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Fundação CECIERJ - Vice Presidência de Educação Superior a Distância Pré-Cálculo - 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 1a Questão: (3,0 pontos - 1,0 ponto cada item) Faça o que se pede, justificando sua resposta: (a) Dê exemplo de um número irracional s, tal que 2,2 < s < 2,23. Solução: Escolhemos, por exemplo, s = 2,2230 12345 . . .︸ ︷︷ ︸ números naturais . Observe que 2,2 = 2,222 . . . < s = 2,2230 12345 . . .︸ ︷︷ ︸ números naturais < 2,23. (b) Dê exemplo de um número racional r, tal que √ 2 < r < √ 2,3. Solução: Escolhemos, por exemplo, r = 1, 5. Observe que √ 2 < y < √ 2,3 ⇒ 2 < y2 < 2,3. Escolhendo y2 = 2,25, temos 2 < y2 = 2,25 < 2,3. Portanto, y = √ 2,25 = 1,5. (c) Escreva como uma fração irredut́ıvel o número 1,019 + 2 99 . Solução: Temos que 1,019 = 1 + 0, 019 = 1 + 1 10 × 0,19. Vamos escrever 0,19 como uma fração: 0,19 = 0, 19 + 0, 0019 + 0, 000019 + . . . = 19 102 + 19 104 + 19 106 + . . . . Pré-Cálculo 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 2 Voltando à expressão inicial temos: 1,019 + 2 99 = 1 + 1 10 × 19 99 + 2 99 = 1 + 19 990 + 2 99 = 990 + 19 + 20 990 = 1029 990 = 3× 343 3× 330 = 343 2× 3× 5× 11 . Como 2, 3, 5 e 11 não dividem 343, a fração 343 330 é irredut́ıvel. 2a Questão: (3,0 pontos - 1,5 ponto cada item) Resolva, no conjunto dos números reais, cada uma das seguintes desigualdades: (a) 2x− 1 3x ≤ 2x 3x + 6 Solução: Escrevemos 2x− 1 3x ≤ 2x 3x + 6 ⇐⇒ 2x− 1 3x − 2x 3x + 6 ≤ 0. Devemos, então, resolver a desigualdade 2x− 1 3x − 2x 3x + 6 ≤ 0. Temos que, 2x− 1 3x − 2x 3x + 6 = (2x− 1)(3x + 6)− (2x)(3x) (3x)(3x + 6) = 6x2 + 12x− 3x− 6− 6x2 9x2 + 18x = 9x− 6 9x2 + 18x = 3x− 2 3x(x + 2) . De forma equivalente, devemos resolver a seguinte desigualdade 3x− 2 3x(x + 2) ≤ 0. Fazendo a tabela de estudo do sinal das expressões, obtemos: x < −2 x = −2 −2 < x < 0 x = 0 0 < x < 23 x = 23 x > 23 3x− 2 − − − − − 0 + 9x − − − 0 + + + x + 2 − 0 + + + + + 3x− 2 3x(x + 2) − ? + ? − 0 + O śımbolo ? significa que a expressão não é um número real. Consultando a tabela, obtemos: S = { x ∈ R | x < −2 ou 0 < x ≤ 23 } = (−∞,−2) ∪ (0, 23 ] . Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ Pré-Cálculo 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 3 (b) 1 |2x− 0, 3| < 5 2 Solução: 1 |2x− 0, 3| < 5 2 ⇐⇒ |2x− 0,3| > 2 5 , com 2x 6= 0, 3 ⇐⇒ x 6= 3 20 . Assim, 2x− 0,3 > 2 5 ou 2x− 0,3 < −2 5 . Temos que 2x− 0,3 > 2 5 ⇐⇒ 2x > 2 5 + 0,3 ⇐⇒ 2x > 2 5 + 3 10 ⇐⇒ 2x > 7 10 ⇐⇒ x > 7 20 E, 2x− 0,3 < −2 5 ⇐⇒ 2x < 3 10 − 2 5 ⇐⇒ 2x < − 1 10 ⇐⇒ x < − 1 20 . Devemos observar que 3 20 > − 1 20 e 3 20 < 7 20 . Logo, o conjunto solução da desigualdade é S = {x ∈ R|x < − 1 20 ou x > 7 20 }. (Observamos que 3 20 /∈ S.) 3a Questão: (2,5 pontos - 0,5 ponto cada item) Seja r a reta que passa pelos pontos P = (3,−2) e Q = (0, 2). Faça o que se pede, justificando sua resposta. (a) Calcule o comprimento do segmento PQ. Solução: O comprimento do segmento PQ é igual a distância entre os pontos P e Q. Temos que d(P, Q) = √ (2− (−2))2 + (0− 3)2 = √9 + 16 = √25 = 5. Logo, o comprimento do segmento PQ é igual a 5. (b) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento PQ. Solução: O ponto médio do segmento PQ é: ( 3 + 0 2 , −2 + 2 2 ) = ( 3 2 , 0 ) . Logo, as coordenadas do ponto médio são 3 2 (abscissa) e 0 (ordenada). (c) Determine a equação da reta r. Solução: A equação da reta r é obtida por: y−(−2) = 2− (−2) 0− 3 (x−3) ⇐⇒ y+2 = − 4 3 (x−3) ⇐⇒ y = −4 3 x+4−2 ⇐⇒ y = −4 3 x+2. Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ Pré-Cálculo 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 4 (d) Trace o gráfico da reta r, indicando os pontos de interseção com os eixos coordenados, usando um sistema de coordendas com a unidade igual a 1 cm. Solução: 0 x y 1 2 3/2 item (e) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto médio do segmento PQ e é perpendicular à reta r. Solução: A reta r tem inclinação −4 3 , de acordo com o item c). Logo, a reta s tem inclinação 3 4 . Além disso, a reta s passa pelo ponto ( 3 2 , 0 ) . A equação da reta s é dada por: y − 0 = 3 4 ( x− 3 2 ) . Portanto, a equação da reta s é y = 3 4 x− 9 8 . Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ Pré-Cálculo 1a Avaliação Presencial - maio de 2004 5 4a Questão: (1,5 ponto) Sejam r a reta de equação y = −2 3 x + 10 3 e s a reta de equação y = 1 5 x− 1. Considere P o ponto de interseção das duas retas, A o ponto de interseção da reta r com o eixo y e B o ponto de interseção da reta s com o eixo y. Calcule a área do triângulo 4PAB. Solução: Primeiro, determinaremos o ponto P de interseção das duas retas. Igualando os valores de y das duas equações, temos: −2 3 x + 10 3 = 1 5 x− 1 ⇐⇒ 1 5 x + 2 3 x = 1 + 10 3 ⇐⇒ 13 15 x = 13 3 ⇐⇒ x = 5. Conseqüentemente, y = −2 3 × 5 + 10 3 = 0. Portanto, o ponto de interseção das duas retas é P = (5, 0). O ponto de interseção da reta r com o eixo y é obtido fazendo x = 0 na equação de r. Temos, y = −2 3 × 0 + 10 3 = 10 3 . Assim, o ponto de interseção da reta r com o eixo y é A = ( 0 , 10 3 ) . Analogamente, obtemos o ponto de interseção da reta s como o eixo y por y = 1 5 ×0−1 = −1. Logo, o ponto de interseção da reta s com o eixo y é B = (0,−1). A área do triângulo 4PAB será obtida pela fórmula d(A,B)× d(O, P ) 2 = ( 10 3 + 1 )× 5 2 = 13 3 × 5 2 = 65 6 . onde d(A,B) é a distância entre os pontos A e B e d(O, P ) é a distância entre a origem e o ponto P . A representação gráfica do problema é apresentada na figura a seguir: P=(5,0) A=(0,10/3) B=(0,−1) x y O reta r reta s Consórcio CEDERJ - Fundação CECIERJ
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