AP2-PC-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Curso de Licenciatura em Matemática - UFF
Curso de Licenciatura em F́ısica - UFRJ
2a Avaliação Presencial - AP2
Pré-Cálculo - 25/07/04
Nome:
Pólo:
Questão Valor Nota
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 2, 0
4a 2, 5
5a 2, 0
Total 10, 0
Pré-Cálculo 2a Avaliação Presencial - julho de 2004 - GABARITO 2
1a Questão: (1,5 ponto)
Identifique e esboce o gráfico da cônica de equação x2 + y2 − 2x− 2y + 1 = 0.
Solução:
Escrevemos a equação na forma x2 − 2x + y2 − 2y + 1 = 0.
Completando os quadrados na equação, temos
x2 − 2x + 1− 1 + y2 − 2y + 1− 1 + 1 = 0 =⇒ (x− 1)2 + (y − 1)2 = 1.
A equação é de uma circunferência, de centro em C = (1, 1) e raio igual a 1.
O gráfico é mostrado na figura a seguir:
x
y
C
o 1
1
2a Questão: (2,0 pontos)
Determine os números reais x e y que satisfazem a equação 4x + y = 20, sabendo que o
produto entre eles é o maior posśıvel.
Solução:
O produto entre x e y é dado por P = xy. Porém, y = 20− 4x.
Logo, P = x(20− 4x) = −4x2 + 20x.
A equação acima é de uma parábola, com concavidade voltada para baixo.
O ponto de máximo desta parábola tem abcissa x = − 20
2(−4) =
20
8
=
5
2
.
Com o valor de x, calculamos o valor de y.
Assim, y = 20− 4x = 20− 4 · 5
2
= 20− 10 = 10.
Portanto, os números procurados são x =
5
2
e y = 10.
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Pré-Cálculo 2a Avaliação Presencial - julho de 2004 - GABARITO 3
3a Questão: (2,0 pontos)
Dê a decomposição do polinômio f(x) = x5 − x4 + 2x3 − 4x2 − 8x em produtos de fatores
mônicos irredut́ıveis em R[x].
Solução:
Como x está presente em todos os termos do polinômio, conclúımos que x = 0 é uma das
ráızes.
Podemos escrever f(x) = x(x4 − x3 + 2x2 − 4x− 8).
Queremos, então, encontrar as ráızes de g(x) = x4 − x3 + 2x2 − 4x− 8.
Os candidatos a ráızes racionais de g são {1,−1, 2,−2, 4,−4, 8,−9}.
Como a soma dos coeficientes não é 0, conclúımos que 1 não é raiz.
Verificamos, então, se −1 é raiz.
−1 1 −1 2 −4 −8
−1 1 −2 4 −8 ... 0
1 −3 7 ... − 15
Portanto, −1 é uma raiz com multiplicidade 1.
O próximo valor a ser testado é 2. Temos,
2 1 −2 4 −8
2 1 0 4
... 0
1 2
... 8
Logo, 2 também é raiz com multiplicidade 1.
Assim, f(x) = x(x + 1)(x− 2)(x2 + 4).
Como h(x) = x2 + 4 não possui ráızes reais, a decomposição acima é a decomposição do
polinômio f(x) em produtos de fatores mônicos irredut́ıveis em R[x].
4a Questão: (2,5 pontos)
Determine o domı́nio da função dada por f(x) =
√
−x2 + 3x + 4
x2 − 5x .
Solução:
O domı́nio da função é dado por
Dom(f) =
{
x ∈ R|−x
2 + 3x + 4
x2 − 5x ≥ 0
}
.
Devemos, então, encontrar o conjunto solução da desigualdade:
−x2 + 3x + 4
x2 − 5x ≥ 0.
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Pré-Cálculo 2a Avaliação Presencial - julho de 2004 - GABARITO 4
O numerador e o denominador da expressão da desigualdade proposta são trinômios do
segundo grau com discriminantes ∆1 = 32−4·(−1)·(4) = 9+16 = 25 e ∆2 = (−5)2−4·1·0 = 25,
respectivamente.
Portanto,
polinômio discriminante ráızes
−x2 + 3x + 4 ∆1 = 25 ⇒
√
∆1 = 5 x1 =
−3− 5
−2 = 4 e x2 =
−3 + 5
−2 = −1
x2 − 5x ∆2 = 25 ⇒
√
∆2 = 5 x3 =
5− 5
2 · 1 = 0 e x4 =
5 + 5
2 · 1 = 5
Para construirmos a tabela de estudo de sinal, primeiramente, esboçamos os gráficos das
parábolas, pois assim conseguimos visualizar o sinal.
−1 4
0 5
Temos x2 = −1 < x3 = 0 < x1 = 4 < x4 = 5.
Fazendo a tabela de estudo de sinal, onde o śımbolo ? significa que a expressão não é um
número real, obtemos:
x < −1 x = −1 −1 < x < 0 x = 0 0 < x < 4 x = 4 4 < x < 5 x = 5 x > 5
−x2 + 3x + 4 − 0 + + + 0 − − −
x2 − 5x + + + 0 − − − 0 +
−x2 + 3x + 4
x2 − 5x − 0 + ∗ − 0 + ∗ −
Portanto, o domı́nio da função é
Dom(f) = {x ∈ R;−1 ≤ x < 0 ou 4 ≤ x < 5} = [−1, 0) ∪ [4, 5)
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Pré-Cálculo 2a Avaliação Presencial - julho de 2004 - GABARITO 5
5a Questão: (2,0 pontos)
Considere a função dada por f(x) =| x− 2 | +3.
a) Determine o domı́nio de f .
Solução:
Dom(f) = R
b) Esboce o gráfico de f .
Temos que,
| x |=
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0
Assim,
| x− 2 |=
{
x− 2 se x ≥ 2
−x + 2 se x < 2
e
| x− 2 | +3 =
{
x− 2 + 3 = x + 1 se x ≥ 2
−x + 2 + 3 = −x + 5 se x < 2
O gráfico de f é mostrado na figura a seguir.
2
3
5
o x
y
c) Determine a imagem de f .
Observando o gráfico, temos que a imagem de f é
Im(f) = {y ∈ R|y ≥ 3} = [3, +∞)
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