CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II_AV2_Integrais triplas_Thiago Leonel_mat 20181301247

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TAREFA AV1 – C
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LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aluno: Thiago Leonel Farias. Matrícula: 20181301247
Prof.: Luciana Antunes Rios.
Integrais triplas
1ª questão:
Calcular a integral tripla:
∭(y+x²)zdV
sobre a região de integração definida pelo paralelepípedo:
1≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 1,−3 ≤ z≤ 5.
ʃ² dx ʃ ¹ dy ʃ5 dz (y+x²) zdv v= a*b*c
 1 0 -3
 V= (5+(-3)) *1*1
ʃ² dx ʃ ¹ dy ʃ5 (y+x²)zdz v= (5-3)*1
 1 0 -3 v= 2
ʃ² dx ʃ ¹ (y+x²) dy ʃ5 zdz
 1 0 -3
Z² ]5 5² - (-3)² = 25 – (9) = 8
2 -3 = 2 2 2 2
ʃ² dx ʃ ¹ (y+x²) * (8)dy
 1 0
ʃ² (8) * (y+x²) = 
 1 
 ʃ² 8y + 8x²= 
 1 
ʃ² 8x²dx ʃ ¹ 8y dy
 1 0
8y² ]¹ = 1² - (0)² = 1
 2 0 2 2 2
ʃ² 8x²dx 1
 1 2
8*(1) ʃ² x²dx = 8 = 4x³ ]² = 4 [ 2³ - 1³ ]=
 2 1 2 3 1 3 3
4[ 8 – 1 ] = 4[ 7 ] = 4 * 7 = 28 = 9,33
 3 3 3 3 3
2ª questão:
Calcular a integral:
∭(x²+y²)dV,
em que T é a região de integração interior ao cilindro x²+y²= 1 e à esfera x²+y²+z²= 4 (fazer a transformação para o sistema de coordenadas que mais simplifica a resolução).
(x,y,z) (r,θ,z) dv= rdz dr dθ
X²+y²+z² = 4 x= rcos θ
Z² = 4-x2-y² y=rsen θ
0< r < 1 r= x² +y²
0< θ < 2¶ r²= x²+y²
0< z < - 2r
X= rcos θ
Dv=rdz dr dθ
ʃ¹ ʃ²¶ ʃ-2r * (rcosθ)² + (rsenθ)² * r dz dθ dr
 0 0 0
ʃ¹ ʃ²¶ ʃ-2r * r²cos²θ + r²sen²θ * r dz dθ dr
 0 0 0
ʃ¹ 2r³ dr ʃ²¶ cos² θ + sen²θ dθ ʃ-2rdz
 0 0 0 
ʃ-2rdz = [z]-2r 
 0 0 
[-2r -0]
ʃ¹ 2r³ dr ʃ²¶ cos² θ + sen²θ dθ [ -2r - 0]
 0 0 
-2 ʃ¹ r4 dr ʃ²¶ cos² θ + sen²θ dθ 
 0 0 
Cos² θ= 1+cos2θ sen² θ= 1- cos2θ 
 2 2
 ʃ²¶ 1+cos2θ + sen² θ= 1- cos2θ dθ
 0 2 2 
ʃ²¶ 1+1= 1 
 0 2 2
ʃ²¶ 1dθ ʃ²¶ cos2θ - cos2θ dθ
 0 0 2 2
1+1= 1 ʃ²¶ dθ+1 ʃ²¶ cos(2θ) – cos(2θ) dθ
2 2 0 0 
dθ+1 ]²¶ = 1(2¶) – 1(0) = 2¶ 
 0
-2*2¶ ʃ1 r4dr = -2*2¶ r4+1 ]1 = -2*2¶ r5 = - 4¶ r5 ]1
 0 4+1 0 5 5 0
 
[ 15 – (0)5 ] = [ 1- 0 ] = 1
 5 5 5 5 5
3ª questão:
Calcular o volume do tetraedro mostrado na figura abaixo:
f(x,y) = z = ax +by + c
0= a(2) + b(0) + c = a = - c
 2
0= a(0) + b(1) + c = b = - c
3= a(0) + b(0) + c = c = 3
Logo,
Z = - 3x – 3y + 3
 2
Y = ax + b
(2,0) 0= 2a + b = a = - b
 2
(0,1) 1= 2(0) + b= b = 1 
Y = - x + 1
 2
 - x + 1
 2
V= ʃ² ʃ ( - 3x - 3y + 3) dy dx=
 0 0 2
 - x + 1
 2
 ʃ² [( - 3xy - 3y² + 3y) ] dx=
 0 2 2 0
ʃ² [ - 3x ( -x+1 ) - 3 (-x +1)² + 3(- x + 1 ) ] dx=
0 2 2 2 2 2
ʃ² ( 3x² - 3x + 3) dx=
0 8 2 2
( 1x³ - 3x² + 3x) ² = 1 unidade de volume
 8 4 2 0
Referências bibliográficas:
- Antônio de Andrade e Silva, Marivaldo Pereira Matos
Cálculo de várias variáveis.