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são os de fio e de carbono. Os capacitores mais comuns são os de cerâmica, poliéster e os eletrolíticos. Resistores de carbono e capacitores de poliéster tipicamente têm marcação de seu valor no corpo do componente usando faixas de cores. As primeiras três faixas indicam números D1, D2 e M que apontam o valor do componente da seguinte forma: D1D2×10M. As unidades são [Ω] para os resistores e [pF] para os capacitores. O código de cores é o seguinte: Cor Dígito associado Preto 0 Marrom 1 Vermelho 2 Laranja 3 Amarelo 4 Cor Dígito associado Verde 5 Azul 6 Violeta 7 Cinza 8 Branco 9 Na terceira faixa de resistores ainda podem ser usados ouro (M = -1) ou prata (M = -2). A cor da quarta faixa indica a tolerância do componente: • Resistores: 5% (ouro), 10% (prata), 20% (ausente) • Capacitores: 10% (branco), 20% (preto ou ausente) A tensão de isolamento para os capacitores é indicada pela cor de uma quinta faixa: • 250V (vermelho) • 400V (amarelo) • 630V (azul) Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 2 - Capacitores eletrolíticos possuem polaridade, que sempre está indicada no corpo do dispositivo. Seu uso exige atenção especial. Elementos de circuitos e circuitos Elementos de circuitos são modelos ideais de dispositivos. Trata-se portanto de objetos idealizados. Os seguintes elementos de circuito são os mais comuns: • o resistor com a característica v = Ri; • o indutor com a característica v = Ldi/dt; • o capacitor com a característica i = Cdv/dt. Um modelo de dado dispositivo é composto de um ou mais elementos de circuito. Exemplo: Dispositivo Elemento de circuito correspondente bobina indutor condensador capacitor Um modelo resulta de aproximações. Por isso podem existir diversos modelos para um mesmo dispositivo, dependendo das aproximações usadas. As aproximações usadas dependem das aplicações nas quais se deseja empregar o dispositivo. Dispositivos para os quais isto é fato estabelecido são, por exemplo, ampliadores operacionais e transistores de todo tipo. Por circuito, finalmente, entende-se a interconexão de elementos de circuito. Assim o circuito é também um modelo, no caso de um circuito físico. Do ponto de vista de sistemas, entende-se um circuito como um sistema e partes de circuitos como sub-circuitos ou subsistemas. Quando interconectamos diversos elementos de circuito, temos um nó em cada junção. Além disso, terminais que permanecem abertos também são nós. elemento 1 elemento 21 2 3 FIGURA 1.1 – Elementos de circuito, terminais e nós. O que é análise de circuitos? A Figura 1.2 ilustra o contexto no qual se insere a análise de circuitos. Ela é a ferramenta que, de forma semelhante ao experimento, permite extrair informação quantitativa de um circuito. O experimento é realizado com o sistema físico (circuito físico ou aparelho). A análise é realizada com o circuito, que é o modelo do sistema físico. Aparelho Circuito modelamento medidas resultados calculados Há concordância? análise experimento FIGURA 1.2 – Contexto da análise de circuitos. Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 3 - Em análise de circuitos, empregam-se o conhecimento matemático e o de leis elétricas que constituem objeto deste livro. Observações: • Em teoria de circuitos supõe-se que os modelos de cada dispositivo sejam conhecidos. • Na prática, modelos adequados geralmente existem. Circuitos concentrados ×××× circuitos distribuídos Do ponto de vista de modelagem, é importante diferenciar os circuitos concentrados dos circuitos distribuídos. Um circuito é considerado concentrado quando suas dimensões físicas permitem supor que os sinais de interesse se propagam instantaneamente. Para c (velocidade de propagação) e f (maior frequência de interesse) definidos, temos isto como válido, se para o maior caminho no circuito a seguinte condição for verdadeira: f cd << Nesse caso, tensões v(t) e correntes i(t) estão definidas por todo o circuito univocamente para todo t, independentemente das coordenadas de posição. Exemplos: • Para um circuito de eletrônica de potência que trabalha com f = 60 [Hz], tem-se d << 5 ×107 [m]. • Para um circuito de áudio com f ≤ 25 [kHz], tem-se d << 12000 [m]. • Para um circuito digital com tempos de chaveamento de 0,1 [ns], tem-se d << 30 ×107.0,2 ×10-9= 0,06 [m], supondo (pessimisticamente) um período do sinal igual a duas vezes o tempo mínimo de chaveamento. As leis de Kirchhoff As leis de Kirchhoff serão aqui entendidas como postulados, no entanto pode-se demonstrar sua validade para circuitos concentrados a partir das equações de Maxwell. Inicialmente definimos o sistema de coordenadas elétrico convencionando polaridades para as tensões e sentidos para as correntes associadas, como ilustrado na Figura 1.3. + i1 - 1 2 v1 = v1-2 1 2 k n + - ... ... vk-n FIGURA 1.3 – Notação e sistema de coordenadas elétrico. A direção de referência de corrente, juntamente com o sinal de i(t), determina o sentido de fluxo das cargas elétricas. Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 4 - Definições: • Circuito conectado é aquele no qual todo nó pode ser alcançado a partir de qualquer outro por meio de um caminho através dos elementos do circuito. • Nó de referência é qualquer nó adotado por convenção para a medida de potenciais elétricos. Lei de Kirchhoff das tensões LKT (Lei de Kirchhoff das tensões) Para todos os circuitos concentrados, para todas as escolhas de nós de referência, para todos os tempos t e para todos os nós k e j vale )()()( tetetv jkjk −=− onde )(te j é o potencial do nó j no tempo t. Tem-se ainda )t(v)t(v kjjk −− −= . j k n + - ... ... vk-j en = 0 + - ej ek + ... FIGURA 1.4 – Diagrama para enunciado da LKT. Outra formulação para a Lei de Kirchhoff das tensões, denominada formulação nodal, é a seguinte: para todos os circuitos concentrados conectados, para todas as sequências de nós fechadas (isto é, que iniciam e terminam no mesmo nó), para todos os tempos t, a soma algébrica de todas as tensões nó-a-nó ao longo de qualquer sequência de nós escolhida é igual a zero. Lei de Kirchhoff das correntes Definição Uma superfície fechada “tipo balão” receberá o nome de superfície gaussiana. LKC (Lei de Kirchhoff das correntes) Para todos os circuitos concentrados conectados, para todas as superfícies gaussianas S e todos tempos t, a soma algébrica de todas as correntes deixando a superfície S no tempo t é nula. A formulação nodal para a Lei de Kirchhoff das correntes é a seguinte: para todos os circuitos concentrados conectados e todos tempos t, a soma algébrica de todas as correntes deixando qualquer nó no tempo t é nula. Observações: • LKT e LKC são encarados como postulados fundamentais. • LKT e LKC refletem propriedades da interconexão e não dos elementos de circuito. • LKT e LKC (se empregadas como enunciadas aqui) resultam em equações algébricas homogêneas lineares com coeficientes reais de valor 0, 1 ou –1. Análise de circuitos: um enfoque de sistemas - 5 - Exemplo: Para ilustrar o equacionamento usando LKC e LKT será usado o circuito representado no diagrama esquemático anotado da Figura 1.5. i8(t) S1 - + 1 2 3 4 5 i2(t) i5(t) i6(t) i11(t) i1(t) i4(t) i10(t) i9(t) i3(t) i7(t) S2 FIGURA 1.5 – Diagrama esquemático anotado. • Equação LKC para S1: i3 – i1 – i2 = 0 • Equação LKC para S2: i11 – i10 – i7 + i4 = 0 • Equação LKT para a sequência de nós 5 – 2 – 4 – 5: v5-2 + v2-4 + v4-5 = 0 Do circuito ao grafo Visando a uma