AVALIAÇÃO II

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AVALIAÇÃO II
1. No cálculo, a integral de um a função foi criada original m ente para determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física. Calculando a área entre as curvas y = 4 - x² e y = x + 2, obteremos : 
 b) Área igual a 9/2 u.a. 
 
2. A regra da cadeia é usada para derivar funções com postas. Considere a f unção de duas variáveis reais u(x, y) definida por duas funções de uma variável f(t) e g(t) que tem derivadas até a segunda ordem . Se u é dada por u(x, y) = 2f(2x - y) - 2g(2x + y), com a derivada de u 
em relação a y diferente de 0 para todo x e y. 
 A) 4
3.A integral múltipla é um a integral definida para funções de múltiplas variáveis. Além de Calcular áreas e volumes definidos por f unções de m ais de uma variável, este conceito. Também possui aplicações na área da física, com o, por exemplo, no cálculo do c entro de 
Massa de um corpo. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas sobre as integrais abaixo quanto a sua relação com a região compreendida entre y = 5 - x² e y = x + 3. Em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA:
a) V - F - F – F 
4. Em matem ática, a matriz hessiana de um a função f de n variáveis é a m atriz quadrada com n colunas e n linhas (n X n) das derivadas parciais de segunda ordem da f unção. Por isso, esta matriz descreve a curvatura loca l da função "f". Matrizes hessianas são usadas em larga escala em problemas de otimização que não usa m métodos Newtonianos. Baseado na matriz hessiana a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F par a as falsas: 
 
( ) A matriz hessiana no ponto (1,1) é a m atriz identidade. 
( ) A matriz hessiana no ponto (1,1) é a m atriz nula. 
( ) A matriz hessiana ajuda a definir pontos críticos da função. 
( ) A matriz hessiana tem ordem igual ao maior grau da função. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 b) V - F - V – F
5. 
O estudo da derivação parcial permite que estendamos os conceitos estudados no Cálculo Diferencial e Integral para duas dimensões, para o espaço tri dimensional. Com isto, podemos generalizar vários casos existentes e que antes não eram acessados. Baseado nisto, dada a função f (x,y) = 3x²y, analise as sentenças a seguir: 
 
I- f(x,y) é diferençável em todos os pontos do plano. 
II- A soma de suas derivadas parciais é x.(6 y + 3x). 
III- A soma de suas derivadas parciais é 6x y² + y². 
IV- O limite da função quando (x, y) tende a (0,0) é zero. 
 d) As sentenças I, II e I V estão corretas.
6. Uma barragem foi construída e formou um lago cuja superfície se assemelha à metade de uma circunferência no plano x y, como m ostra a Figura. A profundidade desse lago em metros é dada pela função f(x ,y) = 300 - x² + 2x + y². Existe um certo tipo de peixe neste 
lago que normalmente é encontrado nas partes m ais profundas. Um biólogo pretende estudar este peixe e para isso precisa pegar um exemplar. Sabendo que o biólogo está com o bote no ponto (-2, 4), qual a direção que ele deve navegar para chegar no ponto de maior 
profundidade e qual é a maior profundidade? 
A) (6, 8) e 10.
7- O diferencial total de uma função real de várias variáveis reais corresponde a um a combinação linear de diferenciais, cujos coeficientes com põem o gradiente da f unção. O que é realizado é a som a das derivadas parciais em cada direção dada na função de várias variáveis. Dada a função f (x,y) = x²y + x y², analise as sentenças a seguir: 
 
I- O diferencial total de f é xy. 
II- O diferencial total de f é 2x y. 
III- O diferencial total de f é x² + y² + 4xy. 
IV- O diferencial tot al de f é x² + y² + 8x y. 
 
b) Somente a sentença III está correta. 
8- As funções delimitam os espaços que serão analisados pelo conceito de integral. Deste modo, calcule a área d a região limitada pelas funções y = x, y = 3x e x + y = 4. 
d) Área = 2.
9-A função do tipo x= y é chamada dentro da matem ática de f unção identidade, ou seja, valores em "x" serão iguais para "y". Deste modo, as funções y = 2, y = x e y = 2x delimitam uma região do plano cartesiano. Utilizando a integração do tipo II, calcule a área dessa região. Em seguida, assinale a alternativa CORR ETA:
c) Área = 1.
10- A que taxa está crescendo a área de um retângulo, em cm 2/s, se seu comprimento é de 20 cm e está crescendo a uma taxa de 2 cm /s, enquanto que sua largura é de 10 cm e está crescendo a 1 cm /s? Dado: Área do retângulo A(x, y) = x . y onde x é o comprimento e y é a largura
c) A taxa de crescimento é 40 cm² /s