APOL Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis

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Questão 1/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Ao calcular o valor da integral dupla a seguir, pelo método da iteração, 
assinale a alternativa que corresponde a esse valor: 
 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy. 
 
Referência: Livro-Base, p. 54-59. 
Nota: 20.0 
 
A 1212 
 
B 3232 
 
 
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Solução: 
 
I=∫20∫10(x3+xy)dxdy=∫20(x44+yx22)∣∣∣x=1x=0dy=∫20(14+y2)dyI=(y4+y24)∣∣∣20=(24+224)=64=32.I=∫02∫01(x3+xy)dxdy=∫02(x44+yx22)|x=0x=1dy=∫02(14+y2)dyI=(y4+y24)|02=(24+224)=64=32. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
 
 
C 5252 
 
D 7272 
 
 
E 9292 
 
Questão 2/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Assinale a alternativa correta que corresponde às derivadas parciais da 
função f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy.f(x,y,z)=3x2+4xy−3zy. 
 
Referência: Livro-Base, p. 80. 
Nota: 20.0 
 
A ∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y.∂f∂x=6x+4y;∂f∂y=4x−3z;∂f∂z=−3y. 
Você acertou! 
Calculamos a derivada parcial separadamente em relação a cada variável. Assim, 
 
∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y.∂∂x(3x2+4xy−3zy)=6x+4y;∂∂y(3x2+4xy−3zy)=4x−3z;∂∂z(3x2+4xy−3zy)=−3y. 
 
B ∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x∂f∂x=2x+5z;∂f∂y=−3y−2z;∂f∂z=−2x 
 
C ∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x∂f∂x=5x−2y;∂f∂y=2x+5y;∂f∂z=3x 
 
D ∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y∂f∂x=2y+5z;∂f∂y=x−z;∂f∂z=−y 
 
E ∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z∂f∂x=x+4;∂f∂y=x+y;∂f∂z=z 
 
Questão 3/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Dadas as equações paramétricas das elipses: Elipse 
1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent,Elipse 
1:{x=2costy=4sent e Elipse 2:{x=2costy=sent, seguem os gráficos no 
plano xy: 
 
Referência: Livro-Base, p. 25-30. 
 
 
 
 
De acordo com a figura, a área em cinza limitada pelas elipses 1 e 2 e pelo 
eixo y vale: 
Nota: 20.0 
 
A 3 u.a. 
 
B 2 u.a. 
 
C ππ u.a. 
 
D 2π2π u.a. 
 
E 3π3π u.a. 
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A=2∫0π2y(t)x′(t)dtA=2∫0π2{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫0π2(−8sen2t+2sen2t)dt=2∫0π2(−6sen2t)dtA=−12∫0π2(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)∣∣∣0π2=−12(−π4−0)A=3πu.a.A=2∫π20y(t)x′(t)dtA=2∫π20{[4sent⋅(−2sent)]−[sent⋅(−2sent)]}dtA=2∫π20(−8sen2t+2sen2t)d
t=2∫π20(−6sen2t)dtA=−12∫π20(12−12cos2t)dt=12(θ2−14sen2θ)|π20=−12(−π4−0)A=3πu.a. 
 
Fonte: livro-base: RODRIGUES, A. C. D.; SILVA, A. R. H. S. Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: Intersaberes, 2016. 
 
Questão 4/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Dada a função f(x,y,z)=x2+y2|√ z−1 |f(x,y,z)=x2+y2|z−1| com 
domínio Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}Dom(f)={(x,y,z)∈R3/z>1}, a 
alternativa que corresponde corretamente ao valor de f(x,y,z)f(x,y,z) no 
ponto (2,3,5)(2,3,5) é: 
 
Referência: Livro-Base, p. 75-76. 
Nota: 20.0 
 
A 132132 
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Solução: 
 
f(2,3,5)=22+32|√ 5−1 |=4+9|√4 |=132.f(2,3,5)=22+32|5−1|=4+9|4|=13
2. 
 
B 145145 
 
C 133133 
 
D 115115 
 
 
E 154154 
 
Questão 5/5 - Cálculo Diferencial Integral a Várias Variáveis 
Calcule a área de uma superfície cônica gerada pela revolução do 
segmento de reta dado pela equação y = 4x, no intervalo fechado [0,2], em 
torno do eixo das abscissas. 
 
 
Referência: Livro-Base, p. 15-20. 
Nota: 20.0 
 
A 16ππ 
 
B 16ππ√17 17 u.a. 
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(Conteúdo livro-base: RODRIGUES, A. C. D; SILVA, A. R. H. S. 
Cálculo diferencial e integral de várias variáveis. Curitiba: 
InterSaberes, 2016.) 
 
C √17 17 u.a. 
 
D √17π17π u.a. 
 
E 2√17 217 u.a.