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Fundação CECIERJ - Vice Presidência de Educação Superior a Distância
Pré-Cálculo - 1a Avaliação Presencial - maio de 2004
1a Questão: (3,0 pontos - 1,0 ponto cada item)
Faça o que se pede, justificando sua resposta:
(a) Dê exemplo de um número irracional s, tal que 2,2 < s < 2,23.
Solução:
Escolhemos, por exemplo, s = 2,2230 12345 . . .︸ ︷︷ ︸
números naturais
.
Observe que 2,2 = 2,222 . . . < s = 2,2230 12345 . . .︸ ︷︷ ︸
números naturais
< 2,23.
(b) Dê exemplo de um número racional r, tal que
√
2 < r <
√
2,3.
Solução:
Escolhemos, por exemplo, r = 1, 5.
Observe que
√
2 < y <
√
2,3 ⇒ 2 < y2 < 2,3.
Escolhendo y2 = 2,25, temos 2 < y2 = 2,25 < 2,3.
Portanto, y =
√
2,25 = 1,5.
(c) Escreva como uma fração irredut́ıvel o número 1,019 +
2
99
.
Solução:
Temos que
1,019 = 1 + 0, 019 = 1 +
1
10
× 0,19.
Vamos escrever 0,19 como uma fração:
0,19 = 0, 19 + 0, 0019 + 0, 000019 + . . . =
19
102
+
19
104
+
19
106
+ . . . .
Pré-Cálculo 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 2
Voltando à expressão inicial temos:
1,019 +
2
99
= 1 +
1
10
× 19
99
+
2
99
= 1 +
19
990
+
2
99
=
990 + 19 + 20
990
=
1029
990
=
3× 343
3× 330 =
343
2× 3× 5× 11 .
Como 2, 3, 5 e 11 não dividem 343, a fração
343
330
é irredut́ıvel.
2a Questão: (3,0 pontos - 1,5 ponto cada item)
Resolva, no conjunto dos números reais, cada uma das seguintes desigualdades:
(a)
2x− 1
3x
≤ 2x
3x + 6
Solução:
Escrevemos
2x− 1
3x
≤ 2x
3x + 6
⇐⇒ 2x− 1
3x
− 2x
3x + 6
≤ 0.
Devemos, então, resolver a desigualdade
2x− 1
3x
− 2x
3x + 6
≤ 0.
Temos que,
2x− 1
3x
− 2x
3x + 6
=
(2x− 1)(3x + 6)− (2x)(3x)
(3x)(3x + 6)
=
6x2 + 12x− 3x− 6− 6x2
9x2 + 18x
=
9x− 6
9x2 + 18x
=
3x− 2
3x(x + 2)
.
De forma equivalente, devemos resolver a seguinte desigualdade
3x− 2
3x(x + 2)
≤ 0.
Fazendo a tabela de estudo do sinal das expressões, obtemos:
x < −2 x = −2 −2 < x < 0 x = 0 0 < x < 23 x = 23 x > 23
3x− 2 − − − − − 0 +
9x − − − 0 + + +
x + 2 − 0 + + + + +
3x− 2
3x(x + 2)
− ? + ? − 0 +
O śımbolo ? significa que a expressão não é um número real.
Consultando a tabela, obtemos:
S =
{
x ∈ R | x < −2 ou 0 < x ≤ 23
}
= (−∞,−2) ∪ (0, 23 ] .
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ
Pré-Cálculo 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 3
(b)
1
|2x− 0, 3| <
5
2
Solução:
1
|2x− 0, 3| <
5
2
⇐⇒ |2x− 0,3| > 2
5
, com 2x 6= 0, 3 ⇐⇒ x 6= 3
20
.
Assim, 2x− 0,3 > 2
5
ou 2x− 0,3 < −2
5
.
Temos que 2x− 0,3 > 2
5
⇐⇒ 2x > 2
5
+ 0,3 ⇐⇒ 2x > 2
5
+
3
10
⇐⇒ 2x > 7
10
⇐⇒ x > 7
20
E, 2x− 0,3 < −2
5
⇐⇒ 2x < 3
10
− 2
5
⇐⇒ 2x < − 1
10
⇐⇒ x < − 1
20
.
Devemos observar que
3
20
> − 1
20
e
3
20
<
7
20
.
Logo, o conjunto solução da desigualdade é S = {x ∈ R|x < − 1
20
ou x >
7
20
}.
(Observamos que
3
20
/∈ S.)
3a Questão: (2,5 pontos - 0,5 ponto cada item)
Seja r a reta que passa pelos pontos P = (3,−2) e Q = (0, 2). Faça o que se pede, justificando
sua resposta.
(a) Calcule o comprimento do segmento PQ.
Solução:
O comprimento do segmento PQ é igual a distância entre os pontos P e Q.
Temos que d(P, Q) =
√
(2− (−2))2 + (0− 3)2 = √9 + 16 = √25 = 5.
Logo, o comprimento do segmento PQ é igual a 5.
(b) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ.
Solução:
O ponto médio do segmento PQ é:
(
3 + 0
2
,
−2 + 2
2
)
=
(
3
2
, 0
)
.
Logo, as coordenadas do ponto médio são
3
2
(abscissa) e 0 (ordenada).
(c) Determine a equação da reta r.
Solução:
A equação da reta r é obtida por:
y−(−2) = 2− (−2)
0− 3 (x−3) ⇐⇒ y+2 = −
4
3
(x−3) ⇐⇒ y = −4
3
x+4−2 ⇐⇒ y = −4
3
x+2.
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ
Pré-Cálculo 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 4
(d) Trace o gráfico da reta r, indicando os pontos de interseção com os eixos coordenados,
usando um sistema de coordendas com a unidade igual a 1 cm.
Solução:
0
x
y
1
2
3/2
item (e) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto médio do segmento PQ e é
perpendicular à reta r.
Solução:
A reta r tem inclinação −4
3
, de acordo com o item c). Logo, a reta s tem inclinação
3
4
.
Além disso, a reta s passa pelo ponto
(
3
2
, 0
)
.
A equação da reta s é dada por: y − 0 = 3
4
(
x− 3
2
)
.
Portanto, a equação da reta s é y =
3
4
x− 9
8
.
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ
Pré-Cálculo 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 5
4a Questão: (1,5 ponto)
Sejam r a reta de equação y = −2
3
x +
10
3
e s a reta de equação y =
1
5
x− 1. Considere P o
ponto de interseção das duas retas, A o ponto de interseção da reta r com o eixo y e B o ponto
de interseção da reta s com o eixo y. Calcule a área do triângulo 4PAB.
Solução:
Primeiro, determinaremos o ponto P de interseção das duas retas.
Igualando os valores de y das duas equações, temos:
−2
3
x +
10
3
=
1
5
x− 1 ⇐⇒ 1
5
x +
2
3
x = 1 +
10
3
⇐⇒ 13
15
x =
13
3
⇐⇒ x = 5.
Conseqüentemente, y = −2
3
× 5 + 10
3
= 0.
Portanto, o ponto de interseção das duas retas é P = (5, 0).
O ponto de interseção da reta r com o eixo y é obtido fazendo x = 0 na equação de r. Temos,
y = −2
3
× 0 + 10
3
=
10
3
. Assim, o ponto de interseção da reta r com o eixo y é A =
(
0 ,
10
3
)
.
Analogamente, obtemos o ponto de interseção da reta s como o eixo y por y =
1
5
×0−1 = −1.
Logo, o ponto de interseção da reta s com o eixo y é B = (0,−1).
A área do triângulo 4PAB será obtida pela fórmula
d(A,B)× d(O, P )
2
=
(
10
3 + 1
)× 5
2
=
13
3 × 5
2
=
65
6
.
onde d(A,B) é a distância entre os pontos A e B e d(O, P ) é a distância entre a origem e o
ponto P .
A representação gráfica do problema é apresentada na figura a seguir:
P=(5,0)
A=(0,10/3)
B=(0,−1)
x
y
O
reta r
reta s
Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ

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