Análise de Circuitos - Um Enfoque de Sistemas - Karl Heinz Kienitz - 2ª Edição

na Figura 3.7. 
 i1=0 
v1 
+ 
- 
+ 
- 
i2 
µv1 
+ 
- 
v2 
 
 












µ
=





2
1
2
1
0
00
i
v
v
i
 
FIGURA 3.7 – Diagrama esquemático e relação que definem a fonte de tensão controlada por tensão. 
 
Circuitos equivalentes para elementos resistivos lineares de duas portas 
Circuitos equivalentes são instrumentos úteis para o esboço e entendimento de diagramas de circuitos 
compostos da interconexão de diversos elementos de circuito complexos. 
Considere a representação controlada por corrente de um elemento resistivo linear de duas portas: 












=





2
1
2221
1211
2
1
i
i
rr
rr
v
v
. 
Em termos de diagrama de circuito, este elemento pode ser representado (equivalentemente) pelo circuito da 
Figura 3.8. 
r12i2
i1
v1
+
-
+
-
r11
r21i1
i2
v2
+
-
+
-
r22
 
FIGURA 3.8 – Circuito equivalente de um elemento resistivo linear de duas portas controlado por corrente. 
Raciocínio semelhante pode ser utilizado para encontrar circuitos equivalentes para circuitos descritos por 
uma das outras representações da Tabela 3.1. Por exemplo, um circuito usando condutâncias e fontes 
controladas de corrente pode ser obtido diretamente a partir da representação controlada por tensão. 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
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Transformador ideal 
O diagrama esquemático e a relação matemática que definem um transformador ideal são dados na Figura 
3.9. 
i1
v1
+
-
+
-
i2
v2
n=n1:n2
 
12
21
nii
nvv
−=
=
 
FIGURA 3.9 – Representação esquemática e relação que definem o transformador ideal. 
Para o transformador ideal, valem as seguintes propriedades: 
1 Usando-se as expressões da definição da Figura 3.9, pode-se verificar o seguinte balanço de potência 
para o transformador 02211 =+= )t(i)t(v)t(i)t(v)t(p . 
2 Colocando-se uma resistência de valor R no secundário do transformador (lado de índice 2), um 
observador no primário (lado de índice 1) observará uma resistência de valor n2R. De fato: 
Rn)t(i
)t(v
n
n
)t(i
)t(nv
)t(i
)t(v
)t(Ri)t(v
2
2
22
2
2
1
1
22
=−=
−
=
−=
 
Observações: 
• Transformadores práticos normalmente são implementados usando bobinas com núcleo 
comum, e operam com sinais de corrente alternada (AC). A relação de transformação n=n1:n2 
neste caso é definida pela relação entre os números de espiras das bobinas no primário e no 
secundário do transformador. 
• A definição do modelo do transformador ideal não está restrita a transformadores AC. 
 
Análogo mecânico 
Existem analogias entre sistemas elétricos e mecânicos. Isso pode ser ilustrado comparando-se um 
transformador ideal com uma par de engrenagens implementando uma redução (Figura 3.10). 
A
ω2
r1
ω1
r2
 
FIGURA 3.10 – Par de engrenagens. 
Duas equações descrevem este par de engrenagens. Uma é obtida considerando-se que a velocidade das duas 
engrenagens no ponto de contato A é igual. A segunda equação é obtida considerando-se que a força sobre 
cada uma das duas engrenagens no ponto A é igual em módulo e de sinal oposto àquela sobre a outra 
engrenagem. Usando iτ para representar o torque sobre a engrenagem i, as equações são: 
2
2
1
1
1122
r
)t(
r
)t(
r)t(r)t(
ττ
ωω
−=
=
 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 33 - 
Assim a analogia pode ser explicitada como na Tabela 3.2. 
 
Tabela 3.2 – Analogias entre variáveis em sistemas mecânicos e circuitos 
Sistema mecânico Circuitos 
velocidade angular (ω) tensão 
torque (τ) corrente 
razão dos raios (r2/r1) razão de transformação (n = n1/n2) 
 
Girador ideal 
O diagrama esquemático e a relação matemática que definem um girador ideal são dados na figura 3.11. 
i1
v1
+
-
+
-
i2
v2
G
 
)t(v
G
G)t(i
Gvi
Gvi






−
=→
−=
=
0
0
12
21
 
FIGURA 3.11 – Representação esquemática e relação que define o girador ideal. 
Para o girador com G = 1, tudo o que é colocado na saída (porta 2) é visto de forma dual na entrada (porta 
1), pois 





−
=




−
=
−
= )t(v
)t(i
)t(v
)t(i
G)t(Gv
G
)t(i
)t(i
)t(v
2
2
2
2
22
2
1
1 1
 
Dessa forma, uma resistência de R [Ω] na porta 2 será vista como uma condutância de R [S] na porta 1. 
Giradores podem ser realizados com o auxílio de circuitos integrados para aplicações que envolvam sinais de 
baixa frequência. 
 
Elementos não-lineares de duas portas 
Para elementos não-lineares pelo menos uma das características f1 e f2 que definem o resistor é não-linear. 
{ }0 e 0 21212212112121 ===ℜ )i,i,v,v(f)i,i,v,v(f:)i,i,v,v(R 
Às vezes é possível escrever as características em formas passíveis de representação gráfica, como: 
)v,i(iˆi
)v,i(vˆv
)i,i(vˆv
)i,i(vˆv
2122
2111
2122
2111
ou 
=
=
=
=
 
Vários dispositivos possuem modelos desse tipo. Exemplos são os transistores. Como o tratamento de todos 
os transistores é semelhante do ponto de vista de circuitos, aqui será citado apenas o transistor MOSde efeito 
de campo, um componente muito comum em circuitos integrados. 
Transistor MOS 
Existem vários tipos de transistores MOSde efeito de campo (ou simplesmente MOSFETs, do inglês Metal-
Oxide-Semiconductor Field Effect Transistor). Como o objetivo é ilustrar o tratamento de elementos não-
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
 - 34 - 
lineares de duas portas, trabalhar-se-á somente com o transistor MOS, tipo reforço, canal N. Os símbolos e a 
nomenclatura adotados para este transistor encontram-se na Figura 3.12. 
D
G
S
id
ig
+
+
-
-
vds
vgs
D
G
S
id
ig
+
+
-
-
vds
vgs
D
G
S
id
ig
+
+
-
-
vds
vgs
 
D: dreno (“drain”) 
G: porta (“gate”) 
S: fonte (“source”) 
FIGURA 3.12 – Símbolos usados para o transistor MOS, tipo reforço, canal N 
Uma característica típica para estes transistores encontra-se na Figura 3.13. Por construção, a corrente ig de 
um transistor MOS pode ser considerada sempre nula. 
0
8
16
id [mA]
vds [V]
vgs = 10 [V]
9
8
7
5
6
_
|
 
FIGURA 3.13 – Característica típica de um MOSFET, tipo reforço, canal N. 
À direita da reta tracejada da Figura 3.13 um modelo analítico aproximado para o MOSFET considerado 
( gsv positivo) é: 
thgsdsthgsd Vvv)Vv(i −≥−β= para 2
1 2
 (3.1) 
A constante β depende das dimensões do dispositivo e de constantes físicas. A constante Vth depende da 
tecnologia do dispositivo. A região na qual vale este modelo é chamada de “região de saturação”. 
Na região à esquerda da reta tracejada da Figura 3.13, chamada de “região linear”, o modelo analítico 
aproximado é: 
thgsds
ds
dsthgsd Vvv
v
vVvi −<−= para ]
2
-)([
2
β (3.2) 
Dessa forma, o transistor MOSé (em baixas frequências) um resistor de três terminais não-linear controlado 
por tensão caracterizado pela equação 3.1 ou 3.2, conforme o caso, e por ig = 0. 
Um circuito equivalente não-linear, em termos de elementos de circuito já vistos, pode ser estabelecido por 
exemplo para a região de saturação conforme mostrado na Figura 3.14. 
Análise de circuitos: um enfoque de sistemas 
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+
-
id
0,5β(vgs-Vth)2
ig=0
vgs vds
+
-
 
FIGURA 3.14 – Circuito equivalente de um MOSFET, tipo reforço, canal N, na região de saturação. 
 
Além de ser usado em uma das regiões descritas pelas equações (3.1) e (3.2), o MOSFET é frequentemente 
usado como chave de potência. Na