MATEMATICA FINANCEIRA - QUESTIONÁRIO I . II . III

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UNIVERSIDADE PAULISTA
MATEMATICA FINANCEIRA 
NATUREZA E OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA
· A Matemática Financeira estuda as relações entre os valores financeiros e suas datas, e para isso se utiliza de instrumento de cálculos característicos. 
· Cada valor financeiro está vinculado a uma data determinada. Toda vez que a data de referência de um valor é mudada, ele deve ser recalculado. 
· Concluímos que o valor do dinheiro muda com o passar do tempo. Essa mudança de valor do dinheiro chama-se “Poder de Compra”.
Principal aspecto da Matemática Financeira: 
· Dinheiro tem um custo associado ao tempo. 
Exemplo: um amigo lhe pede emprestado $ 1.000,00, o que implica você pensar: 
No risco: “Será que ele me pagará na data prevista?” 
Na utilidade: “Será que o poder de compra dos $ 1.000,00 permanecerá inalterado durante um ano inteiro?” 
· Na oportunidade: “Se eu permanecesse com o dinheiro, poderia consumi-lo satisfazendo as minhas necessidades.”
CONCEITOS BÁSICOS
· Principal (P): capital inicial de uma aplicação. 
· Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) pelo uso de um capital. 
Taxa de juros (r ou i): é o índice referente a uma unidade de tempo, que indica o juro por unidade de capital vinculado à aplicação ou dívida. Alguns exemplos: 
· a.a. = ao ano; 
· a.m. = ao mês; 
· a.s. = ao semestre; 
· Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma aplicação expressa na unidade de tempo da taxa de juros. 
· Montante (M): é a soma do principal de uma aplicação com o juro que o capital rendeu durante essa aplicação.
Taxas proporcionais: duas taxas de juros diferentes, que se referem a unidades de tempo diversas, serão proporcionais quando seus valores estiverem na mesma razão que seus prazos. Veja a fórmula: 
 = 
Exemplos de taxas proporcionais: 
· 2% ao mês e 24% ao ano; 
· 1% ao bimestre e 3% ao semestre. 
· Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria ou se gasta para prestar um determinado serviço.
· Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou do serviço para se calcular seu preço de venda. 
· Preço de venda (V): resultado da soma do custo com o lucro (V = C + L). 
· Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, perfazendo um ano de 365 dias. 
· Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em meses de 30 dias, totalizando um ano de 360 dias.
· Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de valores em um caixa.
 R$ 8.000,00
 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00 R$2.000,00
Como leitura desse fluxo de caixa, dizemos que a empresa fez um empréstimo bancário de R$ 8.000,00 e pagou em 4 parcelas consecutivos de R$ 2.000,00
CONCEITOS BÁSICOS – TIPOS DE CÁLCULOS DE JUROS
· Juros simples: a taxa de juros incide somente sobre o valor inicial aplicado ou tomado emprestado.
Exemplo: correção de juros simples de um empréstimo de $ 800,00 com uma taxa de juros de 8% a.m. durante 6 meses
	Mês
	Saldo inicial
	Juros
	Saldo Final
	0
	800,00
	--
	800,00
	1
	800,00
	64,00
	864,00
	2
	864,00
	64,00
	928,00
	3
	928,00
	64,00
	992,00
	4
	992,00
	64,00
	1.056,00
	5
	1.056,00
	64,00
	1,120,00
	6
	1.120,00
	64,00
	1.184,00
· Juros compostos: a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior.
Exemplo: em uma operação de empréstimo de $ 100,00 por 3 meses, a uma taxa de 60% a.m.:
	Mês
	Saldo inicial
	Juros
	Saldo Final
	0
	100,00
	-
	100,00
	1
	100,00
	60,00
	160,00
	2
	160,00
	96,00
	256,00
	3
	256,00
	153,60
	409,60
TAXAS – APLICAÇÕES
· Taxa percentual: é a taxa utilizada nos enunciados para demonstrar os juros sobre o capital. O símbolo utilizado é o % e não pode ser utilizado para o cálculo algébrico. 
· Exemplo: 25% (lê-se vinte e cinco por cento) 
· Taxa unitária: é a forma utilizada para cálculos algébricos. É a taxa percentual dividida por 100. 
Exemplo: 0,25 (25/100 = 0,25) 
Outros exemplos: 
· 10% = 0,10 
· 5% = 0,05 
· 0,6% = 0,006
Exemplo: a comissão de um vendedor é de 22,5% sobre o valor total das vendas realizadas durante o mês. Em um determinado mês, ele vendeu um total de $ 25.500,00. Qual foi o valor da comissão desse vendedor? 
Resolução: primeiro devemos identificar os dados do problema: 
· 1º – total de vendas TV = 25.500,00 
· 2º – comissão 22,5% (convertendo para taxa unitária – 22,5/100 = 0,225) 
· 3º – valor da comissão 25.500 . 0,225 = 5.737,50 
· Resposta: a comissão do vendedor foi de $ 5.737,50.
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
· Uma dica importante: para facilitar o cálculo do novo valor já acrescido ou descontado dos juros, podemos usar o fator de multiplicação.
· Acréscimo: 1 + taxa unitária (ex.: 25% = 1 + 0,25 = 1,25) 
Exemplo: qual é o valor de uma mercadoria com valor original $ 230,00 acrescido de 35%? 
· 35% = 1 + 0,35 = 1,35
· Novo valor 230 . 1,35 = 310,50
· Desconto: 1 – taxa unitária (ex.: 25% = 1 – 0,25 = 0,75) 
Exemplo: qual é o valor de uma mercadoria com valor original $ 230,00 com desconto de 35%? 
· 35% = 1 – 0,35 = 0,65 
· Novo valor 230 . 0,65 = 149,50
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO – ACRÉSCIMO
Qual deverá ser o valor de venda de uma mercadoria que custou $ 320,00 se é pretendido obter um lucro de 45%? 
· 45% acréscimo = 1 + 0,45 = 1,45 
· PV = 320 . 1,45 = 464 
· Resposta: o valor de venda deverá ser de $ 464,00.
FATOR DE MULTIPLICAÇÃO – DESCONTO
Um lojista dá desconto de 15% para pagamento à vista sobre o preço original de venda da mercadoria. Se um sapato tem o seu preço original de $ 450,00, qual será o valor pago pelo cliente que decidiu pagar à vista pelo sapato? 
· 15% desconto = 1 – 0,15 = 0,85 
· PV = 450 . 0,85 = 382,50 
Resposta: o valor com desconto será de $ 382,50.
JUROS SIMPLES]
· A taxa de juros incide somente sobre o valor inicial aplicado ou do empréstimo. 
· Também chamado de linear, não capitalizado ou proporcional. 
· Em todos os períodos, aplicamos a taxa de juros sobre o principal, que não muda; todos eles rendem o mesmo valor de juros, caracterizando uma variação linear.
	Mês
	Saldo inicial
	Juros
	Saldo Final
	0
	800,00
	-
	800,00
	1
	800,00
	64,00
	864,00
	2
	864,00
	64,00
	928,00
	3
	928,00
	64,00
	992,00
	4
	992,00
	64,00
	1.056,00
	5
	1.056,00
	64,00
	1.120,00
	6
	1.120,00
	64,00
	1,184,00
JUROS SIMPLES – FÓRMULAS
Juro:
· J = P . i . n Montante: 
· M = P + J substituindo J = P . i . n 
· M = P + P . i . n colocando o fator P em evidência, teremos: 
· M = P . (1 + i . n) 
Em que: 
J = juros 
P = principal (início da operação) 
i = taxa unitária de juros (%/100) 
n = número de períodos (prazo da operação) 
M = montante (final da operação)
JUROS SIMPLES
 Importante!!!! 
“A taxa i e o prazo n deverão estar
 na mesma unidade de tempo.” 
Exemplo: i = 25% a.m. n = 6 meses
 i = 32% a.d. n = 32 dias
 i = 65% a.s. n = 3 semestres
· Exemplo 1: calcular os juros produzidos por uma aplicação de $ 1.000,00 a uma taxa de 2% ao mês pelo período de 60 dias. 
Resolução: 
J = ? J = P.i.n
P = R$ 1.000,00 J = 1000 . 0,02 . 2
I = 2% a.m – 0,02 a.m j = 40
N = 60 dias – 2 meses
 
Resposta: os juros produzidos por essa aplicação forma de R$ 40,00
· Exemplo 2: calcular o prazo, em meses, de uma aplicação que gerou um juro de $ 47.600,00 sobre uma aplicação de $ 850.000,00 a uma taxa de 1,75% ao mês.
Resolução:
J = R$ 47.600,00 J. P . i . n
P = R$ 850.000,00 47600 = 85000. 0,0175. n
I = 1,75% a.m – 0,0175 a.m 47600 = 14875. n
N = ? 47600 / 14875 = n
 3,2= n
Resposta: o prazo da aplicação foi de 3,2 meses
· Exemplo 3: uma pessoa tomou um empréstimo no valorde $ 8.400,00 pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros simples de 2,3% a.m. Quanto pagou ao final do prazo?
Resolução:
M = ? M = P . ( 1 + i. n)
P = R$ 8.400,00 M = 8400 . ( 1 + 0,023. 24)
I = 2,3% a.m –> 0,023 a.m M = 8400. ( 1 + 0,552)
N = 2 anos -> 24 meses M = 8400 . (1,552)
 M = 13036,8
Resposta: a pessoa pagou ao final do empréstimo o valor total de $ 13.036,80.
VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL
· Dependendo da área de atuação do profissional, o montante e o principal podem ter outros nomes. 
· Profissionais da área de investimentos utilizam o montante e o principal para se referirem aos valores na data de vencimento e antes da data de vencimento, respectivamente. 
· Profissionais da área de financiamento utilizam o valor nominal e o valor atual para se referirem aos valores na data de vencimento e antes da data de vencimento, respectivamente. 
· Então: 
· Valor atual: valor antes da data de vencimento da operação. Seria análogo ao valor principal. 
· Valor nominal: valor na data de vencimento da operação. Sinônimo de montante.
JURO EXATO E JURO COMERCIAL
De acordo com a contagem do prazo em anos, teremos: 
· Juro exato, para anos contados dia a dia, totalizando 365 dias; esse critério de contagem dos dias é aplicado em operações de curto prazo, como descontos de duplicatas e de cheques. 
· Juro comercial, para meses de trinta dias, perfazendo um ano de 360 dias; aplicado em situações que envolvem o consumidor final, como a caderneta de poupança.
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS
· Conceito: duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diversas, serão equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante. Nesse caso, a equivalência é caracterizada por resultados iguais. 
Em juros simples, usamos apenas as operações de multiplicação e divisão para encontrar as taxas equivalentes:
· Exemplo 1: qual é a taxa anual equivalente de uma taxa mensal de 3%? Basta multiplicar a taxa mensal por 12 (temos 12 meses em um ano). ia = 3 . 12 = 36% a.a.
· Exemplo 2: qual é a taxa mensal equivalente de uma taxa anual de 24%? Basta dividir a taxa anual por 12 (temos 12 meses em um ano). im = 24 / 12 = 2% a.m
· Exemplo 3: um banco adotou uma taxa de 15% ao ano a uma aplicação no regime de juros simples. Quantos por cento renderá ao mês? E ao bimestre? E ao semestre? 
· Ao mês: basta dividir a taxa anual por 12 (temos 12 meses em um ano). 
· im = 15 / 12 = 1,25% a.m. 
· Ao bimestre: basta dividir a taxa anual por 6 (temos 6 bimestres em um ano). 
· ib = 15 / 6 = 2,5% a.b. 
· Ao semestre: basta dividir a taxa anual por 2 (temos 2 semestres em um ano). 
· is = 15 / 2 = 7,5% a.s.
UNIDADE II
Desconto simples – conceitos básicos
· Desconto (D): é o abatimento dado no valor nominal de uma dívida como consequência da antecipação da sua data de pagamento.
· Prazo de antecipação (n): é a medida do tempo que vai da data de pagamento efetivo até a data de vencimento. Fique ligado, pois o prazo do desconto é quanto tempo falta para vencer a partir da data de pagamento antecipado.
· Valor descontado ou liquido (Vd): é o valor efetivamente pago ou recebido após o abatimento do desconto.
· Taxa de desconto (i): é a taxa comum de juros das aplicações, agora utilizada nas operações de desconto.
· O desconto pode ser racional (por dentro), Comercial (por fora) ou Bancário.
Desconto racional – “por dentro”
· Definição: o desconto é o juro que seria obtido na aplicação do valor atual da dívida da data de pagamento antecipado até a data do vencimento original, a taxa de desconto.
Formulas: dependendo das informações contidas no enunciado do problema, usa-se uma das fórmulas:
D= A. i . n
 
D = N – Vd
· Exemplo: Calcule o desconto simples racional de um titulo com valor nominal de $ 1.000,00 em uma antecipação de três meses, á taxa de desconto de 4% ao mês.
Dados fornecidos pelo enunciado:
N = 1,000 D = 
N = 3 meses
I = 4% a.m 0,04 a.m D = 
 
 D = 
 
 D = = 107,14
 Resposta: o desconto será de $ 107,14
Desconto comercial – “por Fora”
· Definição: segundo o critério comercial “por fora”, o desconto simples é calculado como juro simples no valor nominal da dívida, pelo prazo de antecipação da data de pagamento.
Formulas: dependendo das informações contidas no enunciado do problema, usa – se uma das formulas:
 D = N. i . n
 Vd = N. ( 1-i. n)
D = N- VD
Exemplo: Calcule o desconto simples comercial de um titulo com valor nominal de $ 1000,00 em uma antecipação de três meses, á taxa de desconto de 4% ao mês.
Dados fornecidos pelo enunciado:
N = 1,000 D = N.i.n
n = 3 meses D = 1000. 0,04.3
i = 4% a.m – 0,04 a.m D = 120
 
 Resposta: o desconto será de $ 120,00
	
Desconto bancário
· Definição: desconto bancário é calculado como o desconto simples comercial, acrescido de uma porcentagem do valor nominal, como taxa administrativa também chamada de Taxa de Abertura de Crédito (TAC), usando a inicial h nas fórmulas. Da mesma forma que a taxa da operação, a taxa administrativa deve ser usada na forma unitária para os cálculos. 
Fórmulas: dependendo das informações contidas no enunciado do problema usa-se uma das fórmulas: 
Db = N . (i . n + h) 
Vdb = N . [1 – (i . n + h)] 
Db = N – Vdb
Exemplo: Calcule o desconto simples bancário de um título no valor nominal de $ 1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês, sabendo que a financeira cobrou 1% de taxa administrativa. Dados fornecidos pelo enunciado: 
N = 1.000
Db = N . (i . n + h)
n = 3 meses 
Db = 1000 . (0,04 . 3 + 0,01) 
i = 4% a.m. 0,04 a.m. 
Db = 1000 . (0,12 + 0,01) 
h = 1% 0,01 Db = 1000 . 0,13 
Db = 130 Resposta: o desconto será de $ 130,00.
Taxa efetiva na operação de desconto
· Definição: denomina-se efetiva a taxa de juros à qual devemos aplicar os valores descontados (líquidos), comercial ou bancário, para obtermos, de montante, o valor nominal da dívida, no prazo de antecipação. 
· Essa taxa é a que o banco ou a financeira ganham na operação de desconto que praticam junto às empresas em geral. Representaremos essa taxa por if.
Formulas:
N = Vd. ( 1 + if . n )
N = ou if = Efetiva comercial
if = ou if = Efetiva Bancária
 Exemplo: Calcule a taxa efetiva e o desconto simples comercial de um título com valor nominal de R$ 1.000,00 em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. 
Resolução: 
d = N . i . n = 1000 . 0,04 . 3 = 120 
N = 1.000 n = 3 
Vd = N – d = 1000 – 120 = 880 
i = 4% a.m. - 0,04 a.m. 
 if = 
Transformando a taxa efetiva encontrada de unitária para percentual:
 if = 0,04545 . 100 = 4,545% a.m.
JUROS COMPOSTOS
· Conceito: segundo o critério de cálculo denominado composto, ao final de cada período, o juro é adicionado ao principal do período e o montante assim formado é reaplicado como principal no período seguinte, ou seja, a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante acumulado no final do período anterior.
Chamado de: 
· Juro sobre juro. 
· Juro exponencial.
	Mês
	Saldo Inicial
	Juros
	Saldo Final
	0
	100,00
	-
	100,001
	100,00
	60,00
	160,00
	2
	160,00
	96,00
	256,00
	3
	256,00
	153,60
	409,60
Fórmulas: 
· Montante: M = P . (1 + i)n 
· Juros: J = P . [(1 + i)n – 1] 
A maioria das aplicações a juros compostos será calculada por meio da fórmula do montante, ficando a fórmula do juro em segundo plano.
Apesar de ser mais usada a fórmula do montante, caso haja necessidade de se encontrar o principal, a taxa de juros ou o prazo, usamos as seguintes fórmulas: 
Para encontrar o principal: 
· P = 
Para encontrar a taxa de juros: 
· i = - 1
Para encontrar o prazo da operação:
· n = 
Exemplo 1: Calcule o montante de um principal de R$ 1.000,00 aplicado a juros compostos de 5% ao mês, durante dez meses.
Resolução:
P = 1000 M = P . ( 1
I = 5% a.m – 0,05 a.m M = 1000 . ( 1 + 
N = 10 meses M = 1000 . 16289 
M = ? M = 1628,89
 Resposta: o montante será de R$ 1.628,89
Exemplo 2: Uma indústria financia seu capital de giro em um banco que cobra juros compostos de 5% ao mês. Podemos afirmar que, para um principal de R$ 10.000,00 ele pagará, em um prazo de seis meses, um juro de qual valor?
Resolução:
P = 10000 J = P.[( 1 + – 1]
I = 5% a.m – 0,05 a.m J = 10000. [( 1+ 0,05 – 1]
N = 6 meses J = 10000. [( 1,05 – 1]
J = ? J = 10000. [1,3401 – 1 ]
 J = 10000 . 0,3401
 J = 3400,96
 Resposta: dobrará o seu capital em 14,27 meses.
Exemplo 4: Que principal devo aplicar hoje em uma instituição que renumera as aplicações á taxa de juros compostos de 4% ao mês para ter R$ 5.000,00 de montante daqui a dez meses?
Resolução:
P = ? 
I = 4% a.m – 0,04 a.m = 3377,92
M = 5000 
N = 10 meses Reposta: deverá aplicar R$ 3.377,92
JUROS COMPOSTOS COM CALCULADORA HP 12 C
A calculadora financeira HP 12 C já está preparada para fazer o cálculo dos juros composto a partir de apenas 5 teclas. Veja na imagem abaixo:
Porém, há algumas diferenças das siglas que aprendemos com as teclas da calculadora:
n = prazo ( igual ao que aprendemos)
i = taxa de juros ( para calculadora usa – se a taxa percentual e não a unitária)
PV = Principal (o mesmo que P)
PMT = Parcelas (para séries de pagamentos)
FV = Montante (o mesmo que M)
OBS 1. A tecla PMT será usada apenas em outra unidade.
OBS 2. Por trabalhar como fluxo de caixa, o primeiro valor (PV, FV ou PMT) deve ser inserido na calculadora sempre negativo.
Para inserir os dados na HP12C existe uma lógica chamada RPN (Notação Polonesa Inversa), por isso, a inserção de dados é um pouco diferente:
Exemplo 1: Calcule o montante de um principal de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos de 5% ao mês, durante dez meses.
· 1000 [CHS] [PV] (o CHS transforma o número negativo) 
· 10 [n] 
· 5 [i] 
· [FV] a última tecla deve ser da operação que se está procurando. 
· Após apertar a tecla [FV], aparecerá na tela da calculadora o resultado da operação = 1.628,89.
Exemplo 2: Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros compostos de 5% ao mês? 
Resolução:
· 100 [CHS] [PV] (o CHS transforma o número negativo) 
· 200 [FV] 
· 5 [i] 
· [n] a última tecla deve ser da operação que se está procurando 
· Após apertar a tecla [n], aparecerá na tela da calculadora o resultado da operação = 15.
· A calculadora sempre arredonda para cima (14,27 será arredondado para 15).
Exemplo 3: A que taxa mensal de juros compostos um capital qualquer rende de juros 20% do seu valor em cinco meses? 
Resolução: 
· 100 [CHS] [PV] (o CHS transforma o número negativo) 
· 120 [FV] (lembrando que já calculamos isso no módulo anterior) 
· 5 [n] 
· [i] a última tecla deve ser da operação que se está procurando 
· Após apertar a tecla [i], aparecerá na tela da calculadora o resultado da operação = 3,71. 
· Esse resultado já está como taxa percentual.
Exemplo 4: Que principal devo aplicar hoje em uma instituição que remunera as aplicações à taxa de juros compostos de 4% ao mês para ter $ 5.000,00 de montante daqui a dez meses? 
Resolução: 
· 5000 [CHS] [FV] (o CHS transforma o número negativo) 
· 4 [i] 
· 10 [n] 
· [PV] a última tecla deve ser da operação que se está procurando. 
· Após apertar a tecla [PV], aparecerá na tela da calculadora o resultado da operação = 3.377,92.
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS
· Conceito: duas taxas de juros diferentes, relativas a unidades de tempo diversas, serão equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante. 
· Na capitalização de juros simples, bastava dividir ou multiplicar as taxas de juros para se obter a taxa equivalente. 
Exemplo: 2% a.m. = 24% a.a. (2 x 12 = 24) 
· 36% a.a. = 3% a.m. (36/12 = 3) 
Na capitalização de juros compostos, não podemos apenas dividir ou multiplicar as taxas como feito nos juros simples. Devemos utilizar as seguintes fórmulas:
Fórmulas: para construirmos uma fórmula que relacione duas taxas equivalentes, de acordo com o critério do juro composto, vamos fixar as taxas anual e mensal, que são as mais utilizadas. 
· ia: taxa unitária anual 
· im: taxa unitária mensal 
Se tiver a taxa mensal e quiser saber a taxa anual, usar a fórmula: 
 (1 + im = (1 + ia)
 Se tiver a taxa anual e quiser saber a taxa mensal, usar a fórmula:
 (1 + im) = (1 + ia
Exemplo 1: Calcule a taxa composta mensal equivalente a 30% a.a. 
Resolução: Aplicando a fórmula:
Ia = 30% a.a – 0,30 a.a ( 1 + im ) = ( 1 + ia 
Im = ? ( 1 + im ) = ( 1 + 0,30 
 1 + im = 1,0221 – 1
 Im = 1,0221 – 1
 Im = 0,0221
 Transformando a taxa unitária para taxa percentual:
 Im = 0,0221 . 100 = 2,21% a.m
· Exemplo 2: Calcule a taxa composta anual equivalente a 2% a.m.
Resolução: aplicando a formula:
 ( 1 + im = ( 1 + ia)
Im = 2% a.m – 0,02 a.m ( 1 + 0,02 = 1 + ia
Ia = ? = 1 + ia
 1,2682 = 1 + ia
 1,2682 – 1 = ia
 0,2682 = ia
 Transformando a taxa unitária para taxa percentual:
Ia = 0,2682 . 100 = 26,82% a.a
MONTANTE COMPOSTO EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS
· Critério exponencial: opta pela transformação da taxa de juros em uma unidade menor, que é capitalizada exponencialmente no número total de períodos, o que equivale a capitalizar diretamente para o número fracionário de períodos. 
· Exemplo: capitalização mensal e período de 130 dias 130/30 = 4,33 (esse será o expoente n na fórmula do montante). 
· A HP12C precisa ser configurada para fazer o cálculo com esse critério. 
·Digite na HP12C: [STO] [EEX] aparecerá a letra C na parte inferior do visor, o que indica que está preparada para fazer o cálculo exponencial com as teclas financeiras. 
· Agora é só fazer a inserção do período decimal. 
· Para tirar essa configuração, basta repetir a sequência de teclas [STO] [EEX] (a letra C desaparece).
· Critério linear: nesse critério é utilizada a fórmula do montante de juros compostos para a parte inteira de períodos e o resultado obtido é reaplicado a juros simples no número fracionário de períodos. 
· A HP12C já vem, como padrão, com esse critério (sem a letra C na parte inferior do visor).
· Exemplo 1: Calcule o montante composto de um principal de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, por 115 dias, no regime de capitalização composta. 
· Critério linear: certifique-se de que não está aparecendo a letra C na parte inferior do visor. Caso esteja aparecendo, aperte as teclas [STO] [EEX] e a letra C na parte inferior do visor deve desaparecer. 
Resolução: 
1000 [CHS] [PV] 
4 [i] 115 [Enter] 30 [÷] [n] 115/30 = 3,8333 
[FV] 
Aparecerá na tela o valor 1.162,36; que é o resultado no critério linear.
· Exemplo 1: Calcule o montante composto de um principal de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, por 115 dias, no regime de capitalização composta. 
· Critério exponencial: certifique-se de que está aparecendo a letra C na parte inferior do visor. Caso não esteja aparecendo, aperte as teclas [STO] [EEX] e a letra C na parte inferior do visor deve aparecer. 
Resolução: 
1000 [CHS] [PV] 
4 [i] 
115 [Enter] 30 [÷] [n] 115/30 = 3,8333 [FV] 
Aparecerá na tela o valor 1.162,24; que é o resultado no critério exponencial.
· UNIDADE III
PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO DIFERENTE DO PERÍODO DA TAXA
· Geralmente, a taxa de juros compostos e o período de capitalização coincidem. Por exemplo, taxa de juros anual e pagamentos (capitalizações) anuais ou taxa de juros mensal e rendimentos mensais. 
· Porém, em alguns casos, como no financiamento imobiliário, em que se usa a Tabela Price, a taxa de juros é anual e sua capitalização é mensal, ou seja, pagamentos de parcelas a cada mês. 
· Esses casos de tipos de capitalização poderão ser calculados por uma associação entre a proporcionalidade e a recapitalização dentro do prazo utilizado. 
· O cálculo é muito simples: dividimos a taxa pelo número de períodos de capitalização e capitalizamos o resultado novamente, período a período de capitalização, totalizando o prazo da operação financeira.
Exemplo 1: Determine a taxa efetiva anual correspondente à nominal de 50% ao ano, com capitalização mensal:
I = 50% a.a = 0,50 ia = 
N = 12 ( há 12 meses em um ano ) ia = 
Ia = ? ( taxa efetiva ) ia = ( 1 + 0,417 – 1
 Ia = 1,6321 – 1
 Ia = 0, 6321
Passando para taxa percentual ( x100)
Ia = 63,21% a.a
Exemplo 2: Calcule a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 30% ao ano, com capitalização trimestral.
I = 30% a.a – 0,30 ia = – 1
N = 4 ( há 4 trimestres em um ano ) ia = - 1
Ia = ? ( taxa efetiva) ia = – 1 
 Ia = -1
 Ia = 1,3355 – 1
 Ia = 0,3355
Passando para taxa percentual (x100)
Ia = 33,55% a.a
Exemplo 3: Uma financeira trabalha com a taxa de 12% ao ano, mas exige o pagamento dos juros mensalmente (capitalização). Calcule a taxa efetiva anual correspondente a esse cálculo.
I = 12% a.a – 0,12 ia = - 1
N = 12 ( há 12 meses em um ano) ia = -1 
Ia = ? ( taxa efetiva) ia = – 1
 Ia = 1,1268 – 1
		 Ia = 0,1268
Passando para taxa percentual (x100)
Ia= 12,68% a.a
SÉRIES DE CAPITAIS
Conceito: qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada característica pode ser considerada uma série. Esses capitais podem ser valores que saem ou entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma: 
· Série de pagamentos, com o objetivo de quitar uma dívida; 
· Série de rendas, que tem como objetivo a capitalização de um valor futuro.
· Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual na data zero, também denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os valores (termos) da série na data zero, valor que depende do número e do valor dos pagamentos, bem como da taxa de juros utilizada no cálculo do financiamento. 
· Exemplo: aluguéis, condomínios, mensalidades escolares, seguros, financiamentos em geral.
· Uma série de rendas tem como parâmetro característico fundamental o montante ou valor futuro, que é a soma de todas as aplicações na data do último depósito. Esse valor dependerá do número e do valor dos depósitos, bem como da taxa utilizada para corrigi-los. 
· Exemplo: poupança programada, poupança imobiliária vinculada, previdência (privada e pública).
De acordo com suas características, as séries podem ser classificadas em dois grandes grupos: 
· Certa ou determinística: quando as datas e os valores dos seus termos são conhecidos. Como exemplo, temos os financiamentos com taxas predeterminadas, como mensalidades escolares, aluguéis, prêmios de seguro, poupanças programadas. 
· Aleatória ou probabilística: não têm datas nem valores determinados. Como exemplo, podemos citar os fluxos de caixa das seguradoras (não será estudado nesta disciplina).
O objetivo do nosso curso é aprender a aplicação operacional dos conceitos para produzirmos resultados úteis a nós e à coletividade. Para atendermos os nossos objetivos, escolheremos um modelo de série mais restrito, elegendo algumas de suas características: 
· Série periódica: seus termos ocorrem em períodos de tempo iguais; 
· Temporária (finita): a série tem uma duração determinada; 
· Constante (uniforme): todos os termos da série têm o mesmo valor; 
· Imediata (carência): o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo; 
· Postecipada: cada termo se localiza no final do período de vencimento.
· Fórmula do valor presente ou à vista (A): como a definição de valor à vista da série configura-o como a soma de todos os pagamentos trazidos para a data zero (sem juros), teoricamente, o valor à vista da série de pagamentos poderia ser calculado por meio da sua definição, termo a termo. 
Adotando R para representar o valor das prestações, n para o número de prestações e i para a taxa de financiamento, e aplicando a definição de valor atual na data zero a cada um dos termos da série, teremos:
 
· Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze pagamentos mensais iguais a R$ 250,00 sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 3% ao mês.
Resolução:
N=13 = 250x 
I = 3% a.m. – 0,03 = 250 x 
R = 250 = 250 x 10,6243
 A = 2.656,08
· Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze pagamentos mensais iguais a R$ 250,00 sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 3% ao mês. Fazendo esse mesmo cálculo naHP12C: 
· 250 [CHS] [PMT] o PMT é a sigla usada para R 
· 13 [n] 
· 3 [i] 
· [PV] aparecerá na tela 2.658,74
 A diferença de valores é por conta de arredondamento de casas decimais.
Fórmula do valor das prestações (R): caso tenhamos o valor à vista do bem (A), a taxa de juros (i) e a quantidade de prestações (n), podemos calcular o valor das prestações com a seguinte fórmula:
· Note que a diferença dessa fórmula com a do principal (A) é a inversão da fração, ou seja, invertemos o numerador e o denominador.
Qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma divida com valor á vista de R$ 5.000,00 a juros compostos de 5% ao mês, em quinze pagamentos mensais iguais, sem entrada?
Resolução: 
 R = A X = 5000 X 
N= 15
I = 5% a.m – 0,05
A = 5000 R = 5000 X = 5000 X 
 R = 5000 X = 5000 X 0,0963
 R = 481,72
Qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma dívida com valor à vista de R$ 5.000,00, a juros compostos de 5% ao mês, em quinze pagamentos mensais iguais, sem entrada?
 Fazendo esse mesmo cálculo na HP12C:
· 5000 [CHS] [PV] 
· 15 [n] 
· 5 [i] 
· [PMT] aparecerá na tela 481,71 A diferença de valores é por conta de arredondamento de casas decimais.
· Aplicação: um professor compra um terreno dando R$ 10.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais consecutivas e iguais de R$ 500,00. Sabendo que o banco cobra juros compostos de 2,5% ao mês, determine o valor à vista do imóvel.
Resolução: 
n = 36 A = R X = 500 x 
i = 2,5% a.m. 0,025 
R = 500 A = 500 X = 500 X 
 A = 500 x = 500 x 23,5560
Somam – se a esse valor os 10.000,00 que o professor deu de entrada:
A = 11.778,01 + 10.000,00 = 21.778.01
· Aplicação: um professor compra um terreno dando R$ 10.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais consecutivas e iguais de R$ 500,00. Sabendo que o banco cobra juros compostos de 2,5% ao mês, determine o valor à vista do imóvel. Fazendo esse mesmo cálculo na HP12C:
 500 [CHS] [PMT] o PMT é a sigla usada para R 
 36 [n] 
 2,5 [i] 
 [PV] aparecerá na tela 11.778,13 Somam-se a esse valor os 10.000,00 que o professor deu de entrada: A = 11.778,01 + 10.000,00 = 21.778.13 A diferença de valores é por conta de arredondamento de casas decimais.
FÓRMULA DO VALOR FUTURO OU MONTANTE (S)
· O conceito de valor futuro ou montante é aplicado toda vez que temos uma série de aplicações com o objetivo de construir um valor futuro, em uma data determinada. 
· Na prática, podemos ter uma poupança programada em que o investidor aplica todo mês, no mesmo dia, determinado valor. 
· Esse valor futuro ou montante da série de rendas poderia ser calculado por meio da definição, corrigindo-se termo a termo cada um dos valores dos depósitos para a data do último depósito e somando-os nessa data.
Adotando S para denominar o montante da série, poderíamos escrever, de acordo com a definição:
Ou caso tenha o montante (S) e queira calcular as prestações (R):
· Também no caso do montante da série, você poderá efetuar os cálculos por meio das funções da calculadora financeira. 
· A correspondência entre os parâmetros teóricos e as teclas é parecida com aquela do cálculo do valor à vista. 
Montante (M) FV 
Taxa de remuneração (i) i 
Número de depósitos (n) n 
Valor dos depósitos (R) PMT 
· Nesse caso, temos uma operação de cálculo do montante ou valor futuro FV de uma série de depósitos ou aplicações, corrigidos por uma taxa i até a data da última aplicação.
 Veja um exemplo do cálculo na HP12C: calcule o montante composto de uma série de oito aplicações mensais consecutivas e iguais de R$ 500,00, em uma instituição que paga juros compostos de 2% ao mês sem que haja nenhuma retirada. 
N= 8 calculos:
R = R$ 500,00 8 [n]
I = 2% a.m 500 [CHS] [PMT]
S = ? 2 [i]
 [FV] aparecerá na tela 4.291,48
Resposta: o montante composto da série de rendas será de R$ 4.291,48.
Quanto terei de depositar mensalmente em uma instituição que paga juros compostos de 4% ao mês para ter, não fazendo nenhuma retirada, ao fim de vinte depósitos, um montante de R$ 10.000,00?
N = 20 Calculos:
R = ? 20 [n]
I = 4% a.m – 0,04 10000 [ CHS] [FV]
S = 10000 4 [i]
 [ PMT] aparecerá na tela 335,82
Resposta: o valor depositado será de R$ 335,82
Quanto deverei depositar mensalmente durante trinta meses, em uma instituição que remunera as aplicações a juros compostos de 2% ao mês, se desejo ter R$ 50.000,00 de montante?
 
 R = S. = 50000. 
n= 30 
s =50000 R = 50000. = 50000. 
i = 2% a.m 0,02
 R = 50000. = 50000. 0,0246
 R = 1.232,44
Resposta: o Valor depositado será de R$ 1.,232,44