba difusora é constituída por um 
invólucro cilíndrico dentro do qual existem uns 
vaporizadores para o líquido da bomba e sobre este 
uma chaminé que conduz o vapor aos vários andares 
de ejetores. As moléculas do vapor do fluido ao 
saírem dos ejetores arrastam as moléculas do gás 
existente dentro da bomba para baixo e de encontro 
às paredes da bomba.Como estas são arrefecidas, 
por circulação de água ou ar, dá-se a condensação do 
fluido que volta ao vaporizador. O gás arrastado é 
comprimido na parte inferior de onde é retirado pela 
bomba rotatória associada à bomba de difusão. 
 O vácuo atingido por estas bombas é 
determinado pela tensão de vapor do fluido da 
bomba. Os fluidos utilizados em bombas de 
difusão são: mercúrio (Hg) ou óleos especiais de 
muito baixa tensão de vapor. Quando se usa o 
mercúrio é necessário colocar uma armadilha 
criogênica ("trap") de nitrogênio líquido entre a 
bomba e o volume a bombear para condensar o 
vapor de Hg, visto que a tensão de vapor de 
mercúrio à temperatura ambiente (20
o
C) é de 
aproximadamente 10
-3
 mbar. 
 Na associação: bomba de pré-vácuo 
(rotatória) e bomba de difusão, esta última 
nunca deve ser ligada sem que se estabeleça 
antes um vácuo primário de 10-1 mbar, caso 
contrário, o óleo ou mercúrio oxidam-se devido 
ao aquecimento na presença do ar. 
 As bombas moleculares baseiam-se na 
transferência de energia de um rotor a grande 
velocidade para as moléculas de gás situadas 
entre o rotor e o estator. Às moléculas é dada 
energia de modo que saiam do sistema a 
evacuar. As bombas moleculares dividem-se 
em: bombas de arrastamento molecular e 
bombas turbomolecular. 
 
 Desenho esquemático: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 13 
13 
 
 
 
 
 
 
 Bombas criogênicas 
 
 O funcionamento destas bombas baseia-se 
na introdução de uma superfície arrefecida a 
temperatura muito baixa no volume a bombear. Os 
gases existentes nesse volume são condensados até 
atingirem pressões da ordem das suas tensões de 
vapor à temperatura da superfície. 
 Utilizando nitrogênio líquido (77K) para 
arrefecer a superfície, consegue-se um aumento 
muito grande da velocidade de bombeamento, pois 
uma parte dos gases residuais são condensáveis a 
essa temperatura. Consegue-se um bombeamento 
eficaz do vapor d‘água, mas a velocidade de 
bombeamento é muito baixa para o oxigênio e nula 
para o nitrogênio, hidrogênio e outros gases. Pode-se 
ainda usar o hélio líquido (4,2K). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Medidores de vácuo 
 
 Pirani 
 
 Este tipo de medidor é formado por um 
tubo metálico ou de vidro, e um filamento aquecido 
instalado no centro tubo. Mede-se a variação da 
resistência deste filamento que está a temperatura de 
120
o
C. A remoção do calor do filamento faz-se por 
meio dos átomos e moléculas que colidem com 
o filamento. estes recebem energia térmica do 
filamento e perdem-na em choques com a 
parede de tubo que está a temperatura mais 
baixa. A perda de calor pelo filamento é função 
do número de moléculas presentes, e portanto, 
da pressão. 
 Em geral, o filamento faz parte de uma 
ponte de resistência e avariação da resistência é 
medida pelo desequilíbrio da ponte. 
 Medidores Pirani medem pressões até 
10
-3
 a 10
-4
 mbar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 14 
14 
 
 
Otto von Guericke (Magdeburgo, 1602 — 
Hamburgo, 1686) foi um físico alemão que se 
notabilizou pelo estudo do vácuo e da electrostática. 
Por volta de 1650, construiu uma máquina que 
provava os princípios da pneumática, realizou 
experiências com a pressão pneumática e com o 
vácuo. Concebeu experiências sobre a propagação 
do som e a extinção das chamas no vácuo. Em 1654 
realizou uma série de experimentos chamados de 
experiência dos hemisférios de Magdeburg, onde 
estudou os efeitos da pressão atmosférica. Otto von 
Guericke projetou e construiu a primeira máquina 
geradora de eletrostática, constituída essencialmente 
de um globo de enxofre de onde saltavam 
centelhas,que o levaram a teorizar a natureza elétrica 
dos meteoros luminosos, em especial dos 
relâmpagos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tensão Superficial 
 
Alguns insetos podem flutuar sob o 
topo da superfície da água, embora sua 
densidade seja diversas vezes superior a da 
água, seus pés cortam ligeiramente a superfície 
da água, mas não penetram na água. 
 Essa situação exemplifica o fenômeno 
da tensão superficial, a superfície comporta 
como uma membrana submetida a uma tensão. 
As moléculas de um líquido exercem força de 
atração mútua; a força resultante sobre qualquer 
molécula no interior do volume do líquido é 
igual a zero, porém uma molécula na superfície 
é puxada para dentro do volume. Portanto, o 
líquido tende a minimizar a área da superfície 
como no caso de uma membrana. As gotas de 
chuva em queda livre são esféricas (e não em 
forma de gotas de lágrima) porque a esfera é a 
forma que possui a menor área superficial para 
um dado volume. A figura A abaixo mostra esse 
exemplo. 
 
 Figura A – Impacto produzido por uma 
gota de água que cai sobre um líquido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A figura B mostra como podemos fazer 
medidas quantitativas da tensão superficial. Um 
arame é encurvado em forma de U e um 
segundo fio retilíneo desliza sobre os ramos do 
U. Quando esse dispositivo é mergulhado em 
uma solução de água e sabão e em seguida 
retirado, criando uma película, a força da tensão 
superficial puxa rapidamente o fio de arame no 
sentido do topo do U invertido (se o peso w do 
fio deslizante não for muito grande). Quando 
puxamos o fio para baixo, fazendo aumentar a 
área da película, as moléculas se movem no 
interior do líquido (cuja espessura corresponde a 
muitas camadas moleculares) para as camadas 
superficiais. Estas camadas não se contraem 
simplesmente como no caso de uma membrana 
de borracha. Ao contrário, cria-se uma 
membrana mais extensa pela aglutinação de 
moléculas provenientes do interior do líquido. 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 15 
15 
 Para manter o fio deslizante em equilíbrio, é 
necessário uma força resultante 
F w T 
orientada de cima para baixo. No equilíbrio, a força 
F também é igual à força de tensão superficial 
exercida pela película sobre o fio. Seja l o 
comprimento do fio deslizante. A película possui 
uma face superior e uma inferior, de modo que a 
força F atua sobre um comprimento total igual a 2l. 
A tensão superficial da película é definida como a 
razão da força da tensão superficial e o comprimento 
d ao longo do qual a força atua. 
 
2
F F
d l
  
 
Figura B – Medida da tensão superficial de 
uma película de água de sabão (região sombreada). 
O fio horizontal deslizante está em equilíbrio sob a 
ação da força da tensão superficial 2l de baixo para 
cima e da força w+T orientada para baixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A tensão superficial é uma força por 
unidade de comprimento e sua unidade SI é o 
Newton por metro. 
 
 Unidade: 
 
SI: N/m 
CGS: dina/cm 
31 10
din N
cm m

 
 
 A tabela A mostra alguns valores de tensão 
superficial. 
 
 
 Tabela A – Valores de tensão 
superficial para algumas substâncias. 
 
Líquido em 
contato com 
o ar 
 
C(
0
C) 
tensão superficial 
dyn/cm 
Benzeno20 28,9 
Tetracloreto 
de carbono 
20 26,8 
Álcool 
etílico 
20 22,3 
Glicerina 20 63,1 
Mercúrio 20 465,0 
Óleo de 
oliva 
20 32,0 
Solução de 
sabão 
20 25,0 
Água 0 75,6 
Água 20 72,8 
Água 60 66,2 
Água 100 58,9 
Oxigênio -193 15,7 
Neônio -247 5,15 
Hélio -269 0,12 
 
 A tensão superficial de um líquido 
geralmente diminui com o aumento da 
temperatura. Quando a temperatura aumenta, as 
moléculas do líquido movem-se mais 
rapidamente, a interação entre as moléculas 
diminui e a tensão superficial diminui. 
 Para lavar melhor a roupa, deve-se ter 
uma menor tensão superficial possível, para que 
a água consiga entrar pelas fibras mais 
facilmente. (Solução de sabão). 
 
 Capilaridade 
 
Quando uma interface gás-líquido encontra 
uma superfície sólida, como a parede de um 
recipiente, a interface geralmente se encurva 
para cima ou para baixo nas vizinhanças da 
superfície sólida. O ângulo de contato  entre a 
interface e a superfície sólida é denominado de 
ângulo de contato. Quando as moléculas de um 
líquido são atraídas mutuamente, dizemos que o 
líquido ―molha‖ ou adere à superfície do sólido. 
A interface gás-líquido se encurva para cima e  
é menor que 90
0
. O líquido não molha a 
superfície sólida quando a atração mútua entre 
as moléculas do líquido supera a atração entre 
elas e o sólido, como no caso do mercúrio com 
o vidro, a interface gás-líquido se encurva para 
baixo e  é maior do que 900. 
A tensão superficial faz um líquido descer 
ou subir em um tubo capilar. Esse efeito 
denomina-se capilaridade. A superfície curva 
do líquido denomina-se menisco. 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 16 
16 
Quando: 
 < 900  Força de tensão superficial: 
 atua de baixo para cima e o líquido sobe até 
atingir uma altura de equilíbrio na qual o peso da 
coluna do líquido é igual à força de tensão 
superficial. 
 
  > 900  Força de tensão superficial: 
 O menisco se encurva para baixo e a 
superfície do líquido sofre uma depressão, puxada 
para baixo pelas forças de tensão superficial. 
A capilaridade é responsável pela absorção de 
água no papel toalha, pela ascensão da parafina 
fundida no pavio de uma vela e por muitos outros 
efeitos observados, como quando o sangue é 
bombeado pelas artérias e veias do nosso corpo, a 
capilaridade é responsável pelo escoamento através 
dos vasos sangüíneos muito finos que são chamados 
de vasos capilares. 
 
 
Figura C - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vazão - INTRODUÇÃO: 
 
A medição de vazão de fluidos sempre 
esteve presente na era da modernidade. Não 
precisamos ir muito longe. O hidrômetro de 
uma residência, o marcador de uma bomba de 
combustível são exemplos comuns no dia-a-dia 
das pessoas. Em muitos processos industriais, 
ela é uma necessidade imperiosa, sem a qual 
dificilmente poderiam ser controlados ou 
operados de forma segura e eficiente. 
A vazão é obtida através da variação de 
velocidade média em duas secções de áreas 
conhecidas com aplicação do Teorema de 
Bernoulli. 
Existem os coeficientes adimensionais 
Cq característicos para cada diafragma e cada 
venturi. 
 
 TEORIA 
A pressão no manômetro diferencial é 
dada por: 
  hgp OHHg  2
 
   212 hhgp OHHg  
{1} 
 Equação da continuidade: 
1 2 1 1 2 2m m V V     
 
Para fluidos incompressíveis: 
1 1 2 2v A v A
{2} 
 Equação de Bernoulli: 
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p gy p gy
      
{3} 
Substituindo {2} em {3}, a velocidade é 
dada por: 
 
2
2
2
q
H O
p
v c



 
Com: 
2 4
1 1
2 2 4 4
1 2 1 2
q
A d
c
A A d d
 
 
 
A vazão será: 
1 1 2 2Q A v A v  
 
 
 Medidores de vazão 
Na História, grandes nomes marcaram 
suas contribuições. Provavelmente a primeira 
foi dada por Leonardo da Vinci que, em 1502, 
observou que a quantidade de água por unidade 
de tempo que escoava em um rio era a mesma 
em qualquer parte, independente da largura, 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 17 
17 
profundidade, inclinação e outros. Mas o 
desenvolvimento de dispositivos práticos só foi 
possível com o surgimento da era industrial e o 
trabalho de pesquisadores como Bernoulli, Pitot e 
outros. 
Existe uma variedade de tipos de medidores 
de vazão, simples e sofisticados, para as mais 
diversas aplicações. O tipo a usar sempre irá 
depender do fluido, do seu estado físico (líquido ou 
gás), das características de precisão e confiabilidade 
desejadas e outros fatores. 
 
 Placa de Orifício ou Diafragma 
 
É um dos meios mais usados para medição 
de fluxos. Dados de entidades da área de 
instrumentação mostram que, nos Estados Unidos, 
cerca de 50% dos medidores de vazão usados pelas 
indústrias são deste tipo. Certamente as razões para 
tal participação devem ser as vantagens que 
apresenta: simplicidade custa relativamente baixa, 
ausência de partes móveis, pouca manutenção, 
aplicação para muitos tipos de fluido, 
instrumentação externa, etc. 
Desvantagens também existem: provoca 
considerável perda de carga no fluxo, a faixa de 
medição é restrita, desgaste da placa, etc. 
Um arranjo comum é dado na Figura 1. A placa 
(indicada em vermelho) provoca uma redução da 
seção do fluxo e é montada entre dois anéis que 
contêm furos para tomada de pressão em cada lado. 
O conjunto é fixado entre flanges, o que torna fácil 
sua instalação e manutenção. 
A medição da diferença de pressão p1-p2 
pode ser feita por algo simples como um manômetro 
U e uma tabela ou uma fórmula pode ser usada para 
calcular a vazão. Ou pode ser coisa mais sofisticada 
como transdutores elétricos e o sinal processado por 
circuitos analógicos ou digitais para indicação dos 
valores de vazão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 – Placa de Orifício. 
 
 
 
 
 
 
 
 Tubo de Venturi 
 
 O chamado tubo de Venturi, em 
homenagem ao seu inventor (G B Venturi, 
1797). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – O tubo de Venturi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Arranjos de alguns 
medidores. 
 
O arranjo 2 é chamado bocal. Pode ser 
considerado uma placa de orifício com entrada 
suavizada. Em 3 um cone é o elemento redutor 
de seção. No tipo joelho (4) a diferença de 
pressão se deve à diferença de velocidade entre 
as veias interna e externa. Há menor perda de 
carga no fluxo, mas o diferencial de pressão é 
também menor. 
 
 Medidores de área variável (Rotâmetro) 
 
Embora possa ser visto como um 
medidor de pressão diferencial, o rotâmetro é 
um caso à parte por sua construção especial. A 
Figura 4 dá um arranjo típico. 
 
Um tubo cônico vertical de material 
transparente (vidro ou plástico) contém um 
flutuador que pode se mover na vertical. Para 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 18 
18 
evitar inclinação, o flutuador tem um furo central 
pelo qual passa uma haste fixa. A posição vertical y 
do flutuador é lida numa escala graduada (na figura, 
está afastada por uma questão de clareza. Em geral, 
é marcada no próprio vidro). 
Figura 4 – Arranjos de um medidor de 
área variável. 
 
 
 
 
 
 
Se não há fluxo, o flutuador está na posição 
inferior 0. Na existência de fluxo, o flutuador sobe 
até uma posição tal que a força para cima resultanteda pressão do fluxo se torna igual ao peso do 
mesmo. 
Notar que, no equilíbrio, a pressão vertical 
que atua no flutuador é constante, pois o seu peso 
não varia. O que muda é a área da seção do fluxo, ou 
seja, quanto maior a vazão, maior a área necessária 
para resultar na mesma pressão. Desde que a vazão 
pode ser lida diretamente na escala, não há 
necessidade de instrumentos auxiliares como os 
manômetros dos tipos anteriores. 
 
 Medidores de deslocamento positivo 
Os medidores de deslocamento positivo 
operam de forma contrária a bombas de mesmo 
nome: enquanto nessas um movimento rotativo ou 
oscilante produz um fluxo, neles o fluxo produz um 
movimento. 
A Figura 5 dá exemplo de um tipo de 
lóbulos elípticos que são girados pelo fluxo. Existem 
vários outros tipos aqui não desenhados: disco 
oscilante, rotor com palhetas, pistão rotativo, 
engrenagem, etc. 
O movimento rotativo ou oscilante pode 
acionar um mecanismo simples de engrenagens e 
ponteiros ou dispositivos eletrônicos nos mais 
sofisticados. 
Em geral, não se destinam a medir a vazão 
instantânea, mas sim o volume acumulado durante 
um determinado período. São mais adequados para 
fluidos viscosos como óleos (exemplo: na 
alimentação de caldeiras para controlar o consumo 
de óleo combustível). 
Algumas vantagens são: 
- adequados para fluidos viscosos, ao 
contrário da maioria. 
- baixo a médio custo de aquisição. 
Algumas desvantagens: 
- não apropriados para pequenas vazões. 
- alta perda de carga devido à transformação 
do fluxo em movimento. 
- custo de manutenção relativamente alto. 
- não toleram partículas em suspensão e 
bolhas de gás afetam muito a precisão. 
 
Figura 5 – Medidores de 
deslocamento positivo. 
 
 
 
 
 
 
 
 Medidores do tipo turbina 
 
O fluxo movimenta uma turbina cuja 
pás são de material magnético. Um sensor capta 
os pulsos, cuja freqüência é proporcional à 
velocidade e, portanto, à vazão do fluido. 
 
Os pulsos podem ser contados e totalizados por 
um circuito e o resultado dado diretamente em 
unidades de vazão. 
Desde que não há relação quadrática 
como nos de pressão diferencial, a faixa de 
operação é mais ampla. A precisão é boa. Em 
geral, o tipo é apropriado para líquidos de baixa 
viscosidade. 
 
Existem outras construções como, por exemplo, 
os hidrômetros que as companhias de água 
instalam nos seus consumidores: a turbina 
aciona um mecanismo tipo relógio e ponteiros 
ou dígitos indicam o valor acumulado. 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Medidores do tipo turbina. 
 Medidores Eletromagnéticos 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 19 
19 
Os medidores eletromagnéticos 
têm a vantagem da virtual ausência de 
perda de pressão, mas só podem ser 
usados com líquidos condutores de 
eletricidade. 
O princípio se baseia na na lei de Faraday, 
isto é, uma corrente elétrica é induzida num 
condutor se ele se move em um campo magnético ou 
vice-versa. 
Na figura 7, um tubo de material não 
magnético contém duas bobinas que geram um 
campo magnético B no seu interior. Dois eletrodos 
são colocados em lados opostos do tubo e em 
direção perpendicular ao campo. O fluido faz o 
papel do condutor e a tensão V gerada tem relação 
com a velocidade do fluxo e, portanto, com a sua 
vazão. 
 
Figura 7 – Medidores Eletromagnéticos 
 
 
 
 
 
 
 Medidores de Efeito Döppler 
Esses medidores estão na categoria dos 
ultra-sônicos pois usam ondas nesta faixa de 
freqüências. 
Só devem ser usados com fluidos que 
tenham partículas em suspensão. 
Um elemento transmissor emite ultra-som 
de freqüência conhecida. As partículas em suspensão 
no fluido refletem parte das ondas emitidas. Desde 
que estão em movimento, o efeito Döppler faz com 
que as ondas sejam captadas pelo elemento receptor 
em freqüência diferente da transmitida e a diferença 
será tanto maior quanto maior a velocidade, ou seja, 
há relação com a vazão do fluxo. 
 
Figura 8 – Medidores de Efeito Döppler 
 
 
 
 
 Medidores de Coriolis 
No arranjo da figura 9, o fluido passa 
por um tubo em forma de U dotado de uma 
certa flexibilidade. Um dispositivo magnético 
na extremidade e não mostrado na figura faz o 
tubo vibrar com pequena amplitude na sua 
freqüência natural e na direção indicada. 
O nome é dado devido ao efeito da 
aceleração de Coriolis. Na época da elaboração 
desta página, este fenômeno ainda não estava 
inserido neste website e, por isso, não cabem 
mais detalhes. 
Mas o resultado é indicado na figura. A 
aceleração de Coriolis provoca esforços em 
sentidos contrários nas laterais do U, devido à 
oposição dos sentidos do fluxo. E, visto de 
frente, o tubo é deformado e isso pode ser 
captado por sensores magnéticos. 
A grande vantagem deste tipo é ser um 
medidor de fluxo de massa e não de volume. 
Assim, não há necessidade de 
compensações para mudanças de condições de 
temperatura e pressão. 
Pode ser usado com uma ampla 
variedade de fluidos. Desde tintas, adesivos até 
líquidos criogênicos. 
Figura 9 – Medidores de Coriolis 
 
 
 
 
 
Tipo Utilização Faixa 
Perda de 
pressão 
Precisão 
aprox % 
Comprim 
prévio diam 
Sensib à 
viscosid 
Custo 
relativo 
Bocal Líquidos comuns. 4:1 Média 
±1/±2 da 
escala 
10 a 30 Alta Médio 
Coriolis 
Líquidos comuns, viscosos, alguma 
suspensão. 
10:1 Baixa 
±0,4 da 
proporção 
Não há Não há Alto 
 
FTCM - Mecânica dos Fluidos – Teoria – Capítulo 1 
 2 
2 
Deslocamento 
positivo 
Líquidos viscosos sem suspensões. 10:1 Alta 
±0,5 da 
proporção 
Não há Baixa Médio 
Eletromagnético Líquidos condutivos com suspensões 40:1 Não há 
±0,5 da 
proporção 
5 Não há Alto 
Joelho Líquidos comuns. Alguma suspensão. 3:1 Baixa 
±5/±10 da 
escala 
30 Baixa Baixo 
Placa de orifício Líquidos comuns. Alguma suspensão. 4:1 Média 
±2/±4 da 
escala 
10 a 30 Alta Baixo 
Rotâmetro Líquidos comuns. 10:1 Média 
±1/±10 da 
escala 
Nenhum Média Baixo 
Tubo de Pitot Líquidos sem impurezas. 3:1 
Muito 
baixa 
±3/±5 da 
escala 
20 a 30 Baixa Baixo 
Tubo de Venturi Líquidos comuns. Alguma suspensão. 4:1 Baixa ±1 da escala 5 a 20 Alta Médio 
Turbina Líquidos comuns. Pouca suspensão. 20:1 Alta 
±0,25 da 
proporção 
5 a 10 Alta Alto 
Ultra-sônico 
(Doppler) 
Líquidos viscosos com suspensões. 10:1 Não há ±5 da escala 5 a 30 Não há Alto 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 1 
 Manômetros de coluna 
Os Manômetros de coluna de líquido são 
aparelhos básicos destinados a medir pressão ou vácuo 
e servem também como padrões primários, isto é, são 
utilizados como padrão para calibração de outros 
aparelhos. De construção simples, conseqüentemente 
apresentam baixo custo, além de apresentar vantagens 
tais como: não requer manutenção, calibragem 
especial e permite medições com grande precisão. 
Atualmente tais instrumentos podem ser encontrados 
em diferentes tipos de aplicação industrial que 
passamos a descrever: 
1 - Verificação de Vazamento: As Colunas 
Manométricas servem para a verificação e controle de 
vazamentos através de queda de pressão em testes de 
câmaras de pressão em peças, teste de purificador de 
ar etc. 
2 - Determinação de Velocidade de Fluxo de 
Ar: As Colunas Manométricas servem para determinar 
o fluxo de ar em tubulações através da medição da 
pressão diferencial em testes de aparelhos de 
movimentação de ar, testes de carburadores, testes de 
coletores de poeira e também servem para medir o 
nível de interfacede líquidos, quando estes estão 
armazenados sob um outro líquido por questão de 
segurança ou outras razões quaisquer. 
3 - Medição de Nível de Líquidos 
Armazenados: As Colunas Manométricas também 
podem ser utilizadas para medir nível de líquidos 
armazenados em tanques através do registro da 
pressão exercida sobre uma coluna de líquido 
baseando-se no princípio do balanceamento 
hidrostático. 
 
 DEFINIÇÕES E PRINCÍPIOS PARA 
FAZER MEDIÇÕES COM COLUNAS 
MANOMÉTRICAS 
No mundo contemporâneo, torna-se cada vez 
mais necessária a medição e controle de determinados 
parâmetros dos processos, com a finalidade de atender 
aos mais variados tipos de especificações técnicas, por 
este motivo a PRESSÃO pode ser considerada como 
uma das mais importantes grandezas físicas que atua 
nestes referidos processos. 
Por definição, Pressão é igual à relação entre a 
Força uniformemente distribuída sobre a unidade de 
área e atuando sobre ela; e um dos métodos mais 
preciosos para medi-la consiste em equilibrar a coluna 
de líquido, cujo peso específico é conhecido, com a 
pressão aplicada. 
Para instrumentos com Coluna de Líquido, o princípio 
da medição consiste no fato de que ao se aplicar a lei 
D p= D h.. .g, a pressão "p" para ser medida 
deve ser comparada com a altura "h" da coluna 
de líquido. 
 
 Figura 10 – Variação da altura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os Instrumentos que empregam tal 
princípio são denominados "Manômetros de 
Coluna" e a precisão da medição, com auxílio 
de tais instrumentos, pode chegar até 0,3%. 
Para se fazer medições com maior precisão é 
necessário que sejam considerados vários 
fatores, tais como: 
a - Temperatura: realizar cálculos de 
correção se a temperatura de medição diferir da 
temperatura de referência, pois a variação de 
temperatura provoca mudanças na densidade do 
líquido manométrico. 
 
b - Aceleração da gravidade deve ser 
considerada no local da medição com o seu 
valor de referência. 
 
c - Impurezas contidas no líquido 
manométrico também provocam mudanças na 
densidade, conseqüentemente causando erros de 
leitura. 
 
d - A influência da Tensão Superficial 
e sua mudança causada por efeitos externos, 
assim como a compressibilidade do líquido 
manométrico deve ser considerada. 
 A tensão superficial dos líquidos é 
apresentada pela forma que apresentam nas 
paredes do recipiente. Em tubos de diâmetro 
pequeno a forma da superfície total do líquido 
será curvada, sendo que, para os líquidos que 
tiverem baixa tensão superficial, a superfície 
terá a forma convexa em relação ao ar. 
 Com a finalidade de minimizar 
qualquer efeito de distorção no aumento da 
capilaridade em tubos de diâmetros pequenos 
estes devem possuir diâmetros constantes. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 2 
As unidades de pressão mais usadas na 
prática são: 
a - Milímetros ou polegadas de mercúrio ( 
mmHg ou "Hg ) 
b - Milímetros ou polegadas de coluna d'água 
( mmH2O ou "H2O ) 
c - Bar ou milibar ( bar ou mbar ) 
d - Libra (força) por polegada quadrada (PSI 
) 
A IOPE fornece escalas com as unidades de pressão 
acima citadas e em diversos tamanhos para atender a 
vários campos de leitura. Tais escalas podem ser 
construídas de materiais tais como: alumínio, aço 
inox, etc.., de acordo com a aplicação do instrumento. 
 
 
 
 
Flanges 
 Figura 10 – Flanges e tubos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 3 
 Viscosidade 
 
 INTRODUÇÃO: 
Ao promover o movimento de uma esfera em 
um fluido ideal de viscosidade  em regime 
estacionário, as linhas de corrente formam um 
desenho perfeitamente simétrico em torno da mesma. 
Haverá uma força de arrastamento viscoso. 
Jean Louis Poiseuille (1799 – 1869) foi um físico 
francês que realizou experimentos 
relacionados à viscosidade de fluidos. 
Em homenagem a seus trabalhos, 
denomina-se a unidade de viscosidade 
como Poise. 
 
 
A Lei de George Stokes da viscosidade 
estabeleceu a ciência de hidrodinâmica. 
Realizou trabalho sobre esferas e várias 
relações de fluxo que variam de mecânicas de onda a 
resistência viscosa. Estudou o movimento de fluidos 
incompressíveis, a fricção de fluidos em movimento, e 
o equilíbrio e movimento de sólidos elásticos. Seus 
trabalhos na transmissão de ondas acústicas por 
materiais viscosos é de interesse na Física. 
Investigando a teoria de onda de luz, nomeou 
e explicou o fenômeno de fluorescência, e teorizou 
uma explicação de linhas de Fraunhofer no espectro 
solar. Ele sugeriu que estes fossem causados através 
de átomos nas capas exteriores do Sol que absorve 
certos comprimentos de onda. Porém quando 
Kirchhoff publicou depois esta explicação aboliram-se 
quaisquer descobertas anteriores. 
A seguir analisaremos a força dada pela Lei 
de Stokes em fluidos viscosos. 
 
 TEORIA 
 
A viscosidade dos líquidos vem do atrito interno, isto 
é, das forças de coesão entre moléculas relativamente 
juntas. Desta maneira, enquanto que a viscosidade dos 
gases cresce com o aumento da temperatura, nos 
líquidos ocorre o oposto. Com o aumento da 
temperatura, aumenta a energia cinética média das 
moléculas, diminui (em média) o intervalo de tempo 
que as moléculas passam umas junto das outras, 
menos efetivas se tornam as forças intermoleculares e 
menor a viscosidade. 
 Para entender a natureza da viscosidade nos 
líquidos, suponhamos duas placas sólidas planas, uma 
sobre a outra, com um fluído contínuo entre elas. 
Aplicando uma força constante a uma das placas, a 
experiência mostra que ela é acelerada até atingir uma 
velocidade constante (chamada velocidade terminal). 
Se a intensidade da força aplicada for duplicada, por 
exemplo, a velocidade terminal também duplica. A 
velocidade terminal é proporcional à força aplicada. 
Pensando que o líquido entre as placas se separa em 
lâminas paralelas, o efeito da força aplicada é o de 
produzir diferenças de velocidade entre lâminas 
adjacentes. A lâmina adjacente à placa móvel se 
move junto com ela e a lâmina adjacente à placa 
imóvel permanece também imóvel. O atrito 
entre lâminas adjacentes causa dissipação de 
energia mecânica e é o que causa a viscosidade 
no líquido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É um fato experimental que o módulo F da 
força aplicada, necessária para manter o 
movimento da placa com velocidade de módulo 
v constante, é diretamente proporcional à área A 
da placa e ao módulo da velocidade e 
inversamente proporcional à distância L entre as 
placas. Assim, podemos escrever: 
v
dv
F A
dL

 
definindo o chamado coeficiente de viscosidade 
 do fluido, que depende do fluido e da 
temperatura. No SI, a unidade correspondente é 
pascal x s e no sistema cgs, o poise, de modo 
que 1 Pa x s = 10 poise. A tabela abaixo mostra 
alguns coeficientes de viscosidade. 
Coeficientes de Viscosidade 
Líquidos (poise) Gases (10
-4 
poise) 
Glicerina (20 
o
C) 
8,3 Ar (0 
o
C) 1,71 
Água (0 
o
C) 0,0179 Ar (20 
o
C) 1,81 
Água (100 
o
C) 0,0028 Ar (100 
o
C) 2,18 
Éter(20 
o
C) 0,0124 
Água (100 
o
C) 
1,32 
Mercúrio (20 
o
C) 
0,0154 CO2 (15 
o
C) 1,45 
 
 Os coeficientes de viscosidade dos óleos 
lubrificantes automotivos são normalmente 
expressos em SAE. Um óleo cuja viscosidade 
SAE é 10 a 55 
o
C, por exemplo, possui 
viscosidade entre 1,6 e 2,2 poise. 
 Ao definirmos o coeficiente de 
viscosidade escolhemos o caso em que o fluido, 
por efeito do movimento de uma das placas, 
separava-se em camadas muito estreitas, com a 
camada em contato com cada placa tendo a 
velocidade desta placa e as camadas 
intermediárias tendo velocidades que variam 
linearmente de uma placa para a outra. Tal 
escoamento é chamado laminar ou lamelar. 
 
Mecânica dos Fluidos 
 4 
 O cociente  = F/A é chamado tensão de 
cisalhamento. De modo geral: 
dv
A
dL
 
 
 
mostrando a variação da velocidade das camadas de 
fluido com a distância à placa parada. Esta expressão 
representa a chamada lei de Newton para a 
viscosidade e o fluido para o qual ela é verdadeira é 
chamado fluido newtoniano. Entretanto, existem 
fluidos como os que são suspensões de partículas que 
não seguem esta lei. Por exemplo, o sangue, uma 
suspensão de partículas com formas características, 
como discos, no caso das células vermelhas. As 
partículas têm orientações aleatórias em pequenas 
velocidades, mas tendem a se orientar a velocidades 
mais altas, aumentando o fluxo, com a velocidade 
crescendo mais rapidamente do que a força. 
 
 Equação de Poiseuille 
A equação que governa o movimento de um fluido 
dentro de um tubo é conhecida como equação de 
Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade, 
embora ela realmente só é válida para escoamento 
não-turbulento (escoamento laminar). O sangue 
fluindo através dos canais sangüíneo não é exatamente 
um escoamento laminar. Mas aplicando a equação de 
Poiseuille para essa situação é uma aproximação 
razoável em primeira ordem, e leva a implicações 
interessantes. 
A equação de Pouiseuille para a taxa de escoamento 
(volume por unidade de área), Q, é dada por: 
 
4
8
R p
Q
L
 

 
onde P1-P2 é a diferença de pressão entre os extremos 
do tubo, L é o comprimento do tubo, r é o raio do 
tubo, e h é o coeficiente de viscosidade. 
Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca 
de 4 x 10
-3
 Pa s. 
A coisa mais importante a ser observada é 
que a taxa de escoamento é fortemente dependente no 
raio do tubo: r
4
. Logo, um decréscimo relativamente 
pequeno no raio do tubo significa uma drástica 
diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio 
por um fator 2, diminui o escoamento por um fator 16! 
Isto é uma boa razão para nos preocuparmos com os 
níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução 
das artérias. Uma pequena mudança no raio das 
artérias pode significar um enorme esforço para o 
coração conseguir bombear a mesma quantidade de 
sangue pelo corpo. 
Sob todas as circunstâncias em que se pode checar 
experimentalmente, a velocidade de um fluido real 
diminui para zero próximo da superfície de um objeto 
sólido. Uma pequena camada de fluido próximo às 
paredes de um tubo possui velocidade zero. A 
velocidade do fluido aumenta com a distância às 
paredes do tubo. Se a viscosidade de um fluido for 
pequena, ou o tubo possuir um grande diâmetro, 
uma grande região central irá fluir com 
velocidade uniforme. Para um fluido de alta 
viscosidade a transição acontece ao longo de 
uma grande distância e em um tubo de pequeno 
diâmetro a velocidade pode variar através do 
tubo. 
 Cálculo da Viscosidade em uma 
esfera: 
A esfera caindo com velocidade 
constante, termos a = 0. 
A segunda Lei de Newton fica: 
 
vF ma P E F   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
 Fv 
 
 
 
P 
 
 
 
 
A força viscosa é dada por: 
rvF 6
 
mgrvgm f  6
 
ee
e
e Vm
V
m  
 
fff
f
f
f Vm
V
m
 
 
3
3
4
RVe 
 
Substituindo na equação (1) teremos: 
gRrvgR ef
33
3
4
6
3
4  
 
gRrvgR ef
33
3
2
3
3
2  
 
 
  092 3  rvgRef 
 
  092 3  RvgRef 
 
 
v
gR
fe
2
9
2  
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 5 
R: Raio da esfera. 
v: Velocidade terminal. 
 
Sistemas de Unidades: 
M.Kg.S: 1 [ Pa ] = 1 [ N / m
2
 ] onde : 1 [ N ] 
= [ 1 Kg * m / s
2
 ] 
C. G. S.: 1 [ ba ] = 1 [ din / cm
2
 ] 
M.Kgf.S.: 1 [ Kgf / m
2
 ] 
Outras unidades: 
 1 atmosfera normal ( 1 atN ) = 760 mm de Hg = 
1,033 Kgf / cm
2
 = 1 atmosfera física. 
 1 atmosfera técnica ( 1 atT ) = 736 mm de Hg = 
1,0 Kgf / cm
2
 = 0,968 atN = 10 m.c.a. 
 1 Kpa = 1000 Pa e 1 Mpa = 1000000 Pa 
 1 ‖ = 2,54 cm 1 ‘ = 1 pé = 12 ‖ 
 1 jarda = 1 jd = 3 pé = 3 ‘ 
 1 jd = 91,44 cm 
1 pé = 30,48 cm 
1 libra = 1 lb = 0,45359 Kg 
1 litro = 1l = 10
-3
 m
3
 
C. G. S. : 1 [ poise ] = [ g / cm * s ] 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 6 
 6 
 
 
Exemplos de Viscosidade - these may help you get a feel for the cP 
Hydrogen @20°C 0.008 6 cP Benzyl ether @ 20°C 5.33 cP 
Ammonia @ 20°C 0.009 82 cP Glycol @ 20°C 19.9 cP 
Water vapor @100°C 0.125 5 Soya bean oil @ 20°C 69.3 cP 
Air @ 18°C 0.018 2 cP Olive oil @ 20°C 84.0 cP 
Argon @ 20°C 0.022 17 cP Light machine oil @ 20°C 102 cP 
Air @ 229°C 0.026 38 cP Heavy machine oil @ 20°C 233 cP 
Neon @ 20°C 0.031 11 cP Caster oil @ 20°C 986 cP 
Liquid air @ -192.3°C 0.173 cP Glycerin @ 20°C 1,490 cP 
Ether @ 20°C 0.233 cP Pancake syrup @ 20°C 2,500 cP 
Water @ 99°C 0.2848 cP Honey @ 20°C 10,000 cP 
Chloroform@ 20°C 0.58 cP Chocolate syrup @ 20°C 25,000 cP 
Methyl alcohol@ 20°C 0.597 cP Ketchup @ 20°C 50,000 cP 
Benzene @ 20°C 0.652 cP Peanut butter @ 20°C 250,000 cP 
Water @ 20°C 1.002 cP Tar or pitch @ 20°C 
30,000,000,0
00 cP 
Ethyl alcohol @ 20°C 1.2 cP Soda Glass @ 575°C 
1,000,000,00
0,000,000 cP 
Mercury @ 20°C 1.554 cP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 7 
 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Perfil de velocidades 
 Tubo de Pitot e Medidor de Prandtl 
 
 Perfil de velocidades – Medidor de Prandtl 
 
 Introdução e Teoria: 
Ludwig Prandtl 
 (1875-1953) 
As contribuições de Ludwig Prandtl à 
mecânica dos fluidos incluem seu desenvolvimento 
da teoria para descrever o fenômeno de turbulência, e 
de seus estudos experimentais e teóricos da dinâmica 
de gases. Prandtl estudou mecânica e contribuiu à 
mecânica de meios contínuos durante toda a maioria 
de sua carreira. 
Entretanto, sua descoberta da camada do 
limite é considerada como uma das descobertas mais 
importantes da mecânica dos fluidos e atribuiu a 
Prandtl o título do pai da mecânica dos fluidos 
moderna. 
O tubo de Pitot-Prandtl é utilizado para 
medir a velocidade do fluido em um escoamento. Em 
particular, pode ser utilizado para medir a velocidade 
de um avião em relação ao ar. 
Outro fenômeno interessante é a 
condensação causada pela singularidade de Prandtl-
Glauert que pode ser vista no vôo nivelado constante 
geralmente em baixas alturas, estando o ar em 
condições de umidade.Quando um avião se submete 
a certo tipo de manobra, pode causar pressões muito 
baixas na superfície superior das asas. As 
temperaturas correspondentes serão baixas, de forma 
que o vapor de água se condensa no lado superior da 
asa. Uma característica da condensação é que haverá 
muito mais condensação no lado superior da asa do 
que no lado mais baixo, e que está associado 
geralmente com voltas de elevadas acelerações g. 
 Pode-se escrever, na transformação 
adiabática: 
PV k PV nRT   
 
nRT nRT
V P k
P P

 
   
 
 
1
T cP



 
 Para o ar,  = 1.4, assim:
1
0,28




 . 
Assim, a temperatura do ar aumentará e diminuirá 
conforme a pressão aumenta e diminui. As regiões da 
alta pressão corresponderão necessariamente às 
regiões da alta temperatura e as regiões da pressão 
baixa corresponderão às regiões da temperatura 
baixa. 
 O fenômeno causa uma aparência 
como vista na figura 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 - Foto de uma nuvem da 
condensação de Prandtl-Glauert em um 
avião com velocidade próxima à do som 
no ar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação de Bernoulli: 
2
2
22
1
21
2
12
1
1 gyvpgyvp   
Chamando de 
2
21
2
1
vppp 
 
f
f
p
hgv



2
2
 
A figura mostra a seção reta de um 
duto cilindro, com a posição dos pontos nos 
quais se deve medir a velocidade, conforme a 
norma americana PIC 11-1946. 
 
Figura 2 – Seção reta do duto do 
laboratório conforme a norma americana PIC 
11-1946. 
 
 
 
37.5 mm 
 
32.6 mm 
 
27.6 mm 
 
21.4 mm 
 
12.3 mm 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 8 
 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 –Estrutura interna do tubo de Pitot 
instalado no laboratório: 
Gaveta de 
Amianto
Metal: Latão
Pitot: Inox
Gaveta de Amianto: Alumínio
C oring: 1/8
Parafusos: Ø 3/8
Porca: 2,5"
 
 A pressão na abertura 1 é estática, p, e em 2 
é: 
2
2
1
vp 
 
A altura manométrica h3 é proporcional à 
diferença entre elas, ou seja: à pressão dinâmica 
2
2
1
v
. Assim: 
 Lei de Poiseuille 
 
Natureza da distribuição de tensão de cisalhamento 
(pg. 150 livro R. V. Guiles). 
 
p1A p2A 
 v 
 ro r 
 
vc 
r0 r dr 
 
 L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma vez que o fluxo é constante, a 
soma das forças sobre o corpo livre é zero: 
 
 
L
rpp
rLrprp
2
02 2122
2
1

 
 
 
L
rpp
dr
dv
2
21  
 
 1 2
2c
v R
v r
p p rdv
dv dr
dr L

   
 
 1 2 2 2
4
c
p p
v v R r
L

  
 
   2221
4
rR
L
pp
vv c 



 
Ou 
 
f
f
p
hgv



2
2
 
 
 Taxa: Seja o volume de fluido dV que 
atravessa seus extremos no tempo dt dado por: 
    rdrdtrR
L
pp
dV  24
2221 


dArvQdArv
dt
dV
 )()(
 
4
8
pR
Q
L




 
 
 Perfil de velocidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 9 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vazão em Vertedores 
 Introdução 
 
A forma básica mais comum de medida de 
descarga em um canal aberto é a utilização de um 
vertedor. Basicamente, um vertedor é um 
dispositivo colocado num canal que força o 
escoamento através de uma abertura projetada para 
medir a descarga. É uma obstrução em um canal 
aberto sobre o qual escoa um líquido. A descarga 
sobre o vertedor é função da geometria e da carga 
sobre o vertedor. 
Vertedores especializados têm sido 
projetados para fins específicos; dois tipos são 
considerados fundamentais: o de crista larga e o de 
crista delgada. 
 Um vertedor projetado de forma apropriada 
exibirá um escoamento subcrítico na corrente a 
montante da estrutura e o escamento convergirá e 
acelerará até uma condição crítica próxima ao topo 
ou à crista do vertedor. Como resultado, poderá ser 
feita uma correlação entre a descarga e uma corrente 
de profundidade a montante do vertedor. O 
transbordo da corrente a jusante é denominado 
lâmina, a qual normalmente é descarregada 
livremente na atmosfera. 
 Há uma série de fatores que afetam o 
desempenho de um vertedor; os mais significativos 
entre eles são os padrões do escoamento 
tridimensional, os efeitos da turbulência a resistência 
do atrito, a tensão superficial e a quantidade de 
ventilação abaixo da lâmina. As derivações 
simplificadas apresentadas nesse relatório se 
baseiam na equação de Bernoulli; outros 
efeitos podem ser levados em conta por meio 
da modificação da descarga ideal com um 
coeficiente de descarga Cq; a descarga real é a 
descarga ideal multiplicada pelo coeficiente de 
descarga. 
 Teoria: 
 
 Vertedor de crista larga 
 
 Um vertedor de crista larga é 
mostrado na figura 1. 
 
 Figura 1 - Vertedor com crista larga. 
 
 
2
2
cv
g
 
 LE 
 
 Y ye 
 
 
h 
 
 
 (1) (2) 
 Ele tem elevação suficiente acima do 
fundo para bloquear o escoamento e é 
suficientemente longo para que as linhas de 
corrente no transbordo se tornem paralelas, 
resultando em uma distribuição hidrostática de 
pressões. Pode-se aplicar a equação de 
Bernoulli: 
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
v v
p gh p gh
      
 
Ou 
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
p v p v
h h
g g 
    
 
Com  = g para os pontos (1) e (2) 
da figura. 
Assim: 
 
2
2
2
c
c c c
v
h Y h y v g Y y
g
      
 Para um vertedor cuja largura normal 
ao escoamento é b, a descarga ideal é: 
 2c c c cQ by v by g Y y  
 
 
 Vertedor de crista delgada 
 
Um vertedor de crista delgada é uma 
placa vertical colocada na direção normal ao 
escoamento contendo uma crista de borda 
delgada, de forma que a lâmina vertente se 
comporte como um jato livre. 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 10 
 10 
A figura 2 mostra um vertedor retangular com 
umacrista horizontal que se estende por toda a 
largura do canal. 
 
 
 
Figura 2 - Vertedor de crista delgada. 
 
  Y= H Lâmina 
 crista 
 v2 
 (2) 
 
 
v1 h 
 (1) (1) (2) 
 
 
 
(a) Escoamento ideal (b) Escoamento real 
 As contrações laterais não estão presentes 
por causa da existência de paredes laterais. 
 Pode-se definir uma situação idealizada 
(Figura 2 – (a)), na qual o escoamento no plano 
vertical não se contrai a medida que passa sobre a 
crista, de forma que as linhas de corrente sejam 
paralelas e a pressão atmosférica esteja presente na 
linha vertente e exista um escoamento uniforme no 
ponto (1), com energia cinética desprezível (v10). A 
equação de Bernoulli é aplicada ao longo de uma 
linha de corrente representativa e resolvida para a 
velocidade v2, a velocidade local na lâmina vertente 
será: 
 
2 2v g
 
 Se b é a largura da crista normal ao 
escoamento a descarga ideal é dada por: 
 
2
0 0
2
Y Y
Q b v d b g d    
 
3 22 2
3
b
Q gY
 
Os experimentos têm mostrado que a 
magnitude do expoente é aproximadamente correta; 
porém deve ser aplicado um coeficiente de descarga 
Cq para que seja previsto com acurácia para o 
escoamento real, mostrado na figura 2 (b): 
3 22 2
3
qQ C gbY
 
 
A carga H=Y sobre o vertedor é definida 
como a distância vertical entre a crista do vertedor e a 
superfície do líquido a sua montante de tal forma que 
se evite a curvatura da superfície livre do líquido. 
A equação básica para a descarga do 
vertedor é definida como a integração de: 
VldhVdA 
 
 Aqui V é a velocidade a uma altura h 
(vertical) da superfície livre e L=b é a largura 
do vertedor. 
 
 Vertedor Retangular: 
 
 
2
3
2 LHgCQ r
 
 
L 
 
 
 
 
 
 
 Vertedor Triangular 
 
 
  
 
 
 
2
5
2
2
15
8
HtggCQ t


 
 
 Vertedor de Parede 
espessa 
 
 
 
32
3
2
gHLCQ e
 
 
 
 Sistema de 
Unidades: 
 
M.Kg.S. = [ Pa ] = [ 1 N * m 
- 2
 ] Q 
= [ L * s 
- 1
 ] = [ dm 
3 
* s 
- 1
] 
Viscosidade: [kg][m]
-
1[s]
-1
 (MKS) 
[poise] (CGS) 
 
 
 
 Equações de Navier Stokes 
 
As equações de Navier Stokes são 
equações diferenciais que descrevem o 
escoamento de fluidos. São equações a 
derivadas parciais que permitem determinar os 
campos de velocidade e de pressão. 
A equação é uma equação diferencial parcial 
não-linear da segunda ordem,como segue: 
  2tv v v p v g            
 
Onde: 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 11 
 11 
v
 : é um vetor que representa a velocidade 
de um elemento infinitesimal da massa em um ponto 
no espaço 3-D; 
 p é a pressão escalar no mesmo ponto; 
: é a densidade maciça no ponto e é 
constante suposta durante todo o meio; 
 µ: é a viscosidade do meio; 
 
g

: é a aceleração da gravidade 
A equação de N-S refere-se ao movimento 
de uma única partícula minúscula do campo fluido, 
não o movimento total do líquido. 
Entretanto, pode ser usada para calcular o 
fluxo de gases e de líquidos incompressíveis de 
objetos da forma arbitrária. 
É usada na dinâmica dos fluidos e na 
engenharia como um modelo padrão para o estudo da 
turbulência, o comportamento da camada do limite, a 
formação de ondas de choque, e o transporte maciço. 
Entre outras coisas, é usado para calcular o teste 
padrão do fluxo de ar nas asas de um avião. Foi 
estudada e aplicada por muitas décadas. 
 
. 
 
 
 
 
Um problema sobre as equações de Navier-Stokes, 
que nunca foi solucionado desde 1900, faz parte da 
lista dos Prêmios Clay e a sua resolução vale 
US$1000000. 
 
 
 
 
 
 
 
 Hidráulica Aplicada à tubulações 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fluido 
 
Entende-se por conduto forçado àquele no qual o 
fluido escoa à plena seção e sob pressão. Muitas 
vezes os condutos de seção circular são chamados de 
tubos ou tubulações. Um conduto é dito uniforme 
quando a sua seção transversal não varia com o seu 
comprimento. Se a velocidade do fluido em qualquer 
seção do conduto não variar com o tempo, o regime 
de escoamento é dito permanente. 
A densidade dos líquidos, ao contrário do que se 
passa com os gases, varia muito pouco quando se 
varia a sua pressão ou temperatura. A título de 
exemplo, considerando que a água tem 
compressibilidade igual a 5.10
-5
 cm
2
 / Kgf, isto 
significa que em condições normais seria 
necessário um incremento de pressão de 20 
Kgf /cm
2
 para que um litro de água se reduza 
de 1 cm
3
, ou seja, para que sua densidade 
aumente um milésimo. Por isto, do ponto de 
vista prático, a densidade da água e de 
qualquer líquido é independente da 
temperatura e da pressão. 
Diante dessa reduzidíssima variação da 
densidade, nos escoamentos de líquidos em 
regime permanente considera-se que os 
mesmos se comportam como incompressíveis. 
Neste contexto se incluem querosene, 
gasolina, álcool, óleo diesel, água, vinho, 
vinhoto, leite, e muitos outros, aos quais se 
aplicam os conceitos aqui comentados. 
É conveniente ressaltar que um 
escoamento se classifica também como 
turbulento ou laminar. No escoamento laminar 
há um caminhamento disciplinado das 
partículas fluidas, seguindo trajetórias 
regulares, sendo que as trajetórias de duas 
partículas vizinhas não se cruzam. Já no 
escoamento turbulento a velocidade num dado 
ponto varia constantemente em grandeza e 
direção, com trajetórias irregulares, e podendo 
uma mesma partícula ora localizar-se próxima 
do eixo do tubo, ora próxima da parede do 
tubo. 
O critério para determinar se o 
escoamento é turbulento ou laminar, é a 
utilização do número de Reynolds: 
4
e
Q
R
D 

 
onde: 
Re = Número de Reynolds (admensional) 
Q = vazão (m
3
 / s) 
π = 3,1416... 
D = diâmetro (m) 
ν = viscosidade cinemática do líquido 
(m
2
 / s) 
 
Nas condições normais de escoamento o 
número de Reynolds é interpretado conforme 
segue: 
 
Re > 4000, então o escoamento é turbulento. 
Re < 2000, então o escoamento é laminar. 
 
Entre estes dois valores há a zona de transição, 
onde não se pode determinar com precisão os 
elementos do dimensionamento. 
Em geral, o regime de escoamento na 
condução de líquidos no interior de tubulações 
é turbulento, exceto em situações especiais, 
tais como escoamento a baixíssimas vazões, 
como ocorre em gotejadores de irrigação, onde 
o escoamento é laminar. 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 12 
 12 
Sempre que um líquido escoa no interior de 
um tubo de um ponto para outro, haverá uma certa 
perda de energia, denominada perda de pressão ou 
perda de carga. Esta perda de energia é devido ao 
atrito com as paredes do tubo e devido à viscosidade 
do líquido em escoamento. Quanto maior for a 
rugosidade da parede da tubulação, isto é, a altura das 
asperezas, maior será a turbulência do escoamento e, 
logo,maior será a perda de carga. 
Já há cerca de dois séculos estudos e 
pesquisas vem sendo realizados, procurando 
estabelecer leis que possam reger as perdas de carga 
em condutos. Várias fórmulas empíricas foram 
estabelecidas no passado e algumas empregadas até 
com alguma confiança em diversas aplicações de 
engenharia, como as fórmulas de Hazen-Williams, de 
Manning e de Flamant. Mas, trabalhos de diversos 
investigadores tem mostrado que, em sua totalidade, 
são mais ou menos incorretas. A incorreção dessas 
fórmulas é tanto maior quanto mais amplo é o 
domínio de aplicação pretendido por seus autores. 
Atualmente a expressão mais precisa e usada 
universalmente para análise de escoamento em tubos, 
que foi proposta em 1845, é a conhecida equação de 
Darcy-Weisbach: 
2
2 5
8
f
fLQ
h
gD

 
onde: 
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo 
(mca) 
f = fator de atrito (adimensional) 
L = comprimento do tubo (m) 
Q = vazão (m
3
 / s) 
D = diâmetro interno do tubo (m) 
g = aceleração da gravidade local (m / s
2
) 
π = 3,1416... 
Mas somente em 1939, quase 100 anos 
depois, é que se estabeleceu definitivamente o fator 
de atrito f, através da equação de Colebrook-White: 
10
1 2,51
2 0,27log
e
k
Df R f
 
    
 
 
onde: 
f = fator de atrito (adimensional) 
k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) 
D = diâmetro interno do tubo (m) 
Re = número de Reynolds (adimensional) 
 
Obviamente, trata-se de uma equação implícita, isto 
é, a variável f aparece nos dois membros da equação, 
de forma não ser possível explicitá-la. Mas isto não 
sugere que seja impossível resolver equações 
implícitas. Os métodos numéricos, embora 
aproximativos, são capazes de resolver equações 
implícitas com a precisão que se desejar. São 
métodos basicamente computacionais pois incorrem 
em operações matemáticas repetidas. Encontram, 
contudo, muita utilidade em hidráulica. 
É o caso dos métodos iterativos, nos quais 
ordena-se adequadamente a equação, e arbitra-se um 
valor inicial qualquer para a variável procurada que 
está no seu segundo membro. Com o valor 
inicial já arbitrado, calcula-se um novo valor 
para esta mesma variável procurada, mas para 
a que está no primeiro membro. Se a diferença 
entre o valor inicial e o novo valor calculado 
estiver fora da precisão desejada, repete-se 
esta operação, porém colocando como valor 
inicial o novo valor calculado. Se a diferença 
aumentar diz-se que os valores estão 
divergindo, e se diminuir diz-se que os valores 
estão convergindo para a solução. O número 
de repetições, isto é, o número de iterações 
poderá ser pequeno ou não, dependendo do 
método a ser utilizado, e se sucederá até que a 
diferença seja suficientemente pequena ou 
compatível com a precisão desejada. 
Um esquema básico de cálculo, 
passo-a-passo, seria algo do tipo: 
1- Arbitra-se um valor inicial 
qualquer para a variável do segundo membro. 
2- Calcula-se novo valor para a 
mesma variável que está no primeiro membro. 
3- Compara-se a diferença entre o 
valor calculado e o valor inicial com a 
tolerância estabelecida. 
4- Se maior, o novo valor passa a ser 
o valor inicial, e volta-se para o passso (2). Se 
menor passa-se para o passo (5). 
5- O corrente valor da variável é o 
valor procurado. 
Métodos iterativos como o de Newton 
são muito potentes e convergem muito 
rapidamente, podendo alcançar resultados 
altamente precisos com três ou quatro 
iterações. 
 
 Na prática, em termos específicos, a 
análise do escoamento em tubos basicamente 
envolve três gradezas a se calcular: 
 
 o diâmetro 
 a vazão (ou velocidade) 
 a perda de carga 
 
 Estas são em síntese, as três variáveis 
principais envolvidas no cálculo hidráulico, 
pois as demais (material do tubo, tipo de 
líquido, temperatura, etc), são básicas. Por 
qualquer método que viermos a empregar, para 
se determinar qualquer uma dessas três 
variáveis, as duas demais deverão ser 
conhecidas. 
 Em que pese a técnica iterativa 
associada à precisão das equações dar um 
pouco de velocidade ao cálculo, contudo 
permanece o mesmo sendo realizado 
manualmente, o que não deixa de ser 
cansativo, enfadonho e sujeito a erros. Com o 
uso de programas para computadores digitais, 
tal como o HidroTec Calculador, a resolução 
torna-se simples, fácil, automática, rápida e 
sem erros. 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 13 
 13 
 
 Equações explícitas para o fator de atrito 
de Darcy-Weisbach 
 
Quando um líquido escoa de um ponto para 
outro no interior de um tubo, gerará sempre uma 
perda de energia, denominada perda de pressão ou 
perda de carga. Esta perda de energia é devido ao 
atrito com as paredes do tubo e devida à viscosidade 
do líquido em escoamento. Portanto quanto maior for 
a rugosidade da parede da tubulação e mais viscoso 
for o líquido, maior será a perda de carga. 
 Com o intuito de estabelecer leis que possam 
reger as perdas de carga em condutos, já há cerca de 
dois séculos estudos e pesquisas vem sendo 
realizados. Atualmente a expressão mais precisa e 
utilizada universalmente para análise de escoamento 
em tubos, e que foi proposta em 1845, é a conhecida 
equação de Darcy-Weisbach: 
2
2
f
L V
h f
D g
  
 
 
onde: 
 
hf = perda de carga ao longo do comprimento do tubo 
(mca) 
f = fator de atrito de Darcy-Weisbach (adimensional) 
L = comprimento do tubo (m) 
V = velocidade do líquido no interior do tubo (m / s) 
D = diâmetro interno do tubo (m) 
g = aceleração da gravidade local (m / s
2
) 
Mas não se encontrou logo uma maneira 
segura para determinação do fator de atrito. Somente 
em 1939, quase 100 anos depois, é que se estabeleceu 
definitivamente uma lei para fator de atrito f, através 
da equação de Colebrook-White: 
10
1 2,51
2
3,7
log
e
k
Df R f
 
    
 
 
 
 
 
em que: 
 
k = rugosidade equivalente da parede do tubo (m) 
Re = número de Reynolds (adimensional) 
 
 A equação de Colebrook-White tem sido 
considerada como a mais precisa lei de resistência ao 
escoamento e vem sendo utilizada como padrão 
referencial. Mas, apesar disto, e de todo o 
fundamentalismo e embasamento teórico agregado à 
mesma, tem uma particularidade a alguns pouco 
conveniente: é implícita em relação ao fator de atrito, 
ou seja, a grandeza f está presente nos dois membros 
da equação, sem possibilidade de ser explicitada em 
relação às demais grandezas. Sua resolução requer 
um processo iterativo. 
Isto resultou em motivos para que muitos 
pesquisadores, de quase toda parte do mundo, se 
empenhassem em encontrar equações 
explícitas, que pudessem ser utilizadas como 
alternativas à equação de Colebrook-White. 
Algumas mais compactas e simples, mais 
fáceis de serem memorizadas, contudo com 
grandes desvios; outras, menos compactas e 
complexas, mais difíceis de serem 
memorizadas, porém com desvios menores; 
outras tantas combinando simplicidade e 
precisão, com erros até bem reduzidos, em 
relação ao fator de atrito calculado com a 
equação de Colebrook-White. 
No presente trabalho seleciona e 
apresenta a seguir um pequeno conjunto destas 
equações explícitas, considerando apenas 
aquelas que pesquisadores, conforme 
bibliografia consultada, avaliaram e 
concluíram terem os menores erros em relação 
à equação de Colebrook-White: 
1- Sousa-Cunha-Marques,1999 (erro = 
0,123%): 
0,8710 10
1 5,16 5,09
2
3,7 3,7
log log
e e
k k
D R D Rf
  
      
  
 
 
 
2- Haaland, 1983 (erro = 0,220%): 
1,11
10
1 6,9
1,8
3,7
log
e
k
D Rf
  
       
 
 
3- Barr, 1972 (erro = 0,375%): 
0,89210
1 5,15
2
3,7
log
e
k
D Rf
 
   
 
 
4- Swamee-Jain, 1976 (erro = 0,386%): 
0,910
1 5,74
2
3,7
log
e
k
D Rf
 
   
 
 
 
 
 
5- Churchill, 1973 (erro = 0,393%): 
0,9
10
1 7
2
3,7
log
e
k
D Rf
  
    
   
 
 
Um exame superficial mostra que, por 
mais simples ou compactas que possam ser 
estas equações explícitas, as mesmas requerem 
também algum esforço computacional com 
operações matemáticas de potenciação, 
radiciação, logaritmicas, etc. Contudo, tendo 
em vista as elevadas velocidades dos 
processadores dos computadores atuais, 
praticamente será imperceptível a diferença no 
esforço computacional do cálculo feito com 
uma equação implícita e com uma equação 
explícita. Então, se o esforço é o mesmo, a 
conclusão óbvia é que parece ser mais 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 14 
 14 
razoável e lógico usar-se logo a equação de 
Colebrook-White, dado à sua precisão. 
 
 Hipertensão Arterial 
 
A HAS (Hipertensão Arterial Sistêmica) é 
uma das doenças com maior prevalência no mundo 
moderno e é caracterizada pelo aumento da pressão 
arterial, medida com esfigmomanômetro ("aparelho 
de pressão"), tendo como causas a hereditariedade, a 
obesidade, o sedentarismo, o etilismo, o stress e 
outras (veja causas de Hipertensão, mais abaixo). 
: A pressão sanguínea é medida com o 
esfigmomanômetro, que consiste de uma coluna de 
mercúrio com uma das extremidades ligada a uma 
bolsa, que pode ser inflada através de uma pequena 
bomba de borracha, como indica a Figura 32 (A). A 
bolsa é enrolada em volta do braço, a um nível 
aproximadamente igual ao do coração, a fim de 
assegurar que as pressões medidas mais próximas às 
da aorta. A pressão do ar contido na bolsa é 
aumentada até que o fluxo de sangue através das 
artérias do braço seja bloqueado. 
A seguir, o ar é gradualmente eliminado da 
bolsa ao mesmo tempo em que se usa um 
estetoscópio para detectar a volta das pulsações ao 
braço. O primeiro som ocorre quando a pressão do ar 
contido na bolsa se igualar à pressão sistólica, isto é, 
a máxima pressão sanguínea. Nesse instante, o 
sangue que está à pressão sistólica consegue fluir 
pela (os sons ouvidos através do estetoscópio são 
produzidos pelo fluxo sanguíneo na artéria e são 
chamados sons Korotkoff). Assim, a altura da coluna 
de mercúrio lida corresponde à pressão manométrica 
sistólica. À medida que o ar é eliminado, a 
intensidade do som ouvido através do esteie aumenta. 
A pressão correspondente ao último som audível é a 
pressão diastólica, isto é, a pressão sanguínea, 
quando o sangue a baixa pressão consegue fluir pela 
artéria não oclusa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipertensão Arterial é uma situação na 
qual a pressão arterial está elevada. 
A pressão arterial é a pressão exercida pelo sangue 
contra a superfície interna das artérias. A força 
original vem do batimento cardíaco. A pressão 
arterial varia a cada instante, seguindo um 
comportamento cíclico. São vários os ciclos 
que se superpõe, mas o mais evidente é o 
determinado pelos batimentos cardíacos. 
Chama-se ciclo cardíaco o conjunto de 
acontecimentos desde uma batimento cardíaco 
até o próximo batimento. 
No momento em que o coração ejeta 
seu conteúdo na Aorta a energia é a máxima, 
gerando força máxima e consequentemente 
pressão máxima. Esta fase no ciclo cardíaco 
chama-se Sístole, sendo que a pressão neste 
instante é chamada de Pressão Arterial 
Sistólica. 
Imediatamente antes do próximo batimento 
cardíaco a energia é mínima, com a menor 
força exercida sobre as artérias em todo o 
ciclo, gerando portanto a menor pressão 
arterial do ciclo cardíaco. Esta fase é chamada 
de Diástole, sendo que a pressão neste instante 
é chamada de Pressão Arterial Diastólica. 
Quando se fala em dois valores de 
pressão arterial (140 por 90, por exemplo), 
estamos dizendo que neste momento os ciclos 
cardíacos estão gerando uma pressão arterial 
que oscila entre 140 e 90 unidades de medida, 
140 no pico da Sístole e 90 no final da 
Diástole. 
Esta situação aumenta o risco de 
problemas cardiovasculares futuros, como 
Infarto agudo do miocárdio e Derrame 
Cerebral, por exemplo. 
A pressão normal seria aquela onde o 
risco destes problemas seria o mínimo. 
Na verdade não existe um nível 
"seguro". A possibilidade de problemas é log-
linear, ou seja cresce de maneira contínua em 
uma escala logarítmica. 
O valor normal é um tanto arbitrário, 
definido pelos especialistas no assunto, para 
fins práticos e operacionais. É semelhante a 
definição de maioridade, onde para fins 
práticos se considera 18 anos de idade e não 
18 anos e um mês ou 17 anos e 11 meses, por 
exemplo, embora o amadurecimento seja 
possivelmente o mesmo. 
Para a maior parte das pessoas o valor de 
140/90 mmHg é relacionado a baixo risco de 
problemas futuros, sendo considerado o 
"normal". 
Como é verificada a Pressão 
Arterial 
Para verificar a pressão arterial, o profissional 
envolve um dos braços do paciente com o 
esfigmomanômetro, que nada mais é do que 
uma cinta larga com um pneumático interno 
acoplado a uma bomba de insuflação manual e 
um medidor desta pressão. Ao insuflar a 
bomba, o pneumático se enche de ar e causa 
uma pressão no braço do paciente, pressão esta 
monitorada no medidor. Um estetoscópio é 
colocado sobre a artéria braquial (que passa na 
face interna medial do cotovelo). Estando o 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 15 
 15 
manguito bem insuflado, a artéria estará colabada 
pela pressão exercida e não passará sangue na artéria 
braquial. Não haverá ruído algum ao estetoscópio. 
Libera-se, então, a saida do ar pela bomba, bem 
devagar e observando-se a queda da pressão no 
medidor. Quando a artéria deixa de estar totalmente 
colabada um pequeno fluxo de sangue inicia sua 
passagem pela artéria provocando em ruído de 
esguicho (fluxo turbilionar). Neste momento anota-se 
a pressão máxima (sistólica). O ruído persistirá até 
que o sangue passe livremente pela artéria, sem 
nenhum tipo de garroteamento (fluxo laminar). 
Verifica-se no medidor este momento e teremos a 
pressão mínima (pressão diastólica). Em geral, 
medimos a pressão em milímetros de mercúrio 
(mmHg), sendo normal uma pressão diastólica 
(mínima) entre 60 e 80 mmHg (6 a 8 cmHg) e 
pressão sistólica entre 110 e 140 mmHg (11 a 14 
cmHg) (cmHg = centímetros de mercúrio). 
 
 Sintomatologia 
 
A "pressão alta" é considerada uma doença 
silenciosa, pois pode não produzir nenhum sintoma 
no paciente. Alguns podem queixar-se de dor ou 
pressão na nuca e cefaléia, mas não é necessário 
nenhum sintoma. Esta falta de sintomas pode fazer 
com que o paciente esqueça de tomar seu remédio ou 
até mesmo questione sua necessidade. Isto faz com 
que as complicações ocorram em grande número. 
 Complicações da HAS 
O aumento contínuo da pressão arterial faz com que 
ocorram danos as artérias de diversas partes do 
organismo vivo. A Hipertensão Arterial é umfator de 
risco para Aterosclerose. Como conseqüência desta, 
podem acontecer tanto o Acidente Vascular Cerebral 
- AVC, como o Infarto agudo do miocárdio - IAM). 
Como qualquer artéria do corpo pode ser obstruída 
pela aterosclerose, virtualmente todos os orgão 
podem sofrer alterações decorrentes da hipertensão. 
 Causas de Hipertensão Arterial 
Na grande maioria dos casos a Hipertensão 
Arterial é considerada essencial, isto é, ela é uma 
doença por si mesma. No entanto, devem ser 
descartadas outras doenças que causam a hipertensão 
arterial apenas como um sinal, pois pode então ser 
tratada a causa básica melhorando naturalmente a 
hipertensão. Dentre estas causas existe a hipertensão 
nefrogênica, onde um rim com algum problema em 
sua irrigação sanguínea produz substâncias visando 
aumentar a pressão e receber mais sangue. Nestes 
casos tratando este rim a pressão normaliza. Outro 
caso é o do feocromocitoma, um tumor que produz 
substâncias vasoconstrictoras que aumentam a 
pressão arterial, produzem taquicardia, cefaléia e 
sudorese. A retirada deste tumor melhora a pressão.. 
 Tratamento 
 
Casos iniciais e leves respondem bem à dieta 
pobre em sal de cozinha (NaCl) emagrecimento e 
prática de esportes. Outros casos necessitarão de 
medicamentos. São várias as classes de 
medicamentos possíveis de ser usadas, 
isoladas ou associadas. Entre outras temos os 
diuréticos, os bloqueadores adrenérgicos, os 
bloqueadores de canais de cálcio, os inibidores 
de enzima conversora de angiotensina II e os 
bloqueadore do receptor da angiotensina II. 
Diuréticos são medicamentos que 
estimulam a produção de urina como as 
tiazidas. Casos mais graves necessitam de 
medicamentos inibidores da ECA (IECA)), 
como o captopril e enalapril. É interessante 
notar que o captopril é uma substância que foi 
isolada primariamente do veneno da cobra 
jararaca 
 
 
 Bibliografia: 
 
 (Mecânica dos Fluidos, Potter M. C., 
Wiggert D. C., Cap. 2, pp. 36-37, Editora 
Thomson). 
 
 Equação da energia para fluido real 
 
Nesse item será retirada a hipótese de 
fluido ideal; logo, serão considerados os atritos 
internos no escoamento do fluido. São 
mantidas as hipóteses de regime permanente, 
fluido incompressível, propriedades uniformes 
na seção e sem trocas de calor induzidas. Esta 
última significa que não existe uma troca de 
calor provocada propositalmente; no entanto, 
ao se considerar os atritos no escoamento do 
fluido, deve-se imaginar que haverá uma perda 
de calor do fluido para o ambiente causada 
pêlos próprios atritos. Como será visto a 
seguir, a construção da equação da energia 
pode ser realizada sem se falar, explicitamente, 
dessa perda de calor. 
Da equação de Bernoulli sabe-se que, se 
o fluido fosse perfeito. H1 = H2 (Figura 4.8). 
 
Se, no entanto, houver atritos no 
transporte do fluido, entre as seções (l) e (2) 
haverá uma dissipação da energia, de forma 
que H1 > H2. 
Querendo restabelecer a igualdade, será 
necessário somar no segundo membro a 
energia dissipada no transporte. 
121 2 p
H H H 
 
12p
H
: energia perdida entre (l) e (2) por 
unidade de peso do fluido. 
 
Como 
12 1 2p
H H H 
 e como H1 E H2 
são chamados cargas totais, 
12p
H
 é denominado 
'perda de carga'. 
Se for considerada também a presença de 
uma máquina entre (l) e (2), a equação da energia 
ficará: 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 16 
 16 
121 2M p
H H H H  
 
12
2 2
1 1 2 2
1 2
2 2
M p
v p v p
z H z H
g g
      
 
 
 
Da Equação deve-se notar que, no escoamento de um fluido 
real entre duas seções onde não existe máquina, a energia é sempre 
decrescente no sentido do escoamento, isto é, a carga total a montante 
é sempre maior que a de jusante, desde que não haja máquina entre as 
duas. 
A potência dissipada pêlos atritos é facilmente calculável 
raciocinando da mesma maneira que para o cálculo da potência do 
fluido. A potência dissipada ou perdida por atrito poderá ser calculada 
por: 
 
12diss p
N QH 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exemplos: 
 
l) Na instalação da figura, verificar se a máquina é 
uma bomba ou uma turbina e determinar a sua potência, 
sabendo que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão 
indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 0,16 
MPa, a vazão é l0 L/s, a área da seção dos tubos é l0 cm
2
 e 
a perda de carga entre as seções (l) e (4) é 2 m. 
Não é dado o sentido do escoamento, 
2
4 310H O N m 
; g = 10 m/s
2
. 
 
Solução 
Deve ser notado, inicialmente, que a seção (4) é o 
nível do reservatório inferior sem incluir a parte interna do 
tubo, 
já que nesta não se conhece a pressão. 
Sabe-se que o escoamento acontecerá no sentido 
das cargas decrescentes, num trecho onde não existe 
máquina. Para verificar o sentido, serão calculadas as 
cargas nas seções (l) e (2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1 1
1 1 0 0 24 24
2
v p
H z m
g
      

 
2
2 2
2 2
2
v p
H z
g
  

 
 
3
2 4
10 10
10
10 10
Q
v m s
A



  

 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 17 
 17 
2
2 2
2 2
2
v p
H z
g
  

 2 6
2 4
10 0,16 10
4 25
2 10 10
H m

   

 
 
Como H2> H1, conclui-se que o escoamento 
terá o sentido de (2) para (1) ou de baixo para coma, 
sendo a máquina, portanto, uma bomba. 
Aplicando-se a equação da energia entre as 
seções (4) e (1), que compreendem a bomba. 
 
 
 
 
Lembrar que a equação deve ser escrita 
no sentido do escoamento. 
144 1B p
H H H H  
 
2
4 4
4 4
2
v p
H z
g
  

 
1 24H m
 
4 0H 
14
2pH 
 
141 4
24 0 2 26B pH H H H      
 
4 310 10 10 26
3470 3,47
0,75B
B
ot
B
QH
P W kW
   
   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 18 
 18 
 Exercícios - 
 
 Franco Brunetti – Capítulo I 
 
 
1. A viscosidade cinemática de um óleo é de 0.028 
m
2
/s e o seu peso específico relativo é de 0.85. Encontrar a 
viscosidade dinâmica em unidades do sistemas MKS, CGS e 
SI (g=10 m/s
2
). 
 
 2. A viscosidade dinâmica de um óleo é de 5 . 10
-4
 
kgf.s/m
2
 e seu peso específico relativo é 0.82. Encontre a 
viscosidade cinemática nos sistemas MKS, SI e CGS 
(g=10m/s
2
 e a = 1000kgf/m
3
. 
 
 3. O peso de 3 dm
3
 de certa substância é 23.5 N. A 
viscosidade cinemática é 10
-5
 m
2
/s. Se g = 10 m/s
2
, qual será a 
viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MKS e SI?4. São dadas duas placas planas paralelas à distância 
de 2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4m/s, 
enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as placas for 
preenchido com óleo ( = 0.1 St;  = 830 kg/m3), qual será a 
tensão de cisalhamento que agirá no óleo? 
 
 v = 4m/s 
 
 
 
 2 mm 
 
 
 
 Resposta:  = 16,6 N/m2. 
 
 5. Uma placa quadrada de 1.0 m de lado e 20 N de 
peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, sobre uma 
película de óleo. A velocidade da placa é de 2m/s constante. 
Qual a velocidade dinâmica do óleo se a espessura da película 
é de 2mm? 
 2 mm 
 
 
 
 
 
2m/s 20 N 
 
 
 30° 
 
 
 Resposta:  = 10-2 N.s/m2. 
 
6. O pistão da figura tem uma massa de 0.5 kg. O 
cilindro de comprimento ilimitado é puxado para cima com 
velocidade constante. O diâmetro do cilindro é 10 cm e do 
pistão é 9 cm e entre os dois existe óleo com  = 10-4 m2/s e  
= 8000 N/m
3
. Com que velocidade deve subir o cilindro para 
qie o pistão permaneça em repouso? (Supor diagrama linear e 
g = 10 m/s
2
). 
 
 
 
 
 
 
L = 5 cm fluido 
 
 
 
 
 D1 
 
 
 D2 
 Resposta: v = 22,1 m/s 
 
7. Num tear, o fio é esticado passando por uma 
fieira e é enrolado num tambor com velocidade constante. 
Na fieira, o fio é lubrificado e tingido por uma substância. 
A máxima força que pode ser aplicada no fio é 1N, pois, 
ultrapassando-a, ela se rompe. Sendo o diâmetro do fio 
0,5mm e o diâmetro da fieira 0,6mm, e sendo a rotação do 
tambor 30 rpm, qual é a máxima viscosidade do 
lubrificante e qual é o momento necessário no eixo do 
tambor? R.: M = 0,1N.m
2
;  = 0,1 N.s/m2 
 Resposta: M=0,1 N.m;  = 0,1 N.s/m2. 
 
8. Ao girar, o eixo provoca a rotação do tambor. 
Este enrola a corda, que levanta um peso de 10N com uma 
velocidade constante de 0,5 m/s. O fluido existente entre o 
eixo e o tambor tem  = 0,1 N.s/m2 e apresenta um 
diagrama linear de velocidades. Pede-se: 
 (a) a rotação do eixo; 
 (b) o momento provocado pelo fluido contra a 
rotação do eixo. Dados: R1 = 10 cm; R2 = 10,1 cm; R3 = 20 cm. 
 
 lubrificante 
 0,6mm 
 0,5mm fieira 
 fio 
 
 
 n = cte 
 
 
 
 
 L = 10cm 
 Tambor D=0.2m 
 
 
 
 Peso 
 
Resposta: (a) n=125 rpm; (b) Meixo=2,47 N.m. 
 
 9. O turbocompressor de um motor de combustão 
interna tem uma rotação de 120000rpm. Os mancais do 
eixo são flutuantes e giram com uma certa rotação. São 
dados: 
 = 8.10-3 N.s/m2; D1=12mm, D2=12.05mm; L=20mm. 
Nas condições de equilíbrio dinâmico da rotação 
dada, pede-se: 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 19 
 19 
(a) a rotação do mancal flutuante. 
(b) o momento resistente à rotação que age no eixo do 
turbocompressor relativo aos mancais. 
 
 Mancais flutuantes 
 A 
 
 
 CP TB 
 
 
 A 
 L 
CP: Compressor 
TB: Turbina 
 
 óleo 
mancal flutuante 
 
eixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D1 
 
 D2 
 
 D3 
 
 D4 
 
 Corte A-A sem escala 
Resposta: (a) 40,533 rpm; (b) 0,14 N.m 
 
10. Dois discos são dispostos coaxialmente face a 
face, separados por um filme de óleo lubrificante de espessura 
 pequena. Aplicando um momento no disco (1), ele inicia um 
movimento em torno de seu eixo, através de um fluido viscoso, 
estabelece-se o regime, de tal forma que as velocidades 
angulares 1 e 2 ficam constantes. Admitindo o regime 
estabelecido, determinar em função a 1 e 2. 
  
 
 
 D 2 
 
  
  
 
 1 
 
  
 
 
 Resposta: 
1 2 4
32 tM
D

  
 
 
 
 11. A placa da figura tem 4 m
2
 de área e espessura 
desprezível. Entre a placa e o solo existe um fluido que escoa, 
formando um diagrama de velocidades dado por: 
 max20 1 5v yv y 
 
 A viscosidade dinâmica do fluido é 10
-2
N.s/m
2
 e 
a velocidade máxima do escoamento é 4m/s. Pede-se: 
 (a) o gradiente de velocidades junto ao solo. 
 (b) a força necessária para manter a placa em 
equilíbrio. 
 Resposta: (a) -80 m/s; (b) 3,2 N 
 
 Placa F 
 
 
 vmax 
 20 cm 
 
 
 
 Solo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sears –Zemansky – Young – VII 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 20 
 20 
 
SEÇÃO 14.2 DENSIDADE 
 
14.1 Fazendo um biscate, você foi solicitado a 
transportar uma barra de ferro de 85.8 cm de comprimento e 
2,85 cm de diâmetro de um depósito até um mecânico. Você 
precisará usar um carrinho de mão? (Para responder, calcule o 
peso da barra.) 
 
14.2 A Lua possui massa de 7,35 . 10
22
 kg e raio igual 
a 1740 km. Qual é sua densidade média? 
 
14.3 Você compra uma peça retangular de metal com 
massa de 0,0158 kg e com dimensões 5,0 x 15,0 x 30.0 mm. O 
vendedor diz que o metal é ouro. Para verificar se é verdade 
você deve calcular a densidade média da peça. Qual o valor 
obtido? Você foi enganado? 
 
14.4 Um seqüestrador exige como resgate um cubo de 
platina com 40.0 kg. Qual é o comprimento da aresta? 
 
SEÇÁO 14.3 PRESSÃD EM UM FLUIDO 
 
14.5 Um barril contém uma camada de óleo de 0.120 
m flutuando sobre água com uma profundidade igual a 0,250 
m. A densidade do óleo é igual a 600 kg/m' a) Qual é a pressão 
manométrica na interface entre o óleo e a água? b) Qual é a 
pressão manométrica no fundo do barril? 
 
14.6 Um veículo esportivo vazio pesa 16.5 kN. Cada 
pneu possui uma pressão manométrica igual a 205 kPa. 
(a) Qual é a área total de contato dos quatro pneus 
com o pavimento? (Suponha que as paredes dos pneus sejam 
flexíveis de modo que a pressão exercida pelo pneu sobre o 
pavimento seja igual à pressão do existente no interior do 
pneu.) 
(b) Qual é a área total, considerando a mesma pressão 
manométrica do pneu, quando o pesototal dos passageiros e da 
carga for igual a 9,1 kN? 
 
14.7 Você está projetando um sino de mergulho para 
agüentar a pressão da água do mar até uma profundidade de 
250 m. 
(a) Qual é a pressão manométrica nesta profundidade? 
(Despreze as variações de densidade da água com a 
profundidade.) 
(b) Sabendo que, para esta profundidade, a pressão 
dentro do sino é igual à pressão fora do sino, qual é a força 
resultante exercida pela água fora do sino e pelo ar dentro do 
sino sobre uma janela de vidro circular com diâmetro de 30,0 
cm? (Despreze a pequena variação de pressão sobre a 
superfície da janela.) 
 
 14.8 Qual deve ser a pressão manométrica 
desenvolvida por uma bomba para bombear água do fundo do 
Grand Canyon (a uma altura de 730 m) até o Indian Gardens (a 
1370 m)? Expresse a resposta em pascais e em atmosferas. 
 
14.9 O líquido no manômetro de tubo aberto indicado 
na Figura é o mercúrio, y1 = 3,00 cm e y2 = 7,00 cm. A pressão 
atmosférica é igual a 980 milibares. 
(a) Qual é a pressão absoluta no fundo do tubo 
em forma de U? 
(b) Qual é a pressão absoluta no tubo aberto a 
uma profundidade de 4.0 cm abaixo da superfície livre? 
(c) Qual é a pressão absoluta do gás no tanque? 
(d) Qual é a pressão manométrica do gás em 
pascais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.10 Existe uma profundidade máxima na qual 
uma mergulhadora (Figura 14.33) pode respirar através de 
um tubo snorkel (respirador), porque à medida que a 
profundidade aumenta, a diferença de pressão também 
aumenta, tendendo n produzir um colapso dos pulmões da 
mergulhadora. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o snorkel liga o ar dos pulmões com a 
atmosfera sobre a superfície livre, a pressão no interior 
dos pulmões é igual a uma atm. Qual é a diferença de 
pressão entre o exterior e o interior dos pulmões da 
mergulhadora a uma profundidade igual a 6.1 m? 
Suponha que a mergulhadora esteja mergulhada em água 
doce. (Um mergulhador usando uma snorkel (tanque com 
ar comprimido) respirando o ar comprimido deste 
dispositivo pode atingir profundidades muito maiores do 
que um mergulhador usando o snorkel. uma vez que a 
pressão do ar comprimido no interior da snorkel 
compensa o aumento da pressão da água no exterior dos 
pulmões.) 
 
14.11 Um curto-circuito elétrico impede o 
fornecimento da potência necessária para um submarino 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 21 
 21 
que está a uma profundidade de 30 m abaixo da superfície do 
oceano. A tripulação deve empurrar uma escotilha com área 
de 0.75 m
2
 e peso igual a 300 N para poder escapar do fundo 
do submarino. Se a pressão interna for igual a l,0 atm, qual é a 
força para baixo que eles devem exercer para abrir a escotilha? 
 
14.12 Você foi convidado a projetar um tanque de 
água cilíndrico pressurizado para uma futura colônia em 
Marte, onde a aceleração da gravidade é igual a 3,71 m/s. A 
pressão na superfície da água deve ser igual a 130 kPa e a 
profundidade deve ser igual a 14,2 m. A pressão do ar no 
edifício fora do tanque deve ser igual a 93 kPa. Calcule a força 
resultante para baixo sobre a base do tanque de área igual a 
2,00 m
2
 exercida pelo ar e pela água no interior do tanque e 
pelo ar no exterior do tanque. 
 
14.13 Em um foguete um tanque com tampa 
pressurizada contém 0,250 m
3
 de querosene de massa igual a 
205 kg. A pressão na superfície superior do querosene é igual a 
2,01.10
5
 Pa. O querosene exerce uma força igual a 16,4 kN 
sobre o fundo do tanque, cuja área é igual a 0,0700 m . Calcule 
a profundidade do querosene. 
 
14.14 O pistão de um elevador hidráulico de carros 
possui diâmetro igual a 0,30 m. Qual é a pressão 
manométrica em pascais, necessária para elevar um carro 
com massa igual a 1200 kg? Expresse esta pressão também 
em atmosferas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SEÇÃO 14.4 EMPUXO 
 
14.15 Um bloco de gelo flutua sobre um lago de água 
doce. Qual deve ser o volume mínimo do bloco para que uma 
mulher de 45,0 kg possa ficar em pé sobre o bloco sem que ela 
molhe seus pés? 
 
14.16 Uma amostra de minério pesa 17,50 N no ar. 
Quando a amostra é suspensa por uma corda leve e totalmente 
imersa na água, a tensão na corda é igual a 11,20 N. Calcule o 
volume total e a densidade da amostra. 
 
14.17 Um objeto com densidade média  flutua na 
superfície livre de um fluido com densidade fluido. 
(a) Qual é a relação entre estas duas densidades? 
(b) Levando em conta a resposta do item (a), como 
um navio de aço flutua na água? 
(c) Em termos de  e de fluido qual é a fração do 
objeto que fica submersa e qual é a fração do objeto que 
fica acima da superfície do fluido? Verifique se suas 
respostas fornecem os limites correios quando  fluido e 
  0. 
(d) Quando você está a bordo do seu iate, seu 
primo Tobias corta de um salva-vidas uma peça retangular 
(dimensões de 5,0 x 4,0 x 3,0 cm) e a joga no mar. A peça 
possui massa igual a 42 g. Quando ela flutua no oceano, 
que fração fica acima da superfície? 
 
14.18 Uma esfera de plástico oca é mantida 
submersa em um lago de água doce amarrada em uma 
corda presa no fundo do lago. O volume da esfera é igual 
a 0,650 m e a tensão na corda é igual a 900 N. 
(a) Calcule a força de empuxo exercida pela água 
sobre a esfera, 
(b) Qual é a massa da esfera? 
(c) A corda se rompe e a esfera sobe até a superfície. 
Quando ela atinge o equilíbrio, qual é a fração do volume 
da esfera que fica submersa? 
 
14.19 Um bloco de madeira cúbico com aresta de 
10,0 cm flutua sobre uma interface entre uma camada de 
água e uma camada de óleo, com sua base situada a l,50 
cm abaixo da superfície livre do óleo (Figura 14.34). A 
densidade do óleo é igual a 790 kg/m
3
. 
(a) Qual é a pressão manométrica na face 
superior do bloco? 
(b) Qual é a,pressão manométrica na face inferior 
do bloco? 
(c) Qual é a massa e a densidade do bloco? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.20 Um lingote de alumínio sólido pesa 89 N 
no ar. 
(a) Qual é g o seu volume? 
(b) O lingote é suspenso por uma corda leve e 
totalmente imersa na água. Qual é a tensão na corda (o 
peso aparente do lingote na água)? 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 22 
 22 
SEÇÃO 14.5 TENSÃO SUPERFICIAL 
 
14.21 Ache a pressão manométrica em pascais em 
uma bolha de s sabão com diâmetro igual a 3,00 cm. A tensão 
superficial é igual a 25,0.10
-3
N/m. 
 
14.22 Calcule o excesso de pressão a 20°C 
(a) no interior de uma gota de chuva grande com raio 
igual a l ,00 mm; 
(b) no interior de uma gota de água com raio igual a 
0,0100 mm (típica de uma gotícula no nevoeiro). 
 
14.23 Como ficar em pé sobre a água. Estime a 
força da tensão superficial para cima que deveria ser exercida 
sobre seus pés para que você pudesse ficar em pé sobre a água. 
(Você precisa j medir a área dos seus pés.) Qual deveria ser o 
peso máximo de um corpo que poderia ser sustentado pela 
água desta maneira? 
 
14.24 Por que as árvores não fazem sucção do ar? 
Verificou-se que as pressões negativas que ocorrem nos tubos 
que transportam a seiva de uma árvore alta podem atingir cerca 
de - 20 atm. Estes tubos encontram-se abertos no topo em 
contato com o ar e a água pode evaporar das folhas. Porémse 
as pressões são negativas, por que o ar não é sugado para as 
folhas? Para responder a esta pergunta estime a diferença de 
pressão necessária para forçar o ar através dos interstícios das 
paredes das células no interior das folhas (diâmetros da ordem 
de 10~
8
 m) e explique por que o ar exterior não pode penetrar 
nas folhas. (Considere a tensão J superficial da seiva igual à da 
água a 20°C. Esta situação é diferente daquela indicada na 
Figura 14.15: neste caso é o arque desloca a seiva nos 
interstícios.) 
 
 14.25 Uma película de água de sabão possui 22cm de 
largura e está a 20
0
C. O fio que desliza possui massa igual a 
0,700g. Qual é o módulo necessário T da força que puxa para 
baixo para manter o fio em equilíbrio? 
 
SEÇÃO 14.6 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO 
 
 14.26 A água escoa em um tubo cuja seção reta possui 
área variável e em todos os pontos a água enche 
completamente o tubo. No ponto 1 a seção reta possui área 
igual a 0,07m
2
 e o módulo da velocidade do fluido é igual 
a3,50 m/s. 
 (a) Qual é a velocidade do fluido nos pontos para os 
quais a seção reta possui área igual a 
(i) 0,105m
2
? 
(ii) 0,047m
2
? 
(b) Calcule o volume de água descarregada pela 
extremidade aberta do tubo em 1 hora. 
 
14.27 A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção 
reta possui área variável e em todos os pontos a água enche 
completamente o tubo. 
(a) Em um ponto onde o raio do tubo é igual a 
0,150m. Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão 
volumétrica no tubo é igual a 1,20 m
3
/s? 
(b) Em um segundo ponto a velocidade da água é 
igual a 3,80 m/s. Qual é o raio do tubo nesse ponto? 
 
14.28 Deduza a equação da continuidade. 
Quando a densidade cresce 1.50% de um ponto 1 
até um ponto 2, o que ocorre com a vazão volumétrica? 
 
SEÇÃO 14.7 EQUAÇÃO E BERNOULLI 
 
14.29 Um tanque selado que contém água do mar 
até uma altura igual a 11,0m também contém ar acima da 
água a uma pressão manométrica igual a 3,00 atm. A água 
flui para fora através de um pequeno orifício na base do 
tanque. Calcule a velocidade de efluxo da água. 
 
14.30 Um pequeno orifício circular com diâmetro 
igual a 6,00 mm é cortado na superfície lateral de um 
grande tanque de água, a profundidade 
de 14m abaixo da superfície livre da água. O topo do 
tanque está aberto para a atmosfera. Ache: 
 (a) a velocidade de efluxo; 
 (b) o volume de água descarregada por unidade 
de tempo. 
 
 14.31 Qual é a pressão manométrica necessária 
no tubo principal da rua para que uma mangueira de 
apagar incêndio ligada a ele seja capaz de lançar água até 
uma altura de 15m? (Suponha que o diâmetro do tubo 
principal seja muito maior do que o diâmetro da 
mangueira de apagar incêndio. 
 
 14.32 Em um ponto de um encanamento a 
velocidade da água é 3,00 /s e a pressão manométrica é 
igual a 5,00.10
4
Pa. Calcule a pressão manométrica em um 
segundo ponto do encanamento, 11,0m abaixo do 
primeiro, sabendo o diâmetro do cano no segundo ponto é 
igual ao dobro do diâmetro do primeiro. 
 
 14.33 Sustentação sobre um avião. As linhas de 
corrente horizontais em torno das pequenas asas de um 
avião são tais que a velocidade sobre a superfície superior 
é igual a 70,0 m/s e sobre a superfície inferior é igual a 
60,0 m/s. Se o avião possui massa igual a 1340 kg e a área 
da asa é igual a 162 m
2
, qual é a força resultante vertical 
(incluindo o efeito da gravidade) sobre o avião? A 
densidade do até 1.20 kg/m
3
. 
 
 14.34 Uma bebida leve (essencialmente água) flui 
em um tubo de uma fábrica de cerveja com uma vazão 
volumétrica tal que deva encher 220 latas de 0.355L por 
minuto. Em um ponto 2 do tubo, situado a 1.35m acima do 
ponto 2, a área da seção reta é igual a 2.00 cm
2
. Obtenha: 
 (a) a vazão mássica; 
 (b) a vazão volumétrica; 
 (c) as velocidades do escoamento nos pontos 1 e 
2; 
 (d) a pressão manométrica no ponto 1. 
 
 14.35 A água é descarregada de um tubo 
cilíndrico horizontal, com uma taxa de 465 cm
3
/s. Em um 
ponto do tubo onde o raio é 2.05 cm a pressão absoluta é 
igual a 
51.60 10 Pa
. Qual é o raio do tubo em uma 
constrição onde a pressão se reduz para 
51.20 10 Pa
? 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 23 
 23 
 14.36 Em dado ponto de um escoamento cilíndrico 
horizontal a velocidade da água é igual a 2.50 m/s e a pressão 
manométrica é igual a 
41.80 10 Pa
. Calcule a pressão 
manométrica em um segundo ponto do encanamento sabendo 
que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do 
diâmetro do primeiro. 
 
 SEÇÃO 14.9 VISCOSIDADE 
 
 *14.37 Água a 20°C se escoa em tubo de raio igual a 
10,0 cm. A viscosidade da água a 20°C é igual a l ,005 
centipoise. (Se a velocidade da água no centro do tubo é igual 
a 2,50 m/s, qual é a velocidade da água 
(a) a 5,0 cm a partir do centro do tubo (na metade do 
caminho entre o centro e a parede)? 
(b) sobre as paredes do tubo? 
 
* 14.38 Água a 20°C se escoa em tubo de raio igual a 
8.50 mm. A viscosidade da água a 20°C é igual a l,005 
centipoise. Se a velocidade da água no centro do tubo é igual a 
0,200 m/s e o escoamento é laminar, calcule a queda de 
pressão devida à viscosidade ao longo de 3,00 m de 
comprimento do tubo. 
 
* 14.39 Água a 20°C se escoa em tubo horizontal com 
15,0 m de comprimento; o escoamento é laminar e a água 
enche completamente o tubo. Uma bomba mantém uma 
pressão manométrica igual a 1200 Pa em um tanque grande 
conectado a uma extremidade do tubo. A outra extremidade do 
tubo está aberta para o ar. A viscosidade da água a 20
0
C é 
igual a l,005 centipoise. 
(a) Se o tubo possui diâmetro igual a 9,00 cm, qual é a 
vazão volumétrica? 
(b) Que pressão manométrica deve a bomba fornecer 
para produzir a mesma vazão volumétrica de um tubo com 
diâmetro igual a 3,00 cm? 
(c) Para o tubo da parte (a) e mantendo-se a mesma 
pressão manométrica da bomba, qual é a nova vazão 
volumétrica quando a água está a uma temperatura de 60
0
C? 
(A viscosidade da água a 60
0
C é igual a 0,469 centipoise.) 
 
* 14.40 O inseto Rhodinus pmlixus da América do Sul suga o 
sangue de mamíferos. Seu ferrão é semelhante a uma agulha 
hipodérmica muito fina (que permite sugar o sangue de sua 
vítima sem causar dor, portanto, sem que seja notado). A parte 
mais estreita da "agulha" possui diâmetro igual a 10 /um e 
comprimento igual a 0,20 mm. a) Qual deve ser a pressão 
manométrica na cavidade da boca do inseto se ele sugar 0,25 
cm de sangue em 15 minutos? Expresse sua resposta em Pa e 
em atm. (A viscosidade do sangue em tal tubo fino é igual a l,0 
centipoise. Para obter uma resposta aproximada aplique a 
equação de Poiseuille ao sangue, embora ele seja um fluido 
não-newtoniano.) b) Por que não é uma boa aproximação 
desprezar as dimensões das outras partes do ferrão do inseto? 
 
* 14.41 Qual deve ser a velocidade de uma esfera de 
alumínio com raio igual a 2,00 mm se deslocando em óleo de 
rícino a 20°C para que a força de arraste devido à viscosidade 
seja igual a um quarto do peso da esfera? (A viscosidade 
do óleo de rícino para esta temperatura é igual a 9,86 
poise.) 
* 14.42 Medida da viscosidade. Uma esfera de 
latão com massa igual a 0,35 g cai com velocidade 
terminal igual a 5,0 cm/s em um líquido desconhecido. 
Sabendo que a densidade do líquido é igual a 2900 kg/m\ 
qual é a sua viscosidade? 
 
*14.43 Mantendo todas as demais grandezas 
constantes, o que ocorre com a vazão volumétrica de um 
escoamento laminar quando dobramos:(a) o diâmetro do tubo? 
(b) a viscosidade? 
(c) a diferença de pressão? 
(d) o gradiente de pressão? 
(e) o comprimento do tubo? 
 
14.44 Para os arremessos normais de uma bola de 
basquete (exceto para os arremessos desesperados) a força 
de resistência do ar é desprezível. Para demonstrar isso, 
considere a razão da força da Lei de Stokes e o peso de 
uma bola de basquete de 0,6000 kg. A bola de basquete 
possui um raio igual a 0,124m e se move com velocidade 
de 5m/s no ar com densidade igual a 1,2 kg/m
3
. 
 
 14.45 Um feixe de laser muito estreito com 
elevada intensidade perfura um orifício cilíndrico no casco 
de uma espaçonave de ficção científica; o orifício possui 
comprimento de 0.180m e um raio de apenas 50.0 m. O 
interior da espaçonave possui pressão de 1 atm e ar a 20
0
C 
com viscosidade igual a 181 Po começa a escapar com 
escoamento laminar para o vácuo no exterior da 
espaçonave. 
 (a) Qual é a velocidade do ar ao longo do eixo do 
cilindro na extremidade externa e na metade da distância 
entre este ponto e o ponto externo? 
 (b) Quantos dias serão necessários para que 
ocorra uma perda de 1m
3
 de ar através desse orifício? 
(Suponha que a pressão interna permaneça igual a 1 atm. 
 (c) Qual seria o fator de multiplicação das 
respostas dos itens (a) e (b) se o raio do orifício dobrasse 
de valor e o escoamento permanecesse laminar? 
 
 Problemas 
 
 14.46 Em uma aula experimental, uma professora 
separa facilmente dois hemisférios ocos de aço (diâmetro 
D) usando as duas mãos. A seguir ela os encaixa 
novamente, bombeia o ar para fora da esfera até atingir a 
pressão absoluta p e coloca as faces opostas do hemisfério 
em um bodybuilder (um aparelho de ginástica usado para 
fazer exercícios de tração) para tentar separá-los. 
 (a) Designando por p0 a pressão atmosférica, qual 
é a força que o bodybuilder deve exercer sobre cada 
hemisfério? 
 (b) Avalie a resposta para o caso p = 0.025atm e 
D = 10.0cm. 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 24 
 24 
 14.47 O ponto com maior profundidade de todos os 
oceanos na Terra é a fossa das Marianas com uma 
profundidade de 10.92 km. 
 (a) Supondo que a água seja incompressível, qual é a 
pressão para essa profundidade? 
 (b) A pressão real nesse ponto é igual a 
81.160 10 Pa
; o valor que você calculou deve ser menor que 
este porque na realidade a densidade da água aumenta com a 
profundidade. 
 Usando o valor da compressibilidade da água e o 
valor real da pressão, ache a densidade no fundo da fossa 
Marianas. Qual é a variação percentual da densidade da água? 
 
 14.48 Uma piscina mede 5.0 m de comprimento, 4.0 
m de largura e possui 3.0 m de profundidade. Determine a 
força exercida pela água sobre: 
 (a) o fundo da piscina; 
 (b) sobre cada parte lateral da piscina (Sugestão: 
Calcule a força infinitesimal que atua sobre uma faixa 
horizontal situada a uma profundidade h e integre sobre a 
parede lateral.) Despreze a força produzida pela pressão do ar. 
 
 14.49 A aresta superior de uma comporta de uma 
represa está em contato com a superfície da água. A comporta 
possui altura de 2.00 m, largura de 4.00 m e possui uma 
articulação passando pelo seu centro. Calcule o torque 
produzido pela força da água em relação ao eixo da 
articulação. (Sugestão: Use o procedimento análogo ao 
adotado no problema 19.48; calcule o torque infinitesimal 
produzido por uma faixa horizontal situada a uma 
profundidade h e integre sobre a comporta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14.50 Força e Torque sobre uma represa. Uma 
represa possui a forma de um sólido retangular. A face de 
frente para o lago possui área A e altura H. A superfície de 
água doce do lago atrás da represa está no mesmo nível do 
topo da represa. 
 (a) Mostre que a força resultante horizontal exercida 
pela água sobre a represa é dada por 
1
2
gHA
, ou seja, o 
produto da pressão manométrica através da face da represa 
pela área da represa. 
 (b) Mostre que o torque produzido pela força da água 
em relação ao eixo passando no fundo da represa é dado por 
21
6
gH A
. 
 (c) Como a força e o torque dependem do tamanho da 
represa? 
 
 14.51 Um astronauta está em pé no pólo norte de um 
novo planeta descoberto com simetria esférica de raio R. Ele 
sustenta em suas mãos um recipiente que contém um 
líquido de massa m volume V. Na superfície do líquido a 
pressão é p0; a uma profundidade d abaixo da superfície, a 
pressão possui um valor maior que p. A partir dessas 
informações, determine a massa do planeta. 
 
14.52 Para calcular a densidade em um dado 
ponto no interior de um material, considere um pequeno 
volume dV em torno desseponto. Se a massa no interior do 
volume for igual a dm, a densidade no referido ponto será 
dada por 
dm
dV
 
. Considere uma barra cilíndrica com 
massa M, raio R e comprimento L, cuja densidade varia 
com o quadrado da distância a uma de suas extremidades, 
2C x  
. 
(a) Mostre que 
2 3
3M
C
R L

. 
(b) Mostre que a densidade média, dada pela 
Equação 
m
V
 
é igual a um terço da densidade na 
extremidade x = L. 
 
14.53 A Terra não possui uma densidade 
constante; ela é mais densa em seu centro e menos densa 
na sua superfície. Uma expressão aproximada para sua 
densidade é dada por
 r A Br  
, onde A =12.700 
kg/m
3
 e B = 1,50. 10
3
 kg/m
4
. Considere a Terra como uma 
esfera com raio R = 6,37. 10
6
 m. 
(a) Evidências geológicas indicam que as 
densidades são de 13.100 kg/m
3
 no centro e de 2400 kg/m
3
 
na superfície. Quais os valores previstos pela aproximação 
linear da densidade para estes pontos? 
(b) Imagine a Terra dividida em camadas 
esféricas concêntricas. Cada camada possuí raio r, 
espessura dr, volume 
24dV r dr e massa 
 dm r dr
. Integrando desde r = 0 até r = R, 
mostre que a massa da Terra com este modelo é dada por: 
34 3
3 4
M R A BR    
 
 
(c) Mostre que os valores dados de A e B 
fornecem a massa da Terra com precisão de 0.4%. 
(d) Vimos na que uma camada esférica não 
fornece nenhuma contribuição de g no interior da camada. 
Mostre que esse modelo fornece: 
 
4 3
3 4
g r Gr A Br    
 
 
(e) Mostre que a expressão obtida no item (d) 
fornece g = 0 no centro da Terra e g = 9,85 m/s
2
 na 
superfície da Terra, 
(f) Mostre que com este modelo g não diminui 
uniformemente com a profundidade e, ao contrário, 
atinge um valor máximo igual a 24
9
GA
B

= 10,01 m/s no 
ponto 
 r = 2A/3 B = 5640 km. 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 25 
 25 
 
14.54 No Exemplo 12.9 (Seção 12.7) vimos que no 
interior de um planeta com densidade constante (uma hipótese 
irreal para a Terra) a aceleração da gravidade cresce 
uniformemente com a distância ao centro do planeta. Ou seja, 
 
rˆ
g r g
R

, onde g é a aceleração da gravidade na 
superfície, r é a distância ao centro do planeta e R é o raio do 
planeta. O interior do planeta pode ser considerado 
aproximadamente como um fluido incompressível com 
densidade . 
(a) Substitua a altura h na Equação (14.4) pela 
coordenada radial r e integre para achar a pressão no interior 
de um planeta com densidade constante em função de r. 
Considere a pressão na superfície igual a zero- (Isso significa 
desprezar a pressão da atmosfera do planeta.) 
(b) Usando este modelo, calcule a pressão nocentro 
do Terra. (Use o valor da densidade média da Terra, 
calculando-a mediante os valores da massa e do raio indicados 
no Apêndice F.) 
(c) Os geólogos estimam um valor aproximadamente 
igual a 4.10
11
 Pa para a pressão no centro da Terra- Este valor 
concorda com o que você calculou para r = 0? O que poderia 
contribuir para uma eventual diferença? 
 
14.55 Um tubo em forma de ü está aberto em ambas 
as extremidades e contém uma porção de mercúrio. Uma 
quantidade de água é cuidadosamente derramada na 
extremidade esquerda do tubo em forma de U até que a altura 
da coluna de água seja igual a 15.0 cm (Figura 14.36). 
(a) Qual é a pressão manométrica na interface água-
mercürio? 
(b) Calcule a distância vertical h entre o topo da 
superfície do mercúrio do lado direito e o topo da superfície da 
água do lado esquerdo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.56 A Grande inundação de melaço. Na tarde do 
dia 15 de janeiro de 1919, em um dia não usualmente quente 
em Boston, correu a ruptura de um tanque cilíndrico metálico 
com diâmetro de 27,4 m e altura de 27,4 m que continha 
melaço. O melaço inundou uma rua formando uma corrente 
com profundidade igual 9 m, matando pedestres e cavalos e 
destruindo edifícios. A densidade do melaço era igual a 1600 
kg/m
3
. Supondo que o tanque estava completamente cheio 
antes do acidente, qual era a força total exercida para fora pelo 
melaço sobre a superfície lateral do tanque? 
(Sugestão: Considere a força para fora exercida 
sobre um anel circular da parede do tanque com largura dy 
situado a uma profundidade y abaixo da superfície 
superior. Integre para achar a força total para fora. 
Suponha que antes do tanque se romper, a pressão sobre a 
superfície do melaço era igual à pressão atmosférica fora 
do tanque.) 
 
14.57 Uma barca aberta possui as dimensões 
indicadas na Figura (4.37. Sabendo-se que todas as partes 
da barca são feitas com placas de aço de espessura igual a 
4,0 cm, qual é a massa de carvão que a barca pode 
suportar em água doce sem afundar? Existe espaço 
suficiente na parte interna da barca para manter esta 
quantidade de carvão? (A densidade do carvão é 
aproximadamente iguala 1500 kg/m
3
.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.58 Um balão com ar quente possui volume 
igual a 2200 m
3
. O tecido (envoltório) do balão pesa 900 
N. A cesta com os equipamentos e o tanque cheio de 
propano pesa 1700 N. Se o balão pode suportar no limite 
um peso máximo igual a 3200 N, incluindo passageiros, 
alimentos e bebidas, sabendo-se que a densidade do ar 
externo é de l ,23 kg/m', qual é a densidade média dos 
gases quentes no interior do balão? 
 
14.59 A propaganda de um certo carro afirma que 
ele flutua na água. 
(a) Sabendo-se que a massa do carro é igual 900 
kg e seu volume interno é de 3,0 m', qual é a fração do 
carro que fica submersa quando ele flutua? Despreze o 
volume do aço e de outros materiais, 
(b) Através de uma passagem, a água penetra 
gradualmente deslocando o ar do interior do carro. Qual 
será a fração do carro que fica cheia quando ele afunda? 
 
14.60 Um cubo de gelo de massa igual a 9,70 g 
flutua em um copo de 420 cm completamente cheio de 
água. A tensão superficial da água e a variação da 
densidade com a temperatura são desprezíveis (quando ela 
permanece líquida), 
(a) Qual é o volume de água deslocado pelo cubo 
de gelo? 
(b) Depois que o gelo se fundiu complelamente, a 
água transborda? Em caso afirmativo, calcule o volume da 
água que transbordou. Em caso negativo, explique por que 
isto ocorre, 
(c) Suponha que a água do copo seja água salgada 
com densidade igual a 1050 kg/m
3
, qual seria o volume da 
água salgada deslocado pelo cubo de gelo de 9,70 g? 
(d) Refaça o item (b) para o caso de um cubo de 
gelo de água doce flutuando em água salgada. 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 26 
 26 
14.61 Um bloco de madeira possui comprimento de 
0,600 m, largura de 0,250 m, espessura de 0,080 m e 
densidade de 600 kg/m
3
. Qual deve ser o volume de chumbo 
que pode ser amarrado embaixo do bloco de madeira para que 
ele possa flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja 
alinhado com a superfície da água? Qual é a massa deste 
volume de chumbo? 
 
14.62 Um densímetro é constituído por um bulbo 
esférico e uma haste cilíndrica cuja seção reta possuí área igual 
a 0,400 cm 
(Figura 14.9a). O volume total do bulbo com a haste é igual a 
13,2 cm'. Quando imerso em água, o densímetro flutua 
mantendo a haste a uma altura de 8,00 cm acima da 
superfície da água. Quando imerso em um fluido orgânico, a 
haste fica a uma altura de 3,20 cm acima da superfície. Ache a 
densidade do fluido orgânico. (Observação: Este problema 
ilustra a precisão deste tipo de densímetro. Uma diferença de 
densidade relativamente pequena produz uma diferença 
grande na leitura da escala do densímetro). 
 
 CAPITULO 14 - MECÂNICA DOS FLUIDOS 
 
14.63 As densidades do ar, do hélio e do hidrogênio 
(para p = l,0atm e T= 293 K) são 1,20 kg/m
3
,0,166 kg/m
3
 e 
0,0899 kg/m , respectivamente, 
(a) Qual é o volume em metros cúbicos deslocado por 
um aeróstato cheio de hidrogênio sobre o qual atua uma força 
de "sustentação" total igual a 120 kN? (A "sustentação" é a 
diferença entre a força de empuxo e o peso do gás que enche o 
aeróstato.) 
(b) Qual seria a "sustentação" se o hélio fosse usado 
no lugar do hidrogênio? Tendo em vista sua resposta, explique 
por que o hélio é usado nos modernos dirigíveis usados em 
propagandas. 
 
14.64 MHS de um objeto flutuando. Um objeto com 
altura h, massa M e área da seção reta A flutua verticalmente 
em um líquido com densidade. 
(a) Calcule a distância vertical entre a superfície do 
líquido e a parte inferior do objeto na posição de equilíbrio, 
(b) Uma força de módulo F é aplicada de cima para 
baixo sobre o topo do objeto. Em sua posição de equilíbrio, 
qual é a diferença entre a nova distância vertical entre a 
superfície do líquido e a parte inferior do objeto e a distância 
calculada no item (a)? (Suponha que uma pequena parte do 
objeto permaneça sobre a superfície do líquido.) 
(c) Sua resposta da parte (b) mostra que se a força for 
repentinamente removida- o objeto deverá oscilar para cima e 
para baixo executando um MHS. Obtenha o período deste 
movimento em função da densidade p do líquido, da massa M 
e da área da seção reta A do objeto. Despreze o amortecimento 
provocado pelo atrito do líquido (Seção 13.8). 
 
14.65 Uma baliza cilíndrica de 950 kg flutua 
verticalmente na água do mar. O diâmetro da baliza é igual a 
0,900 m. 
(a) Calcule a distância vertical adicional que a baliza 
deverá afundar quando um homem de 70,0 kg ficar em pé 
sobre ela. (Use a expressão deduzida na parte (b) do Problema 
14.64.) 
(b) Calcule o período do MHS resultante quando 
o homem pular para fora da baliza.(Use a expressão 
deduzida na parTe (c) do Problema 14.64 e, como nesse 
problema, despreze o amortecimento provocado pelo atrito 
do líquido.) 
 
14.66 Na água do mar um salva-vidas com 
volume igual a 0,0400 m
3
 pode suportar o peso de uma 
pessoa com massa igual a 75,0 kg (com densidade média 
igual a 980 kg/m
3
) mantendo 20% do volume da pessoa 
acima da água quando o salva-vidas está completamente 
submerso. Qual é a densidade média do material que 
compõe o salva-vidas? 
 
14.67 Um bloco de madeira leve está sobre um 
dos pratos de uma balança de braços iguais sendoexatamente equilibrado pela massa de 0,0950 kg de um 
bloco de latão no outro prato da balança. Calcule a massa 
do bloco de madeira leve se a sua densidade for igual a 
150 kg/m
3
. Explique por que podemos desprezar o 
empuxo sobre o bloco de latão, mas não o empuxo do ar 
sobre o bloco de madeira leve. 
 
14.68 O bloco A da Figura 14.38 está suspenso 
por uma corda a uma balança de mola D e está submerso 
em um líquido C contido em um recipiente cilíndrico B. A 
massa do recipiente é igual a l ,00 kg; a massa do líquido é 
l ,80 kg. A leitura da balança D indica 3,50 kg e a balança 
E indica 7,50 kg. O volume do bloco A é igual a 3,80.10
-3
 
m
3
. 
(a) Qual é a densidade do líquido? 
(b) Qual será a leitura de cada balança quando o 
bloco A for retirado do líquido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.69 Uma barra de alumínio é completamente 
recoberta por uma camada de ouro formando um lingote 
com peso igual a 45,0 N. Quando você suspende o lingote 
em uma balança de mola e a seguir o mergulha na água, a 
leitura da balança indica 39,0 N. Qual é o peso do ouro na 
camada? 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 27 
 27 
14.70 Uma bola solta cheia de hélio flutuando no 
interior de um carro com janelas e ventoinhas fechadas se 
move no sentido da aceleração do carro, porem uma bola 
frouxa com pouco ar em seu interior se move em sentido 
contrário ao da aceleração do carro. 
Para explicar a razão deste efeito, considere somente 
as forças horizontais que atuam sobre a bola. Seja a o módulo 
da aceleração do carro. Considere um tubo de ar horizontal 
cuja seção reta possui área A com origem no pára-brisa, onde x 
= 0 e p = p0 e se orienta para trás. Agora considere um 
elemento de volume de espessura dx ao longo deste tubo. A 
pressão em sua parte frontal é p e a pressão em sua parte 
traseira é p + dp. Suponha que o ar possua uma densidade 
constante p. 
(a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento de 
volume e mostre que dp = pa dx. 
(b) Integre o resultado da parte (a) para achar a 
pressão na superfície frontal em termos de a e de x. 
(c) Para mostrar que considerar p constante é 
razoável, calcule a diferença de pressão em atm para uma 
grande distância de 2,5 m e para uma elevada aceleração de 5,0 
m/s
2
, 
(d) Mostre que a força horizontal resultante sobre um 
balão de volume Vê igual Va. 
(e) Para forças de atrito desprezíveis, mostre que a 
aceleração da bola (densidade média 𝜌 ) é dada por (
𝜌
𝜌𝑏𝑜𝑙
)a, de 
modo que a aceleração relativa é dada por: 
𝑎𝑟𝑒𝑙 = 𝜌 𝜌𝑏𝑜𝑙 − 1 𝑎 
(f) Use a expressão da a obtida na parte (e) para 
explicar o sentido do movimento das bolas. 
 
14.71 O peso da coroa de um rei é w. Quando 
suspensa por uma corda leve e totalmente imersa na água, a 
tensão na corda (o peso aparente da coroa) é igual fw. 
(a) Mostre que a densidade relativa da coroa é dada 
por 1 1 − 𝑓 . Discuta o significado dos limites quando f = 
0 e f = l. 
(b) Se a coroa for um sólido de ouro e pesar 12,9 N no 
ar, qual será o seu peso aparente quando estiver totalmente 
imersa na água? 
(c) Repita a parte (b) se a coroa for um sólido de 
chumbo com uma camada muito fina de ouro, porém com peso 
ainda igual a 12,9 N no ar. 
 
14.72 Uma peça de aço possui peso w, um peso 
aparente (ver o Problema 14.71) w quando está totalmente 
imersa na água e um peso aparente wfluido quando está 
totalmente imersa em um fluido desconhecido, 
(a) Mostre que a densidade relativa do fluido é dada 
por 
 𝑤 − 𝑤𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑤 − 𝑤á𝑔𝑢𝑎 
(b) Este resultado é razoável para os três casos wfluido 
maior, menor ou igual a wágua? 
(c) O peso aparente da peça de aço em água com 
densidade 1000 kg/m
3
 é 87,2% do seu peso. Qual é a 
porcentagem do seu peso para o peso aparente do corpo 
mergulhado em ácido fórmico (densidade 1220 kg/m
3
)? 
 
14.73 Você funde e molda uma certa quantidade de 
metal com densidade 𝜌𝑚 em uma forma, porém deve tomar 
cuidado para que não se formem cavidades no interior do 
material fundido. Você mede um peso w para o material 
fundido e uma força de empuxo igual a B. 
(a) Mostre que 
𝑉0 =
𝐵
𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑔
−
𝑤
𝜌𝑚𝑔
 
é o volume total das eventuais cavidades 
formadas no interior do material fundido. 
(b) Se o metal for o cobre, o peso w do material 
fundido for igual a 156 N e a força de empuxo for igual a 
20 N, qual é o volume total das cavidades formadas no 
interior do material fundido? A que fração do volume do 
material este volume corresponde? 
 
14.74 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 
0,100 m de densidade igual a 550 kg/m
3
 flutua em um 
recipiente com água. Óleo com densidade igual a 750 
kg/m
3
 é derramado sobre água até que a camada de óleo 
fique 0,035 m abaixo do topo do bloco. 
(a) Qual é a profundidade da camada de óleo? 
(b) Qual é a pressão manométrica na face inferior 
do bloco? 
 
14.75 Lançando uma âncora. Uma âncora de 
ferro com massa igual a 35,0 kg e densidade igual a 7860 
kg/m
3
 está sobre o convés de uma barca pequena que 
possui lados verticais e está flutuando sobre um rio de 
água doce. A área da parte inferior da barca é igual a 8,00 
m
3
. A âncora é lançada pela parte lateral da barca e afunda 
sem tocar o fundo do rio sendo sustentada por uma corda 
de massa desprezível. Quando a âncora fica suspensa 
lateralmente e depois de a barca parar de oscilar, a barca 
afundou ou subiu na água? Qual o valor da distância 
vertical que ela afundou ou subiu? 
 
14.76 Suponha que o petróleo de um 
superpetroleiro possua densidade igual a 750 kg/m
3
. O 
navio fica encalhado em um banco de areia. Para fazer o 
navio flutuar novamente sua carga é bombeada para fora e 
armazenada em barris, cada um deles com massa igual a 
15,0 kg quando vazio e com capacidade para armazenar 
0,120 m de petróleo. Despreze o volume ocupado pelo aço 
do barril, 
(a) Se um trabalhador que está transportando os 
barris acidentalmente deixa um barril cheio e selado cair 
pelo lado do navio, o barril flutuará ou afundará na água 
do mar? 
(b) Se o barril flutua, qual é a fração de seu 
volume que fica acima da superfície da água? Se ele 
afunda, qual deveria ser a tensão mínima na corda 
necessária para rebocar o barril para cima a partir do 
fundo do mar? 
(c) Repita as partes (a) e (b) supondo que o 
petróleo possua densidade igual a 910 kg/m
3
 e que a 
massa de cada barril vazio seja igual a 32,0 kg. 
 
14.77 Um bloco cúbico com densidade 𝜌𝐵 e uma 
aresta com comprimento L flutua sobre um líquido de 
densidade maior 𝜌𝐿. 
(a) Que fração do volume do bloco fica acima da 
superfície do líquido? 
(b) O líquido é mais denso do que a água 
(densidade igual a 𝜌𝐴) e não se mistura com ela. 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 28 
 28 
Derramando-se água sobre a superfície do líquido, qual deve 
ser a camada da água para que a superfície livre da água 
coincida com a superfície superior do bloco? Expresse a 
resposta em termos de L, 𝜌𝐵 , 𝜌𝐴 e 𝜌𝐿. 
(c) Calcule a profundidade da camada de água da 
parte (b) se o liquido for mercúrio e o bloco for de aço com 
aresta de 10,0 cm. 
 
14-78 Uma barca está em uma eclusa retangular de 
um rio de água doce. A eclusa possui comprimento igual a 
60,0 m e largura igual a 20,0 m e as comportas de aço das duas 
extremidades estão fechadas. Quando a barca está flutuando na 
eclusa,uma carga de 2.5.10
6
 N de sucata de metal é colocada 
na barca. O metal possui densidade igual a 9000 kg/m
3
, 
(a) Depois que a carga de sucata de metal, que estava 
inicialmente nas margens da eclusa, é colocada na barca, de 
quanto se eleva verticalmente o nível da água da eclusa? 
(b) A sucata de metal é agora despejada na água da 
eclusa pela parte lateral da barca. O nível da água da eclusa 
sobe, desce ou permanece inalterado? Caso ele suba ou desça, 
de quanto varia verticalmente o nível da água da eclusa? 
 
14.79 Um tubo em forma de U que contém um 
líquido possui uma seção horizontal de comprimento igual a 
l (Figura 14.39). Calcule a diferença de altura entre as duas 
colunas de líquido nos ramos verticais quando 
(a) o tubo se desloca com uma aceleração a para a 
direita: 
(b) o tubo gira em torno de um dos ramos verticais 
com uma velocidade angular 𝜔. 
(c) Explique por que a diferença de altura não 
depende da densidade do líquido nem da área da seção reta do 
tubo. A resposta seria a mesma se os tubos verticais tivessem 
áreas das seções retas diferentes? A resposta seria a mesma se 
a parte horizontal do tubo fosse afunilada diminuindo sua 
seção reta de uma extremidade até a outra? Explique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.80 Um recipiente cilíndrico que contém um liquido 
incompressível gira com velocidade angular 𝜔 constante em 
tomo de seu eixo de simetria, o qual vamos considerar como o 
eixo Ou (Figura 14.40). 
(a) Mostre que a pressão a uma dada altura no interior 
do líquido cresce com a distância radial r (para fora do eixo de 
rotação) de acordo com 
𝜕𝜌
𝜕𝑟
= 𝜌𝜔2𝑟 
(b) Integre esta equação diferencial parcial para achar 
a pressão em função da distância ao eixo de rotação ao longo 
de uma linha horizontal para y = 0. 
(c) Combine a resposta da parte (b) com a Equação 
(14.5) para mostrar que a superfície do líquido que gira possui 
uma forma parabólica, ou seja, a altura do liquido é dada por 
𝑕 𝑟 =
𝜔2𝑟2
2𝑔
 
(Esta técnica é usada para fabricar espelhos 
parabólicos para telescópios; o vidro líquido gira e depois 
é solidificado enquanto está girando.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.81 Um fluido incompressível com densidade p 
está em um tubo de teste horizontal com área da seção reta 
interna A. O tubo de teste gira com velocidade angular 𝜔 
em uma ultracentrífugadora. As forças gravÍtacionais são 
desprezíveis. Considere um elemento de volume do fluido 
de área A e espessura dr' situado a uma distância r' do 
eixo de rotação. A pressão na superfície interna é p e a 
pressão na superfície externa é p + dp. 
(a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento 
de volume para mostrar que 
𝑑𝑝 = 𝜌𝜔2𝑟´𝑑𝑟´ 
 (b) Se a superfície do fluido está em um raio r0 
onde a pressão é p0, mostre que a pressão p a uma 
distância 𝑟 ≥ 𝑟0 é dada por: 
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝜔
2
 𝑟2 − 𝑟0
2 
2
 
(c) Um objeto de volume V e densidade 𝜌𝑜𝑏 
possui o centro de massa a uma distância 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 do eixo. 
Mostre que a força resultante horizontal sobre o objeto é 
dada por 
𝜌𝑉𝜔2𝑅𝑐𝑚 
, onde Rcm é a distância entre o eixo e o centro de 
massa do fluido deslocado, 
(d) Explique por que o objeto se move para o 
centro quando 𝜌𝑅𝑐𝑚 > 𝜌𝑜𝑏 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 
para fora do centro quando 𝜌𝑅𝑐𝑚 < 𝜌𝑜𝑏 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 . 
(e) Para pequenos objetos com densidade 
uniforme, 𝑅𝑐𝑚 = 𝑅𝑐𝑚𝑜𝑏 . O que ocorre para uma mistura 
de pequenos objetos deste tipo com densidades diferentes 
em uma ultracentrifugadora? 
 
14.82 Qual é o raio de uma gota d'água para que a 
diferença entre a pressão interna e a pressão externa da 
gota seja igual a 0.0250 atm? Considere T= 293 K, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 29 
 29 
 
14.83 Um bloco cúbico de madeira com aresta de 0.30 
m é fabricado de modo que seu centro de gravidade fique na 
posição indicada na Figura 14.41a. flutuando na água com a 
metade de seu volume submerso. Se o bloco for "tombado" de 
um ângulo de 45
0
 como indicado na Figura 14.41. Calcule o 
torque resultante em torno de um eixo horizontal perpendicular 
ao bloco e passando pelo centro geométrico do bloco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.84 A água de um grande tanque aberto com 
paredes verticais possui uma profundidade H (Figura 14.42). 
Um orifício é feito na parede vertical a uma profundidade h 
abaixo da superfície da água. 
(a) Qual é a distância R entre a base do tanque e o 
ponto onde a corrente atinge o solo? 
(b) A que distância acima da base do tanque devemos 
fazer um segundo furo para que a corrente que emerge dele 
tenha um alcance igual ao do primeiro furo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.85 Um balde cilíndrico, aberto na parte superior, 
possui diâmetro de 10.0 cm e altura igual a 25.0 cm. Um 
orifício circular com área da seção reta igual a l.50 cm
2
 é 
feito no centro da base do balde. A partir de um tubo sobre a 
parte superior, a água flui para dentro do balde com uma taxa 
igual a 2.40.10
-4
m
3
/s. Até que altura a água subirá no tubo? 
 
14.86 A água flui continuamente de um tanque 
aberto, como indicado na Figura 14.43. A altura do ponto l é 
igual a 10.0 m e os pontos 2 e 3 estão a uma altura igual a 2.00 
m. A área da seção reta no ponto 2 é igual a 0.0480 m
2
 ; no 
ponto 3 ela é igual a 0.0160 m
2
 . A área do tanque é muito 
maior do que a área da seção reta do tubo. Supondo que a 
equação de Bemoulii seja válida, calcule: 
(a) a vazão volumétrica em metros cúbicos por 
segundo: 
 
 
 
 
 
(b) a pressão manométrica no ponto 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14.87 O projeto de um avião moderno exige uma 
sustentação oriunda do ar que se move sobre as asas 
aproximadamente igual a 200N por metro quadrado. 
 
14.88 O furacão Emily ocorrido em 1993 possuía 
um raio aproximadamente igual a 350 km. A velocidade 
do vento nas vizinhanças do centro (o "olho") do furacão, 
com raio de 30 km atingiu 200 km/h. À medida que o ar 
forma redemoinhos em direção ao olho. o momento 
angular permanece praticamente constante, 
(a) Estime a velocidade do vento na periferia do 
furacão. 
(b) Estime a diferença de pressão na superfície 
terrestre entre o olho e a periferia do furacão. (Sugestão: 
Ver a Tabela 14.1). Onde a pressão é maior? 
(c) Se a energia cinética do ar que forma 
redemoinhos no olho pudesse ser convertida 
completamente em energia potencial gravitacional, até que 
altura o ar se elevaria? 
(d) Na realidade o ar se eleva até altitudes de 
diversos quilômetros. Como você concilia este fato com 
sua resposta do item (c)? 
 
 14.89 Dois tanques abertos muito grandes A e F 
(Figura 14.44) contêm o mesmo líquido. Um tubo 
horizontal BCD, possuindo uma constrição C e aberto ao 
ar no ponto D leva o líquido para fora na base do tanque 
A, e um tubo vertical E se liga com a constrição C e goteja 
o líquido para o tanque F. Suponha um escoamento com 
linhas de corrente e despreze a viscosidade. Sabendo que a 
área da seção reta da constrição C é a metade da área em 
D e que D está a uma distância h1 abaixo do nível do 
líquido no tanque A. até que altura h2 o líquido subirá no 
tubo E? 
Expresse sua resposta em termos de h1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 30 
 3014.90 O tubo horizontal indicado na Figura 14.45 
possui seção reta com área igual a 40,0 cm
2
 em sua parte mais 
larga e 10.0 cm
2
 em sua constrição. A água flui no tubo e a 
vazão volumétrica é igual a 6.00.10
-3
 m
3
/s (6.00 L/s). Calcule 
 (a) a velocidade do escoamento na parte mais larga e 
na constrição; 
(b) a diferença de pressão entre estas duas partes: 
(c) a diferença de altura entre os dois níveis do 
mercúrio existente no tubo em U. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14.91 A Figura 14.27a mostra um líquido se escoando 
de um tubo vertical. Note que a corrente de líquido vertical 
possui uma forma definida depois que ela sai do tubo. Para 
obter a equação para esta forma, suponha que o líquido esteja 
em queda livre quando ele sai do tubo. No exato momento em 
que ele sai do tubo, o líquido possui velocidade v0 e o raio da 
corrente é r0. 
(a) Obtenha uma expressão para a velocidade do 
líquido em função da distância y que ele caiu. Combinando 
esta relação com a equação da continuidade, ache uma 
expressão para o raio da corrente em função de y. 
(b) Se a água escoa de um tubo vertical com 
velocidade de l.20 m/s, a que distância da saída do tubo o raio 
será igual à metade do seu valor na corrente original? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.92 (a) Com que velocidade uma esfera de 
latão com raio de 2.50 mm cai em um tanque de glicerina 
no instante em que sua aceleração é a metade da 
aceleração de um corpo em queda livre? A viscosidade da 
glicerina é igual a 8.30 poises, 
(b) Qual é a velocidade terminal da esfera? 
 
14.93 Velocidade de uma bolha em um líquido, 
(a) Com que velocidade terminal uma bolha de 
ar com diâmetro de 2.00 mm sobe em um líquido cuja 
viscosidade é igual a l.50 poise e densidade igual a 900 
kg/m
3
? (Suponha que a densidade do ar seja igual a l.20 
kg/m
3
 e que o diâmetro da bolha permanece constante.) 
(b) Qual é a velocidade terminal da mesma bolha, 
na água a 20
0
C que possui uma viscosidade igual a l.005 
centipoise? 
 
14.94 Um óleo com viscosidade igual a 3,00 
poises e densidade igual a 860 kg/m
3
 deve ser bombeado 
de um grande tanque aberto para outro através de um tubo 
liso de aço horizontal de comprimento igual a l,50 km e 
diâmetro de 0.110 m. A descarga do fubo ocorre no ar. a) 
Qual é a pressão manométrica exercida pela bomba, em 
pascais e atmosferas, para manter uma vazão volumétrica 
igual a 0,0600 m7s? h) Explique por que o consumo de 
potência da bomba é igual ao produto da vazão 
volumétrica pela pressão manométrica exercida pela 
bomba. Qual é o valor numérico da potência? 
 
14.95 O tanque do lado esquerdo da Figura 
14.46a está aberto para a atmosfera e a seção reta possui 
área muito elevada. A profundidade é y = 0.600 m. As 
áreas das seções retas dos tubos horizontais que saem do 
tanque são l.00 cm
2
, 0.40 cm
2
 e 0.20 cm
2
, 
respectivamente. O líquido é ideal, logo sua viscosidade é 
igual a zero. 
(a) Qual é a vazão volumétrica para fora do 
tanque? 
(b) Qual é a velocidade em cada seção do tubo 
horizontal? 
(c) Qual é a altura atingida pelo líquido em cada 
um dos cinco tubos verticais do lado direito? 
(d) Suponha que o líquido da Figura 14.46b 
possua viscosidade igual a 0.0600 poise, densidade igual a 
800 kg/m
3
 e que a profundidade do líquido no tanque 
grande seja tal que a vazão volumétrica do escoamento 
seja a mesma que a obtida na parte (a). A distância entre 
os tubos laterais entre c e d e a distância entre e e f são 
iguais a 0.200 m. As áreas das respectivas seções retas dos 
dois diagramas são iguais. Qual é a diferença de altura 
entre os níveis dos topos das colunas de líquido nos tubos 
verticais em c e d? 
(e) E para os tubos em e e f? 
(f) Qual é a velocidade do escoamento ao longo 
das diversas partes do tubo horizontal? 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 1 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBLEMAS DESAFIADORES 
 
14.96 Uma pedra com massa m = 3,00 kg é 
suspensa do teto de um elevador por meio de uma 
corda leve. A pedra está totalmente imersa na água 
de um balde apoiado no piso do elevador, porém a 
pedra não toca nem o fundo nem as paredes do 
balde, 
(a) Quando o elevador está em repouso, a 
tensão na corda é igual a 21,0 N. Calcule o volume 
da pedra, 
(b) Deduza uma expressão para a tensão na 
corda quando o elevador está subindo com uma 
aceleração constante a. Calcule a tensão na corda 
quando a = 2.50 m/s
2
 de baixo para cima. 
(c) Deduza uma expressão para a tensão na 
corda quando o elevador está descendo com uma 
aceleração constante a. Calcule a tensão na corda 
quando a = 2,50 m/s
2
 de cima para baixo, 
(d) Qual é a tensão na corda quando o 
elevador está em queda livre com uma aceleração de 
cima para baixo igual a g? 
 
14.97 Suponha que um bloco de isopor, 
com  = 180 kg/m3, seja mantido totalmente imerso 
na água (Figura 14.47). 
(a) Qual é a tensão na corda? Faça o 
cálculo usando o princípio de Arquimedes. 
(b) Use a fórmula p = p0 + gh para 
calcular diretamente a força exercida pela água 
sobre as duas faces e sobre a base do isopor; a seguir 
mostre que a soma vetorial destas forças é a força de 
empuxo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14.98 Um tanque grande de diâmetro D está 
aberto para a atmosfera e contém água até uma altura 
H. Um pequeno orifício com diâmetro d (d << D) é 
praticado na base do tanque. 
 Desprezando qualquer efeito de viscosidade, 
encontre o tempo necessário para drenar 
completamente o tanque. 
 
 14.99 Um sifão, indicado na figura, é um 
dispositivo conveniente para remover o líquido de um 
recipiente. Para realizar o escoamento, devemos 
encher completamente o tubo com o líquido. Suponha 
que o líquido possua densidade  e que a pressão 
atmosférica seja pa. Suponha que a seção reta do tubo 
seja a mesma em todas as suas partes. 
 (a) Se a extremidade inferior do sifão está a 
uma distância h abaixo da superfície do líquido no 
recipiente, qual é a velocidade do líquido quando ele 
flui para fora da extremidade do sifão? (Suponha que 
o recipiente possua um diâmetro muito grande e 
despreze qualquer efeito da viscosidade. 
 (b) Uma característica curiosa de um sifão é 
o que o liquido inicialmente flui para cima. Qual é a 
altura máxima H que pode ser atingida pelo líquido 
no ponto mais elevado do tubo para que o escoamento 
ainda ocorra? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14.100 – O trecho a seguir foi citado em uma 
carta: É uma prática dos carpinteiros da região, para 
nivelar as fundações de edifícios relativamente 
longos, usar uma mangueira de jardim cheia de água 
tendo em suas extremidades dois tubos de vidro com 
comprimentos da ordem de 25 a 30 cm. A teoria é que 
a água, procurando manter o mesmo nível, atinge a 
mesma altura nos dois tubos servindo de referência 
para o nivelamento. Agora surge a dúvida para o que 
ocorre quando existe uma bolha no interior da 
mangueira. Nossos velhos profissionais afirmam que 
o ar não afeta a leitura da altura de uma extremidade 
para outra. Outros alegam que a bolha pode causar 
importantes imprecisões. Você é capaz de dar uma 
resposta relativamente simples para esta pergunta, 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 2 
 2 
juntamente com uma explicação? 
 A figura 14.49mostra um esquema para 
ilustrar a situação que causou a controvérsia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
* 14.38 - No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e 
explicitando p1 – p2 = p, obtemos 
 
max
2
4 Lv
p
R

 
 
3 2
2 2
4(1.005 10 / )(3.00 )(0.200 / )
(0.85 10 )
x N s m m m s
p
x m



 
 
33.4 .p Pa 
 
14-40: a) Explicitando na Eq. (14-26) a 
pressão manométrica p = p1 - p2, 
 
4
8 ( / )L dV dt
p
R

 

3 2 3 6 3
6 4
8(1.0 10 / )(0.20 10 )(0.25 10 ) /(15 60 )
(5 10 )
x N s m x m x m x s
p
x m
  


 

 
52.3 10 2.2 .p x Pa atm  
 
b) Esta é a diferença de pressão abaixo 
da atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a 
pressão manométrica é negativa. A diferença de 
pressão é proporcional ao inverso da quarta potência 
do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta 
diferença de pressão é devida à menor seção reta da 
boca do inseto. 
 
 14-42: Da equação da velocidade 
terminal, Eq. (14-27), obtemos 
 
 
,16
2
1








 mgBmgrvt
 
onde 1é a densidade do líquido e 2é a densidade do 
latão. Explicitando a viscosidade obtemos 
 
rv
mg




6
.1
2
1







 
 O raio é obtido de 
 V = 
,
3
4 3r
m
c



 
donde obtemos r = 2.134 x 10
-3
 m. Substituindo os 
valores numéricos na relação precedente  = 1.13 
Ns/m2, aproximadamente igual a 11 com dois 
algarismos significativos. 
 
14.44 Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, obtemos 
 
 6(181 x 10-7 Ns/m2)(0.124 m/s) = 
 = 2.12 x 10
-4
 N 
logo o peso é igual a 5.88 N; 
a razão é igual a 3.60 x 10
-5
. 
 
 
 Gabarito 
 
14-1: 41,8N, não. 
 
 14-2: 
 
./1033.3
)1074.1(
3
4
)1035.7(
3
4
33
36
22
3
mkgx
mx
kgx
r
m
V
m



 
 
 14-3:7,03.10
3
 kg/m
3
; sim. 
 
 14-4: O comprimento L de uma aresta do 
cubo é 
.3.12
/104.21
40 3
1
33
3
1
3
1
cm
mkgx
kgm
VL 











 
 
 
 14-5: (a) 706 Pa (b) 3160 Pa. 
 
14-6: (a) Peso em cada pneu: 
16.5
4
porpneuP kN
 
Pressão absoluta em cada pneu: 
205 101,3 306,3abs m atmp p p kPa    
 
 Área em cada pneu: 
porpneu
porpneu
P
p
A

 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 3 
 3 
 
216.5 4 0,01348
306,3
porpneu
abs
P
A m
p
  
 
Área total: 
2 2 24 4 0,01348 0,05386 538,6tA A m m cm    
 
 
(b) Com o peso extra, a repetição do 
cálculo anterior fornece 836 cm
2
. 
 
 14-7: (a) 2,52.10
6
Pa (b) 1,78.10
5
Pa 
 
 14-8:  = gh = 
(1.00 x 10
3
 kg/m
3
)(9.80 m/s
2
)(640 m) = 
6.27 x 10
6
 Pa = 61.9 atm. 
 
 14-9: 
 (a) 1,07.10
5
Pa (b) 1,03.10
5
Pa 
 (c) 1,03.10
5
Pa (d) 5,33.10
3
Pa 
 
 14-10: 
 gh = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)(6.1 m) 
= 
 = 6.0 x 10
4
 Pa. 
 
 14-11: 2,3.10
5
Pa 
 
 14-12: 130 x 10
3
 Pa + (1.00 x 10
3
 
kg/m
3
)(3.71 m/s
2
)(14.2 m) – 93 x 103 Pa 
 (2.00 m
2
) = 1.79 x 10
5
 N. 
 
 14-13: 4,14m 
 
 14-14: 
 
2
2 2
(1200 )(9.80 / )
( / 2) (0.15 )
F mg kg m s
A d m
    
51.66 10 1.64 .x Pa atm  
 
 
 14-15: 0,562m
2
 
 
 14-16: A força de empuxo é: 
B = 17.50 N - 11.20 N = 6.30 N, logo 
.1043.6
)/80.9)(/1000.1(
)30.6( 34
233
mx
smmkgx
N
g
B
V
água
 
 
 
A densidade é dada por 
/
/
água
água
m g
V B g B
  

  
 
3 3 3 317.50(1.00 10 / ) 2.78 10 / .
6.30
x kg m x kg m    
 
 
 14-17: 
 (a)  < fluido 
 (c) submerso  / fluido:acima 
 (fluido- )/fluido 
 (d) 32% 
 
 14-18: 
 (a) B = águagV = (1.00 x 10
3
 
kg/m
3
)(9.80 m/s
2
)(0.650 m
3
) = 6370 N. 
 
 (b) 
.558
/80.9
9006370
2
kg
sm
NN
g
TB
g
m 




 
 
(c) (Ver o Exercício 14-17.) 
Se o volume submerso é V, 
 𝑉 ´ =
𝜔
𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑔
⟹
𝑉´
𝑉
=
𝜔
𝜌𝑔𝑉
 
𝑉´
𝑉
=
𝜔
𝜌𝑔𝑉
=
5470
6370
= 0.859 = 85.9%
 
 14-19: 
 (a) 116 Pa (b) 921 Pa 
 (c) 0,822 kg , 822 kg/m
3
 
 
 14-20: 
 (a) Desprezando a densidade do ar, 
 
/m g
V
g
 
  
  
 
3 3
2 3 3
(89 )
3.3610
(9.80 / )(2.7 10 / )
N
V m
m s x kg m
 
 
ou seja 3.4.10
-3
 m
3
 com dois algarismos 
significativos. 
 
(b) T =  - B =  - gáguaV =  
.0.56
7.2
00.1
1)89(1 NN
alumínio
água




















 
 
 14-21: 6,67Pa 
 
 14-22: Usando a Eq. (14-13), 
 
obtemosmNxe
R
g /108.72 ,
2 3 
 
 
(a) 146 Pa, 
 (b) 1.46 x 10
4
 Pa (note que este resultado é 
100 vezes maior do que a resposta do item (a)). 
 
14-23: 0.1 N; 0.01 kg 
 
 14-24: A análise que conduziu à 
Eq. (14-13) é válida para os poros; 
 
 
.109.2
42 7 Pax
DR

 
 14-25: 4.4 ∙ 10−3N 
 
 14-26: 
1
2 1
2
A
v v
A

 
2 3
2
2 2
(3.50 / )(0.0700 ) 0.245 /m s m m s
v
A A
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 4 
 4 
(a) 
 (i) A2 = 0.1050 m
2
, v2 = 2.33 m/s. 
 (ii) A2 = 0.047 m
2
, v2 = 5.21 m/s. 
 
(b) 
 v1A1t = v2A2t = (0.245 m
3
/s)(3600 s) 
= 882. 
 
14-27: (a) 17.0 m/s (b) 0.317m. 
 
 14-28: 
 (a) Pela equação que precede a Eq. 
(14-14), dividido pelo intervalo de tempo dt 
obtemos a Eq. (14-16). 
 
(b) A vazão volumétrica diminui de 
1.50%. 
 
14-29: 28.4 m/s 
 
 14-30: 
 (a) Pela Eq. (14-22), 
./6.16)0.14(2 smmghv 
 
 
(b) vA = (16.57 m/s)((0.30 x 10-2 m)2) = 
4.69 x 10
-4
 m
3
/s. Note que mais um algarismo 
significativo foi mantido nos cálculos 
intermediários. 
 
14-31: 𝟏.𝟒𝟕 × 𝟏𝟎𝟓𝑷𝒂 
 
 14-32: 
 Usando v2 = 
1
4
1
v
 na Eq. (14-21), 
 
 2 22 1 1 2 1 2
1
( )
2
p p v v g y y     
 22 1 1 1 215 ( )
32
p p v g y y        
  
 
4 3 2155.00 10 (1.00 10 ) (3.00) (9.80)(11.0)
32
p x Pa x
 
   
 
 
1.62p Pa
 
 14-33: 500 N de cima para baixo 
 
 14-34: 
 (a)
./30.1
0.60
)355.0)(220(
skg
s
kg

 
 
 (b)A densidade do líquido é 
 
3
3 3
0.355
1000 /
0.355 10
kg
kg m
x m

 
 
e portanto a vazão volumétrica é 
 
./30.1/1030.1
/1000
/30.1 33
3
sLsmx
mkg
skg
 
 
 Este resultado também pode ser obtido do 
seguinte modo 
./30.1
0.60
)355.0)(220(
sL
s
L

 
 (b) 
3 3
1 4 2
1.30 10 /
2.00 10
x m s
v
x m



 
1 2 16.50 / , / 4 1.63 / .v m s v v m s  
 
 (d) 
 2 21 2 2 1 2 1
1
( )
2
p p v v g y y     
 
152 (1/ 2)(1000)(9.80)( 1.35)
119 .
kPa
kPa
  

 
 
 14-35: 0.41cm 
 
 
 14-36: 
 Pela Eq. (14-21), para y1 = y2, 
 
 2 22 1 1 2
1
2
p p v v  
 
2
2 21
2 1 1 1 1
1 3
2 4 8
v
p p v p v       
 
 
= 1.80 x 10
4
 Pa + 
8
3
(1.00 x 10
3
 kg/m
3
)(2.50 m/s)
2
 = 
= 2.03 x 10
4
 Pa, 
onde usamos a equaçãoda continuidade 
2
1
2
v
v 
. 
 14-37: (a) 1.88 m/s (b) 0 
 
 14-38: 
 No centro, r = 0 na Eq. (14-25), e 
explicitando p1 – p2 = p, obtemos 
 
 p = 
max
2
4 Lv
R

 
3 2
2 2
4(1.005 10 / )(3.00 )(0.200 / )
(0.85 10 )
x N s m m m s
x m




33.4p Pa
 
 14-39: (a) 0.128 m
3
/s (b) 9.72.10
4
 Pa 
 (c) 0.275 m
3
/s 
 
 14-40: 
 (a) Explicitando na Eq. (14-26) a 
pressão manométrica p = p1 - p2, 
 
4
8 ( / )L dV dt
p
R


 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 5 
 5 
3 3 6
6 4
8(1.0 10 )(0.20 10 )(0.25 10 ) / (15 60)
(5 10 )
x x x x
x
  

 52.3 10 2.2 .p x Pa atm  
 
Esta é a diferença de pressão abaixo da 
atmosfera existente na boca do inseto, ou seja, a 
pressão manométrica é negativa. A diferença de 
pressão é proporcional ao inverso da quarta potência 
do diâmetro, portanto a maior contribuição para esta 
diferença de pressão é devida à menor seção reta da 
boca do inseto. 
 
14-41: 5.96 mm/s 
 
 14-42: Da equação da velocidade 
terminal, Eq. (14-27), obtemos 
 
 
1
2
6 1trv mg B mg


 
    
 
 
 
onde 1é a densidade do líquido e 2é a densidade 
do latão. Explicitando a viscosidade obtemos 
 
 
rv
mg




6
.1
2
1







 
 O raio é obtido de 
 
V = 
,
3
4 3r
m
c



 
 
donde obtemos r = 2.134 x 10
-3
 m. Substituindo os 
valores numéricos na relação precedente  = 1.13 
Ns/m2, aproximadamente igual a 11 com dois 
algarismos significativos. 
 
 14-43: 
 (a) 16x maior 
 (b) ½ do valor inicial. 
 (c) dobra seu valor. 
 (d) dobra seu valor. 
 (e) se reduz a ½ de seu valor inicial. 
 
 14-44: 
 Pela Eq. (14-27), a lei de Stokes, 
obtemos: 6(181 x 10-7 Ns/m2)(0.124 m/s) 
 = 2.12.10
-4
 N 
logo o peso é igual a 5.88 N; a razão é igual a: 
 3.60.10
-5
. 
 
 14-45: 
 (a) 19.4 m/s, 0, 14.6 m/s. 
 (b)152d 
 (c) in (a), 4; in (b), 1/16. 
 
 
 14-46: 
 (a) 
 A área da seção reta da esfera é 
,
4
2D

 
portanto 
.
4
)(
2
0
D
ppF 
 
 
 (b) A força em cada hemisfério produzida 
pela pressão da atmosfera é 
 (5.00 x 10-2 m)2 (1.013) x 105 
Pa)(0.975) = 776 N. 
 
14-47: (a) 1.1.10
8
Pa (b) 1080 kg/m
3
, 5%. 
 
 14-48: 
 (a) O peso da água é 
 
 gV = (1.00 x 103 kg/m3)(9.80 m/s2)((5.00 
m)(4.0 m)(3.0 m))=5.88x10
5
 N, 
 ou seja, 5.9 x 10
5
 N com dois algarismos 
significativos. 
 
 (b) A integração fornece o resultado 
esperado: se a pressão fosse uniforme, a força seria 
igual ao produto da pressão no ponto médio pela área, 
ou seja, 
 
 
2
d
F gA
 
3(1.00 10 )(9.80)((4.0)(3.0))(1.50)F x
51.76 10F N 
 
 ou 1.8 x 10
5
 N com dois algarismos 
significativos. 
 
14-49: 2.61.10
4
 N.m 
 
 14-50: 
 (a) Ver o Problema 14-49; a força total é 
dada pela integral ∫dF desde h = 0 até h = H, obtemos 
 F = g H2/2 = gAH/2, onde A = H. 
(b) O torque sobre um faixa vertical de 
largura dh em relação à base é 
 dr = dF(H – h) = gh(H – h)dh, 
e integrando desde h = 0 até h = H, obtemos 
  = gAH2/6. 
 
 (c) A força depende da largura e do 
quadrado da profundidade e o torque em relação à 
base depende da largura e do cubo da profundidade; a 
área da superfície do lago não influi em nenhum dos 
dois resultados (considerando a mesma largura). 
 
 14-51: 
 𝒑−𝒑𝟎 𝑽𝑹
𝟐
𝑮𝒎𝒅
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 6 
 6 
 14-52: A barra cilíndrica possui massa 
M, raio R, e comprimento L com uma densidade 
proporcional à distância até uma das extremidades, 
ou seja,  = Cx2. 
 (a) M = 

dV = 

Cx
2
dV. 
O elemento de volume é dado por dV = R2dx. 
Logo a integral é dada por 
 M = 

L
0
Cx
2 R2dx. 
A Integração fornece 
 M = C R2

L
0
x
2
dx = CR2 .
3
3L
 
Explicitando C, obtemos C = 3M/ R2L3. 
 (b) A densidade para a extremidade x = L 
é dada por: 
  = Cx2 = 
.
3
)(
3
2
2
32 











LR
M
L
LR
M

 
 O denominador é precisamente igual ao 
volume total V, logo  = 3M/V, ou três vezes a 
densidade média, M/V. Logo a densidade média é 
igual a um terço da densidade na extremidade x= L. 
 
14-53: (a) 12.7 kg/m
3
 (b) 3140 kg/m
3
 
 
 14-54: 
 (a) A Equação (14-4), com o raio r em vez 
da altura y, pode ser escrita na forma 
dp = -g dr = -gs(r/R) dr. 
 
 Esta forma mostra que a pressão diminui 
com o aumento do raio. Integrando, com: 
 p = 0 em r = R, obtemos 
 
).(
2
22
4
rR
R
g
drr
R
g
p s
R
s  
 
 (b) Usando a relação anterior com r = 0 e 
3
3
4
M M
V R


 
 
Obtemos: 
24 2
6 2
3(5.97 10 )(9.80 / )
(0)
8 (6.38 10 )
x kg m s
P
x m
11(0) 1.71 10 .P Pa 
 
 
(c) Embora a ordem de grandeza seja a 
mesma, o resultado não concorda bem com o valor 
estimado. Em modelos com densidades mais 
realistas (ver o Problema 14-53 ou o Problema 9-
85), a concentração da massa para raios menores 
conduz a uma pressão mais elevada. 
 
 14-55: (a) 1470 kg/m
3
 (b) 13.9 cm 
 
14-56: Seguindo a sugestão: 
 
 
 
,)2)(( 2
0
RhgdyRgyF
h  
 
onde R é o raio e h é a altura do tanque (o fato que 2R 
= h é mais ou menos acidental).Substituindo os 
valores numéricos obtemos 
 F = 5.07 x 10
8
 N. 
 
 14-57: 9.8.10
6
 kg, sim. 
 
 14-58: A diferença entre as 
densidades deve fornecer o "empuxo" de 5800 N (ver 
o Problema 14-63). A densidade média dos gases no 
balão é dada por 
(5800)
1.23
(9.80)(2200)
ave  
 
30.96 /ave kg m 
 
 14-59: (a) 30% (b) 70% 
 
 14-60: 
 (a) O volume deslocado deve ser aquele 
que possui o mesmo peso e massa do 
 gelo, 
3
3
70.9
/00.1
70.9
cm
cmg
g

. 
 
(b) Não; quando fundido, a água resultante 
terá o mesmo volume que o volume deslocado por 
9.70 g do gelo fundido, e o nível da água permanecerá 
o mesmo. 
 (c) 
3
3
9.70
9.24
1.05 /
gm
cm
gm cm

 
 
 
(d) A água resultante do cubo de gelo 
derretido ocupará um volume maior do que o da água 
salgada deslocada e portanto um volume de 0.46 cm
3
 
deve transbordar. 
 
 14-61: 4.66.10
-4
m
3
, 5.27 kg. 
 
 14-62: A fração f do volume que flutua 
acima do líquido é dada por 
 f = 1 - 
,
fluid

 
onde  é a densidade média do densímetro (ver o 
Problema 14-17 ou o Problema 14-59), que pode ser 
escrita na forma
.
1
1
f
fluid


 
Logo, para dois fluidos que possuem frações de 
flutuação f1 e f2, temos 
 
.
1
1
2
1
12
f
f



 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 7 
 7 
Nesta forma é claro que um valor de f2 maior 
corresponde a uma densidade maior; uma parte 
maior do flutuador fica acima do fluido. Usando 
 
 f1 = 
./839)839.0(
097.0
)2.13(
)400.0)(20.3(
,242.0
)2.13(
)400.0)(00.8(
3
3
2
23
2
mkgobtemos
cm
cmcm
f
cm
cmcm
águaalcool 


 
 
 
14-64: a) O princípio de Arquimedes afirma 
que gLA = Mg, logo 
.
A
M
L


 
 
b) A força de empuxo édada por 
gA(L + x) = Mg + F; usando o 
resultado da parte (a) e 
explicitando x obtemos 
.
gA
F
x


 
 
c) A ―constante da mola,‖ ou seja, a 
proporcionalidade entre o 
deslocamento x e a força aplicada 
F, é k = gA, e o período da of 
oscilação é 
 
 
 
.22
gA
M
k
M
T

 
 
 
14-66: Para economizar cálculos intermediários, 
considere a densidade, a massa e o volume do salva-
vidas como 0, m e v, e as mesmas grandezas 
referentes à pessoa como 1, M e V. A seguir, 
igualando a força de empuxo com o peso, e 
cancelando o fator comum g, obtemos 
 
 água ((0.80)V + 
v) = 0v + 1V, 
 
 
 Eliminando V e m, achamos, 
 
 
 
.)80.0(
1
0 





 v
M
Mv água 
 
 
 Explicitando 0, obtemos 
 
 
 
./732
/980
/1003.1
)80.8(1
0400.0
0.75
/1003.1
)80.0(1
)80.0(1
1
3
3
33
3
33
1
água
água
1
água0
mkg
mkg
mkgx
m
kg
mkgx
v
M
Mv
M
v



































 
 
 
14-68: A força de empuxo sobre a massa A, 
dividida por g, deve ser igual a 
 
 7.50 kg – 1.00 kg – 1.80 kg = 4.70 kg 
 
(ver o Exemplo 14-6), logo a massa do bloco é 
 
 4.70 kg + 3.50 kg = 8.20 
kg. 
 
a) A massa do líquido deslocado pelo 
bloco é 4.70 kg, logo a densidade 
do líquido é 
 
 
 
./1024.1
1080.3
70.4 33
33
mkgx
mx
kg


 
 
b) A balança D fará a leitura da massa 
do bloco, 8.20 kg, como calculamos 
acima. A balança E fará a leitura da 
massa do recipiente mais a massa 
do líquido, 2.80 kg. 
 
 
14-70: (Note que aumentar x corresponde a um 
deslocamento para a traseira do carro.) 
a) A massa de um elemento de volume 
é  dV =  A dx, e a força resultante 
sobre este elemento é dirigida para 
a frente e seu módulo é dado por 
 
 (p + dp)A – pA = A dp. 
 
Pela segunda lei de Newton, 
 
A dp = ( A dx)a, ou seja, dp =  a dx. 
 
b) Como  é constante, e para p = p0 
em x = 0, obtemos 
 
 p = p0 +  ax. 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 8 
 8 
c) Usando  = 1.2 kg/m3 no 
resultado da parte (b) obtemos 
 
 (1.2 kg/m
3
)(5.0 m/s
2
)(2.5 m) = 
15.0 Pa ~ 15 x 10
-5
patm, 
 
portanto a variação percentual da pressão 
é desprezível 
. 
d) Seguindo o método da Seção 14-4, 
a força sobre a bola deve ser igual 
à mesma força exercida sobre o 
mesmo volume de ar; esta força é 
igual ao produto da massa  V 
multiplicada pela aceleração, ou  
Va. 
 
e) A aceleração da bola é a força 
encontrada na parte (d) dividida 
pela massa  bolaV, ou ( / bola )a. 
A aceleração em relação ao carro é 
dada pela diferença entre esta 
aceleração e a aceleração do carro, 
logo 
 
 arel = [( / bola) 
– a]a. 
 
f) Para uma bola cheia de ar, ( / 
bola) < 1 (uma bola cheia de ar 
tende a afundar no ar calmo), e 
portanto a grandeza entre 
colchetes na resposta do item (e) é 
negativa; a bola se desloca para a 
traseira do carro. No caso de uma 
bola cheia de hélio, a grandeza 
entre colchetes é positiva e a bola 
se desloca para a frente do carro. 
 
 
14-72: a) Ver o Problema 14-71. 
Substituindo f por, respectivamente, wágua/w e 
wfluid/w, obtemos 
 
 
 
aço
 fluid


  fluid
,
aço
água


  água
,
 
 
 e dividindo a segunda equação 
pela primeira, obtemos 
 
 
  fluid
água

  fluid
 água
.
 
 
b) Quando fluid é maior do que água, 
o termo do lado direito da 
expressão anterior é menor do que 
um, indicando que o fluido é menos 
denso do que a água. Quando a 
densidade do fluido é igual à 
densidade da água, obtemos fluid = 
água, como era esperado. 
Analogamente, quando fluid é 
menor do que água, o termo do lado 
direito da expressão anterior é 
maior do que um, indicando que o 
fluido é mais denso do que a água. 
 
c) Escrevendo o resultado do item (a) 
na forma 
 
 
 
 fluid
água

1 f fluid
1 fágua
 
 
E explicitando ffluid, obtemos 
 
 
f fluid  1
 fluidágua (1 fágua) 1 (1.220)(0.128)  0.844  84.4%.
 
 
 
14-74: a) Seja d a profundidade da camada de 
óleo, h a profundidade na qual o cubo está submerso 
na água e L a aresta do cubo. Então, igualando a 
força de empuxo com o peso, cancelando os fatores 
comuns g e a área da seção reta e omitindo as 
unidades, obtemos 
 
 (1000)h + (750)d = (550)L, 
 
onde d, h e L são relacionados por d + h + (0.35)L = 
L, logo 
 
 h = (0.65)L – d. 
 
 Substituindo a relação anterior na primeira 
equação, obtemos 
 
 
 
.040.0
00.5
2
)750()1000(
)550()1000)(65.0(
m
L
Ld 



 
 
b) A pressão manométrica na face 
inferior deve ser suficiente para 
suportar o bloco, logo 
 
 p = madeiragL = (550 kg/m
3
)(9.80 
m/s
2
)(0.100 m) = 539 Pa. 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 9 
 9 
Para conferir, a pressão manométrica, 
calculada pela densidade e profundidade 
dos fluidos é 
 
 ((0.040 m)(750 kg/m
3
) + (0.025 m)(1000 
kg/m
3
))(9.80 m/s
2
) = 39 Pa. 
 
 
14-76: a) A densidade média de um barril 
cheio é 
 
 
 
óleo  m
v
 750kg/ m
3

15.0kg
0.120m
3 875kg/m
3
,
 
 
que é menor do que a densidade da água do mar. 
 
b) A fração que flutua (ver o 
Problema 14-17) é 
 
 
 
1
méd
água  1
875kg/ m3
1030kg/ m
3 0.150 15.0%.
 
 
c) A densidade média é igual a 910 
333
1172
120.0
32
m
kg
m
kg
m
kg

 
donde se conclui que o barril 
afunda. A fim de elevá-lo é 
necessário uma tensão 
 
 T = 
N
s
m
m
m
kg
s
m
m
m
kg
173)80.9)(120.0)(1030()80.9)(120.0)(1177(
2
3
32
3
3

 
 
 
14-78: a) A variação da altura y é 
relacionada com o volume deslocado V por y = 
,
A
V
 onde A é a área da superfície da água na 
eclusa, V é o volume da água que possui o mesmo 
peso do metal, portanto 
 
 
y 
V
A

 /águag
A


águagA

(2.50 x10
6
N)
(1.00 x103kg/ m3 )(9.80m / s2 )((60.0m)(20.0m))
 0.213m.
 
 
b) Neste caso, V é o volume do 
metal; na relação anterior, água 
deve ser substituído por metal = 
9.00água, que fornece 
 
 y = 
y
9
, e y   y 
8
9
y  0.189m;
 
 
este resultado indica quanto abaixa o nível da água na 
eclusa. 
 
 
14-80: a) A variação da pressão em relação à 
distância vertical fornece a força necessária para 
manter um elemento de fluido flutuando em 
equilíbrio na vertical (que se opõe ao peso). Para um 
fluido girando, a variação da pressão em relação ao 
raio fornece a força necessária para manter um 
elemento de fluido se acelerando radialmente. 
Especificamente, obtemos 
 
 
,padrdr
r
p
dp 



 
e usando a relação 
a  2r obtemos p
r
  2r.
 
 
b) Chame a pressão em y = 0, r = 0 de 
pa (pressão atmosférica); integrando 
a expressão para 
r
p


 indicada na 
parte (a) obtemos 
 
 
 
.)0,( 2
2
2
rpyrp a

 
 
c) Na Eq. (14-5), p2 = pa,, p1 = p(r, y 
= 0) como achamos na parte (b), y1 
=0 e y2 = h(r), a altura do líquido 
acima do plano y = 0. Usando o 
resultado da parte (b) obtemos 
 
 h(r) = 
2r2/2g. 
 
 
14-82: Explicitando R na Eq. (14-13) obtemos 
 
 
 
.1075.5
)10013.1)(250.0(
)/108.72(22 5
5
23
mx
Paxatm
msNx
p
R 







 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 10 
 10 
14-84: a) Como no Exemplo 14-9, a 
velocidade de saída da água é igual a 
.2gh
 
Depois de sair do tanque a água está em queda livre 
e o tempo que qualquer porção da água leva para 
atingir o solo é dado por 
 
 
,
)(2
g
hH
t


 
 
e neste intervalo de tempo a água se deslocou uma 
distância horizontal dada por 
 
 
.)(2 hHhvtR 
 
 
b) Note que se 
 
 h = H – h, h(H – h) = (H – h)h, 
 
e portanto h = H – h fornece o mesmo alcance. 
 
 
14-86: a)
./200.0)0160.0()00.8)(/80.9)2)(2 32233133 smmmsmAyygAv 
 
 
b) Como p3 é a pressão atmosférica, 
a pressão manométrica no ponto 2 
é 
 
 
 
 
  ),(
9
8
1
2
1
2
1
31
2
2
32
3
2
2
2
32 yyg
A
A
vvvp 














 
 
 
 Usando a relação anterior 
encontrada para v3 e substituindo os valores 
numéricos obtemos 
 p2 = 6.97 x 10
4
 
Pa. 
 
14-88: a) Usando a constância do momento 
angular, notamos que o produto do radio vezes a 
velocidade é constante, logo a velocidade é 
aproximadamente igual a 
 
 (200 km/h)
./17
350
30
hkm





 
 
b) A pressão é menor no "olho", de 
um valor dado por 
 
  .108.1
/6.3
/1
)/17()/200()/2.1(
2
1 3
2
223 Pax
hkm
sm
hkmhkmmkgp 






 
 
c) 
g
v
2
2 = 160 m com dois algarismos 
significativos. 
 
d) A pressão em altitudes mais 
elevadas é menor ainda. 
 
 
14-90: a) 
,
/
A
dtdV
v 
 logo as velocidades 
são 
 
 
 
./50.1
100.40
/1000.6
/00.6
100.10
/1000.6
24
33
24
33
sm
mx
smx
esm
mx
smx





 
 
 b)
 
,10688.1)(
2
1 42
2
2
1 Paxvvp  
 ou 1.69 x 
10
4
 Pa com três algarismos significativos. 
 
 c)
 
.7.12
)/80.9)(/106.13(
)10688.1(
233
4
cm
smmkgx
Pax
gH
p
h
g


 
 
 
 
14-92: a) A força resultante sobre a esfera é a 
soma vetorial da força gravitacional, da força de 
empuxo e da força viscosa, logo da relação F = ma, 
obtemos 
 
 mg – B – Fd = 
.
2
logo,
2
B
mg
F
mg
d 
 
 
 Substituindo Fd da Eq. (14-27) e 
explicitando vt em termos das densidades obtemos a 
expressão para vt conforme visto no Exemplo 14-13, 
porém com  no lugar de 
;
2

 especificamente, 
obtemos 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 11 
 11 
 
./1099.4
)/1026.1/103.4(
)/830.0(
)/80.9()1050.2(
9
2
29
2
2
3333
2
223
2
smx
mkgxmkgx
msN
smmx
gr
vt












 

 
 
b) Repetindo o cálculo sem o fator 
2
1
 e 
multiplicando por  obtemos 
 vt = 0.120 m/s. 
 
 
14-94: a) Explicitando p1 – p2 = p na Eq. 
(14-29) e fazendo a variação da altura igual a 0, 
obtemos 
 
 
.2.741051.7
)055.0(
)1050.1(/300.0(8
)/0600.0(
8
6
4
32
3
4
atmPax
m
mxmsN
sm
R
L
dt
dV
ghp






 





 
 
 b) 

dt
dV
pP
 (7.51 x 10
6
 
Pa)(0.0600 m
3
/s) = 4.51 x 10
5
 W. O trabalho 
realizado é pdV. 
 
 
14-96: a) O volume V da pedra é 
 
 
.1057.8
)/80.9(/1000.1(
)0.21)/80.9)(00.3(( 34
233
2
mx
smmkgx
Nsmkg
g
T
g
B
V
águaágua




 
 
 
 Nos referenciais acelerados, todas 
as grandezas que dependem de g (pesos, forças de 
empuxo, pressões manométricas e tensões) podem 
ser substituídas pelo valor eficaz g = g + a, com 
sentido positivo orientado de baixo para cima. Logo, 
a tensão é 
 
 T = mg - B = (m - V)g = T0 
,
g
g 
 onde T0 = 21.0 N. 
 
b) g = g + a; para a = 2.50 m/s2, T = 
(21.0 N) 
.4.26
80.9
50.280.9
N

 
c) Para a = -2.50 m/s2, T = (21.0 N) 
.6.15
80.9
50.280.9
N

 
d) Quando a = -g, g = 0 e obtemos T 
= 0. 
 
14-98: Quando o nível da água é a altura y da 
abertura, a velocidade de saída da água é dada por 
 
 
,2gy
 e 
.2)2/( 2 gyd
dt
dV 
 
 
À medida que o tanque é drenado, a altura diminui, 
logo 
 
 
 
.2
)2/(
2)2/(
2
2
2
gy
D
d
D
gydz
dt
dy






 
 
 
 Esta equação diferencial permite a 
separação das variáveis e o tempo T necessário para 
drenar o tanque é obtido pela integração da relação 
 
 
 
,2
2
dtg
D
d
y
dy







 
 
cuja integração conduz ao resultado 
 
 
 
,2]2[
2
0 Tg
D
d
y H 






 
 
Donde se conclui que 
 
 
 
.
2
2
2
22
g
H
d
D
g
H
d
D
T 












 
 
 
14-100: O surgimento de qualquer bolha pode trazer 
imprecisões nas medidas. Ao longo da bolha, a 
pressão nas superfícies da água podem ser iguais 
porém, como o ar pode ser comprimido dentro da 
bolha, os dois níveis da água indicados na Figura 
14.49 não são necessariamente iguais (geralmente são 
diferentes quando existem bolhas na mangueira). O 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 12 
 12 
mesmo fenômeno ocorre no freio hidráulico. 
Quando você pisa no freio, a pressão só é 
transmitida integralmente quando não existem 
bolhas nos tubos; quando existem bolhas, o freio não 
funciona. O uso de uma mangueira para nivelar uma 
superfície horizontal pode funcionar perfeitamente 
bem, desde que não hajam bolhas ao longo da 
mangueira. No caso específico do Problema 14-100 
como existe uma bolha, os níveis não são iguais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluídos – Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori Capítulo 1 - Introdução 13 
 13