Autovalores e Autovetores
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Autovalores e Autovetores


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AUTOVALORES E AUTOVETORES 
Definição 
Seja VVT \u2192: um operador linear. Um vetor VvVv 0\u2260\u2208 , , é dito autovetor, vetor próprio ou 
vetor característico do operador T, se existir R\u2208\u3bb tal que vvT \u22c5= \u3bb)( . 
O escalar \u3bb é denominado autovalor, valor próprio ou valor característico do operador linear T 
associado ao autovetor v. 
 
Exemplos: 
1) : 22 RR \u2192T 
 )8,3(),( yxxyx \u2212a 
 )2,1( é autovetor de T associado ao autovalor 3=\u3bb , pois )2,1(3)6,3()2,1( \u22c5==T . 
2) : 33 RR \u2192T 
 )32,2,(),,( zyzyzyxzyx ++++a 
 )2,1,1( é autovetor de T associado ao autovalor 4=\u3bb , pois )2,1,1(4)8,4,4()2,1,1( \u22c5==T e 
)1,1,1( \u2212 é autovetor de T associado ao autovalor 1=\u3bb , pois )1,1,1(1)1,1,1()1,1,1( \u2212\u22c5=\u2212=\u2212T . 
 
Seja v é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor \u3bb então Vkv\u2208 também é um 
autovetor de T associado ao autovalor\u3bb , para todo 0, \u2260\u2208 kk R . 
 
Exemplo: Seja o operador linear )8,3(),( yxxyxT \u2212= . 
O vetor )2,1(=v é autovetor associado ao autovalor 3=\u3bb . 
Como )4,2(3)12,6()4,2())2,1(2( \u22c5===\u22c5 TT , o vetor )4,2( é também autovetor de T associado a 
3=\u3bb . 
 
Seja \u3bb é um autovalor do operador linear T. O conjunto })(|{ vvTVvV \u3bb\u3bb =\u2208= de todos os 
autovetores associados a \u3bb juntamente com o vetor nulo V0 , é denominado autoespaço 
correspondente ao autovalor \u3bb . 
 
Exemplo: Considere o operador )8,3(),( yxxyxT \u2212= . 
O autoespaço { } { }RR 2 \u2208==\u2208= xxxyxyxTyxV ),2,(),(3),(|),(3 corresponde ao autovalor 3=\u3bb . 
13 
Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços 
Seja o operador linear VVT \u2192: tal que nV =dim . 
Por definição, vvT \u22c5= \u3bb)( , com VvVv 0\u2260\u2208 , e R\u2208\u3bb . 
Considere o operador identidade VVIV \u2192: tal que vvIV =)( . 
Assim, )()( vIvT V\u3bb= . 
Então, VV vIvT 0=\u2212 )()( \u3bb . 
Pela definição de multiplicação por escalar em transformações lineares, VV vIvT 0=\u2212 ))(()( \u3bb . 
Pela definição de adição de transformações, VV vIT 0=\u2212 ))(( \u3bb . 
Então, o vetor VvVv 0\u2260\u2208 , , deve pertencer ao núcleo do operador )( VIT \u3bb\u2212 , isto é, 
)( VITKerv \u3bb\u2212\u2208 , com Vv 0\u2260 . 
Portanto, o operador linear )( VIT \u3bb\u2212 não é injetivo, consequentemente, não é bijetivo, nem 
invertível. 
O fato do operador linear não ser invertível é equivalente ao do determinante de sua matriz 
associada, dada uma certa base, ser zero. 
A equação 0)]det([ =\u2212 nA IT \u3bb , onde nI é a matriz identidade de ordem n, é denominada de 
equação característica. 
O polinômio )]det([ nA IT \u3bb\u2212 é denominado polinômio característico de T, e suas raízes em R são 
os autovalores do operador linear T. 
 
Exemplo: Seja 22 RR \u2192:T tal que )8,3(),( yxxyxT \u2212= e considere a base canônica do R2. 
Assim, \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
=
18
03
][T e \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
\u3bb
\u3bb
\u3bb\u3bb
0
0
10
01
2I 
Então, \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u2212
\u2212
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
=\u2212
\u3bb
\u3bb
\u3bb
\u3bb
\u3bb
18
03
0
0
18
03
][ 2IT 
)1)(3(
18
03
det)]det([ 2 \u3bb\u3bb\u3bb
\u3bb
\u3bb \u2212\u2212\u2212=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\u2212
\u2212
=\u2212 IT 
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
\u2212=
=
\u2234=\u2212\u2212\u2212\u2234=\u2212
1
3
0)1)(3(0)]det([
2
1
2 \u3bb
\u3bb
\u3bb\u3bb\u3bbIT 
Logo, 1 e 3 21 \u2212== \u3bb\u3bb são os autovalores do operador linear T. 
 
14 
Tendo encontrado os autovalores i\u3bb , com Vi dim1 \u2264\u2264 . 
Os autovetores são os vetores VvVv 0\u2260\u2208 , tais que VV vIT 0=\u2212 ))(( \u3bb . 
Considere uma base A para o espaço vetorial V e a equação matricial 1][)]([ ×=\u22c5\u2212 nAnA vIT 0\u3bb , 
onde 1×n0 é a matriz nula de ordem 1×n . 
Substituindo cada autovalor i\u3bb encontrado na equação matricial, obtém-se um sistema de equações 
lineares. 
Resolvendo-se cada um destes sistemas, os autovetores associados a cada um do autovalores são 
obtidos, e, consequentemente, os autoespaços 
i
V\u3bb . 
 
Exemplo: Seja 22 RR \u2192:T tal que )8,3(),( yxxyxT \u2212= com autovalores 1 e 3 21 \u2212== \u3bb\u3bb e a 
base canônica do R2. 
Para 31 =\u3bb : 122 ][)3]([ ×=\u22c5\u2212 0vIT 
 
0
0
10
01
3
18
03
\u2234\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212 y
x
\u2234\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212 0
0
30
03
18
03
y
x
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212 0
0
48
00
y
x
 
xyyx 2048 =\u2234=\u2212 
}),2,{(3 R\u2208= xxxV 
 
Para 12 \u2212=\u3bb : 122 ][))1(]([ ×=\u22c5\u2212\u2212 0vIT 
\u2234\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
+\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212 0
0
10
01
18
03
y
x
\u2234\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u22c5\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
0
0
08
04
y
x
\uf8f3
\uf8f2
\uf8f1
=\u2234
=
=
0
08
04
x
x
x
 
}),,0{(1 R\u2208=\u2212 yyV . 
 
 
 
15 
Multiplicidade de Autovalores 
Sejam V um espaço vetorial, T um operador linear em V e R\u2208i\u3bb , com Vi dim1 \u2264\u2264 , um autovalor 
deste operador. 
O número de vezes que )( i\u3bb\u3bb \u2212 aparece como um fator do polinômio característico de T é 
denominado de multiplicidade algébrica de i\u3bb , cuja notação é )( iam \u3bb . 
A dimensão do autoespaço 
i
V\u3bb é denominada a multiplicidade geométrica de i\u3bb , cuja notação é 
)( igm \u3bb . 
 
Exemplos: Considerando a base canônica do R3. 
1) 33 RR \u2192:T tal que )422,242,224(),,( zyxzyxzyxzyxT ++++++= 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
422
242
224
][T e 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
\u2212
=\u2212
\u3bb
\u3bb
\u3bb
\u3bb
422
242
224
)(][ 3IT 
0)8()2(03236120)]det([ 233 =\u2212\u2212\u2234=\u2212+\u2212\u2234=\u2212 \u3bb\u3bb\u3bb\u3bb\u3bb\u3bbIT 
},),,,{( e 2 21 R\u2208\u2212\u2212== zyzyzyV\u3bb 
}),,,{( e 8 82 R\u2208== zzzzV\u3bb 
O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, 2)2( =am , e seu 
autoespaço possui dimensão igual a 2, 2)2( =gm . Já o autovalor 8 ocorre única vez como raiz, 
1)8( =am , e )8(1dim 8 gmV == . 
 
2) 33 RR \u2192:T tal que )2,2,3(),,( zyyxzyxT += 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
210
020
003
][T e 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212
\u2212
=\u2212
\u3bb
\u3bb
\u3bb
\u3bb
210
020
003
)(][ 3IT 
0)3()2(0121670))(]det([ 2233 =\u2212\u2212\u2234=\u2212+\u2212\u2234=\u22c5\u2212 \u3bb\u3bb\u3bb\u3bb\u3bb\u3bb IT 
}),,0,0{( e 2 21 R\u2208== zzV\u3bb 
}),0,0,{( e 3 32 R\u2208== xxV\u3bb 
O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, 2)2( =am , e 
)2(1dim 2 gmV == . O autovalor 3 ocorre única vez como raiz, 1)3( =am , e )3(1dim 3 gmV == . 
 
 
16 
Diagonalização de Operadores Lineares 
Dado um operador linear VVT \u2192: , existem representações matriciais de T relativas as bases de V. 
Dentre estas representações, a considerada mais simples é uma matriz diagonal. 
Como a cada base corresponde uma matriz, a questão se resume na obtenção de uma certa base, 
cuja representação matricial do operador linear T em relação a esta base é uma matriz diagonal. 
Assim, esta base diagonaliza o operador linear T. 
Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT \u2192: um operador linear. 
O operador linear T é denominado um operador linear diagonalizável se existir um base A de V tal 
que AT ][ é uma matriz diagonal. Esta base é composta pelos autovetores do operador linear T. 
Seja V um espaço vetorial n-dimensional e VVT \u2192: um operador linear. Se existem n 
autovalores distintos n,\u3bb,\u3bb K1 então o operador linear T é diagonalizável. 
Exemplo: Seja o operador linear 33 RR \u2192:T tal que )2,2,4(),,( zxyxzxzyxT +\u2212+\u2212+= e a 
base canônica do R3, então 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\u2212=
102
012
104
][T . 
11 =\u3bb , }),0,,0{(1 R\u2208= yyV e )0,1,0(1 =v 
22 =\u3bb , }),,,2
{(2 R\u2208\u2212= zzz
zV e )2,2,1(2 \u2212=v 
33 =\u3bb , }),,,{(3 R\u2208\u2212= zzzzV e )1,1,1(3 \u2212=v 
Sendo )}1,1,1(),2,2,1(),0,1,0{( \u2212\u2212=A uma base de autovetores, 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
300
020
001
][ AT 
 
 
Se existem nr < autovalores distintos r\u3bb\u3bb ,,1 K e suas multiplicidades algébricas e geométricas 
forem iguais, isto é, para todo ri ,...,1= , )()( igia mm \u3bb\u3bb = , então o operador linear T é 
diagonalizável. 
Exemplo: Seja o operador 33 RR \u2192:T tal que ),,(),,( zyxzyxzyxzyxT ++++++= e a 
base canônica do R3, então 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
111
111
111
][T . 
01 =\u3bb , },),,,{(0 R\u2208\u2212\u2212= zyzyzyV e )}1,0,1(),0,1,1{(1 \u2212\u2212=A 
32 =\u3bb , }),,,{(3 R\u2208= zzzzV e )}1,1,1{(2 =A 
Sendo )}1,1,1(),1,0,1(),0,1,1{(21 \u2212\u2212=\u222a= AAA uma base de autovetores, 
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=
300
000
000
][ AT 
17 
Exercícios 
1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores: 
a) \uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
=\u2212
31
22
][para )1,2( T . 
b) 
\uf8f7
\uf8f7