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Prof. Felix Claret UNIDADE I Geometria Analítica e Álgebra Linear Estudaremos: Matrizes, sistemas e determinantes. Vetores em suas abordagens geométricas e algébricas. Retas e planos. Posição relativa, distância e ângulos. Seções cônicas. Apresentação Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funções, vetores ou ainda outras matrizes. Matrizes a11 a12 a13 . . . a1n Amxn = a21 a22 a23 . . . a2n = (aij)mxn . . . . . . . . . . . . am1 am2 am3 . . .amn Am x n lê-se “matriz m por n” m linhas n colunas Matrizes Notações Entre colchetes Entre parênteses Entre barras duplas Matrizes 3 - 4 0 15 3 - 4 0 15 3 - 4 0 15 O elemento aij de uma matriz a13 = da linha 1 coluna 3 a32 = da linha 3 coluna 2 a44 = da linha 4 coluna 4 Matrizes 0 52 39 10 14 2 -34 8 9 153 0 22 0 - 6 57 0 Igualdade: Amxn = (ai j) Brxs = (bi j) A = B m = r e n = s e a i j = b i j Exemplo: determine a, b, c para A = B. a = 8 b = 1 c = 1 Matrizes 23 ln e - 5/2 2 25 1 a b - 10/4 2 32 c A= B= Exemplo: Determine os valores de x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais. Matrizes 2x + 1 4 6 y x2 100 A3x2 = 1 4 x – 2y -3 0 10 B3x2 = A = B Logo x = 0 e y = -3 Matrizes 2x + 1 = 1 4 = 4 (V) y = - 3 x2 = 0 x – 2 y = 6 10 = √100(V) Matriz por meio de uma condição Exemplos 1.A = (aij) 2x2 e a11 = 2 a12 = 1 a21 = 1 a22 = 2 Matrizes aij = 2 se i = j 1 se i j 2 1 1 2 A2x2= 2. Determinar os elementos a13, a22, a32 da matriz A = (aij) 3x2, sendo a13, i = 1 e j = 3; então a13 = 1 a22 = -1 a32 = 3 + 2 = 5 Matrizes aij = i + j se i > j -1 se i = j 1 se i < j Os valores de x e y para que as matrizes A e B sejam iguais é: a) x = 2 e y = 1 b) x = 4 e y = -1 c) x = - 4 e y = 1 d) x = - 1 e y =4 e) x = -2 e y = 1 Interatividade -2 2x y3 0 A2x2= -2 8 -1 0 B2x2= Os valores de x e y para que as matrizes A e B sejam iguais é: a) x = 2 e y = 1 b) x = 4 e y = -1 c) x = - 4 e y = 1 d) x = - 1 e y =4 e) x = -2 e y = 1 2 x = 8 → y3 = - 1 → Resposta -2 2x y3 0 A2x2= -2 8 -1 0 B2x2= Visualizando as diagonais DP: ai j , com I = j Matrizes diagonal secundária diagonal principal (DS) (DP) 0 -3 1 2 1 2 1 4 3 Adição: A = (aij)mxn e B = (bij)mxn A + B = (aij + bij)mxn Exemplo: A B A + B Matrizes 1 -2 6 0 2 -5 + = = 0 4 -2 -5 7 10 1 2 4 -5 9 5 Multiplicação por escalar: determine -3*A Operações com matrizes Transposta: AT = 2 x 3 Operações com matrizes Multiplicação de matrizes: notações: A*B, AB, A.B Operações com matrizes mxnpxnmxp CBA * Têm que ser iguais A = (aik)mxp A . B = C = (cij) mxn B = (bkj)pxn cij = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + aip bpj (linha por coluna) Operações com matrizes Operações com matrizes 1 2 3 -1 A = 2x2 3 1 4 3 B = 2x2 1 2 3 -1 A.B = . = 3 1 4 3 11 7 5 0 2x2 A.B = Operações com matrizes 1 2 3 -1 A = 2x2 3 1 4 3 B = 2x2 1 2 3 -1 B . A = . = 3 1 4 3 6 5 13 5 2x2 A.B = A . B ≠ B . A A inversível ↔ A . A-1 = I Matrizes A e A-1 quadradas Exemplo: determinar a inversa de A Matriz inversa 1 2 3 -1 A = a b c d A-1 = A . A-1 = I2 Matriz inversa 1 2 3 -1 A.A-1 = . = a b c d 1 0 0 1 a + 2c = 1 a + 2*3a = 1 3 a - c = 0 c = 3 a c = b + 2d = 0 b = - 2d b = 3 b - d = 1 3*(-2d) - d = 1 1/7 2/7 3/7 -1/7 A-1 = Processo prático – Matriz ampliada. Matriz inversa 1 2 0 -1 1 2 1 1 1 A = 1 2 0 1 0 0 -1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 A = L2 = L2 + L1 L3 = L3 - L1 L2 - 1 1 2 0 1 0 L1 1 2 0 1 0 0 L2 = L2 + L1 Matriz inversa 1 2 0 1 0 0 -1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 A = ~ 1 2 0 1 0 0 0 -1 1 -1 0 1 L3 = 3 L3 + L2 3 L3 0 -3 3 -3 0 3 L2 0 3 2 1 1 0 L3 = 3L3 + L2 Matriz inversa 1 2 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 -1 1 -1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 L2 = - 2 L3 + 5 L2 -2 L3 0 0 -10 4 -2 -6 5 L2 0 15 10 5 5 0 L2 = -2L3 + 5 L2 Matriz inversa 1 2 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 0 5 -2 1 3 1 2 0 1 0 0 0 0 5 -2 1 3 L1 = - 2 L2 + 15 L1 -2 L2 0 -30 0 -18 -6 12 15 L1 15 30 0 15 0 0 L1 = -2L2 + 15 L1 Matriz inversa 0 15 0 9 3 -6 0 0 5 -2 1 3 1 2 0 1 0 0 0 15 0 9 3 -6 0 0 5 -2 1 3 L1 = (L1) / 15 L2 = (L2) / 15 L3 = (L3 )/ 5 Matriz inversa 15 0 0 -3 -6 12 0 15 0 9 3 -6 0 0 5 -2 1 3 1 0 0 -1/5 -2/5 4/5 0 1 0 3/5 1/5 -2/5 0 0 1 -2/5 1/5 3/5 A-1 Determine a matriz X de modo que X = 2A - BT + (1/2)C, dadas as matrizes Interatividade -2 3 -1 0 4 -5 A = 1 2 3 -2 1 0 B = 8 -6 0 4 4 2 C = -3 5 - 4 1 5 -9 a) -1 5 - 4 1 7 -9 b) -3 5 0 1 7 -7 c) 3 5 0 1 1 -7 d) 3 5 0 1 0 7 e) Determine a matriz X de modo que X = 2A - BT + (1/2)C, dadas as matrizes Resposta -2 3 -1 0 4 -5 A = 1 2 3 -2 1 0 B = 8 -6 0 4 4 2 C = -3 5 - 4 1 5 -9 a) -1 5 - 4 1 7 -9 b) -3 5 0 1 7 -7 c) 3 5 0 1 1 -7 d) 3 5 0 1 0 7 e) Sistemas por escalonamento. Operações elementares: Permutação de equações. Multiplicação de uma equação por um número real não nulo. Substituição de uma equação por sua soma com outra, multiplicadas ou não por número real não nulo. Sistemas lineares Sistemas por escalonamento. E2 x - y + z = -1 - E1 -x - y + z = -1 E2 = E2 – E1 Sistemas lineares x + y – z = 1 x - y + z = -1 2x + y – 3z = 2 E2 = E2 – E1 E3 = E3 – 2E1 x + y – z = 1 - y – z = 0 E3 = E2 –2 E3 E2 -2 y + 2 z = -2 -2E3 2 y + 2z = 0 E2 = E2 – E1 Sistemas lineares x + y – z = 1 -2 y + 2z = -2 - y – z = 0 x + y– z = 1 -2 y + 2z = -2 Resolvendo o sistema: z = y = z = SPD Sistemas lineares x + y – z = 1 -2 y + 2z = -2 4z = -2 Método de Gauss: Matriz ampliada: Sistemas lineares x + y – z = 1 x - y + z = -1 2x + y – 3z = 2 1 1 -1 1 1 -1 1 - 1 2 1 -3 2 Pivô : a11 = Linha pivô: L1 Multiplicador : m31 = = e L3 = L3 – m31 L1 Sistemas lineares m22 = = e L2 = L2 - m21 L1 1 1 -1 1 1 -1 1 - 1 2 1 -3 2 a21 a11 a31 a11 Pivô : a22 = Multiplicador: = Linha pivô: L2 L3 = L3 – m32 L2 Sistemas lineares 1 1 -1 1 0 -2 2 -2 0 -1 -1 0 1 1 -1 1 0 -2 2 -2 0 0 -2 1 m32 = a32 a22 Reescrevendo o sistema x + y – z = 1 - 2 y + 2 z = -2 -2z = 1 Daí temos: z = y = z = SPD Sistemas lineares A toda matriz quadrada M associa-se um número, det M. Cálculo do det M: 1º caso: M é de ordem n = 1, então det M é o único elemento de M. Exemplo: M = [4] Logo det M = 4. Determinante 2º caso: M é de ordem 2, Determinante det M = = a11.a22 – (a12. a21) a11 a12 a21 a22 DP DS M = a11 a12 a21 a22 Exemplo: Determinante M = 2 -1 3 5 det M = = DP DS 2 -1 3 5 O determinante de é igual a: a) -13. b) -10. c) 13. d) - 17. e) 10. Interatividade 1 -5 3 -2 M = O determinante de é igual a: a) -13. b) -10. c) 13. d) - 17. e) 10. Resposta 1 -5 3 -2 M = 1 -5 3 -2 det M = = 3º caso: M é de ordem n = 3, isto é, Determinante a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 M = det M = a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Regra de Sarrus Determinante a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 det M = a11 a12 a21 a22 a31 a32 - - - + + + Exemplos: 1) Resolva o determinante. Determinante 1 0 0 2 1 2 1 -2 3 det A = 7 Determinante 1 0 0 2 1 2 1 -2 3 1 0 0 2 1 2 1 -2 3 det M = 1 0 2 1 1 -2 2) Resolva a equação e determine o menor valor de x que a torne verdadeira. Determinante x 0 0 2 x+1 2 = 0 1 -2 -1 Desenvolvendo o determinante temos: Determinante x 0 0 2 x+1 2 1 -2 -1 det M = x 0 2 x+ 1 1 -2 4x - x2 – x = 0 x = 0 ou x = 3 Logo, o menor valor de x é x = 0 Determinante Regra de Cramer: Sistema 2x2 Sistema 3x3 com det A ≠ 0 Determinante na resolução de sistemas det Ax det A x = det Ay det A y = det Ax det A x = det Ay det A y = det Az det A z = Resolver pela regra de Cramer o sistema: Temos que: Determinante na resolução de sistemas x + y = 4 x – y = - 2 1 1 1 -1 A = = 1 4 1 -2 Ay = = 4 1 -2 -1 Ax = = Portanto: Logo, S = {(1,3)} Determinante Seja então o valor de Ax é igual a: a) 1. b) -2. c) 3. d) -1. e) 0. Interatividade 2x + y = 1 -x + y = 2 Seja então o valor de Ax é igual a: a) 1. b) -2. c) 3. d) -1. e) 0. Resposta 2x + y = 1 -x + y = 2 1 1 2 1 Ax = = - 1 ATÉ A PRÓXIMA!
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