aula2

aula2


Disciplina<strong>computação Quantica</strong>5 materiais27 seguidores
Pré-visualização3 páginas
TÓPICOS ESPECIAIS EM 
ENGENHARIA DA 
COMPUTAÇÃO 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luciano Frontino de Medeiros 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Esta aula terá o objetivo de mostrar as diferenças principais entre a 
computação quântica e a computação clássica. Vamos apresentar inicialmente 
as portas quânticas. Da mesma forma como as portas lógicas atuam sobre os 
bits, alterando seus valores, as portas quânticas modificam os estados de 
maneira a obter algum resultado desejado. Vamos estudar as portas de 1 q-bit e 
a porta CNOT, que atua sobre dois q-bits. Ao final, apresentaremos um breve 
histórico da computação quântica, apresentando alguns cientistas que 
contribuíram de forma significativa para o desenvolvimento da área. 
TEMA 1 \u2013 COMPARAÇÃO ENTRE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA E 
COMPUTAÇÃO CLÁSSICA 
A computação quântica difere em vários aspectos do paradigma da 
computação clássica. Um dos aspectos mais importantes está relacionado com 
o poder de computação. Para sistemas com \ud835\udc5b q-bits, os estados possíveis serão 
descritos por |\ud835\udc99\ud835\udfcf\ud835\udc99\ud835\udfd0 \u2026\ud835\udc99\ud835\udc8f\u27e9. Portanto, o estado quântico de um sistema com \ud835\udc5b q-
bits irá conter \ud835\udfd0^\ud835\udc8f estados. No caso de \ud835\udc5b=\ud835\udfd3\ud835\udfce\ud835\udfce, o número 2500 é uma quantidade 
maior do que a estimativa da quantidade de átomos no Universo! É impossível, 
portanto, conceber fisicamente um computador clássico que tenha condições de 
armazenar tal quantidade de informação. Entretanto, a natureza é capaz de 
manipular esta grande quantidade de variáveis e fazer evoluir o estado de tal 
sistema quântico (Nielsen; Chuang, 2005). 
O Quadro 1 traz um comparativo entre os dois tipos. 
 
 
 
3 
Quadro 1 \u2013 Comparação entre computação clássica e quântica 
Item Computação Clássica Computação Quântica 
Elemento básico de 
representação 
Bit Q-bit 
Domínio de valores 
Apenas dois estados 
lógicos (0 e 1) 
Domínio contínuo de estados com 
coeficientes complexos. 
Superposição 
Não existe, os valores 
assumidos são bem 
definidos 
O q-bit, enquanto não observado, pode 
assumir uma superposição de estados 
quânticos. 
Determinismo 
Os estados lógicos são 
assumidos com certeza 
total 
Antes da medição, o estado quântico 
evolui de forma determinística. O 
estado de um q-bit é probabilístico, 
após o ato da medição. 
Emaranhamento 
Os estados lógicos de um 
bit são independentes 
Os estados quânticos de um q-bit 
podem estar correlacionados, de forma 
que a mudança de estado em um q-bit 
pode alterar o estado de outro q-bit. 
Medida 
A medida de um 
determinado estado lógico 
não altera o estado de 
outros bits do sistema 
A medida do estado quântico de um q-
bit altera o estado final, isolado ou 
correlacionado com outros q-bits. 
Cópia de um 
Estado 
Informacional 
Um bit pode ser 
perfeitamente copiado de 
um registrador para outro 
Um q-bit não pode ser copiado, não há 
como duplicar um estado quântico a 
partir de outro existente, apenas 
teleportado. 
Reversibilidade 
Um bit resultante da 
operação de dois bits não 
pode ser revertido ao seu 
estado inicial 
O estado de um q-bit, antes da medida, 
é reversível, sendo possível retornar ao 
estado quântico anterior após uma 
operação quântica. 
TEMA 2 \u2013 PORTAS QUÂNTICAS DE 1 Q-BIT: X, Z E Y 
A manipulação de estados dos q-bits em um circuito quântico deve ser 
feita através de portas quânticas. Na computação clássica, existem portas 
digitais para manipular bits em um circuito, tal como uma porta NOT que inverte 
um bit na sua entrada, ou a porta AND, que só produz o bit 1 na saída se, e 
somente se, os dois bits de entrada forem 1 (Figura 1). Da mesma forma, uma 
porta quântica deve atuar sobre o estado de um q-bit, transformando a sua saída 
para outro estado (Nielsen; Chuang, 2005). 
 
 
 
4 
Figura 1 \u2013 Exemplos de portas clássicas 
 
 
As portas quânticas básicas são aquelas que atuam sobre um único q-bit. 
Na mecânica quântica, existem os operadores de Pauli1, que fornecem a base 
para as portas de um q-bit utilizadas na computação quântica, denotadas pelos 
símbolos \ud835\udc4b, \ud835\udc4d e \ud835\udc4c. O Quadro 2 ilustra a operação que cada porta faz com um 
vetor estado de entrada |\uf079\uf0f1. 
Quadro 2 \u2013 Portas quânticas dos operadores de Paulo 
Símbolo Representação Operador 
Resultado sobre 
|\uf079\uf0f1=\uf061|0\uf0f1+\uf062|1\uf0f1 
X ou \uf073x 
 
0 1
1 0
\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa
\uf0eb \uf0fb
 |\uf079\u2019\uf0f1=\uf062|0\uf0f1+\uf061|1\uf0f1 
Z ou \uf073z 
 
1 0
0 1
\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa
\uf02d\uf0eb \uf0fb
 |\uf079\u2019\uf0f1=\uf061|0\uf0f1-\uf062|1\uf0f1 
Y ou \uf073y 
 
0
0
i
i
\uf02d\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa
\uf0eb \uf0fb
 |\uf079\u2019\uf0f1=-i \uf062|0\uf0f1+i \uf061|1\uf0f1 
A representação é o símbolo utilizado no design do circuito quântico. A 
porta X funciona como uma porta inversora, trocando os coeficientes dos estados 
quânticos. A porta Z faz com que o estado |1\uf0f1 seja transformado em \u2013|1\uf0f1. A porta 
Y muda os coeficientes para o eixo complexo. De acordo com o formalismo do 
espaço vetorial de Hilbert, uma porta quântica funciona na verdade como um 
operador linear, e o novo estado do q-bit é obtido multiplicando-se este operador 
 
1 Wolfgang Pauli (1900-1958), que atuou na elaboração da teoria do spin do elétron, formulou o 
princípio da exclusão, segundo o qual um elétron não pode estar no mesmo estado quântico de 
outro elétron no átomo. 
 
 
5 
pelo estado atual do q-bit. A atuação da porta X sobre o estado |\uf079\uf0f1 pode ser vista 
como a seguinte operação matricial: 
0 1
|
1 0
X
\uf061 \uf062
\uf079
\uf062 \uf061
\uf0e9 \uf0f9 \uf0e9 \uf0f9 \uf0e9 \uf0f9
\uf0f1 \uf03d \uf03d\uf0ea \uf0fa \uf0ea \uf0fa \uf0ea \uf0fa
\uf0eb \uf0fb \uf0eb \uf0fb \uf0eb \uf0fb
 
Exemplo 1: Aplique a porta X sobre o estado quântico |\u3c80\u27e9 = 1 \u221a2\u2044 |0\u27e9 \u2212
1 \u221a2\u2044 |1\u27e9. Este estado quântico, na formal matricial, é representado pelo vetor 
coluna: 
|\ud835\udf130\u27e9 =
[
 
 
 
1
\u221a2
\u2212
1
\u221a2]
 
 
 
=
1
\u221a2
[
1
\u22121
] 
Assim, deve-se obter um novo estado quântico |\ud835\udf131\u27e9, a partir da aplicação 
da porta \ud835\udc4b sobre o estado |\ud835\udf130\u27e9. Essa aplicação pode ser efetuada multiplicando-
se a matriz que representa o operador sobre o estado |\ud835\udf130\u27e9:: 
|\ud835\udf131\u27e9 = \ud835\udc4b|\ud835\udf130\u27e9 = [
0 1
1 0
] .
1
\u221a2
[
1
\u22121
] =
1
\u221a2
[
\u22121
1
] = \u22121 \u221a2\u2044 |0\u27e9 + 1 \u221a2\u2044 |1\u27e9 
Como se pode notar, a porta \ud835\udc4b inverteu as amplitudes do estado inicial 
|\ud835\udf130\u27e9. Pode-se simplificar a operação deixando o termo de normalização fora do 
vetor coluna. 
Exemplo 2: Aplique a porta Z sobre o estado quântico |\u3c80\u27e9 = 1 \u221a2\u2044 |0\u27e9 +
1 \u221a2\u2044 |1\u27e9. Aqui, deve-se obter então um novo estado quântico, a partir da 
aplicação da porta \ud835\udc4b sobre o estado.|\ud835\udf130\u27e9. Fazendo a multiplicação matricial: 
|\ud835\udf131\u27e9 = \ud835\udc4d|\ud835\udf130\u27e9 = [
1 0
0 \u22121
] .
1
\u221a2
[
1
1
] =
1
\u221a2
[
1
\u22121
] =
1
\u221a2
|0\u27e9 \u2212
1
\u221a2
|1\u27e9 
Nota-se que a porta Z aplicada à superposição de estados em |\ud835\udf130\u27e9 
inverteu o sinal da segunda amplitude. 
Exemplo 3: Aplique a porta Y sobre o estado quântico |\u3c80\u27e9 = 1/\u221a2 |0\u27e9 \u2212
1 \u221a2\u2044 |1\u27e9. A porta \ud835\udc4c perfaz uma rotação, colocando as amplitudes do estado no 
espaço complexo: 
|\ud835\udf131\u27e9 = \ud835\udc4c|\ud835\udf130\u27e9 = [
0 \u2212\ud835\udc56
\ud835\udc56 0
] .
1
\u221a2
[
1
\u22121
] =
1
\u221a2
[
\ud835\udc56
\ud835\udc56
] =
\ud835\udc56
\u221a2
(|0\u27e9 + |1\u27e9) 
As portas de um q-bit podem ser aplicadas continuamente sobre um 
estado inicial em sequência. 
Exemplo 4: Aplique a porta X sobre o estado quântico |\u3c80\u27e9 = |0\u27e9, e sobre 
o estado resultante, aplique a porta Z. Pode-se gerar um estado após o outro: 
 
 
6 
|\ud835\udf131\u27e9 = \ud835\udc4b|\ud835\udf130\u27e9 = [
0 1
1 0
] . [
1
0
] = [
0
1
] = |1\u27e9 
|\ud835\udf132\u27e9 = \ud835\udc4d|\ud835\udf131\u27e9 = [
1 0
0 \u22121
] . [
0
1
] = [
0
\u22121
] = \u2212|1\u27e9 
Ou aplicar ao mesmo tempo: 
|\ud835\udf131\u27e9 = \ud835\udc4d\ud835\udc4b|\ud835\udf130\u27e9 = [
1 0
0 \u22121
] . [
0 1
1 0
] . [
1
0
] = [
1 0
0 \u22121
] . [
0
1
] = [
0
\u22121
] = \u2212|1\u27e9 
Note que a ordem de aplicação das portas \ud835\udc4b e \ud835\udc4d é invertida, na notação 
de Dirac. 
TEMA 3 \u2013 PORTAS QUÂNTICAS DE 1 Q-BIT: H, S E T 
 No Quadro 3, estão representadas as portas H, S e T. A porta H é 
denominada porta Hadamard, e sua aplicação em um estado puro, |0\uf0f1 ou |1\uf0f1, 
produz uma superposição de estados para o vetor resultante. Por exemplo, 
aplicando-se a porta H sobre o vetor |0\uf0f1, 
1 1 1 11 1 | 0 |1
| 0
1 1 0 12 2 2
H
\uf0e9 \uf0f9 \uf0e9 \uf0f9 \uf0e9 \uf0f9 \uf0f1\uf02b \uf0f1
\uf0f1 \uf03d \uf03d \uf03d\uf0ea \uf0fa \uf0ea \uf0fa \uf0ea \uf0fa
\uf02d\uf0eb \uf0fb \uf0eb \uf0fb \uf0eb \uf0fb
 
Quadro 3 \u2013 Operadores das portas H, S e T 
Símbolo Representação Operador Resultado sobre |\uf079\uf0f1=\uf061|0\uf0f1+\uf062|1\uf0f1 
H 
 
1 11
1 12
\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa
\uf02d\uf0eb \uf0fb
 
| 0 |1 | 0 |1
| '
2 2
\uf079 \uf061 \uf062
\uf0f1\uf02b \uf0f1 \uf0f1\uf02d \uf0f1