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Análise de Circuitos - Um Enfoque de Sistemas - Karl Heinz Kienitz - 2ª Edição

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são os de 
fio e de carbono. Os capacitores mais comuns são os de cerâmica, poliéster e os eletrolíticos. Resistores de 
carbono e capacitores de poliéster tipicamente têm marcação de seu valor no corpo do componente usando 
faixas de cores. As primeiras três faixas indicam números D1, D2 e M que apontam o valor do componente da 
seguinte forma: D1D2×10M. As unidades são [Ω] para os resistores e [pF] para os capacitores. O código de 
cores é o seguinte: 
 
Cor Dígito associado 
Preto 0 
Marrom 1 
Vermelho 2 
Laranja 3 
Amarelo 4 
 
 
Cor Dígito associado 
Verde 5 
Azul 6 
Violeta 7 
Cinza 8 
Branco 9 
 
Na terceira faixa de resistores ainda podem ser usados ouro (M = -1) ou prata (M = -2). A cor da quarta faixa 
indica a tolerância do componente: 
• Resistores: 5% (ouro), 10% (prata), 20% (ausente) 
• Capacitores: 10% (branco), 20% (preto ou ausente) 
A tensão de isolamento para os capacitores é indicada pela cor de uma quinta faixa: 
• 250V (vermelho) • 400V (amarelo) • 630V (azul) 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 2 - 
Capacitores eletrolíticos possuem polaridade, que sempre está indicada no corpo do dispositivo. Seu uso 
exige atenção especial. 
Elementos de circuitos e circuitos 
Elementos de circuitos são modelos ideais de dispositivos. Trata-se portanto de objetos idealizados. Os 
seguintes elementos de circuito são os mais comuns: 
• o resistor com a característica v = Ri; 
• o indutor com a característica v = Ldi/dt; 
• o capacitor com a característica i = Cdv/dt. 
Um modelo de dado dispositivo é composto de um ou mais elementos de circuito. 
 
Exemplo: 
Dispositivo Elemento de circuito correspondente 
bobina indutor 
condensador capacitor 
 
Um modelo resulta de aproximações. Por isso podem existir diversos modelos para um mesmo dispositivo, 
dependendo das aproximações usadas. As aproximações usadas dependem das aplicações nas quais se deseja 
empregar o dispositivo. Dispositivos para os quais isto é fato estabelecido são, por exemplo, ampliadores 
operacionais e transistores de todo tipo. 
Por circuito, finalmente, entende-se a interconexão de elementos de circuito. Assim o circuito é também um 
modelo, no caso de um circuito físico. Do ponto de vista de sistemas, entende-se um circuito como um 
sistema e partes de circuitos como sub-circuitos ou subsistemas. 
Quando interconectamos diversos elementos de circuito, temos um nó em cada junção. Além disso, terminais 
que permanecem abertos também são nós. 
elemento 1
elemento 21
2 3
 
FIGURA 1.1 – Elementos de circuito, terminais e nós. 
O que é análise de circuitos? 
A Figura 1.2 ilustra o contexto no qual se insere a análise de circuitos. Ela é a ferramenta que, de forma 
semelhante ao experimento, permite extrair informação quantitativa de um circuito. O experimento é 
realizado com o sistema físico (circuito físico ou aparelho). A análise é realizada com o circuito, que é o 
modelo do sistema físico. 
 
 
Aparelho Circuito 
modelamento 
medidas 
resultados 
calculados 
Há concordância? 
análise experimento 
 
FIGURA 1.2 – Contexto da análise de circuitos. 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 3 - 
Em análise de circuitos, empregam-se o conhecimento matemático e o de leis elétricas que constituem objeto 
deste livro. 
Observações: 
• Em teoria de circuitos supõe-se que os modelos de cada dispositivo sejam conhecidos. 
• Na prática, modelos adequados geralmente existem. 
Circuitos concentrados ×××× circuitos distribuídos 
Do ponto de vista de modelagem, é importante diferenciar os circuitos concentrados dos circuitos 
distribuídos. Um circuito é considerado concentrado quando suas dimensões físicas permitem supor que os 
sinais de interesse se propagam instantaneamente. Para c (velocidade de propagação) e f (maior frequência 
de interesse) definidos, temos isto como válido, se para o maior caminho no circuito a seguinte condição for 
verdadeira: 
f
cd << 
Nesse caso, tensões v(t) e correntes i(t) estão definidas por todo o circuito univocamente para todo t, 
independentemente das coordenadas de posição. 
 
Exemplos: 
• Para um circuito de eletrônica de potência que trabalha com f = 60 [Hz], tem-se d << 5 ×107 [m]. 
• Para um circuito de áudio com f ≤ 25 [kHz], tem-se d << 12000 [m]. 
• Para um circuito digital com tempos de chaveamento de 0,1 [ns], tem-se d << 30 ×107.0,2 ×10-9= 
0,06 [m], supondo (pessimisticamente) um período do sinal igual a duas vezes o tempo mínimo de 
chaveamento. 
 
As leis de Kirchhoff 
As leis de Kirchhoff serão aqui entendidas como postulados, no entanto pode-se demonstrar sua validade 
para circuitos concentrados a partir das equações de Maxwell. 
Inicialmente definimos o sistema de coordenadas elétrico convencionando polaridades para as tensões e 
sentidos para as correntes associadas, como ilustrado na Figura 1.3. 
+
i1
-
1
2
v1 = v1-2
1
2
k
n
+
-
...
... vk-n
 
FIGURA 1.3 – Notação e sistema de coordenadas elétrico. 
A direção de referência de corrente, juntamente com o sinal de i(t), determina o sentido de fluxo das cargas 
elétricas. 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
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Definições: 
• Circuito conectado é aquele no qual todo nó pode ser alcançado a partir de qualquer outro por meio 
de um caminho através dos elementos do circuito. 
• Nó de referência é qualquer nó adotado por convenção para a medida de potenciais elétricos. 
Lei de Kirchhoff das tensões 
LKT (Lei de Kirchhoff das tensões) 
Para todos os circuitos concentrados, para todas as escolhas de nós de referência, para todos os 
tempos t e para todos os nós k e j vale 
)()()( tetetv jkjk −=− 
onde )(te j é o potencial do nó j no tempo t. Tem-se ainda 
)t(v)t(v kjjk −− −= . 
 
j 
k 
n 
+ 
- 
... 
... 
vk-j 
en = 0 
+ - 
ej 
ek 
+ 
... 
 
FIGURA 1.4 – Diagrama para enunciado da LKT. 
Outra formulação para a Lei de Kirchhoff das tensões, denominada formulação nodal, é a seguinte: para 
todos os circuitos concentrados conectados, para todas as sequências de nós fechadas (isto é, que iniciam e 
terminam no mesmo nó), para todos os tempos t, a soma algébrica de todas as tensões nó-a-nó ao longo de 
qualquer sequência de nós escolhida é igual a zero. 
Lei de Kirchhoff das correntes 
Definição 
Uma superfície fechada “tipo balão” receberá o nome de superfície gaussiana. 
LKC (Lei de Kirchhoff das correntes) 
Para todos os circuitos concentrados conectados, para todas as superfícies gaussianas S e todos 
tempos t, a soma algébrica de todas as correntes deixando a superfície S no tempo t é nula. 
A formulação nodal para a Lei de Kirchhoff das correntes é a seguinte: para todos os circuitos concentrados 
conectados e todos tempos t, a soma algébrica de todas as correntes deixando qualquer nó no tempo t é nula. 
Observações: 
• LKT e LKC são encarados como postulados fundamentais. 
• LKT e LKC refletem propriedades da interconexão e não dos elementos de circuito. 
• LKT e LKC (se empregadas como enunciadas aqui) resultam em equações algébricas homogêneas 
lineares com coeficientes reais de valor 0, 1 ou –1. 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
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Exemplo: Para ilustrar o equacionamento usando LKC e LKT será usado o circuito representado no 
diagrama esquemático anotado da Figura 1.5. 
i8(t)
S1
-
+
1
2
3
4
5
i2(t)
i5(t)
i6(t)
i11(t)
i1(t)
i4(t)
i10(t)
i9(t)
i3(t)
i7(t)
S2
 
FIGURA 1.5 – Diagrama esquemático anotado. 
• Equação LKC para S1: i3 – i1 – i2 = 0 
• Equação LKC para S2: i11 – i10 – i7 + i4 = 0 
• Equação LKT para a sequência de nós 5 – 2 – 4 – 5: v5-2 + v2-4 + v4-5 = 0 
 
Do circuito ao grafo 
Visando a uma